2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題及答案（二）

本文格式為Word版，下載可任意編輯——2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題及答案（二）2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題匯編（二）

31．（12分）（2023?宜昌）如圖1，B（2m，0），C（3m，0）是平面直角坐標(biāo)系中兩點，其中m為常數(shù)，且m＞0，E（0，n）為y軸上一動點，以BC為邊在x軸上方作矩形ABCD，使AB=2BC，畫射線OA，把△ADC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△A′D′C′，連接ED′，拋物線y=ax+bx+n（a≠0）過E，A′兩點．

（1）填空：∠AOB=45°，用m表示點A′的坐標(biāo)：A′（m，﹣m）；（2）當(dāng)拋物線的頂點為A′，拋物線與線段AB交于點P，且

=時，△D′OE與△ABC是否

2

相像？說明理由；

（3）若E與原點O重合，拋物線與射線OA的另一個交點為點M，過M作MN⊥y軸，垂足為N：

①求a，b，m滿足的關(guān)系式；

②當(dāng)m為定值，拋物線與四邊形ABCD有公共點，線段MN的最大值為10，請你探究a的取值范圍．

考點：二次函數(shù)綜合題．專題：綜合題．分析：（1）由B與C的坐標(biāo)求出OB與OC的長，根據(jù)OC﹣OB表示出BC的長，由題意AB=2BC，表示出AB，得到AB=OB，即三角形AOB為等腰直角三角形，即可求出所求角的度數(shù)；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：OD′=D′A′=m，即可確定出A′坐標(biāo)；（2）△D′OE∽△ABC，理由如下：根據(jù)題意表示出A與B的坐標(biāo)，由=，表示出P坐標(biāo)，由拋物線的頂點為A′，表示出拋物線解析式，把點E坐標(biāo)代入整理得到m與n的關(guān)系式，利用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的三角形相像即可得證；2（3）①當(dāng)E與原點重合時，把A與E坐標(biāo)代入y=ax+bx+c，整理即可得到a，b，m的關(guān)系式；②拋物線與四邊形ABCD有公共點，可得出拋物線過點C時的開口最大，過點A時的開口最小，分兩種狀況考慮：若拋物線過點C（3m，0），此時MN的最大值為10，求出此時a的值；若拋物線過點A（2m，2m），求出此時a的值，即可確定出拋物線與四邊形ABCD有公共點時a的范圍．解答：解：（1）∵B（2m，0），C（3m，0），∴OB=2m，OC=3m，即BC=m，∵AB=2BC，∴AB=2m=0B，∵∠ABO=90°，∴△ABO為等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：OD′=D′A′=m，即A′（m，﹣m）；故答案為：45；m，﹣m；（2）△D′OE∽△ABC，理由如下：由已知得：A（2m，2m），B（2m，0），∵=，∴P（2m，m），∵A′為拋物線的頂點，2∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣m）﹣m，∵拋物線過點E（0，n），2∴n=a（0﹣m）﹣m，即m=2n，∴OE：OD′=BC：AB=1：2，∵∠EOD′=∠ABC=90°，∴△D′OE∽△ABC；（3）①當(dāng)點E與點O重合時，E（0，0），2∵拋物線y=ax+bx+c過點E，A，∴，整理得：am+b=﹣1，即b=﹣1﹣am；②∵拋物線與四邊形ABCD有公共點，∴拋物線過點C時的開口最大，過點A時的開口最小，若拋物線過點C（3m，0），此時MN的最大值為10，∴a（3m）2﹣（1+am）?3m=0，整理得：am=，即拋物線解析式為y=x﹣x，2由A（2m，2m），可得直線OA解析式為y=x，聯(lián)立拋物線與直線OA解析式得：解得：x=5m，y=5m，即M（5m，5m），令5m=10，即m=2，當(dāng)m=2時，a=；若拋物線過點A（2m，2m），則a（2m）﹣（1+am）?2m=2m，解得：am=2，2，∵m=2，∴a=1，則拋物線與四邊形ABCD有公共點時a的范圍為≤a≤1．點評：此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，直線與拋物線的交點，以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練把握二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．32．（12分）（2023?孝感）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x+bx+c與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，直線y=x+4經(jīng)過A，C兩點．（1）求拋物線的解析式；

（2）在AC上方的拋物線上有一動點P．

①如圖1，當(dāng)點P運動到某位置時，以AP，AO為鄰邊的平行四邊形第四個頂點恰好也在拋物線上，求出此時點P的坐標(biāo)；

②如圖2，過點O，P的直線y=kx交AC于點E，若PE：OE=3：8，求k的值．

2

考點：二次函數(shù)綜合題．分析：（1）由直線的解析式y(tǒng)=x+4易求點A和點C的坐標(biāo)，把A和C的坐標(biāo)分別代入y=﹣x+bx+c求出b和c的值即可得到拋物線的解析式；（2）①若以AP，AO為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點Q恰好也在拋物線上，則PQ∥AO，再根據(jù)拋物線的對稱軸可求出點P的橫坐標(biāo)，由（1）中的拋物線解析式，進而可求出其縱坐標(biāo)，問題得解；②過P點作PF∥OC交AC于點F，由于PF∥OC，所以△PEF∽△OEC，由相像三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比值相等可求出PF的長，進而可設(shè)點點F（x，x+4），利用，可求出x的值，解方程求出x的值可得點P的坐標(biāo)，代入直線y=kx即可求出k的值．解答：解：（1）∵直線y=x+4經(jīng)過A，C兩點，∴A點坐標(biāo)是（﹣4，0），點C坐標(biāo)是（0，4），又∵拋物線過A，C兩點，∴，解得：，2∴拋物線的解析式為（2）①如圖1∵，．∴拋物線的對稱軸是直線x=﹣1．∵以AP，AO為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點Q恰好也在拋物線上，∴PQ∥AO，PQ=AO=4．∵P，Q都在拋物線上，∴P，Q關(guān)于直線x=﹣1對稱，∴P點的橫坐標(biāo)是﹣3，∴當(dāng)x=﹣3時，∴P點的坐標(biāo)是；，②過P點作PF∥OC交AC于點F，∵PF∥OC，∴△PEF∽△OEC，∴又∵∴，．，設(shè)點F（x，x+4），∴2，化簡得：x+4x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=﹣3．當(dāng)x=﹣1時，即P點坐標(biāo)是又∵點P在直線y=kx上，∴．；當(dāng)x=﹣3時，或，．點評：本題是二次函數(shù)綜合題，考察了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相像三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，題目綜合性較強，難度不大，是一道很好的中考題．33．（12分）（2023?湖北）邊長為2的正方形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如下圖，點D是邊OA的中點，連接CD，點E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC．以直線AB為對稱軸的拋物線過C，E兩點．（1）求拋物線的解析式；

（2）點P從點C出發(fā)，沿射線CB每秒1個單位長度的速度運動，運動時間為t秒．過點P作PF⊥CD于點F，當(dāng)t為何值時，以點P，F(xiàn)，D為頂點的三角形與△COD相像？

（3）點M為直線AB上一動點，點N為拋物線上一動點，是否存在點M，N，使得以點M，N，D，E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出滿足條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

考點：二次函數(shù)綜合題．分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得OA=OC，∠AOC=∠DGE，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠OCD=∠GDE，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得EG=OD=1，DG=OC=2，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）分類探討：若△DFP∽△COD，根據(jù)相像三角形的性質(zhì)，可得∠PDF=∠DCO，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，可得∠PDO=∠