高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽數(shù)論專題

課程簡介：全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽是中國高中數(shù)學(xué)學(xué)科的最高等級的數(shù)學(xué)競賽，其地位遠(yuǎn)高于各省自行組織的數(shù)學(xué)競賽。在這項(xiàng)競賽中取得優(yōu)異成績的全國約90名學(xué)生有資格參加由中國數(shù)學(xué)會主辦的“中國數(shù)學(xué)奧林匹克（CMO）暨全國中學(xué)生數(shù)學(xué)冬令營”。優(yōu)勝者可以自動獲得各重點(diǎn)大學(xué)的保送資格。各省賽區(qū)一等獎前6名可參加中國數(shù)學(xué)奧林匹克，獲得進(jìn)入國家集訓(xùn)隊(duì)的機(jī)會。中小學(xué)教育網(wǎng)重磅推出“全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽”輔導(dǎo)課程，無論是有意向參加競賽的初學(xué)者，還是已入圍二試的競賽選手，都有適合的課程提供。本套課程由中國數(shù)學(xué)奧林匹克高級教練熊斌、人大附中數(shù)學(xué)教師李秋生等名師主講，輕松突破你的數(shù)學(xué)極限！課程招生簡章：/webhtml/project/liansaigz.shtml選課中心地址：/selectcourse/commonCourse.shtm?courseeduid=170037#_170037_第一章數(shù)論專題

我們把未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù),且其解受到某種限制的方程,叫做不定方程.通常主要研究不定方程的正整數(shù)解、整數(shù)解、有理數(shù)解等.

不定方程問題的常見類型是：

（1）求不定方程的解；

（2）判定不定方程是否有解；

（3）確定不定方程解的數(shù)量（有限還是無限）.

不定方程問題的常用解法是：

（1）代數(shù)分析與恒等變形法，如因式分解、配方、換元等；

（2）估計(jì)范圍法，利用不等式放縮等方法,確定出方程中某些變量的取值范圍,進(jìn)而求整解；

（3）同余法，即恰當(dāng)選取模m,對方程兩邊做同余分析,以縮小變量的范圍或發(fā)現(xiàn)性質(zhì),從而得出整解或判定無解；

（4）構(gòu)造法，構(gòu)造出符合要求的特解,或構(gòu)造一個(gè)求解的遞推式,證明方程有無窮多解；

（5）無窮遞降法，無窮遞降法是一種用反證法表現(xiàn)的特殊形式的歸納法,由Fermat創(chuàng)立并運(yùn)用它證明了方程x4+y4=z4沒有非零整解.從此,無窮遞降作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法廣為流傳應(yīng)用,并在平面幾何、圖論及組合中經(jīng)常用到它.

引例：求所有正整數(shù)對（x,y）滿足xy=yx-y.1.二元一次不定方程

定義1形如ax+by=c（a,b,c∈Z,a,b不同時(shí)為0）的方程，稱為二元一次不定方程.

定理1不定方程ax+by=c有整數(shù)解的充要條件是（a,b）|c.

定理2設(shè)（x0,y0）是不定方程ax+by=c的一組整解,則此方程的一切整數(shù)解為（x,y）=（）,其中t∈Z.當(dāng)（a,b）=1時(shí),（x,y）=（x0+bt,y0-at）.例1求不定方程3x+2y+8z=40的正整數(shù)解。例2足球比賽的計(jì)分規(guī)則是：勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分。那么，一個(gè)球隊(duì)打14場球積分19分的情況共有多少種.例3公元五世紀(jì)末，我國數(shù)學(xué)家張丘建在他的名著《算經(jīng)》里提出一個(gè)世界數(shù)學(xué)史上著名的“百雞問題”：“雞翁一，值錢五，雞母一，值錢三，雞雛三，值錢一，百錢買百雞，問雞翁、母、雛各幾何？”。例4時(shí)鐘的刻度盤（寫有數(shù)字1,2,…,12的圓盤），以其中心為軸，固定在教室的黑板上，刻度盤可以繞軸轉(zhuǎn)過30°的整數(shù)倍的任意角度。起初，在黑板上靠近刻度盤上的數(shù)字旁邊的地方寫上“0”，然后轉(zhuǎn)動刻度盤若干次，每次轉(zhuǎn)動停止后，都將刻度盤上的數(shù)加到靠近它旁邊的黑板上所寫的數(shù)字，這樣是否可以做到：

（1）黑板上所寫的數(shù)都是1984？

（2）黑板上所寫的數(shù)除了一個(gè)之外，其余所寫的數(shù)都是1984？

（3）黑板上所寫的數(shù)除了兩個(gè)之外，其余所寫的數(shù)都是1984？

2.勾股數(shù)定理

定義2形如x2+y2=z2的方程叫做勾股數(shù)方程,并稱滿足（x,y）=1的解為方程的基本解.

引理給定正整數(shù)n,且n≥2,則不定方程uv=wn①,適合w>0,u>0,v>0,（u,v）=1的一切正整數(shù)解為:u=an,v=bn,w=ab,其中a>0,b>0,（a,b）=1②.例1求最小的正整數(shù)n（n≥2）,使得為整數(shù).定理方程x2+y2=z2③適合條件x>0,y>0,（x,y）=1,且2|x④的一切正整數(shù)為:x=2ab,y=a2-b2,z=a2+b2,其中a>b>0,（a,b）=1,且a,b一奇一偶⑤.

推論單位圓上一切有理點(diǎn)為及,其中a,b不全為零,“±”號可任取.例2已知xn+yn=zn無正整數(shù)解.求證:方程x2n+y2n=z2也無正整數(shù)解.例3求方程2x+3y=z2的所有整數(shù)解（x,y,z）.

3.沛爾（pell）方程

定義3通常pell方程指以下四個(gè)不定方程：x2-dy2=±1，±4，其中x，y∈Z，d∈N*，且d不是平方數(shù)。

如果pell方程的正整數(shù)解（x，y）中，使得x+y最小的正整數(shù)解為（x1，y1），則稱（x1，y1）為方程的最小解。定理1設(shè)d∈N*，d不是平方數(shù)，方程x2-dy2=1的最小解為（x1，y1），則

xn=，

yn=，n=1，2，…。

給出方程x2-dy2=1的全部正整數(shù)解.稱x1+y1為方程x2-dy2=1的基本解。定理2設(shè)方程x2-dy2=-1的正整數(shù)解（x，y）中，使得x+y最小的解為（x1，y1），則

xn=，

yn=，n=1，2，…。

給出方程x2-dy2=-1的全部正整數(shù)解。例1設(shè)正整數(shù)d無平方因子，x0+y0為方程x2-dy2=1的基本解.求該方程的正整數(shù)解（x，y），使得x的所有素因子整除x0。

定理3（1）當(dāng)a為非零整數(shù)時(shí)，方程x2-a2y2=1只有平凡解（±1，0）；方程x2-a2y2=-1僅當(dāng)a=±1時(shí)有整數(shù)解（0，±1）。

（2）存在無窮多個(gè)非平方數(shù)d>0，使方程x2-dy2=-1無整解。

4.費(fèi)爾馬大定理

不定方程xn+yn=zn（正整數(shù)n≥3）無正整數(shù)解.

費(fèi)爾馬大定理，是困擾人們近四百年的著名世界難題，已于1994年被普林斯頓大學(xué)教授A.Wiles攻克。例2證明：存在無數(shù)個(gè)正整數(shù)n，使得[n]為完全平方數(shù)。例3試找出最大的c∈R+，使得對任意正整數(shù)n，都有{n}≥.（{x}=x-[x]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)）

不定方程的解法

1.因式分解法

將方程的一端化為常數(shù)，做因數(shù)分解，另一端含未知數(shù)的代數(shù)式因式分解，再由各因式的取值分解為若干方程組進(jìn)行求解。

例1求方程2x2+5y2=11（xy-11）的正整數(shù)解。例2求方程x3-y3=z2的正整數(shù)解。其中y為素?cái)?shù)，且3和y都不是z的約數(shù)。例3求方程x2-5xy+6y2-3x+5y-25=0整數(shù)解。2.配方法

將方程一邊變形為平方和的形式，另一邊是常數(shù)。從而縮小解的存在范圍，達(dá)到求解或判定無解之目的。

例1求方程x2-12x+y2+2=0的整數(shù)解。例2證明方程x2+y2+z2+3（x+y+z）+5=0無有理數(shù)解。例3求方程x2（y-1）+y2（x-1）=1的整數(shù)解。3.估計(jì)范圍法

從方程的形式入手，依據(jù)不等式及其性質(zhì)等確定方程解的存在范圍，進(jìn)而求解方程。

例1求方程3x2+7xy-2x-5y-35=0的正整數(shù)解。例2求所有整數(shù)組（a，b，c，x，y，z）滿足：

（?。áⅲ゛≥b≥c≥1，x≥y≥z≥1.例3求x2+x=y4+y3+y2+y的整解。例4求方程的整數(shù)解。4.同余法

若某不定方程有整解，則等式兩邊對模m同余（m為任意正整數(shù)），這是原方程有解的一個(gè)必要條件，據(jù)此可以縮小解的范圍，或判定方程無解。

例1求|12x-5y|=7的全部正整數(shù)解（x，y）。例2.求8x+15y=17z的全部正整數(shù)解（x,y,z）。例3.證明方程組沒有整數(shù)解。5.無窮遞降法

運(yùn)用無窮遞降法主要是證明方程無正整數(shù)解。其一般步驟是：

先假定存在一組適合條件的正整數(shù)解，再設(shè)法構(gòu)造出其它正整數(shù)解,要求必須是遞降的，由于上述過程可無限進(jìn)行下去，再由嚴(yán)格遞減的正整數(shù)數(shù)列只有有限項(xiàng)，從而導(dǎo)致矛盾。還可從假設(shè)方程的一組“最小解”，而遞降得到更小解引出矛盾。

例1.設(shè)p≡-1（mod4）,證明：對任意正整數(shù)n，方程x2+y2=pn無正整數(shù)解。例2.證明方程x2+y2-19xy-19=0無整數(shù)解。

例3.證明方程x4+y4=z2沒有正整數(shù)解。6.構(gòu)造法

即通過構(gòu)造恒等式或一些特定方程,來證明不定方程有解或者有無窮多解.

例1.證明方程x3+y3+z3+t3=1999有無窮多組整解。例2.是否存在正整數(shù)m，使得方程有無窮多組正整數(shù)解（a,b,c）。例3.證明：有無窮多個(gè)正整數(shù)n，使得n的整數(shù)部分[n]為完全平方數(shù)。

【不定方程練習(xí)題】

1.是否存在正整數(shù)m,n滿足5m2-6mn+7n2=2006？請說明理由。

2.求出所有正整數(shù)x,y使得x2+615=2y。

3.求出所有正整數(shù)對（n,k）使得（n+1）k-1=n!。

4.證明方程3y2=x4+x沒有正整數(shù)解。

5.找出所有的正整數(shù)對（m,n）,使得6m+2n+2是一個(gè)完全平方數(shù)。

6.求所有正整數(shù)x,y,滿足1!+2!+3!+…+x!=y2。

7.設(shè)x1，x2是方程x2-6x+1=0的兩個(gè)根.證明:對于一切正整數(shù)n,an=x1n+x2n都是整數(shù)且不整除an。

8.若n個(gè)邊長為正整數(shù)的正方體體積之和為20022005。求n的最小值。

【知識點(diǎn)概要】

1、帶余除法定理:設(shè)（a,b）是兩個(gè)給定整數(shù)，a≠0.那么，一定存在唯一的一對整數(shù)（q,r），使得b=qa+r,0≤r<|a|.此外，a|b當(dāng)且僅當(dāng)r=0.（帶余除法是初等數(shù)論中最重要、最基本、最直接的工具。）

2、公因數(shù)、最大公因數(shù)、互素的定義和性質(zhì):

用（a1,a2,...,an）記a1,a2,…,an的最大公約數(shù)[a1,a2,...,an]記為a1,a2,...,an的最小公倍數(shù)。特別的，若（a,b）=1則稱a,b互素。

最大公因數(shù)的基本性質(zhì)：（以下關(guān)于最大公約數(shù)的性質(zhì)都不需要用到算術(shù)基本定理）

（1）（交換律）（a,b）=（b,a）

（2）（結(jié)合律）（（a,b）,c）=（a,（b,c））

（3）若a1|ai,i=2,3,…,n，則（a1,a2,…,an）=a1

（4）若p是素?cái)?shù)，則

（5）若b=qa+r，則（a,b）=（a,r）.3、輾轉(zhuǎn)相除法:任給整數(shù)m,n（n≠0）,則有如下帶余除法鏈：

m=nq1+r1,1≤r1<n

n=r1q2+r2,1≤r2<r1

r1=r2q3+r3,1≤r3<r2

……

Rk-1=rkqk+1+rk+1,rk+1=0

裴蜀定理：一次不定方程ax+by=c有整數(shù)解當(dāng)且僅當(dāng)（a,b）|c.【例題講解】

1.{Fn}是Fibonacci數(shù)列：F0=0,F1=1,Fn=Fn－1+Fn－2（n≥2），對于1≤i≤200,記gi=（Fi,F2007）.求gi的所有可能取值.2.（1）求證：（2m-1,2n-1）=2（m,n）-1；

（2）求（2m+1,2n+1）；

（3）求（3m3.（1）（Fermat型質(zhì)數(shù)））求證：若1+2n是質(zhì)數(shù)，則n一定形如2k（其中k是非負(fù)整數(shù)）；

（2）求證：若1+2n+4n是質(zhì)數(shù)，則n=3k（其中k是非負(fù)整數(shù)）。4.給定正整數(shù)m,n,求最小的正整數(shù)k,使得（10m-1）·（10n-1）∣（10k5.由某些正整數(shù)組成的集合X稱為好集若：a,b∈X,a+b與|a-b|恰有一個(gè)屬于X（a,b可以相同）.（1）求包含2008的不同好集的個(gè)數(shù)；（2）求包含2010的不同好集的個(gè)數(shù)。6.稱正整數(shù)d為好數(shù),如果對一切正整數(shù)x,y都有d|（（x+y）5-x5-y5）當(dāng)且僅當(dāng)d|（（x+y）7-x7-y7）.（1）29是不是好數(shù)?（2）2009、2010是不是好數(shù)?7.求所有不等正整數(shù)對（a，b），使得（a2+ab+4）|（b2+ab+4）.8.黑板上開始時(shí)寫著正整數(shù)組（m，n，m，n）.每步對當(dāng)時(shí)的數(shù)組（x，y，u，v）進(jìn)行廣義的歐氏運(yùn)算：若x>y，變?yōu)椋▁-y，y，u+v，v）；而若x<y，變?yōu)椋▁，y-x，u，v+u）；當(dāng)x=y時(shí)結(jié)束（此時(shí)它們等于最大公因數(shù)（m，n））.

求證，結(jié)束時(shí)后兩數(shù)的算術(shù)平均值等于最小公倍數(shù)[m，n]。9.給定奇數(shù)n>1，正整數(shù)a（1≤a≤n-1）稱為好數(shù)，若a及a+1都與n互素。求證：所有好數(shù)的乘積除以n的余數(shù)等于1（空集的乘積約定為1）.10.求所有的正整數(shù)三元組（a，b，c）滿足：a3+b3+c3能同時(shí)被a2b，b2c，c2

【知識點(diǎn)概要】

1、Fermat小定理：給定素?cái)?shù)p，設(shè)整數(shù)a與p互素，則ap-1≡1（modp）。

2、Euler定理：給定整數(shù)m>1.設(shè)整數(shù)a與m互素，則aφ（m）≡1（modm）。

其中={modm的互不同余且都與m互素的代表元}，是對乘、除法封閉的集合，||是集合的元素個(gè)數(shù)。3、階的定義：使得ak≡1（modm）,a∈M﹡成立的最小正整數(shù)k稱為a對于（modm）的階，記作δm（a）。

滿足δm（a）=φ（m）的a（如果存在）,稱為（modm）的原根。

4、歐拉函數(shù)φ（m）的計(jì)算

（1）若（m，n）=1，則φ（mn）=φ（m）φ（n）；

（2）當(dāng)m=pe（其中p為質(zhì)數(shù)）時(shí)，φ（m）=pe-1（p-1）；

（3）若m的質(zhì)因數(shù)分解式為m=

5、階的主要性質(zhì)：

（1）模數(shù)列ak（modm）的最小正周期為δn（a）,其中n是m的與a互素的最大因數(shù)；

【例題講解】

1.設(shè)三角形的三邊長分別是整數(shù)l>m>n。已知其中{x}=x-[x]而[x]表示不超過x的最大整數(shù)。求種三角形周長的最小值。2.十進(jìn)制正整數(shù)n的各位數(shù)字都由0或1構(gòu)成，并且是585的倍數(shù)，求滿足條件的最小正整數(shù)n。10.n是合數(shù)，求證：（其中為Euler函數(shù)）。11.求方程n=φ（n）+402的正整數(shù)解（其中φ為Euler函數(shù)）。3.為純循環(huán)小數(shù)，循環(huán)節(jié)長為6=7-1，而且一個(gè)循環(huán)節(jié)內(nèi)有142+857=999。

求證：分?jǐn)?shù)（n為正整數(shù)）滿足類似性質(zhì)：（1）循環(huán)節(jié)長度為2n；（2）在一個(gè)循環(huán)節(jié)內(nèi)前n項(xiàng)與后n項(xiàng)之和為10n-1的充要條件為：（i）2n+1=p為奇質(zhì)數(shù)，（ii）10是modp的原根，即10p-1≡1（modp）且p-1是滿足10k≡1（modp）的正整數(shù)里最小的一個(gè)，并據(jù)此條件再找出兩個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)。5.設(shè)p為奇素?cái)?shù)，

（1）a≥2，求證：ap-1的素因子要么整除a-1,要么必形如2pk+1（k∈Z）；

（2）求證：2pk+1型素?cái)?shù)有無窮多個(gè)；

（3）若素?cái)?shù)q|（ap+1）,則或者q|（a+1）,或者q=2pk+1（k為整數(shù)）。6.（1）F