用二分法求方程的近似解教學(xué)設(shè)計

用二分法求方程的近似解一教學(xué)設(shè)計一教材背景本節(jié)課內(nèi)容是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)》人教A版必修1第三章《函數(shù)的應(yīng)用》3.1《函數(shù)與方程》中第3.1.2節(jié)《用二分法求方程的近似解》，屬于本小節(jié)的第三課時。第一課時我們學(xué)習(xí)了“方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系”，第二課時學(xué)習(xí)了“函數(shù)零點的存在性”，學(xué)生通過前面兩節(jié)的學(xué)習(xí)，對方程的根的存在性以及函數(shù)零點和方程的根的關(guān)系有了一定的認(rèn)識。掌握了基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)并具有了一定的數(shù)形結(jié)合的思想，這為理解函數(shù)零點附近的函數(shù)值符號提供了直觀認(rèn)識，在此基礎(chǔ)上介紹用二分法求函數(shù)零點近似值，也就水到渠成。二分法是求方程近似解的常用方法，在尋求方程近似解的過程中首先將方程解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題處理，體現(xiàn)了函數(shù)的思想以及函數(shù)與方程的聯(lián)系。然后借助函數(shù)的圖象先初步確定函數(shù)零點所在的區(qū)間，再通過不斷地把零點所在區(qū)間一分為二逐步縮小區(qū)間的范圍，使區(qū)間的兩端點逐步逼近函數(shù)的零點，進而得到零點的近似值。這一過程為高中數(shù)學(xué)中函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、二分法的算法思想打下了基礎(chǔ)，為數(shù)學(xué)必修3中算法內(nèi)容的學(xué)習(xí)做了鋪墊。二分法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的逼近思想，對學(xué)生以后學(xué)習(xí)圓周的計算，球的面積體積公式的由來、等微積分的知識起了奠基的作用。因此決定了它的重要地位。二內(nèi)容分析二分法的理論依據(jù)是“函數(shù)零點的存在性（定理）”，本節(jié)課是上節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容《方程的根與函數(shù)零點》的自然延伸，二分法雖然是刻板的、機械的，有時還需要進行大量的重復(fù)計算，但是它包含了深刻的思想方法，對學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)還是非常有用的，在教學(xué)中要讓學(xué)生感受到整體到局部，從特殊到一般，定性到定量，精確到近似，計算到技術(shù)，技法到算法這些數(shù)學(xué)思想的發(fā)展過程。在二分法的教學(xué)中，方法的建構(gòu)，技術(shù)的運用、算法的滲透，以及它們的同步發(fā)展過程，是這節(jié)課的隱形教學(xué)目標(biāo)。在教學(xué)中它體現(xiàn)出一種螺旋式的上升：第一個階段是從數(shù)到形，是為了更好的說明二分法的理論依據(jù)（根的存在性）；第二個是從形再到數(shù)，其中的形是包括從圖像到數(shù)軸，再從數(shù)軸到表格，在這樣的過程中，形的特征不斷被深化，最后抽象成了以數(shù)為主體的一個算法流程，因此，整個二分法的教學(xué)流程要體現(xiàn)在這樣一個框架中，它是一個代數(shù)的問題，第一次轉(zhuǎn)化是從代數(shù)到幾何直觀，第二次轉(zhuǎn)化就是從整體到局部，去研究函數(shù)零點區(qū)間。三學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了方程的根與函數(shù)零點，理解了函數(shù)圖象與方程的根之間的關(guān)系，并且已經(jīng)具有一定的數(shù)形結(jié)合思想，這為理解函數(shù)零點附近的函數(shù)值符號提供了直觀認(rèn)識，在此基礎(chǔ)上再介紹求函數(shù)零點近似值的二分法比較自然。在用二分法教學(xué)時，以學(xué)生關(guān)心的“方程的解究竟是什么”這個問題為線索，通過“學(xué)生質(zhì)疑一啟發(fā)導(dǎo)疑一合作解疑”的過程實施教學(xué)，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中也許會提出不同意見，比如“為何要二分，四分法或黃金分法行不行”，“近似解近似到何種程度”“怎樣表示近似解”，在教學(xué)中教師對于上述問題要做好預(yù)案，明確“為何二分、怎樣逼近、如何終止、怎樣表示近似解”幾個問題。同時給學(xué)生提供充分的實踐動手的機會。由于用二分法求方程的近似解是一個繁瑣復(fù)雜的計算過程，學(xué)生在求解時會遇到許多困難，所以本節(jié)課借助多媒體、幾何畫板、計算器等信息技術(shù)手段，引導(dǎo)學(xué)生觀察、計算、思考，理解問題的本質(zhì)從而領(lǐng)悟估算和二分的思想，提高數(shù)形結(jié)合的能力，同時在課程的最后啟發(fā)學(xué)生可以將此繁雜的計算過程通過編程來完成，為后面算法的學(xué)習(xí)做好鋪墊。四教法分析“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的心臟。問題教學(xué)，是適應(yīng)新課改要求的一種數(shù)學(xué)教學(xué)方法，是在課堂教學(xué)條件下，創(chuàng)設(shè)問題情境，由教師與學(xué)生一起發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，在教師的主導(dǎo)下，分析問題、解決問題。本節(jié)課以學(xué)生為中心，以問題為載體，采用啟發(fā)、引導(dǎo)、探究相結(jié)合的教學(xué)方法通過“創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)探究欲望一一合作討論，引導(dǎo)探究方法一一規(guī)范格式，歸納探究成果一一鞏固練習(xí)，拓展探究成果一一歸納總結(jié)，體會探究價值”幾個環(huán)節(jié)來完成。課堂中注重創(chuàng)設(shè)師生互動、生生互動的和諧氛圍，通過學(xué)生動手實踐、動腦思考等方法探究數(shù)學(xué)知識獲取直接經(jīng)驗，進而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和應(yīng)用意識等.根據(jù)本節(jié)課教材內(nèi)容的特點，為了更直觀形象地突出重點，突破難點、調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，以“幾何畫板”軟件為平臺，繪制函數(shù)圖象，變抽象為直觀，體會數(shù)形結(jié)合思想；同時輔之以計算器或計算機強大的計算功能，為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持。五教學(xué)目標(biāo).通過具體實例理解二分法的概念及其適用條件，能借助計算器信息技術(shù)工具運用二分法求方程的近似解；并能夠根據(jù)這樣的過程進行實際問題的解決。.通過學(xué)生的自主探究，初步了解逼近思想、強化函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)學(xué)生探究問題的能力、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和創(chuàng)新能力。.通過具體實例的探究，歸納概括所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論或規(guī)律，體會從特殊到一般的認(rèn)知過程。.通過創(chuàng)設(shè)情境調(diào)動學(xué)生參與課堂的熱情，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感。并在二分法步驟的探索、發(fā)現(xiàn)過程中，獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。教學(xué)重點：二分法原理及其探究過程，用二分法求方程的近似解.教學(xué)難點：二分法原理的探究，對精確度、近似值的理解。學(xué)習(xí)準(zhǔn)備教師需要明了：.新教材為什么增加求方程的近似解？.為什么用“二分法”求方程的近似解？.本節(jié)內(nèi)容在教材中的地位和作用..明確學(xué)生現(xiàn)有的水平和可能的發(fā)展水平.學(xué)生需要復(fù)習(xí)：方程的根與函數(shù)的零點的相關(guān)知識.教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)探究欲望上一節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系，這一節(jié)課我們還是從方程開始，下面我們來看一個問題。（提出問題1）問題1你會求下列方程的根嗎？2x—1=0x5+3x-1=02x+3x=7lnx+2x—6=0(設(shè)計意圖：從學(xué)生熟悉的方程入手，引出求方程根的話題，引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，激起進一步探究的欲望)(插入數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)史)師：數(shù)學(xué)上，由古至今解方程是一個很重要的內(nèi)容，它既有理論意義又有應(yīng)用價值。但事實上，能夠?qū)⒕_解求出來的方程不是很多，五次以上代數(shù)方程、一般的超越方程(如指數(shù)方程，對數(shù)方程)以及從生活和物理研究中得出的方程，一般來說求精確解是不可能的，只能尋求它的有理近似解。尋求有理近似解的方法也是一個在計算數(shù)學(xué)中十分重要的課題.(新教材為什么增加求方程的近似解)問題2如何求出高次代數(shù)方程和超越方程的近似解呢？(給學(xué)生指出進一步的探究的方向)比如如何求解問題1(3)(4)(5)這樣的方程師引導(dǎo)：問題1的后三個題不能用公式求根，需要轉(zhuǎn)化，如何轉(zhuǎn)化？方程的根與什么有關(guān)呢？(聯(lián)系方程的根與函數(shù)的零點之間的關(guān)系，能否利用函數(shù)的有關(guān)知識來求它的根呢？)(回歸教材:方程f(x)=0有實數(shù)根=函數(shù)丁=f(x)有零點=函數(shù)丁=f(x)的圖像與x軸有交點)。由此可知：求方程f(x)=0的根就是確定函數(shù)y=f(x)的零點，利用函數(shù)性質(zhì)找出零點，進而求出方程的根。求方程lnx+2x—6=0的根o求函數(shù)y=lnx+2x—6零點(二)合作討論，引導(dǎo)探究新知問題3由上一節(jié)課我們知道，函數(shù)y=lnx+2x—6在區(qū)間(2,3)上是增函數(shù)，又f(2)?f(3)<0,所以函數(shù)y=lnx+2x—6區(qū)間(2,3)內(nèi)有唯一零點，問題是如何找出這個零點？(給學(xué)生思考時間，看學(xué)生回答情況，可以繼續(xù)向二分法方向引導(dǎo))問題4同學(xué)們觀看視頻中央電視臺購物街欄目----猜價格游戲。同時思考：(1)主持人給出高了還是低了的提示有什么作用？(不斷縮小范圍，逼近正確價格)(2)如何猜才能最快猜出商品的價格？(每次取中點，將范圍縮小一半)(設(shè)計意圖：在學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)置問題，搭建平臺，拉近數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的距離，不僅激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生也在猜測的過程中逐步體會二分法思想.同時體會二分法優(yōu)于其他如“三分法”，“四分法”，華羅庚的“優(yōu)選法”等)問題5該問題和“猜價格游戲”有什么共同點？可否采用相似的方法求解？請同學(xué)們小組討論給出一個合理的、可行的、完整的求零點近似值的方案。問題6運用計算機中Excel表格編制運算程序，與學(xué)生一起體會用二分法求函數(shù)零點的步驟，就是經(jīng)過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間一分為二，使得區(qū)間內(nèi)的值逐步逼近零點，既然這樣零點的近似值到底是多少呢？（同學(xué)們會發(fā)現(xiàn)，區(qū)間還可以繼續(xù)縮小下去，不知道到底縮小到什么時候才可以結(jié)束）（設(shè)計意圖：利用計算器進行了多次計算，逐步縮小實數(shù)解所在范圍，精確度的確定就顯得非常自然，突破了教學(xué)上的難點，提高了探究活動的有效性.）精確度的概念：精確度實際上指精確值與近似值差的絕對值誤差范圍。我們給定精確度,，它的作用是只要區(qū)間Q,b）滿足|〃-b\<8，就達到精確要求。我們給定此題的精確度為0.01,同學(xué)們看看區(qū)間長度是否符合要求。問題7：區(qū)間滿足要求，那零點的近似解到底是多少？這個區(qū)間的所有值是否都是滿足精確度8的近似值？（教參有解釋）（難點突破，依賴于精確度的概念）為方便，這里統(tǒng)一取區(qū)間端點〃（或b）作為函數(shù)零點的近似值由此我們可以將％=2.53125作為函數(shù)y=lnx+2x-6零點的近似值，也即方程lnx+2x—6=0的根的近似值。次數(shù)零點所在區(qū)間區(qū)間中點的值中點函數(shù)近似值區(qū)間長度1(2,3)2.5-0.08412(2.5,3)2.750.5120.53(2.5,2.75)2.6250.2150.254(2.5,2.625)2.56250.0660.1255(2.5,2.5625)2.53125-0.0090.06256(2.53125,2.5625)2.5468750.0290.031257(2.53125,2.546875)2.53906250.0100.0156258(2.53125,2.5390625)2.535156250.0010.0078（三）規(guī)范格式，歸納探究成果問題8回顧以上解題過程，你能概括求近似解的方法嗎？（設(shè)計意圖：通過具體實例的探究，歸納概括所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論或規(guī)律，體會從特殊到一般的認(rèn)知過程。）師：給出二分法規(guī)范的定義表述：二分法：對于在區(qū)間L,b］上連續(xù)不斷，且滿足f（a）?f（b）<0的函數(shù)y=f（x），通過不斷地把函數(shù)y=f（x）的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.問題9用二分法求零點的條件是什么？二分法的理論依據(jù)是什么？課堂練習(xí)1：下列函數(shù)圖像與x軸均有交點，其中不能用二分法求圖中交點橫坐標(biāo)的是（）(設(shè)計意圖:讓學(xué)生辨析什么情形下不宜用二分法求函數(shù)零點，辨析的過程也是學(xué)生認(rèn)知完善的過程)給定精確度￡，用二分法求函數(shù)f(%)的零點近似值的步驟如下：.利用圖像法和特值驗證法尋找確定近似解確定的區(qū)間[〃/1驗證f(a)?f(b)<0,給定精確度￡；.求區(qū)間(a,b)的中點c；.計算f(c)；若f(c)=0，則c就是函數(shù)的零點；若f(a)?f(c)<0，則令b=c(此時零點％式a,c))；若f(c)?f(b)<0，則令a=c(此時零點%0e(c,b)).判斷是否達到精確度￡：即若|a-b|<￡,則得到零點近似值a(或b)；否則重復(fù)2?4。記憶口訣：定區(qū)間，找中點，中值計算兩邊看。同號去，異號算，零點落在異號間。周而復(fù)始怎么辦？精確度上來判斷。師：(1)二分法是求方程近似解的一種常用方法，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)而科學(xué)的體現(xiàn)；(2)用二分法求方程近似解的步驟讓我們感受到程序化的思想，即算法思想；(3)二分法滲透了無限逼近的思想，即極限思想，用二分法求方程的近似解，實質(zhì)上就是通過“取中點”的方法，運用逼近思想逐步縮小零點所在的區(qū)間。(數(shù)學(xué)思想方法)課堂練習(xí)2：用二分法求方程2%+3%=7的近似解。(四)當(dāng)堂檢測：TOC\o"1-5"\h\z1用“二分法”可求近似解，對于精確度2說法正確的是 ()A.2越大，零點的精確度越高 B.2越大，零點的精確度越低C.重復(fù)計算次數(shù)就是2 D.重復(fù)計算次數(shù)與2無關(guān)2在用二分法求函數(shù)fx)零點近似值時，第一次取的區(qū)間是[—2,4],則第三次所取的區(qū)間可能是 ()A.[1,4] B.[—2,1] C.[—2,2.5]D.[—0.5,1]3下列關(guān)于函數(shù)y=fx),x￡[a,b]的敘述中，正確的個數(shù)為 ()①若％0引a,b]且滿足f(%0)=0,則(%00)是f(%)的一個零點；②若飛是f（x）在［a,b］上的零點，則可用二分法求x0的近似值；③函數(shù)fx）的零點是方程f（x）=0的根，但fx）=0的根不一定是函數(shù)fx）的零點；④用二分法求方程的根時，得到的都是近似值.A.0 B.1 C.3 D.4（五）歸納總結(jié)，體會探究價值由學(xué)生和教師共同總結(jié)本節(jié)課所學(xué)到的知識.教師活動：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，談?wù)勀阌泻问斋@與體會？學(xué)生活動：經(jīng)過思索后可能生成以下預(yù)案：.二分法的定義：一分為二逐步逼近.二分法求方程的近似解的步驟，用算法框圖展示（計算機（器）的使用，讓我們感受到程序化的方法即算法的價值。）.二分法的應(yīng)用二分法不僅可用來求方程的近似解以及函數(shù)的零點,還可以用來查找線路、水管、氣管，還能用于實驗設(shè)計、資料查詢等，做到在最短的時間內(nèi)用最小的精力去解決問題.數(shù)學(xué)思想方法總結(jié)：數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想，逼近的數(shù)學(xué)思想，非此即彼的思想，從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，算法思想（設(shè)計意圖）通過總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)交流和表達的能力，養(yǎng)成及時總結(jié)的良好習(xí)慣，并將所學(xué)知識納