2023年中考數(shù)學(xué)試卷分類匯編47 壓軸題

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（黃岡市2023）24．（14分）如下圖，過點(diǎn)F（0，1）的直線y=kx＋b與拋物線y?交于M（x1，y1）和N（x2，y2）兩點(diǎn)（其中x1＜0，x2＜0）．

⑴求b的值．⑵求x1?x2的值

⑶分別過M、N作直線l：y=－1的垂線，垂足分別是M1、N1，判斷△M1FN1的形狀，并證明你的結(jié)論．

⑷對于過點(diǎn)F的任意直線MN，是否存在一條定直線m，使m與以MN為直徑的圓相切．假使有，請法度出這條直線m的解析式；假使沒有，請說明理由．

12x4yFMOlM1F1第22題圖

N

xN1?y?kx?1?x?x1?x?x2答案：24．解：⑴b=1⑵顯然?和?是方程組??12的兩組

y?x?y?y1?y?y2??4解，解方程組消元得x2?kx?1?0，依據(jù)“根與系數(shù)關(guān)系〞得x1?x2=－4

⑶△M1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下：

由題知M1的橫坐標(biāo)為x1，N1的橫坐標(biāo)為x2，設(shè)M1N1交y軸于F1，則F1M1?F1N1=－x1?x2=4，而FF1=2，所以F1M1?F1N1=F1F2，另有∠M1F1F=∠FF1N1=90°，易證Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1，得∠M1FF1=∠FN1F1，故∠M1FN1=∠M1FF1＋∠F1FN1=∠FN1F1＋∠F1FN1=90°，所以△M1FN1是直角三角形．

⑷存在，該直線為y=－1．理由如下：

14y直線y=－1即為直線M1N1．如圖，設(shè)N點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則

lFPMOM1F1Q第22題解答用圖

NxN1

（黃石市2023年）24.（本小題總分值9分）已知⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)O1在⊙O2上，C為⊙O2上一點(diǎn)（不與A，B，O1重合），直線CB與⊙O1交于另一點(diǎn)D。（1）如圖（8），若AC是⊙O2的直徑，求證：AC?CD；（2）如圖(9)，若C是⊙O1外一點(diǎn)，求證：OC1?AD；

（3）如圖（10），若C是⊙O1內(nèi)一點(diǎn)，判斷（2）中的結(jié)論是否成立。

答案：24．（9分）證明：（1）如圖（一），連接AB，CO1

∵AC為⊙O2的直徑∴DB?AB∴AD為⊙O1的直徑∴O1在AD上又CO1?AD，O1為AD的中點(diǎn)

∴△ACD是以AD為底邊的等腰三角形

∴AC?CD············································································（3分）（2）如圖（二），連接AO1，并延長AO1交⊙O1與點(diǎn)E，連ED

∵四邊形AEDB內(nèi)接于⊙O1∴?ABC??E又∵?AC??AC∴?E??AOC1∴CO1//ED

又AE為⊙O1的直徑∴ED?AD

∴CO·········································································（3分）1?AD·（3）如圖（三），連接AO1，并延長AO1交⊙O1與點(diǎn)E，連ED

∵?B??EOCE??B1又?∴?EOC1??E

∴CO1//ED又ED?AD

∴CO·········································································（3分）1?AD·

（黃石市2023年）25.（本小題總分值10分）已知二次函數(shù)y?x2?2mx?4m?8

（1）當(dāng)x?2時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，求m的取值范圍。

（2）以拋物線y?x2?2mx?4m?8的頂點(diǎn)A為一個頂點(diǎn)作該拋物線的內(nèi)接正三角形

，請問：△AMN的面積是與m無關(guān)的定值嗎？AMN（M，N兩點(diǎn)在拋物線上）

若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由。

（3）若拋物線y?x2?2mx?4m?8與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，求整數(shù)m的值。

y0xA

答案：25．（10分）解：（1）∵y?(x?m)2?4m?8?m2

∴由題意得，m?2································································（3分）（2）根據(jù)拋物線和正三角形的對稱性，可知MN?y軸，設(shè)拋物線的對

稱軸與MN交于點(diǎn)B，則AB?∴BM3BM。設(shè)M(a,b)

?a?m(m?a)

又AB?yB?yA?b?(4m?8?m2)

?a2?2ma?4m?8?(4m?8?m2)

?a2?2ma?m2?(a?m)22

∴(a?m)∴BM?3(a?m)∴a?m?3

?3，AB?3

11?AB?2BM??3?2?3?33定值············（3分）22y∴S?AMN

BMN0Ax（3）令y?0，即x2?2mx?4m?8?0時，有

2m?2m2?4m?8x??m?(m?2)2?42由題意，(m?2)2?4為完全平方數(shù)，令(m?2)2?4?n2即(n?m?2)(n?m?2)?4

∵m,n為整數(shù)，∴n?m?2,n?m?2的奇偶性一致

?n?m?2?2?n?m?2??2∴?或?

n?m?2?2n?m?2??2??解得??m?2?m?2或?

?n?2?n??2綜合得m?2

（2023年廣東茂名市）如圖，⊙P與y軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0），與x軸相交于點(diǎn)A

（5，0），過點(diǎn)A的直線AB與y軸的正半軸交于點(diǎn)B，與⊙P交于點(diǎn)C．

（1）已知AC=3，求點(diǎn)Ｂ的坐標(biāo)；（４分）

（2）若AC=a,D是OＢ的中點(diǎn)．問：點(diǎn)O、P、C、D四點(diǎn)是

否在同一圓上？請說明理由．假使這四點(diǎn)在同一圓上，記

這個圓的圓心為O1，函數(shù)y?y

k的圖象經(jīng)過點(diǎn)O1，求k的x第24題圖

χ

值（用含a的代數(shù)式表示）．（４分）

解：六、（本大題共2小題，每題8分，共16分）24、解：（1）解法一：連接OC，∵OA是⊙P的直徑，∴OC⊥AB，在Rt△AOC中，OC?OA?AC?25?9?4，1分在Rt△AOC和Rt△ABO中，∵∠CAO=∠OAB∴Rt△AOC∽Rt△ABO，22222222222222222222222222222分∴

22y

χ

第24題備用圖

35ACAO?，即?，222222222222222222223分

4OBCOOB2023∴OB?，∴B(0,)222222222222222222224分

33解法二：連接OC，由于OA是⊙P的直徑，∴∠ACO=90°

在Rt△AOC中，AO=5，AC=3，∴OC=4，2222222222221分

11?OA?CE??CA?OC，221211即：?5?CE??3?4，∴CE?，22222222222222222222222222分

522過C作CE⊥OA于點(diǎn)E，則：

12161612OC2?CE2?42?()2?∴C(,)，2222222223分

5555設(shè)經(jīng)過A、C兩點(diǎn)的直線解析式為：y?kx?b．

1612把點(diǎn)A（5，0）、C(,)代入上式得：

554?k???5k?b?0???3，

，解得：?1612?20k?b???b?5?5?3?20420∴y??x?，∴點(diǎn)B(O,)．24分

333∴OE?（2）點(diǎn)O、P、C、D四點(diǎn)在同一個圓上，理由如下：

連接CP、CD、DP，∵OC⊥AB，D為OB上的中點(diǎn)，∴

1CD?OB?OD，

2∴∠3=∠4，又∵OP=CP，∴∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，∴PC⊥CD，又∵DO⊥OP，∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD為斜邊的直角三角形，∴PD上的中點(diǎn)到點(diǎn)O、P、C、D四點(diǎn)的距離相等，

∴點(diǎn)O、P、C、D在以DP為直徑的同一個圓上；222222222222222226分由上可知，經(jīng)過點(diǎn)O、P、C、D的圓心O1是DP的中點(diǎn)，圓心O1(由（1）知：Rt△AOC∽Rt△ABO，∴

OPOD,)，2225ACOA?，求得：AB=，在Rt△ABO中，

aOAAB525?a21525?a2OA522?OB?AB?OA?，OD=OB?，OP?22a22a5525?a2k)，點(diǎn)O1在函數(shù)y?的圖象上，∴O1(,x44a525?a24k2525?a2?，∴k?∴．22222222222222228分

4a516a

（2023年廣東茂名市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)Ａ(0，4)，

B(1，0)，C（5，0），拋物線對稱軸l與x軸相交于點(diǎn)M．

（1）求拋物線的解析式和對稱軸；（3分）（2）設(shè)點(diǎn)P為拋物線（x?5）上的一點(diǎn)，若以A、O、M、

P為頂點(diǎn)的四邊形四條邊的長度為四個連續(xù)的正整數(shù)，請你直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2．．．．分）

（3）連接AC．摸索：在直線AC下方的拋物線上是否存在

一點(diǎn)N，使△NAC的面積最大？若存在，請你求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請你說明理由．（3分）解：

第25題圖

25、解：（1）根據(jù)已知條件可設(shè)拋物線的解析式為y?a(x?1)(x?5)，2222222222221分

4，544224416x?4?(x?3)2?，∴y?(x?1)(x?5)?x?222222222222分

55555∴拋物線的對稱軸是：x?3．222222222222222222222222222222222222223分

把點(diǎn)A（0，4）代入上式得：a?（2）由已知，可求得P（6，4）．222222222222222222222222222222222225分

提醒：由題意可知以A、O、M、P為頂點(diǎn)的四邊形有兩條邊AO=4、OM=3，又知點(diǎn)P的坐標(biāo)中x?5，所以，MP>2,AP>2；因此以1、2、3、4為邊或以2、3、4、5為邊都不符合題意，所以四條邊的長只能是3、4、5、6的一種狀況，在Rt△AOM中，

由于拋物線對稱軸AM?OA2?OM2?42?32?5，

過點(diǎn)M，所以在拋物線x?5的圖象上有關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)

與M的距離為5，即PM=5，此時點(diǎn)P橫坐標(biāo)為6，即AP=6；故以A、O、M、P為頂點(diǎn)的四邊形的四條邊長度分別是四個連續(xù)的正整數(shù)3、4、5、6成立，即P（6，4）．222222222222222222222222222222222225分（注：假使考生直接寫出答案P（６，４），給總分值2分，但

考生答案錯誤，解答過程分析合理可酌情給1分）

⑶法一：在直線AC的下方的拋物線上存在點(diǎn)N，使△NAC面積最大．設(shè)N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，此時點(diǎn)N(t,4224t?t?4)55（0?t?5)，過點(diǎn)N作NG∥y軸交AC于G；由點(diǎn)A（0，4）和點(diǎn)C（5，0）可求出直線AC的解析式為：

44y??x?4；把x?t代入得：y??t?4，則

554G(t,?t?4)，

544224t?4）此時：NG=?t?4-（t?，

5554220t．2=?t?2222222222222222222222222222222222222７分

55114220525t)?5??2t2?10t??2(t?)2?∴S?ACN?NG?OC?(?t?225522525?時，△CAN面積的最大值為，

22554224t?4??3，∴N（，-3）由t?，得：y?t?．222222228分

2255法二：提醒：過點(diǎn)N作x軸的平行線交y軸于點(diǎn)E，作CF⊥EN于點(diǎn)F，則

∴當(dāng)tS?ANC?S梯形AEFC?S?AEN?S?NFC

（再設(shè)出點(diǎn)N的坐標(biāo)，同樣可求,余下過程略）

（重慶市潼南縣2023年）26.（12分）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角

形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，

OC=4，拋物線y?x2?bx?c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D．

（1）求b,c的值；

（2）點(diǎn)E是直角三角形ABC斜邊AB上一動點(diǎn)(點(diǎn)A、B除外)，過點(diǎn)E作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段EF的長度最大時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下：①求以點(diǎn)Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ為頂點(diǎn)的四邊形的面積；②在拋物線

上

是否存在一點(diǎn)P，使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

yyBB

ACOAxCOxDD26題圖26題備用圖26.解：（1）由已知得：A（-1，0）B（4，5）1分

∵二次函數(shù)y?x2?bx?c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）B(4,5)∴??1?b?c?02分

16?4b?c?5?解得：b=-2c=-33分

（2如２６題圖：∵直線AB經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）B(4,5)

∴直線AB的解析式為：y=x+1∵二次函數(shù)y?x2?2x?3∴設(shè)點(diǎn)E(t，t+1),則F（t，t2

?2t?3）4分

∴EF=(t?1)?(t2?2t?3)5分=?(t?∴當(dāng)t3225)?24325?時，EF的最大值=2435∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）6分

22（3）①如２６題圖：順次連接點(diǎn)E、B、F、D得四邊形ＥＢＦＤ．

可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)（

315，?）,點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-4）24S四邊行EBFD=S?BEF+S?DEF

12531253?(4?)??(?1)24224275=9分

8=

②如２６題備用圖：ⅰ)過點(diǎn)E作a⊥EF交拋物線于點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P(m,m則有：m2２６題備用圖

2?2m?3)

52－262?26?2m?3?解得:m1?,m2?

222∴

p1(2－2652?265,),p2(,)22222ⅱ）過點(diǎn)F作b⊥EF交拋物線于P3，設(shè)P3（n，n則有：n2?2n?3）

?2n?3??154解得：n1?13，n2?（與點(diǎn)F重合，舍去）∴22115（，－）P324綜上所述：所有點(diǎn)P的坐標(biāo)：

p1(1152－2652?265（，－）（.,)，p2(,)P3242222能使△EFP組成以EF為直角邊的直角三角

形．12分

（XX省宿遷市2023年）26．（此題總分值10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐

標(biāo)原點(diǎn)，P是反比例函數(shù)y＝

6（x＞0）圖象上的任意一點(diǎn)，以P為圓心，PO為半徑的圓x與x、y軸分別交于點(diǎn)A、B．

（1）判斷P是否在線段AB上，并說明理由；（2）求△AOB的面積；（3）Q是反比例函數(shù)y＝

6y（x＞0）圖象上異于點(diǎn)P的另一點(diǎn)，請以Q為圓心，QOx半徑畫圓與x、y軸分別交于點(diǎn)M、N，連接AN、MB．求證：AN∥MB．B解：（1）點(diǎn)P在線段AB上，理由如下：∵點(diǎn)O在⊙P上，且∠AOB＝90°

O∴AB是⊙P的直徑

∴點(diǎn)P在線段AB上．

（2）過點(diǎn)P作PP1⊥x軸，PP2⊥y軸，由題意可知PP1、PP2

是△AOB的中位線，故S△AOB＝∵P是反比例函數(shù)y＝

PQA11OA3OB＝32PP13PP222（第26題）6（x＞0）圖象上的任意一點(diǎn)x11∴S△AOB＝OA3OB＝32PP132PP2＝2PP13PP2＝12．

22（3）如圖，連接MN，則MN過點(diǎn)Q，且S△MON＝S△AOB＝12．∴OA2OB＝OM2ON

∴

yOAON

?OMOBB∵∠AON＝∠MOB∴△AON∽△MOB∴∠OAN＝∠OMB∴AN∥MB．

NPQOAMx（XX省宿遷市2023年）27．（此題總分值12分）如圖，在邊長

為2的正方形ABCD中，P為AB的中點(diǎn)，Q為邊CD上一動點(diǎn)，設(shè)DQ＝t（0≤t≤2），線段PQ的垂直平分線分別交邊AD、BC于點(diǎn)M、N，過Q作QE⊥AB于點(diǎn)E，過M作MF⊥BC于點(diǎn)F．

（1）當(dāng)t≠1時，求證：△PEQ≌△NFM；

（2）順次連接P、M、Q、N，設(shè)四邊形PMQN的面積為S，求出S與自變量t之間的

函數(shù)關(guān)系式，并求S的最小值．

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形

QD∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB

∵QE⊥AB，MF⊥BC∴∠AEQ＝∠MFB＝90°

∴四邊形ABFM、AEQD都是矩形

M∴MF＝AB，QE＝AD，MF⊥QE又∵PQ⊥MN

AEP∴∠EQP＝∠FMN

又∵∠QEP＝∠MFN＝90°（第27題）

CNFB

∴△PEQ≌△NFM．

（2）∵點(diǎn)P是邊AB的中點(diǎn)，AB＝2，DQ＝AE＝t

∴PA＝1，PE＝1－t，QE＝2

由勾股定理，得PQ＝QE2?PE2＝(1?t)2?4∵△PEQ≌△NFM∴MN＝PQ＝(1?t)2?4又∵PQ⊥MN∴S＝

51211PQ?MN＝(1?t)2?4＝t－t＋

2222??∵0≤t≤2

∴當(dāng)t＝1時，S最小值＝2．綜上：S＝

512

t－t＋，S的最小值為2．22

（XX省宿遷市2023年）28．（此題總分值12分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，

AB＝1，BC＝

1，以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑的弧交CA于點(diǎn)D；以點(diǎn)A為圓心，AD2為半徑的弧交AB于點(diǎn)E．（1）求AE的長度；

（2）分別以點(diǎn)A、E為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F（F與C在AB兩側(cè)），連接AF、EF，設(shè)EF交弧DE所在的圓于點(diǎn)G，連接AG，試猜想∠EAG的大小，并說明理由．解：（1）在Rt△ABC中，由AB＝1，BC＝∵BC＝CD，AE＝AD

∴AE＝AC－AD＝

115

得AC＝12?()2＝222FG5?1．

2AED（2）∠EAG＝36°，理由如下：∵FA＝F