全等三角形在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

本文格式為Word版，下載可任意編輯——全等三角形在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用曲靖師范學(xué)院

本科生畢業(yè)論文

論文題目:全等三角形的證明在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

、學(xué)號(hào)：李發(fā)蝌2023111233

學(xué)院、年級(jí)：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院2023級(jí)學(xué)科、專(zhuān)業(yè)：數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師：羅紅英完成日期：2023年5月20日

曲靖師范學(xué)院教務(wù)處

全等三角形的證明在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

摘要

“全等三角形的證明〞是在初中數(shù)學(xué)平面幾何中占重要內(nèi)容之一，是研究圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)，而且在近幾年的中考中都有出現(xiàn)，新課標(biāo)的要求是“摸索并把握兩個(gè)三角形全等的條件〞，因此把握三角形全等的證明及運(yùn)用方法對(duì)初中生來(lái)說(shuō)至關(guān)重要。其證明方法繁多，技巧性強(qiáng)，有一定的通法，所以研究范圍極廣，難度極大．論文整理和歸納了全等三角形證明的步驟及其本卷須知，分別列舉了幾種常用的全等三角形的證明方法，讓每一種方法兼有理論與實(shí)踐性．旨在使學(xué)生對(duì)全等三角形證明及其應(yīng)用問(wèn)題有一個(gè)較為深入的了解，進(jìn)而在解決相關(guān)全等三角形問(wèn)題時(shí)能融會(huì)貫穿、舉一反三，達(dá)到事半功倍的效果，同時(shí)為從事教育的工提供參考．

學(xué)思想.同時(shí)，還要讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活的基才能實(shí)，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.楊曉軍在文[3]中精選了有關(guān)全等三角形的中考題進(jìn)行解析，讓同學(xué)們找到中考復(fù)習(xí)方向，引領(lǐng)學(xué)生成功中考.林偉杰在文[4]全析了全等三角形的性質(zhì)、判定及其應(yīng)用.劉申強(qiáng)在文[5]中編著了全等三角形在生活中的應(yīng)用，從生活中的不同角度研究了全等三角形，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的美.黎強(qiáng)在文[6]提出了《全等三角形》的教學(xué)設(shè)想，指出了如何確定教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)重難點(diǎn).喻俊鵬在文[7]中，編著了全等三角形的易錯(cuò)題，并結(jié)合實(shí)例列舉了初中數(shù)學(xué)中全等三角形的若干案例，分析出了學(xué)生在有關(guān)全等三角形的證明解題過(guò)程中存在的各種問(wèn)題.劉玉東、董云霞、查貴賓在文[8]、[9]、[10]中探討了構(gòu)造全等三角形的方法與技巧.張文國(guó)在文[11]中總結(jié)了全等三角形的創(chuàng)新題，讓讀者以創(chuàng)新思維思考全等三角形的證明.保明華在文[12]中探討了全等三角形中考摸索題，讓學(xué)生感受證明全等三角形的摸索性和創(chuàng)新性，并且輔導(dǎo)學(xué)生把握全等三角形的證明的方法.李懷奎在文[13]中指出如何對(duì)基本圖形的認(rèn)識(shí)來(lái)找全等三角形，從基本的圖形認(rèn)識(shí)開(kāi)始發(fā)現(xiàn)全等三角形.解廣義在文[14]中進(jìn)行了全等三角形的教學(xué)設(shè)計(jì)，生動(dòng)形象的設(shè)計(jì)了全等三角形證明的教學(xué)過(guò)程.姜彰全,吳穎二人在文[15]中講解了如何巧證全等三角形，淋漓盡致地寫(xiě)出了全等三角形的證明技巧.

2．2國(guó)內(nèi)研究評(píng)價(jià)

從查到的國(guó)內(nèi)文獻(xiàn)來(lái)看，國(guó)內(nèi)研究者對(duì)全等三角形的證明方法介紹了好多，文獻(xiàn)[1-15]分別全等三角形的性質(zhì)、不同證明方法及應(yīng)用作了論述，文獻(xiàn)中闡述一種或幾種全等三角形的證明方法，一些文獻(xiàn)寫(xiě)理論較多，一些文獻(xiàn)寫(xiě)例子較多，理論很少，而且大量方法有名稱不一而本質(zhì)一樣的情形，如構(gòu)造法在形式上都是根據(jù)三角形的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行分解求解的，但不同的圖形有不同的構(gòu)造方法，所以，有必要重新整理和歸納全等三角形證明方法，讓每一種方法兼具理論與實(shí)踐性.

2．3提出問(wèn)題

全等三角形的證明問(wèn)題，就其方法而言，沒(méi)有定法可套，有較大的靈活性和技巧性，而且全等三角形的證明歷來(lái)是中學(xué)特別是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn).因此，在前人研究全等三角形的證明方法的基礎(chǔ)上，試圖完整地整理出常用的幾類(lèi)方法，使之系統(tǒng)化，并在此基礎(chǔ)上探尋新的證明方法.

3證明全等三角形的知識(shí)梳理及本卷須知

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3．1全等三角形知識(shí)梳理

定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形稱為全等三角形（注：相像三角形的特別狀況是全等三角形）.

當(dāng)兩個(gè)三角形完全重合時(shí)，相互重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，相互重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，相互重合的角叫做對(duì)應(yīng)角.

所以，可以得出：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等.

(1)全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角；(2)全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；(3)有公共邊的，公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊；(4)有公共角的，公共角一定是對(duì)應(yīng)角；(5)有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角；三角形全等的判定公理及推論

1、三組對(duì)應(yīng)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)稱“邊邊邊〞或“SSS〞)，這一條說(shuō)明白三角形具有穩(wěn)定性.

2、有兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(“邊角邊〞或“SAS〞).3、有兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(“角邊角〞或“ASA〞).4、有兩角及其一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(“角角邊〞或“AAS〞).

5、直角三角形全等條件有：斜邊及一直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(“斜邊，直角邊〞或“HL〞).

所以SSS,SAS,ASA,AAS,HL均為判定三角形全等的定理.

注意：在全等的判定中，沒(méi)有AAA和SSA，這兩種狀況都不能唯一確定三角形的形狀.

全等三角形的性質(zhì)

1、全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等.

2、全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高對(duì)應(yīng)相等.3、全等三角形的對(duì)應(yīng)角平分線相等.4、全等三角形的對(duì)應(yīng)中線相等.5、全等三角形面積相等.6、全等三角形周長(zhǎng)相等[1].

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3．2證明全等三角形的步驟及本卷須知

如何學(xué)好全等三角形的證明呢？這就要小步走，勤思考，進(jìn)行由易到難的訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)由實(shí)（題目已有現(xiàn)成圖形）到虛（要自己畫(huà)圖形或需要添加輔助線）、由模仿證明到獨(dú)立推理的升華.具體可分為三步走：第一步，學(xué)會(huì)解決只證一次全等的簡(jiǎn)單問(wèn)題，重在模仿.這期間要注意課本例題證明的模仿，使自己的證明語(yǔ)言確鑿，格式標(biāo)準(zhǔn)，過(guò)程簡(jiǎn)練.證明兩個(gè)三角形全等，一定要寫(xiě)出在哪兩個(gè)三角形，這既為以后在繁雜圖形中有意識(shí)去尋覓需要的全等三角形打下基礎(chǔ)，更便利批閱者；同時(shí)要注意頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)，以防對(duì)應(yīng)關(guān)系出錯(cuò)；證全等所需的三個(gè)條件，條件不明顯的要先證明，最終用大括號(hào)括起來(lái)；每一步要填注理由，訓(xùn)練思維的嚴(yán)密性.通過(guò)訓(xùn)練一段時(shí)間，對(duì)證明方向明確、內(nèi)容變化少的題目，要能熟練地獨(dú)立思考證明，切實(shí)邁出堅(jiān)實(shí)的第一步.其次步，能在一個(gè)題目中用兩次全等證明過(guò)渡性結(jié)論和最終結(jié)論，學(xué)會(huì)分析.在學(xué)習(xí)等腰三角形全等、直角三角形時(shí)逐步加深難度，學(xué)會(huì)一個(gè)題目中證兩次全等，特別要學(xué)會(huì)用分析法有條不紊地尋覓證題途徑，分析法目的性強(qiáng)，條理明白，結(jié)合綜合法，能有效解決較繁雜的題目.同時(shí)，這時(shí)的題目一般都不只一種解法，要求一題多解，比較優(yōu)劣，總結(jié)規(guī)律.第三步，學(xué)會(huì)命題的證明，把握添加輔助線的常用方法.命題的證明可全面培養(yǎng)數(shù)學(xué)語(yǔ)言（包括圖形語(yǔ)言）的運(yùn)用能力，則在已知和未知間架起一座溝通的橋梁就要用到輔助線，這都有一定的難度，切勿前功盡棄，放松努力.同時(shí)要熟悉一些基本圖形的性質(zhì)，如“角平分線＋垂直＝全等三角形〞.證明全等不外乎要邊等、角等的條件，因此在平日學(xué)習(xí)中就要積累存在或可推出邊等（或線段等）、角等的狀況.應(yīng)用起來(lái)自然會(huì)得心應(yīng)手.

4證明全等三角形的構(gòu)造法

所謂構(gòu)造法，就是指通過(guò)分析條件和結(jié)論充分細(xì)致，抓住問(wèn)題的特征，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造輔助元素，聯(lián)想熟知的數(shù)學(xué)模型，然后變換命題，以此架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使問(wèn)題得以解決的數(shù)學(xué)思考方法.構(gòu)造法本質(zhì)上是化歸思想的運(yùn)用，但它往往表現(xiàn)出精良、簡(jiǎn)捷、明快、別致等特點(diǎn)，使數(shù)學(xué)解題突破常規(guī)，具有很強(qiáng)的創(chuàng)造性.

4．1構(gòu)造全等三角形的常用方法

截長(zhǎng)補(bǔ)短法、平行線法（或平移法）、旋轉(zhuǎn)法、倍長(zhǎng)中線法、翻折法.4．1．1截長(zhǎng)補(bǔ)短法（尋常用來(lái)證明線段和差相等）

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“截長(zhǎng)法〞即根據(jù)已知條件把結(jié)論中最大的線段分成兩段，使其中一段與較短線段相等，然后證明余下的線段與另一條線段相等的方法．“補(bǔ)短法〞為把兩條線段中的一條接長(zhǎng)成為一條長(zhǎng)線段，然后證明接成的線段與較長(zhǎng)的線段相等，或是把一條較短的線段加長(zhǎng)，使它等于較長(zhǎng)的一段，然后證明加長(zhǎng)的那部分與另一較短的線段相等.

例1如圖（1）已知：正方形ABCD中，?BAC的平分線交BC于E，求證：

AB?BE?AC.

簡(jiǎn)析：圖中沒(méi)有直接給出與問(wèn)題有關(guān)的全等三角形，所以要延長(zhǎng)一條直線，構(gòu)造出全等三角形，根據(jù)角相等證明出三角形是等腰三角形，然后利用轉(zhuǎn)換思想BE?BF，就可以證明出結(jié)果.

證明:延長(zhǎng)AB至F使AF?AC∵AE是?CAB的平分線∴?FAE??CAE在?FAE和?CAE中∵AF?AC∵?FAE??CAE∵AE?AE

∴?FAE??CAE(SAS)∴?EFA??ECA?45?∴?BFE是等腰直角三角形∴BE?BF

∴AF?AB?BF?AB?BE∴AB?BE?AC

小結(jié)：線段的和差問(wèn)題往往借助于全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，將不在一條直線的兩

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條（或幾條）線段轉(zhuǎn)化到同一直線上．證明一條線段等于另兩條線段之和（差）常見(jiàn)的方法是：延長(zhǎng)其中一條短線段，在上面上截取另一條短線段，再證明它們與長(zhǎng)線段相等，這種方法叫“補(bǔ)短法〞．在長(zhǎng)線段上截取一條線段等于短線段，再證明余下的線段等于另一條短線段，這種方法叫“截長(zhǎng)法〞．證明兩條線段的和（差）等于另一條線段的常用方法就是這兩種．

4．1．2平行線法（或平移法）

若題目中含有中點(diǎn)可以試過(guò)中點(diǎn)作平行線或中位線（平行且等于第三邊的一半），對(duì)直角三角形,有時(shí)可作出斜邊的中線．

例2如圖，在?ABC中，?BAC?60?，?C?40?,AP平分?BAC交BC于點(diǎn)P，

BQ平分?ABC交AC于Q，求證:AB?BP?BQ?AQ圖（3）

說(shuō)明:(1)此題可以在AB截取AD?AQ，連OD，構(gòu)造全等三角形，即“截長(zhǎng)補(bǔ)短法\．

(2)此題利用“平行線法〞的解法較多，舉例如下：

①如圖（2），過(guò)O作OD//BC交AC于D，則證明?ADO??ABO解決．②如圖（3），過(guò)O作DE//BC交AB于D，交AC于E，則證明?ADO??AQO和

?ABO??AEO解決．

③如圖（4），過(guò)P作PD//BQ交AB的延長(zhǎng)線于D，則需證明?APD??APC解決．④如圖（5），過(guò)P作PD//BQ交AC于點(diǎn)D，則只需證明?ABP??ADP解決．4．1．3旋轉(zhuǎn)法

對(duì)題目中出現(xiàn)相等的線段有一個(gè)公共端點(diǎn)時(shí)，可嘗試用旋轉(zhuǎn)法來(lái)構(gòu)造全等三角形例3如圖，設(shè)點(diǎn)P為等邊三角形ABC內(nèi)任一點(diǎn)，試比較線段PA與PB?PC的大?。?/p>

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圖（6）

簡(jiǎn)析：題目雖然短，但涉及到的知識(shí)點(diǎn)好多．由于?ABC是等邊三角形，所以可以將?ABP繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)60?到?ACP?的位置（用到等量代換），連結(jié)PP?，則

?ACP???ABP(SAS)，所以AP??AP，CP??BP，則?APP?是等邊三角形，即PP??PA，

在?CPP?中，由于PP??PC?P?C，所以PA?PB?PC．

說(shuō)明：由于圖形旋轉(zhuǎn)的前后，只是變化了位置，而大小和形狀都沒(méi)有改變，所以對(duì)于等邊三角形、正方形等特別的圖形我們可以利用旋轉(zhuǎn)的方法構(gòu)造全等三角形解題．4．1．4倍長(zhǎng)中線法

題目中若條件有中線，可將其延長(zhǎng)一倍，以構(gòu)造新的全等三角形，從而使分散條件集中在一個(gè)三角形內(nèi)．

例4如圖，在?ABC中，AD是它的中線，作BE交AD于點(diǎn)F，使AE?EF．說(shuō)明線段AC與BF相等的理由．

圖（7）

簡(jiǎn)析：由于AD是?ABC中線，于是可延長(zhǎng)中線AD到G，使DG?AD，連結(jié)BG，則在?ACD和?GBD中，AD?GD，?ADC??GDB，所以?ACD??GBD(SAS)，則

AC?GB，?BFG??G，而AE?EF，所以?CAD??AFE，又由于?AFE??BFG，

所以?BFG??G，BF?BG，即AC?BF．

說(shuō)明：要說(shuō)明線段或角相等，尋常的思路是說(shuō)明它們所在的兩個(gè)三角形全等，而

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遇到中線時(shí)又尋常通過(guò)延長(zhǎng)中線來(lái)構(gòu)造全等三角形．4．1．5翻折法

若題設(shè)中含有垂線、角的平分線等條件的，可以試用軸對(duì)稱性質(zhì)，沿軸翻轉(zhuǎn)圖形來(lái)構(gòu)造全等三角形．

例5如圖，已知：在?ABC中，?A?45?，AD?BC，假使BD?4，DC?3，求

?ABC的面積．

圖（8）

解：以AB為軸將?ABD翻轉(zhuǎn)180o，得到與它全等的?ABE，以AC為軸將?ADC翻轉(zhuǎn)180o，得到與它全等的?AFC，EB、FC延長(zhǎng)線交于G，易證四邊形AEGF是正方

t?BGC形，設(shè)它的邊長(zhǎng)為?，則BG???4，CG???3，在R中，(??4)2?(??3)2?52,

解得??8，則AD?6，所以S?ABC?5?8?20．2說(shuō)明：當(dāng)從題目已知中不能直接明確的求出問(wèn)題時(shí)，我們可以從一般圖形通過(guò)翻轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)變?yōu)樘貏e的圖形，用簡(jiǎn)便的方法求解，變換可以有一步或幾步．

4．2由角平分線構(gòu)造全等三角形

不管是兩個(gè)圖形軸對(duì)稱還是軸對(duì)稱圖形，我們都不難發(fā)現(xiàn)軸上一點(diǎn)（此點(diǎn)作為頂點(diǎn)）與對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成的角被軸平分，便利我們?cè)谧鲱}中假使遇到角平分線我們就會(huì)聯(lián)想到，以角平分線為軸構(gòu)造對(duì)稱（全等），從而把線段、角轉(zhuǎn)移達(dá)到解題目的．

例6如圖，等腰梯形ABCD中，AD//BC，?DBC?45?，翻折梯形ABCD，使點(diǎn)

B與點(diǎn)D重合，折痕分別交AB、BC于點(diǎn)F、E．若AD?4，BC?10．求BE的長(zhǎng)．

圖（9）圖（10）

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解：由題意得

根據(jù)翻折重合，得?BFE??DFE，∴DE?BE

在?BDE中，DE?EB，且?EBD?45?∴?EDB??EBD?45?∴?BED?90?，即BC?DE，在等腰梯形中，AD=4，BC=10，

過(guò)A作BC?AG，交BC于G，如圖（10），四邊形AGED是矩形∴GE?AD?4在Rt?ABG和RtRt?DCE中，DC?AB，DE?AG∴Rt?ABG?Rt?DCE(HL)，∴BG?CG∴CE?∴BE?6．

說(shuō)明：由角平分線構(gòu)造全等三角形，這類(lèi)題是很簡(jiǎn)單的，可以根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等，就構(gòu)造出直角三角形，進(jìn)而對(duì)稱軸就是公共邊，就可以用HL證明全等三角形.

1?BC?AD??424．3添加輔助線構(gòu)造全等三角形

在證明幾何圖形題目的過(guò)程中，尋常需要先通過(guò)證明全等三角形來(lái)研究轉(zhuǎn)移線段或角，或者兩條線段或角的相等關(guān)系。但有些時(shí)候，這樣要證明的全等三角形在題設(shè)中，并不是十明顯顯。針對(duì)這樣的題型我們需要通過(guò)添加輔助線，構(gòu)造出全等三角形，進(jìn)而就可以證明所需的結(jié)論.

在這里，我嘗試通過(guò)幾個(gè)典型例題讓大家了解添加輔助線構(gòu)造全等三角形的方法.當(dāng)然這些例題表達(dá)了添加輔助線的方法是從簡(jiǎn)單到繁雜，從特別到一般，研究線段的長(zhǎng)短關(guān)系是表達(dá)了從不相等到相等的遞進(jìn)關(guān)系[2].

注意：添加的輔助線都是用虛線表示.4．3．1直接證明線段（角）相等

例7如圖，已知AB?AD，CB?CD，(1)求證：?B??D；(2)若AE?AF，試猜想CE與CF的大小關(guān)系.

如圖（11）

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簡(jiǎn)析：第（1）小問(wèn)考慮到在沒(méi)有學(xué)習(xí)等腰三角形的時(shí)候，要證明兩個(gè)角相等，經(jīng)常需要證明它們所在的兩個(gè)三角形全等。此題要證明?B??D．在題目的已知條件中明顯缺少全等的三角形，我們就要想到添加輔助線連結(jié)AC后，以AC作為公共邊，根據(jù)題目的已知條件可以看出?ABC??ADC，進(jìn)而就證明?B??D.假使在學(xué)習(xí)等腰三角形的知識(shí)后還可以連結(jié)BD，通過(guò)說(shuō)明等邊對(duì)等角，再用角的等量代換關(guān)系得到

?B??D更加簡(jiǎn)單.

第（2）小問(wèn)猜想CF?CE，在連結(jié)AC證明?ABC??ADC后，得到?CAE??CAF，再證明?CAE??CAF，進(jìn)而證明EC?FC.

如何添加輔助線：方法1添加輔助線，連結(jié)AC，證明?ABC??ADC，進(jìn)而?B??D.

BD??CDB方法2添加輔助線連接BD，由于AB?AD，所以，?ABD??ADB．即?C，

?ABD??CBD??ADB??CDB，即?B??D.又由于BE?DF，CB?CD,故?BCE??CDF，進(jìn)而CE?CF.

小結(jié)：通過(guò)例7我們初步體會(huì)添加輔助線的必要性，例7的兩個(gè)小問(wèn)的簡(jiǎn)析，從添加輔助線證明一次全等三角形得角相等，然后到添加輔助線證明二次全等三角形得線段相等，我們可以感覺(jué)到問(wèn)題層次的遞進(jìn).特別是例7(1)中假使B、C、D共線的時(shí)候可以得到等邊對(duì)等角的結(jié)論，為第（2）問(wèn)做鋪墊.4．3．2轉(zhuǎn)移線段到一個(gè)三角形中證明線段相等

例8如圖，已知AD是?ABC的中線，且BE交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，且

EA?EF.求證：AC?BF.

圖（12）

簡(jiǎn)析：要證AC?BF，我們可以把線段AC、BF轉(zhuǎn)移到它們所在的三角形中，然后證明這兩個(gè)三角形全等，顯然圖中沒(méi)有直觀的給出含有AC、BF的兩個(gè)全等三角形圖形，但我們可以根據(jù)題目條件的去構(gòu)造兩個(gè)含有AC、BF的全等三角形也并不是太簡(jiǎn)單，這時(shí)我們就要重新思考一條出路，想到在同一個(gè)三角形中等角對(duì)等邊，這時(shí)能夠把兩條線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中，我們只要說(shuō)明轉(zhuǎn)移在同一個(gè)三角形后的這兩條線段

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所對(duì)的角相等就可以了.

BF，簡(jiǎn)析：思路1以?ACD為基礎(chǔ)三角形，來(lái)轉(zhuǎn)移線段AC、使這兩條線段在?BFH中.法一：延長(zhǎng)AD到H，使HD?AD，連結(jié)BH，再證明?ACD和?HBD全等，可得

AC?BH.通過(guò)證明?DHB??HFB，就可得到BF?BH.

圖（13）

證明：添加輔助線延長(zhǎng)AD到H，使HD?AD，連結(jié)BH∵D是BC中點(diǎn)∴BD?CD

在△?ACD和?BDH中

?DH?AD???BDH??ADC?BD?CD?∴?ACD??BDH(SAS)∴AC?BH，?DHB??HFB∵AE?EF∴?EAH??EFA又∵?BFH??AFE∴BH?BF∴AC?BF

法二：可以過(guò)點(diǎn)B作BH平行AC與AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H，證明?ACD和?BDH全等.

小結(jié)：對(duì)于含有中線的全等三角形問(wèn)題，可以通過(guò)“倍長(zhǎng)中線〞法得到兩個(gè)全等三

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角形.但是過(guò)一點(diǎn)作己知直線的平行線，可起到轉(zhuǎn)移角的作用，也起到構(gòu)造全等三角形的作用.

思路2以?BFD為基礎(chǔ)三角形，轉(zhuǎn)移線段AC，使AC、BF在兩個(gè)全等三角形中.法三：添加輔助線延長(zhǎng)FD至H，使HD?FD，然后連結(jié)HC，證明?HDC和?FDB全等.

圖（14）

證明：延長(zhǎng)FD至H，使HD?FD，連結(jié)HC∵D是BC中點(diǎn)∴BD?CD在?HDC和?FDB中

?FD?HD???ADB??HDC?BD?CD?∴?HDC??CHD(SAS)∴?H??CAH∵AE?FE∴?HAC??AFE又∵?AFE??BFH∴?H??HAC∴CH?CA∴AC?BF

法四：過(guò)點(diǎn)C作CH平行FB與AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H，證明△?HDC和△FDB全等.

小結(jié)：通過(guò)添加輔助線的方法一題多解，我們可以體會(huì)到添加輔助線目的在于構(gòu)造

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全等三角形.而從不同途徑來(lái)可以有不同的添加方法，實(shí)際是實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移體會(huì)構(gòu)造全等三角形在線段轉(zhuǎn)移中的地位.從變換的觀念可以看到，不管是作平行線法還是倍長(zhǎng)中線法，實(shí)質(zhì)都是一個(gè)以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心的三角形旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等.

熟悉法一、法三“倍長(zhǎng)中線〞法的輔助線所用到的基本圖形“八字型〞和“倍長(zhǎng)中線〞兩種基本添加輔助線方法，倍長(zhǎng)中線，或者倍長(zhǎng)過(guò)中點(diǎn)的一條線段以后的對(duì)于解決含有過(guò)中點(diǎn)線段的證明全等三角形的方法有技巧可尋.

圖（15）

4．3．3轉(zhuǎn)移線段到一個(gè)三角形中證明線段不等關(guān)系

例9如圖，已知AD是?ABC的中線，求證：AB?AC?2AD.

簡(jiǎn)析：用例8的輔助線的添加方法，學(xué)會(huì)識(shí)別基本圖形，并利用它們?nèi)ソ鉀Q不等關(guān)系的問(wèn)題.AB、AC、2AD不在同一個(gè)三角形中，假使能將中線倍長(zhǎng)，轉(zhuǎn)移AC就可在同一個(gè)三角形找出與AB、AC、2AD相關(guān)的線段，再利用三角形兩邊之和大于第三邊可以很簡(jiǎn)單的解決。

圖（16）

證明：添加輔助線延長(zhǎng)AD至E，使ED?AD，連接BE．∵AD是?ABC的中線，在?ACD和?EBD中，

?AD?ED?∵??ADC??EDB

?CD?BD?13

∴?ACD??EBD（SAS）∴AC?BE

在?ABE中，AB?BE?AE,∴AB?AC?2AD.

5全等三角形的證明在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

例10（2023年云南省中考題）如圖，在?ABC和?ABD中，AC與BD相交于點(diǎn)E，

AD?BC，?BAD??ABC，求證：AC?BD．

圖（17）

簡(jiǎn)析:可以根據(jù)“SAS〞證明三角形ABD和三角形BCA全等，這里要用到化歸思想，要證明線段相等可以化歸為證明三角形全等，由全等三角形的性質(zhì)可證明AC?BD．

證明：在?ABD和?BCA中，

?AD?BC???BAD??ABC?AB?BA?∴?ADB??BAC（SAS）∴AC?BD

說(shuō)明：此題考察了證線段相等化歸為證全等三角形，而全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．

例11（2023年曲靖市中考題)如圖，?ACD?90?，AC?BC，AD?CE于點(diǎn)D，

BE?CE于點(diǎn)E.（1）求證：?ACD??CBE；（2）已知AD?6，DE?2，求EF的長(zhǎng).

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圖（18）

簡(jiǎn)析：第（1）問(wèn)在?ACD和?CBE中，已知有AC?BC，還有一組直角相等，現(xiàn)在我們可以找一條對(duì)應(yīng)邊用“SAS〞證明全等三角形或者是找一個(gè)對(duì)應(yīng)角用“AAS〞證明，這時(shí)就要根據(jù)已知條件去找，哪個(gè)便利就用哪個(gè)，由已知條件可以根據(jù)同角的余角相等來(lái)證明.

證明：如圖，∵AD?CE∴?2??3?90?又∵?1??2?90?∴?1??3

又∵AD?CE，BE?CE∴?E??ADC?90?在?ACD和?CBE中

??E??ADC???1??3

?AC?BC?∴?ACD??CBE（AAS）

簡(jiǎn)析：第（2）問(wèn)此題求的長(zhǎng)，從直觀上看不能用簡(jiǎn)便的方法求，可以把放到兩個(gè)相像的三角形中，可以通過(guò)證兩個(gè)相像三角形來(lái)求.

解：∵?ACD??CBE∴CE?AD?6

∴CD?CE?ED?6?2?4∵?E??ADF，?BFE??AFD∴?BEF~?ADF∴

BEEF?ADDF設(shè)EF??，則DF?2??∴

4??62??4515

∴??

即EF?45說(shuō)明：這個(gè)題把全等三角形和相像三角形有機(jī)的結(jié)合在一起考學(xué)生，對(duì)學(xué)生有意識(shí)的進(jìn)行選拔，也對(duì)學(xué)生高要求，它著重強(qiáng)調(diào)全等三角形和相像三角形的一致點(diǎn)和不同點(diǎn)，讓學(xué)生能區(qū)分開(kāi)，這類(lèi)題型在中考中也算是中難度的題了.

例12（2023年上海市中考題）如圖，在△ABC中，?ACD?90?，?B??A，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，CF∥AB交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：

ADE?EF.

B

DEFC圖（19）

簡(jiǎn)析：要證DE?EF，從題目中我們不能直觀的證明它們相等，要先轉(zhuǎn)化證明平行四邊形再證全等三角形，通過(guò)兩對(duì)邊分別平行的性質(zhì)證明四邊形BCFD是平行四邊形

BCFD，然后把邊DE和EF放在?CED和?CEF中，證明這兩個(gè)三角形全等，進(jìn)而就

可以證明DE?EF.

證明：∵DE∥BC，CF∥AB

∴四邊形BCFD是平行四邊形BCFD∴BD?CF,DF?AC∴?CED和?CEF是直角三角形

又∵?ABC是直角三角形，且D為AB的中點(diǎn)∴CD?BD∴CD?CF

在Rt?CED和Rt?CEF中

?CE?CE??CF?CD16

∴Rt?CED?Rt?CEF(HL)∴DE?EF

說(shuō)明：幾何圖形之間線段與角的關(guān)系是有聯(lián)系的，但是要對(duì)每個(gè)圖形的性質(zhì)把握，才能搭起橋梁，建立關(guān)系.

例13(2023年云南省中考題)如圖，在?ABC中，?C?90?，點(diǎn)D是AB邊上的一點(diǎn)，DM?AB，且DM?AC，過(guò)點(diǎn)M作ME//BC交AB于點(diǎn)E.求證?ABC??MED.

圖（20）

簡(jiǎn)析：題目中給得每個(gè)已知條件都是關(guān)鍵，有直角三角形就想到用“HL〞,但是已知條件中沒(méi)有明確給出斜邊AB?ME，所以我們要另謀出路，根據(jù)ME//BC，

?MED??ABC，用“AAS〞來(lái)證明?ABC??MED.

證明：∵DM?AB

∴?MDE??C?90?又∵M(jìn)E//BC∴?CBA??DEM