九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 222 二次函數(shù)與一元二次方程典型例題2素材新

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《二次函數(shù)與一元二次方程》典型例題

例1已知：二次函數(shù)y=x+2ax-2b+1和y=-x+(a-3)x+b-1的圖象都經(jīng)過(guò)x軸上兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N，求a，b的值。

例2已知二次函數(shù)y?ax?bx?c的圖像如下圖.（1）試確定

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a,b,c,b2?4ac,2a?b,2a?b,a?b?c,a?b?c的符號(hào)；（2）求OA?OB的值；（3）求

?AMB的面積；（4）若OA?OC，求a,b,c之間的關(guān)系.

例3拋物線y?ax?bx?c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，Q（2，k）是該拋物線上一點(diǎn)，且

2AQ?BQ，則ak的值等于（）.

（A）?1（B）?2（C）2（D）3.

例4如下圖，直線AB是一次函數(shù)y?x?n的圖像，直線AC是一次函數(shù)y??2x?m的圖像（m?n?0）.（1）用m,n表示A點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若?ABC的面積為12，且A點(diǎn)在拋物線y?3x?2x?3上，求直線AB與AC的函數(shù)解析式.

例5已知拋物線y?212x?x?2.2（1）確定此拋物線的對(duì)稱軸方程和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）如圖，若直線l:y?kx(k?0)分別與拋物線交于兩個(gè)不同點(diǎn)A、B，與直線y??x?4相交于點(diǎn)P，試證

OPOP??2；OAOB（3）在（2）中，是否存在k值，使A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和等于4？假使存在，求出k值；假使不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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參考答案

例1解：方法一依題意，設(shè)M(x1，0)，N(x2，0)，且x1≠x2，則x1，x2為方程x+2ax-2b+1=0

的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以x1+x2=-2a，x1·x2=-2b+1。

由于x1，x2又是方程-x+(a-3)x+b-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以x1+x2=a-3，x1·x2=1-b．由此得方程組

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當(dāng)a=1，b=0時(shí)，二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，所以a=1，b=0舍去。當(dāng)a=1，b=2時(shí)，二次函數(shù)為y=x+2x-3和y=-x-2x+3符合題意，所以a=1，b=2。方法二由于二次函數(shù)y=x+2ax-2b+1的圖象的對(duì)稱軸為x=-a，二次函數(shù)

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a?3，又兩個(gè)二次函數(shù)圖象都經(jīng)過(guò)x2a?3軸上兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N．所以兩個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為同一直線，所以?a?，

2y??x2?(a?3)x?b2?1的圖象的對(duì)稱軸為x?解得a=1.所以兩個(gè)二次函數(shù)分別為y=x+2x-2b+1和y=-x-2x+b-1。依題意，令y=0得

x+2x-2b+1=0，(1)-x-2x+b-1=0，(2)

(1)+(2)得b-2b=0，解得b1=0，b2=2。以下解法同方法一。

注意：此題給出兩種不同的解法．方法一的關(guān)鍵是緊緊抓住問(wèn)題的本質(zhì)就是兩個(gè)二次函數(shù)圖

象都經(jīng)過(guò)x軸上兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N．從而把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為代數(shù)語(yǔ)言，設(shè)M(x1，0)，N(x20)，再轉(zhuǎn)化為x1，x2是兩個(gè)二次方程的等根來(lái)解。

方法二是利用兩個(gè)二次函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)x軸上兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N這個(gè)現(xiàn)象，挖掘它的內(nèi)涵(從草圖中也可看出)知道，兩個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸應(yīng)為同一直線，從而解得a=1．在求b的過(guò)程中把方程(1)和方程(2)相加消去x，由于兩個(gè)方程設(shè)而不解，這種方法同學(xué)們可能不習(xí)慣,可以這樣理解:x1、x2都是方程(1)和(2)的解,不妨設(shè)

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x12?2x1?2b?1?0,同時(shí)也應(yīng)有?x12?2x1?b2?1?0,所以x12?2x1?2b?1?b2?1.從而推出2b=b2得解。

最終提醒學(xué)生對(duì)于解得的結(jié)果還要進(jìn)行檢驗(yàn)是否符合題意。

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例2分析：（1）觀測(cè)圖象，由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)或令x取?1，就可以確定幾個(gè)式子的符號(hào)．（2）關(guān)鍵要能明白OA?OB與x1x2之間的關(guān)系．

解：（1）∵拋物線開(kāi)口向下，∴a?0.

又∵拋物線的頂點(diǎn)在y軸的右側(cè)，∴?b?0，而a?0，∴b?0.2a又拋物線與y軸的交點(diǎn)(0,c)在x軸上方，∴c?0.

∵拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴b?4ac?0.又?x??2b?1,a?0，∴2a?b?0.2a?x??b??1,a?0，∴2a?b?0.2a當(dāng).x?1時(shí)，y?0，∴a?b?c?0.當(dāng)x??1時(shí)，y?0，∴a?b?c?0.（2）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,0),(x2,0).∴OA?x1??x1,OB?x2?x2，

?x1、x2是方程ax2?bx?c?0的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

∴x1x2?cc.∴OA?OB??x1x2??.aa222cb2?4ac?b?（3）而(x1?x2)?(x1?x2)?4x1x2?????4??.?AB?x1?x2，2aa?a?b2?4ac?a?0,b?4ac?0，∴x1?x2?.

?a2∴S?AMB1(b2?4ac)b2?4ac?AB?DM?.28a2（4）?OA?OC，∴?x1?c即x1??c.

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又?x1是方程ax?bx?c?0的一個(gè)根，由OA?OC知?c是它的另一個(gè)根，由方程根的定義，知ac?bc?c?0.

說(shuō)明：此題是一道綜合性較強(qiáng)的題目，把二次函數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成二次方程的問(wèn)題，然后利用韋達(dá)定理來(lái)解決．

例3分析要解決此題，可運(yùn)用化歸的數(shù)學(xué)思想，將題中的拋物線向左平移2個(gè)單位，新的拋物線與y軸交于（0，k）點(diǎn).可設(shè)新拋物線的解析式為y?ax?bx?k.這樣就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：“拋物線y?ax?bx?k與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于Q點(diǎn)，若AQ?BQ，則ak=，〞從而把問(wèn)題“化繁為簡(jiǎn)〞.根據(jù)射影定理與韋達(dá)定理可得ak=?1.例4分析：（1）要求A點(diǎn)的坐標(biāo)，可求方程組?2'2'22?y?x?n,的解；（2）要求直線AB與

?y??2x?mAC的解析式，就是要確定m,n的值.因A點(diǎn)在拋物線y?3x2?2x?3上，把A點(diǎn)的坐標(biāo)代

入拋物線解析式得到一個(gè)關(guān)于m,n的方程，再由?ABC的面積為12，又得到一個(gè)關(guān)于m,n的方程，解由這兩個(gè)方程組成的方程組即可.

m?n?x?,??y?x?n,?3

解：（1）解方程組?得?

m?2ny??2x?m??y?.?3?

∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為??m?nm?2n?,?.

3??3（2）∵A點(diǎn)在拋物線上，

m?2nm?n?m?n?∴?3???2??3.?33?3?∴m?2mn?n?3m?9?0.

令y?0，則由0?x?n得x??n，由0??2x?m得x?∴B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是B??n,0?,C?軸于D.

222m.2?m?,0?，且參照?qǐng)D像可知n?0,m?0.作AD?x?2?5

?S?ABC?12，

∴

12?BC?AD?12，即1mm?2n2?2?n?3?12.即(m?2n)2?144.

?m2?2mn?n2?3m?9?0,解方程組??(m?2n)2?144,

??m?0,n?0,得??m?6,?n?3.∴直線AB和直線AC的解析式分別是：y?x?3和y??2x?6.例5答案：（1）略；

?（2）由??y?1?2x2?x?2?y?kx得x2?2(k?1)x?4?0.設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2).則x1+x2=2（k+1），x1?x2?4.由??y?kx,?4,

?y??x得x?4k?1(k?0)，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)x4p?k?1.

作AA'?x軸于A'，PP'?x軸于P'，BB'?x軸于B'.

OPOPOP'OP'于是OA?OB?OA'?OB'=

xpx?xp?xp(x1?x2)=

41x2x1x2k?1?2(k?1)4?2.（3）不存在

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由于A(x1,y1)、B(x2,y2)在直線y?kx上，由題意，得

y1?y2?kx1?kx2?k(x1?x2)?k?2(k?1)?4

所以k2?k?2?0

解得k?1，k??2（與k>0矛盾，舍去）

當(dāng)k?1時(shí)，方程x2?2(k?1)x?4?0化為x2?4x?4?0.此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

故適合條件的k值不存在.

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