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第第#頁（共21頁）（叫解:由（口）知,當nN6時，即3n+4n+…+（n+2）n<（n+3）n.即當nN6時,不存在滿足該等式的正整數n.故只需要討論n=1,2,3,4,5的情形：當n=1時,3W4,等式不成立；當n=2時，32+42=52，等式成立；當n=3時,33+43+53=63，等式成立；當n=4時,34+44+54+64為偶數，而74為奇數，故34+44+54+64W74,等式不成立；當n=5時洞n=4的情形可分析出,等式不成立.綜上，所求的n只有n=2,3.解法2：（工）證:當x=0或m=1時，原不等式中等號顯然成立，下用數學歸納法證明：當x>-l，且xW0時,m三2,（1+x）m>l+mx.①（i）當m=2時，左邊=1+2x+x2，右邊=l+2x,因為xW0,所以x2>0,即左邊>右邊，不等式①成立；（ii）假設當m=k（kN2）時,不等式①成立，即（1+x）k>1+kx，則當m=k+1時，因為x>-1,所以1+x>0.又因為xW0,kN2，所以kx2>0.于是在不等式（1+x）k>1+kx兩邊同乘以1+x得（1+x）k?（1+x）>（1+kx）（1+x）=1+（k+l）x+kx2>1+（k+1）x，所以（1+x）k+1>1+（k+1）x.即當m=k+1時，不等式①也成立.綜上所述，所證不等式成立.（口）證：當nN6,mWn時，：（1-士）n<y,—去「7產而由（工），a-丸>i-』>0，n+J 口+3（?。┙猓杭僭O存在正整數比三6使等式3%+4n4…十（門口十2）/二［門口十3）%成立,又由（口）可得n,…十/n|-|+.3 門口+口 四-|十二’
故當nN6時，不存在滿足該等式的正整數n.下同解法1．【點評】本小題主要考查數學歸納法、數列求和、
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