復(fù)變函數(shù)與積分變換第四章級(jí)數(shù)

復(fù)變函數(shù)與積分變換第四章級(jí)數(shù)第1頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四第四章級(jí)數(shù)§4.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)§4.2泰勒級(jí)數(shù)§4.3羅朗級(jí)數(shù)第2頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四主要內(nèi)容

本章介紹復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)的概念,重點(diǎn)是Taylor級(jí)數(shù)、Laurent級(jí)數(shù)及其展開.第3頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四1復(fù)數(shù)序列2復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)§4.1

復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)3復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)4冪級(jí)數(shù)5冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)第4頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四4.1.1復(fù)數(shù)序列稱為復(fù)數(shù)列,簡(jiǎn)稱為數(shù)列,記為定義4.1設(shè)是數(shù)列，是常數(shù).如果e>0,存在正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時(shí),不等式成立,則稱當(dāng)n時(shí),收斂于或稱是的極限,記作或第5頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四復(fù)數(shù)列收斂與實(shí)數(shù)列收斂的關(guān)系定理4.1

的充分必要條件是該結(jié)論說明:判別復(fù)數(shù)列的斂散性可轉(zhuǎn)化為判別兩個(gè)實(shí)數(shù)列的斂散性.第6頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四4.1.2復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).稱為該級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)部分和.設(shè)是復(fù)數(shù)列,則稱第7頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的概念定義4.2如果級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列收斂于復(fù)數(shù)S,則稱級(jí)數(shù)收斂,這時(shí)稱S為級(jí)數(shù)的和,并記做如果不收斂，則稱級(jí)數(shù)發(fā)散.第8頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的關(guān)系定理4.2級(jí)數(shù)收斂的充要條件是都收斂,并且說明復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題第9頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四解因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂,所以原復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散.練習(xí)級(jí)數(shù)是否收斂?發(fā)散,而級(jí)數(shù)第10頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四級(jí)數(shù)收斂的必要條件推論4.1如果級(jí)數(shù)收斂,則重要結(jié)論:

發(fā)散.于是在判別級(jí)數(shù)的斂散性時(shí),可先考察?第11頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四非絕對(duì)收斂的收斂級(jí)數(shù)稱為條件收斂級(jí)數(shù).定義4.3設(shè)是復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),如果正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,則稱級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.

絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)定理4.3若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,則它收斂,并且第12頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四補(bǔ)充因?yàn)樗跃C上可得:因此,如果和都絕對(duì)收斂時(shí),也絕對(duì)收斂.絕對(duì)收斂和都絕對(duì)收斂.第13頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四都收斂,故原級(jí)數(shù)收斂.但是級(jí)數(shù)條件收斂,所以原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂,是條件收斂的.解因?yàn)槔?.1級(jí)數(shù)是否絕對(duì)收斂?第14頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四1.復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義(2)稱為區(qū)域

G

內(nèi)(1)稱為區(qū)域

G

內(nèi)的復(fù)變函數(shù)序列。定義設(shè)復(fù)變函數(shù)在區(qū)域

G

內(nèi)有定義，的復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)記為§4.1.3復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第15頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四2.復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的定義(1)稱為級(jí)數(shù)的部分和。定義設(shè)為區(qū)域G內(nèi)的復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，稱級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂。z0則稱級(jí)數(shù)在區(qū)域

D

內(nèi)收斂。(3)如果存在區(qū)域D

G

，有此時(shí)，稱(2)如果對(duì)

G

內(nèi)的某一點(diǎn)，有z0則為和函數(shù)，D

為收斂域?！?.1.3復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第16頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四1冪級(jí)數(shù)的概念2冪級(jí)數(shù)的斂散性3冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)§4.1.4冪級(jí)數(shù)第17頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四(1)下面主要是對(duì)

型冪級(jí)數(shù)進(jìn)行討論，所得到的結(jié)論(Ⅱ)注1.冪級(jí)數(shù)的概念其中，

為復(fù)常數(shù)。定義稱由下式給出的復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為冪級(jí)數(shù)：(

I

)特別地，當(dāng)

時(shí)有(Ⅱ)只需將換成

即可應(yīng)用到型冪級(jí)數(shù)。(

I

)z(2)對(duì)于型冪級(jí)數(shù)，在

點(diǎn)肯定收斂。(Ⅱ)第18頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四定理4.6(Abel定理)若級(jí)數(shù)在處收斂，則當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;若級(jí)數(shù)在處發(fā)散，則當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.2.冪級(jí)數(shù)的斂散性第19頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四(1)對(duì)所有的復(fù)數(shù)z都收斂.由阿貝爾定理知:級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對(duì)收斂.由,冪級(jí)數(shù)收斂情況有三種:(2)除z=0外都發(fā)散.此時(shí),級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除z=0外處處發(fā)散.第20頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四

(3)存在一點(diǎn)z1≠0,使級(jí)數(shù)收斂(此時(shí),根據(jù)阿貝爾定理知,它必在圓周|z|=|z1|內(nèi)部絕對(duì)收斂),另外又存在一點(diǎn)z2,使級(jí)數(shù)發(fā)散.((肯定|z2|≥|z1|);根據(jù)阿貝爾定理的推論知,它必在圓周|z|=|z2|外部發(fā)散.)如下圖第21頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四..收斂圓收斂半徑收斂圓周

在這種情況下,可以證明,存在一個(gè)有限正數(shù)R,使得級(jí)數(shù)在圓周|z|=R內(nèi)部絕對(duì)收斂,在圓周|z|=R外部發(fā)散.冪級(jí)數(shù)的收斂范圍是以原點(diǎn)為中心的圓域動(dòng)畫演示第22頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四冪級(jí)數(shù)的收斂范圍是因此，事實(shí)上,冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上斂散性的討問題：冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?以為中心的圓域.收斂半徑根據(jù)前面所述的三種情形,分別規(guī)定為論比較復(fù)雜,沒有一般的結(jié)論,要對(duì)具體級(jí)數(shù)進(jìn)行具體分析.第23頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四例如,級(jí)數(shù):收斂圓周上無收斂點(diǎn);在收斂圓周上處處收斂.第24頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四解級(jí)數(shù)收斂,級(jí)數(shù)發(fā)散.絕對(duì)收斂,且有在內(nèi),級(jí)數(shù)例4.2求級(jí)數(shù)的和函數(shù)與收斂半徑.所以收斂半徑第25頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四收斂半徑的計(jì)算方法(一)(3)當(dāng)時(shí),收斂半徑(1)當(dāng)時(shí),收斂半徑(2)當(dāng)時(shí),收斂半徑定理4.7

(比值法)設(shè)級(jí)數(shù)如果則第26頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四收斂半徑的計(jì)算方法(二)(3)當(dāng)時(shí),收斂半徑(1)當(dāng)時(shí),收斂半徑(2)當(dāng)時(shí),收斂半徑定理4.8

(根值法)設(shè)級(jí)數(shù)如果則第27頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四例求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂圓。由解收斂圓為收斂半徑為例求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂圓。由解收斂圓為收斂半徑為得得第28頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四例求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂圓。收斂圓為故級(jí)數(shù)的收斂半徑為由于解第29頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四練習(xí)求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑,其中p為正整數(shù).解

因?yàn)樗杂谑鞘諗堪霃降?0頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四令則在內(nèi)有1.冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算性質(zhì)P68

4.1.5冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)第31頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四2.冪級(jí)數(shù)的分析性質(zhì)即(3)在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分，即(1)函數(shù)在收斂圓內(nèi)解析。設(shè)性質(zhì)則(2)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可由其冪函數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到，P69

4.1.5冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)第32頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四3.冪級(jí)數(shù)的代換(復(fù)合)性質(zhì)

在把函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)時(shí)，上述三類性質(zhì)有著重要的作用。又設(shè)函數(shù)在

內(nèi)解析，且滿足設(shè)級(jí)數(shù)

在內(nèi)收斂，和函數(shù)為性質(zhì)當(dāng)時(shí)，有則4.1.5冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)第33頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四解方法一

利用乘法運(yùn)算性質(zhì)方法二

利用逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)第34頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四解其收斂半徑為收斂圓為第35頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四一Taylor定理二將函數(shù)展開成Taylor級(jí)數(shù)§4.2泰勒級(jí)數(shù)第36頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四實(shí)函數(shù)在一點(diǎn)的鄰域內(nèi)展開成Taylor級(jí)數(shù)是非常重要的問題，它是表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種工具.對(duì)于復(fù)變函數(shù),我們已經(jīng)知道冪級(jí)數(shù)在收斂圓域內(nèi)收斂于解析函數(shù).在本節(jié)我們將證明解析函數(shù)在解析點(diǎn)的某鄰域內(nèi)一定能夠展開成冪級(jí)數(shù)—Taylor級(jí)數(shù).這是解析函數(shù)的重要特征.第37頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四z0DC一、泰勒(Taylor)定理則當(dāng)時(shí)，有定理設(shè)函數(shù)在區(qū)域

D

內(nèi)解析，C

為

D

的邊界，其中，證明(略)

Rl

為

D

內(nèi)包圍

點(diǎn)的z0的任意一條閉曲線。l

P70定理

4.10

(進(jìn)入證明?)第38頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四一、泰勒(Taylor)定理注(1)為什么只能在圓域上展開為冪級(jí)數(shù)，z0RDC而不是在整個(gè)解析區(qū)域

D

上展開？回答這是由于受到冪級(jí)數(shù)本身的收斂性質(zhì)的限制：

冪級(jí)數(shù)的收斂域必須是圓域。

冪級(jí)數(shù)一旦收斂，其和函數(shù)一定解析。第39頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四一、泰勒(Taylor)定理注(2)展開式中的系數(shù)還可以用下列方法直接給出。方法一第40頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四一、泰勒(Taylor)定理注(2)展開式中的系數(shù)還可以用下列方法直接給出。方法二z0RDCl第41頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四一、泰勒(Taylor)定理注(3)對(duì)于一個(gè)給定的函數(shù)，用任何方法展開為冪級(jí)數(shù)，其結(jié)果都是一樣的，即具有唯一性。將函數(shù)在點(diǎn)展開為冪級(jí)數(shù)。比如方法一

利用已知的結(jié)果(§4.2

):方法二

利用泰勒定理

:方法三

利用長(zhǎng)除法。(長(zhǎng)除法)第42頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四一、泰勒(Taylor)定理注(4)對(duì)于一個(gè)給定的函數(shù)，能不能在不具體展開為冪級(jí)數(shù)的情況下，就知道其收斂域？可以知道。函數(shù)在點(diǎn)展開為泰勒級(jí)數(shù)，其收斂半徑結(jié)論等于從點(diǎn)到的最近一個(gè)奇點(diǎn)的距離。(1)冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)解析，因此奇點(diǎn)

不可能理由在收斂圓內(nèi)；(2)奇點(diǎn)

也不可能在收斂圓外，不然收斂半徑還可以擴(kuò)大，故奇點(diǎn)

只能在收斂圓周上。第43頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四將函數(shù)展開為Taylor級(jí)數(shù)的方法:1.直接方法;2.間接方法.1.直接方法由Taylor定理計(jì)算級(jí)數(shù)的系數(shù)然后將函數(shù)f(z)在z0展開成冪級(jí)數(shù).二、將函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)第44頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四例求在的Taylor展開式.所以它在處的Taylor級(jí)數(shù)為并且收斂半徑因?yàn)樵趶?fù)平面上解析，且第45頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四2.間接方法借助于一些已知函數(shù)的展開式,結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì),冪級(jí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)(逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分等)和其它的數(shù)學(xué)技巧(代換等),求函數(shù)的Taylor展開式.間接法的優(yōu)點(diǎn):不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑,因而比直接展開更為簡(jiǎn)潔,使用范圍也更為廣泛.第46頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四附:常見函數(shù)的Taylor展開式第47頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四第48頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四例求在點(diǎn)鄰域內(nèi)的Taylor級(jí)數(shù).解是的惟一奇點(diǎn),且

故收斂半徑逐項(xiàng)求導(dǎo)，得因?yàn)榈?9頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四例將函數(shù)在處展開成Taylor級(jí)數(shù)，并指出該級(jí)數(shù)的收斂范圍.當(dāng)即時(shí),第50頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四故收斂半徑函數(shù)有奇點(diǎn)解(1)(2)第51頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四§4.3洛朗級(jí)數(shù)一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的“冪級(jí)數(shù)”二、羅朗(Laurent)定理三、將函數(shù)展開為洛朗級(jí)數(shù)的方法第52頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的“冪級(jí)數(shù)”1.問題分析引例根據(jù)前面的討論已知，函數(shù)

在

點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)展開式為事實(shí)上，該函數(shù)在整個(gè)復(fù)平面上僅有一個(gè)奇點(diǎn)，但正是這樣一個(gè)奇點(diǎn)，使得函數(shù)只能在內(nèi)展開為

z

的冪級(jí)數(shù)，而在如此廣大的解析區(qū)域內(nèi)不能展開為

z

的冪級(jí)數(shù)。

有沒有其它辦法呢？一粒老鼠屎，壞了一鍋湯！第53頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的“冪級(jí)數(shù)”1.問題分析設(shè)想這樣一來，在整個(gè)復(fù)平面上就有由，有從而可得第54頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的“冪級(jí)數(shù)”1.問題分析啟示如果不限制一定要展開為只含正冪次項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)的話，即如果引入負(fù)冪次項(xiàng)，那么就有可能將一個(gè)函數(shù)在整個(gè)復(fù)平面上展開(除了奇點(diǎn)所在的圓周上)。

在引入了負(fù)冪次項(xiàng)以后，“冪級(jí)數(shù)”的收斂特性如何呢？下面將討論下列形式的級(jí)數(shù):雙邊冪級(jí)數(shù)第55頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的“冪級(jí)數(shù)”分析2.級(jí)數(shù)的收斂特性將其分為兩部分：正冪次項(xiàng)部分與負(fù)冪次項(xiàng)部分。(A)(B)(1)對(duì)于

(A)

式，其收斂域的形式為(2)對(duì)于

(B)

式，其收斂域的形式為根據(jù)上一節(jié)的討論可知：第56頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四收斂半徑R收斂域收斂半徑R2收斂域兩收斂域無公共部分,兩收斂域有公共部分第57頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四z0R1R2z0R2R1兩收斂域無公共部分,兩收斂域有公共部分HH第58頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的“冪級(jí)數(shù)”結(jié)論2.級(jí)數(shù)的收斂特性(1)如果級(jí)數(shù)收斂，則其收斂域“一定”為環(huán)域：①如果只含正冪次項(xiàng)(或者加上有限個(gè)負(fù)冪次項(xiàng))，特別地則其收斂域?yàn)椋夯颌谌绻缓?fù)冪次項(xiàng)(或者加上有限個(gè)正冪次項(xiàng))，則其收斂域?yàn)椋?/p>

上述兩類收斂域被看作是一種特殊的環(huán)域。第59頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的“冪級(jí)數(shù)”結(jié)論2.級(jí)數(shù)的收斂特性(1)如果級(jí)數(shù)收斂，則其收斂域“一定”為環(huán)域：而且具有與冪級(jí)數(shù)同樣的運(yùn)算性質(zhì)和分析性質(zhì)。(2)級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)其和函數(shù)是解析的,

因此，下面將討論如何將一個(gè)函數(shù)在其解析環(huán)域內(nèi)展開為上述形式的級(jí)數(shù)。第60頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四R2z0R1D二、羅（洛）朗(Laurent)定理設(shè)函數(shù)在圓環(huán)域定理C

為在圓環(huán)域內(nèi)繞的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線。解析,內(nèi)在此圓環(huán)域中展開為則

一定能其中，證明(略)zC

P75定理

4.12

(進(jìn)入證明?)第61頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四說明:函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式在圓環(huán)域內(nèi)的羅朗(Laurent)級(jí)數(shù).第62頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四注(1)展開式中的系數(shù)可以用下面得方法直接給出。二、羅朗(Laurent)定理R2zz0R1CD第63頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四注(2)羅朗級(jí)數(shù)中的正冪次項(xiàng)和負(fù)冪次項(xiàng)分別稱為羅朗級(jí)數(shù)二、羅朗(Laurent)定理的解析部分和主要部分。(3)一個(gè)在某圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正負(fù)冪次項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的。(4)系數(shù)?(5)若函數(shù)在圓環(huán)內(nèi)解析，則在在此圓環(huán)內(nèi)的羅朗展開式就是泰勒展開式。第64頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四三、將函數(shù)展開為羅朗級(jí)數(shù)的方法1.直接展開法

根據(jù)羅朗定理，在指定的解析環(huán)上R2zz0R1CD直接計(jì)算展開系數(shù)：

有點(diǎn)繁！有點(diǎn)煩！第65頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四三、將函數(shù)展開為羅朗級(jí)數(shù)的方法根據(jù)唯一性，利用一些已知的展開式，通過有理運(yùn)算、代換運(yùn)算、逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積等方法展開。兩個(gè)重要的已知展開式2.間接展開法第66頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四三、將函數(shù)展開為羅朗級(jí)數(shù)的方法都需要根據(jù)函數(shù)的奇點(diǎn)位置，將復(fù)平面(或者題目指定無論是直接展開法還是間接展開法，在求展開式之前，注意的展開區(qū)域

)分為若干個(gè)解析環(huán)。比如設(shè)函數(shù)的奇點(diǎn)為展開點(diǎn)為則復(fù)平面被分為四個(gè)解析環(huán)：r1r2r3第67頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四12函數(shù)有兩個(gè)奇點(diǎn)：以展開點(diǎn)為中心，將復(fù)平面分為三個(gè)解析環(huán)：解(1)將復(fù)平面分為若干個(gè)解析環(huán)①②③(2)將函數(shù)進(jìn)行部分分式分解第68頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四解①當(dāng)時(shí)，(3)將函數(shù)在每個(gè)解析環(huán)內(nèi)分別展開12第69頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四解②當(dāng)時(shí)，(3)將函數(shù)在每個(gè)解析環(huán)內(nèi)分別展開12第70頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四解③當(dāng)時(shí)，(3)將函數(shù)在每個(gè)解析環(huán)內(nèi)分別展開12第71頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四函數(shù)有兩個(gè)奇點(diǎn)：以展開點(diǎn)為中心，解(1)將復(fù)平面分為若干個(gè)解析環(huán)注意：不需要將函數(shù)進(jìn)行部分分式分解。①②將復(fù)平面分為兩個(gè)解析環(huán)：12第72頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四解①當(dāng)時(shí)，(2)將函數(shù)在每個(gè)解析環(huán)內(nèi)分別展開12第73頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四解②當(dāng)時(shí)，(2)將函數(shù)在每個(gè)解析環(huán)內(nèi)分別展開12第74頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四(2)對(duì)于有理函數(shù)的洛朗展開式，首先把有理函數(shù)分解成多項(xiàng)式與若干個(gè)最簡(jiǎn)分式之和，然后利用已知的幾何級(jí)數(shù)，經(jīng)計(jì)算展成需要的形式。小結(jié)：把f(z)展成洛朗(Laurent)級(jí)數(shù)的方法：第75頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四

根據(jù)區(qū)域判別級(jí)數(shù)方式：在圓域內(nèi)需要把f(z)展成泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)，在環(huán)域內(nèi)需要把f(z)展成洛朗(Laurent)級(jí)數(shù)。第76頁，共87頁，2023年，2月20日，星期四內(nèi)展開成Laurent級(jí)數(shù).練習(xí)

將函數(shù)在圓環(huán)域處都解析,并且可分解為函數(shù)f(z)在z=1和z=2處不解析,在其它點(diǎn)第77頁，共