立體幾何練習(xí)題（含答案）

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一、選擇題：

1．a(chǎn)、b是兩條異面直線，以下結(jié)論正確的是

2．空間不共線的四點，可以確定平面的個數(shù)為()

Ａ．0Ｂ．1Ｃ．1或4Ｄ．無法確定A．過不在a、b上的任一點，可作一個平面與a、b都平行B．過不在a、b上的任一點，可作一條直線與a、b都相交C．過不在a、b上的任一點，可作一條直線與a、b都平行D．過a可以且只可以作一個平面與b平行

?2?R?RB.RC.RD.

24337.直線l⊥平面α，直線m?平面β，有以下四個命題

?(1)（）//??l?m(2)????l//m(3)l//m????

A.

(4)l?m??//?其中正確的命題是()A.(1)與(2)B.(2)與(4)C.(1)與(3)D.(3)與(4)

8.正三棱錐的側(cè)面均為直角三角形，側(cè)面與底面所成角為α，則以下不等式成立的是()A.0????6B.

?6????4C.

?4????3D.

?3????2

9．?ABC中，AB?9，AC?15，?BAC?120?，?ABC所在平面?外一點P到點A、B、C的距離都是14，則P到平面?的距離為()Ａ．7Ｂ．9Ｃ．11Ｄ．13

10．在一個45?的二面角的一個平面內(nèi)有一條直線與二面角的棱成角45?，則此直線與二面角的另一個平面所成角的大小為()

Ａ．30?Ｂ．45?Ｃ．60?Ｄ．90?

11.如圖,E,F分別是正方形SD1DD2的邊D1D,DD2的中點,沿SE,SF,EF將其折成一個幾何體,使D1,D,D2重合,記作D.給出以下位置關(guān)系:①SD⊥面DEF;②SE⊥面DEF;③DF⊥SE;④EF⊥面SED,其中成立的有:()

Ａ.①與②B.①與③C.②與③D.③與④

12.某地球儀的北緯60度圈的周長為6?cm,則地球儀的表面積為()

A.24?cmB.48?cmC.144?cmD.288?cm

2

2

2

2

M、N分別為棱AA1、BB1的中點，則3．在正方體ABCD?A1BC11D1中，

異面直線CM和D1N所成角的正弦值為()

124525Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

93994．已知平面??平面?，m是?內(nèi)的一直線，n是?內(nèi)的一直線，且m?n，則：①m??；②n??；③m??或n??；④m??且n??。這四個

結(jié)論中，不正確的三個是()．．．

Ａ．①②③Ｂ．①②④Ｃ．①③④Ｄ．②③④5.一個簡單多面體的各個面都是三角形，它有6個頂點，則這個簡單多面體的面數(shù)是()

A.4B.5C.6D.86.在北緯45°的緯度圈上有甲、乙兩地，兩地經(jīng)度差為90°，則甲、乙兩地最短距離為（設(shè)地球半徑為R）()

二、填空題（本大題共4小題，每題4分，共16分）13.直二面角α—MN—β中，等腰直角三角形ABC的斜邊BC?α，一直角邊AC?β，BC與β所成角的正弦值是AB與β所成角大小為__________。

6，則4

1

學(xué)科測評網(wǎng)主頁：.email:jssqwsh2023@電話：05274342551手機：1351529237314.如圖在底面邊長為2的正三棱錐V—ABC中,E是BC中點,若△VAE的面積是成角的大小為

15．如圖，已知矩形ABCD中，AB?1，BC?a，

P18．（本小題總分值12分）如圖，在矩形ABCD中，AB?31,則側(cè)棱VA與底面所4ABD3，BC?3，沿對角線BD將?BCD折起，使點C移到P點，且P在平面ABD上的射影O恰好在AB上。（1）求證：PB?面PAD；（2）求點A到平面PBD的距離；（3）求直線AB與平面PBD的成角的大小

19．（本小題總分值12分）

如圖,已知PA?面ABC,AD?BC,垂足D在BC的延長線上,且

PA?面ABCD。

QCP(C)若在BC上只有一個點Q滿足PQ?QD，則a的值等于______.

16.六棱錐P—ABCDEF中，底面ABCDEF是正六邊形，PA⊥底面

ABCDEF，給出以下四個命題

①線段PC的長是點P到線段CD的距離；②異面直線PB與EF所成角是∠PBC；③線段AD的長是直線CD與平面PAF的距離；④∠PEA是二面角P—DE—A平面角。其中所有真命題的序號是_______________。

三.解答題:（共74分，寫出必要的解答過程）

17．(本小題總分值10分)

如圖，已知直棱柱ABC?A1B1C1中，

BADBCODABC?CD?DA?1

(1)記PD?x,?BPC??,試把tan?表示成x的函數(shù),并求其最大值.

(2)在直線PA上是否存在點Q,使得?BQC??BAC

P

CBMA

B

?ACB?90?，?BAC?30?，BC?1，

A

C

D

AA1?6，M是CC1的中點。

求證：AB1

C1B1A1

?A1M

2

學(xué)科測評網(wǎng)主頁：.email:jssqwsh2023@電話：05274342551手機/p>

20.（本小題總分值12分）

正三棱錐V-ABC的底面邊長是a,側(cè)面與底面成60°的二面角。求（1）棱錐的側(cè)棱長；

（2）側(cè)棱與底面所成的角的正切值。

21.（本小題總分值14分）

已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為8，面的對角線B1C=10，D為AC的中點，

（1）求證：AB1//平面C1BD;

（2）求異面直線AB1與BC1所成角的余弦值;（3）求直線AB1到平面C1BD的距離。

22.（本小題總分值14分）

已知A1B1C1-ABC為直三棱柱，D為AC中點，O為BC中點，E在CC1上，∠ACB=90°，AC=BC=CE=2，AA1=6.（1）證明平面BDE∥AO；（2）求二面角A-EB-D的大?。唬?）求三棱錐O-AA1D體積.

3

學(xué)科測評網(wǎng)主頁：.email:jssqwsh2023@電話：05274342551手機測試001

答案

一．選擇題：(每題5分,共60分)題號答案1D2C3C4B5D6B7C8C9A10A11B12C?????????6?AB1?(1,?3,?6)，A1M?(0,?3,)

2??????????????????6所以?AB1?A1M?0?3?(?6)??0?AB1?AM12AB1?A1M

18．解：（1）?P在平面ABD上的射影O在AB上，?PO?面ABD。

故斜線BP在平面ABD上的射影為AB。

又?DA?AB，?DA?BP，又BC?CD，?BP?PD

二．填空題：(每題4分,共16分)13.60o14.arctan1415.216.①④三.解答題:（共74分，寫出必要的解答過程）

?ACB?90?17．(10分)解：

是直三棱柱，所以B1C1又三棱柱ABC?A?BC11?AC11，1B1C1?AD?PD?D?BP?面PAD

（2）過A作AE?PD，交PD于E。

?BP?面PAD，?BP?AE，?AE?面BPD故AE的長就是點A到平面BPD的距離

?AD?AB，DA?BC?AD?面ABP?AD?AP

在Rt?ABP中，AP??面AC1，連結(jié)AC1，則AC1是AB1在面AC1上的射影AB2?BP2?32；

3

在四邊形AAC11C中，

?AA1AC??ACM?，?11?2，且?AAC11112ACC1M11在Rt?BPD中，PD?CD?3??AAC11??AC11M，?AC1?A1M?AB1?A1M

以C1B1為x軸，C1A1為y軸，C1C為z軸建立空間直角坐標(biāo)系

由BC?1，AA1易得A1(0,

在Rt?PAD中，由面積關(guān)系，得AE?AP?AD32?3??6PD33（3）連結(jié)BE，?AE?面BPD，?BE是AB在平面BPD的射影

??ABE為直線AB與平面BPD所成的角

在Rt?AEB中，sin?ABE?6，?ACB?90?，?BAC?30?，

6)，B1(1,0,0)2?AE22?，??ABE?arcsinAB33?3,0)，A(0,3,6)，M(0,0,19．(1)?PA?面ABC,BD?AD,?BC?PD,即?PDB?90.

4

學(xué)科測評網(wǎng)主頁：.email:jssqwsh2023@電話：05274342551手機Rt?PDB和Rt?PDC中,tan?BPD?

21,tan?CPD?,xxaa7a221a22在Rt△VAO中，VA=VO?AO????43126即側(cè)棱長為

2221?xx?x(x?1)?tan??tan?BPC?tan(?BPD??CPD)?21x2?21??xx

21a6

1x?2x?122?22,當(dāng)且僅當(dāng)x?2時,tan?取到最大值.44aVO3（2）由（1）知∠VAO即為側(cè)棱與底面所成角，則tan∠VAO=?2?AO23a321(12分)解：（1）連結(jié)BC1交B1C于點E，則E為B1C的中點，并連結(jié)DE∵D為AC中點∴DE∥AB1

而DE?面BC1D，AB1?面BC1D∴AB1∥面C1BD

（2）由（1）知AB1∥DE，則∠DEB或其補角為異面直線AB1與BC1所成的角由條件知B1C=10，BC=8則BB1=6∵E三棱柱中AB1=BC1∴DE=5

(2)在Rt?ADB和Rt?DC中,tan?BAD=2,tan?CAD?1?tan?BAC?tan(?BAD??CAD)?2?112??1?2?134故在PA存在點Q(如AQ?1)滿足

12,使?tan?BQC?34?BQC??BAC

又∵BD=

20.(12分)解：（1）過V點作V0⊥面ABC于點0，VE⊥AB于點E∵三棱錐V—ABC是正三棱錐∴O為△ABC的中心則OA=

3?8?432∴在△BED中

233133?a?a，OE=?a?a323326BE2?DE2?BD225?25?481cos?BED???

2BD?DE2?5?525故異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為

又∵側(cè)面與底面成60°角∴∠VEO=60°則在Rt△VEO中；V0=OE·tan60°=

3aa?3?62125（3）由（1）知A到平面BC1D的距離即為直線AB1到平面BC1D的距離設(shè)A到平面BC1D的距離為h，則由VA?BC1D?VC1?ABD得

5

學(xué)科測評網(wǎng)主頁：.email:jssqwsh2023@電話：05274342551手機?CC111?S?BC1D?h??S?ABD?C1C即h=?ABD33S?BC1D由正三棱柱性質(zhì)得BD⊥C1D則S?BC1D?1BD:C1D21BD?AD?CC1AD?CC14?62412132∴h?????221C1D13526?4BD?C1D2即直線AB1到平面的距離為22.(14分)

證明：①設(shè)F為BE與B1C的交點，G為GE中點∵AO∥DF∴AO∥平面BDE

②α=arctan

1213132-arctan

2或arcsin1/32③用體積法V=

11××6×h=132

6

學(xué)科測評網(wǎng)主頁：.email:jssqwsh2023@電話：05274342551手機幾測試002

一、選擇題（12×5分）

1．已知直線a、b和平面M，則a//b的一個必要不充分條件是（）

A．a(chǎn)//M,b//MC．a(chǎn)//M,b?M

B．a(chǎn)⊥M，b⊥MD．a(chǎn)、b與平面M成等角

AA1?A1B，則該棱柱的體積為（）

A．43B．33C．4D．37．已知直線l⊥面α，直線m?面β，給出以下命題：

（1）?//??l?m

（2）????l//m（4）l?m??//?

B

D.4

ECH（3）l//m????其中正確的命題個數(shù)是（）A.1

B.2

S

GAF2．正周邊體P—ABC中，M為棱AB的中點，則PA與CM所成角的余弦值為（）

C.3

8．正三棱錐S?ABC的底面邊長為a，側(cè)棱長為b，那么經(jīng)過底

3333A．B．C．D．

26433．a(chǎn),b是異面直線，A、B∈a,C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB=2，CD=1，

則a與b所成的角為（）

A．30°

B．60°

C．90°

D．45°

4．給出下面四個命題：

①“直線a、b為異面直線〞的充分非必要條件是：直線a、b不相交；②“直線l垂直于平面?內(nèi)所有直線〞的充要條件是：l⊥平面?；③“直線a⊥b〞的充分非必要條件是“a垂直于b在平面?內(nèi)的射影〞；④“直線a∥平面?〞的必要非充分條件是“直線a至少平行于平面?內(nèi)的一條直線〞．

其中正確命題的個數(shù)是（）

A．1個B．2個C．3個D．4個5．設(shè)l1、l2為兩條直線，a、β為兩個平面，給出以下四個命題：(1)若l1??,l2?邊AC和BC的中點且平行于側(cè)棱SC的截面EFGH的面積為（）A.ab

B.

ab2C.

ab4D.

2ab2

9．已知平面α、β、γ，直線l、m，且l?m,???,????m,????l，

給出以下四個結(jié)論：①???；②l??；③m?

確的個數(shù)是（）

A．0B．1C．2D．3

D1A1M

DO

A

’

?；④???.則其中正

10．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是棱DD1的中點，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上任意一點，則直線OP與支線AM所成角的大小為（）

A.45oB.90oC.60o

’

’

D.不能確定

11．將邊長為1的正方形ABCD沿對角線BD折起，使得點A到點

A的位置，且AC＝1，則折起后二面角A－DC－B的大小為（）A.arctan?，l1∥β，l1∥a則a∥β.(2)若l1⊥a，l2⊥a，則l1

∥l2(3)若l1∥a，l1∥l2，則l2∥a(4)若a⊥β，l1??，則l1⊥β

其中，正確命題的個數(shù)是（）

A．0個B．1個C．2個D．3個6．三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B?底面ABC，

?直線A1C與底面成60角，AB?BC?CA?2，

??2B.C.arctan2D.243AA1、CC1的中點，P是CC1上

A1

C1

AC

12.B1正方體ABCD?A1B1C1D1，E、F分別是

的軌跡是（）

B

的動點（包括端點），過E、D、P作正方體的截面，若截面為四邊形，則P

7

學(xué)科測評網(wǎng)主頁：.email:jssqwsh2023@電話：05274342551手機.線段C1F

B.線段CF

D.線段C1F和一點C

（3）求平面A1B1CD與直線DE所成角的正弦值.

18．在平行四邊形ABCD中，AB?3C.線段CF和一點C1二、填空題（4×4分）

2，AD?23，?ADB?90?,沿BD

AD

EBCB

13．矩形ABCD的對角線AC，BD成60°角，把矩形所在的平面以AC為折痕，

折成一個直二面角D—AC—B，連結(jié)BD，則BD與平面ABC所成角的正切值為.

14．將棱長為1的正方體木塊加工成一個體積最大的球，則這個球的體積

為，球的表面積為

將其折成二面角A－BD－C，若折后AB?CD。（1）求二面角A?BD?C的大小；（2）求折后點C到面ABD的距離。

?（不計損耗）.

15.周邊體ABCD中，有如下命題：

①若AC⊥BD，AB⊥CD，則AD⊥BC；

②若E、F、G分別是BC、AB、CD的中點，則∠FEG的大小等于異面直線AC與BD所成角的大??；

③若點O是周邊體ABCD外接球的球心，則O在面ABD上的射影是△ABD的外心

④若四個面是全等的三角形，則ABCD為正周邊體。其中正確的是：______。（填上所有正確命題的序號）

16．直三棱柱ABC—A1B1C1的每一個頂點都在同一個球面上，若

19．在棱長AB=AD=2，AA’=3的長方體AC1中，點E是平面BCC1B1上動點，

A1點F是CD的中點。

(1)試確定E的位置，使D1E⊥平面AB1F。(2)求二面角B1－AF－B的大小。

A1B1C1

EAB

FCD

ABDCD1

C1B1

AB

F

C

D

AC?2,BC?CC1?1，

?ACB?D120．（本小題總分值14分）如圖，在正三棱柱A1B1C1?ABC中，D、E分別是

棱BC、CC1的中點，AB?AA1?2。

（Ⅰ）證明：BE?AB1；（Ⅱ）求二面角B?AB1?D的大小。A1B1EC1?2，則A、C兩點之間的球面距離為.

三、解答題（12+12+12+12+12+14分）

17．已知長方體AC1中，棱AB=BC=1，棱BB1=2，連結(jié)B1C，

過B點作B1C的垂線交CC1于E，交B1C于F.（1）求證A1C⊥平面EBD；（2）求點A到平面A1B1C的距離；

8學(xué)科測評網(wǎng)主頁：.email:jssqwsh2023@電話：05274342551手機：1351529237321．如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，

BC?AA1?4，AC?3，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點。（1）在棱BB1上求一點P，使CP⊥BD；（2）在（1）的條件下，求DP與面BB1C1C所

成的角的大小。

22．如圖，三棱錐P—ABC中，PB⊥底面ABC于B，

∠BCA=90°，PB=BC=CA=4分別是PC，AP的中點.

（1）求證：側(cè)面PAC⊥側(cè)面PBC；（2）求異面直線AE與BF所成的角；（3）求二面角A—BE—F的平面角.

EFCABP2，點E，點F

9

學(xué)科測評網(wǎng)主頁：.email:jssqwsh2023@電話：05274342551手機幾測試002答案

一、選擇題（12×5分）

1．已知直線a、b和平面M，則a//b的一個必要不充分條件是（D）

A．a(chǎn)//M,b//MC．a(chǎn)//M,b?M

B．a(chǎn)⊥M，b⊥MD．a(chǎn)、b與平面M成等角

AA1?A1B，則該棱柱的體積為（B）

A．43B．33C．4D．37．已知直線l⊥面α，直線m?面β，給出以下命題：

（1）?//??l?m

（2）????l//m（4）l?m??//?

D.4

B

ECH（3）l//m????其中正確的命題個數(shù)是（B）A.1

B.2

S

G

2．正周邊體P—ABC中，M為棱AB的中點，則PA與CM所成角的余弦值為（B）

C.3

8．正三棱錐S?ABC的底面邊長為a，側(cè)棱長為b，那么經(jīng)過底

邊AC和BC的中點且平行于側(cè)棱SC的截面EFGH的面積為（C）A.ab

B.

F3333A．B．C．D．

26433．a(chǎn),b是異面直線，A、B∈a,C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB=2，CD=1，

則a與b所成的角為（B）

A．30°

B．60°

C．90°

D．45°

4．給出下面四個命題：

①“直線a、b為異面直線〞的充分非必要條件是：直線a、b不相交；②“直線l垂直于平面?內(nèi)所有直線〞的充要條件是：l⊥平面?；③“直線a⊥b〞的充分非必要條件是“a垂直于b在平面?內(nèi)的射影〞；④“直線a∥平面?〞的必要非充分條件是“直線a至少平行于平面?內(nèi)的一條直線〞．

其中正確命題的個數(shù)是（B）

A．1個B．2個C．3個D．4個5．設(shè)l1、l2為兩條直線，a、β為兩個平面，給出以下四個命題：(1)若l1??,l2?ab2C.

ab4D.

2ab2

9．已知平面α、β、γ，直線l、m，且l?m,???,????m,????l，

給出以下四個結(jié)論：①???；②l??；③m?

確的個數(shù)是（C）

A．0B．1C．2D．3

D1A1M

D

D.不能確定

O

A

?；④???.則其中正

10．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是棱DD1的中點，O是底面ABCD

的中心，P是棱A1B1上任意一點，則直線OP與支線AM所成角

的大小為（B）A.45oB.90oC.60o

11．將邊長為1的正方形ABCD沿對角線BD折起，使得點A到點

A’的位置，且A’C＝1，則折起后二面角A’－DC－B的大小為（C）A.arctanB1

C1

?，l1∥β，l1∥a則a∥β.(2)若l1⊥a，l2⊥a，則l1

∥l2(3)若l1∥a，l1∥l2，則l2∥a(4)若a⊥β，l1??，則l1⊥β

其中，正確命題的個數(shù)是（B）

A．0個B．1個C．2個D．3個6．三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B?底面ABC，

?直線A1C與底面成60角，AB?BC?CA?2，

A1

??2B.C.arctan2D.243AC

B

10

學(xué)科測評網(wǎng)主頁：.email:jssqwsh2023@電話：05274342551手機：1351529237312.正方體ABCD?A1B1C1D1，E、F分別是

的軌跡是（C）A.線段C1F

B.線段CF

C.線段CF和一點C1二、填空題（4×4分）

AA1、CC1的中點，P是CC1上

17．已知長方體AC1中，棱AB=BC=1，棱BB1=2，連結(jié)B1C，

過B點作B1C的垂線交CC1于E，交B1C于F.（1）求證A1C⊥平面EBD；（2）求點A到平面A1B1C的距離；

（3）求平面A1B1CD與直線DE所成角的正弦值.解：（1）連結(jié)AC，則AC⊥BD

∵AC是A1C在平面ABCD內(nèi)的射影∴A1C⊥BD；

又∵A1B1⊥面B1C1CB，且A1C在平面B1C1CB內(nèi)的射影B1C⊥BE，

的動點（包括端點），過E、D、P作正方體的截面，若截面為四邊形，則P

D.線段C1F和一點C

13．矩形ABCD的對角線AC，BD成60°角，把矩形所在的平面以AC為折痕，

折成一個直二面角D—AC—B，連結(jié)BD，則BD與平面ABC所成角的正切

?A1C?BE又?BD?BE?B?A1C?面EBD

21.714．將棱長為1的正方體木塊加工成一個體積最大的球，則這個球的體積為值為

（2）易證：AB//平面A1B1C，所以點B到平面A1B1C的距離等于點A到平面A1B1C的距離，又BF⊥平面A1B1C，∴所求距離即為BF?（3）連結(jié)DF，A1D，?EF?B1C,EF?A1C

EF?面A1B1C，∴∠EDF即為ED與平面A1B1C所成的角.

2?122?12??，球的表面積為625.5?（不計損耗）.

15.周邊體ABCD中，有如下命題：

①若AC⊥BD，AB⊥CD，則AD⊥BC；

②若E、F、G分別是BC、AB、CD的中點，則∠FEG的大小等于異面直線AC與BD所成角的大小；

③若點O是周邊體ABCD外接球的球心，則O在面ABD上的射影是△ABD的外心

④若四個面是全等的三角形，則ABCD為正周邊體。其中正確的是：___①③____。（填上所有正確命題的序號）16．直三棱柱ABC—A1B1C1的每一個頂點都在同一個球面上，若

EF?由條件AB=BC=1，BB1=2，可知B1C?5，

BF?25455,B1F?,CF?,555FC?BB11FC?BF5?,EC??.B1F10B1F2?ED?EC2?CD2?A1AC?2,BC?CC1?1，

?ACB?5.2?sin?EDF?EF1?.ED5?2，則A、C兩點之間的球面距離為?.B12C1D1

18．在平行四邊形ABCD中，AB?32，AD?23，?ADB?90?,沿BD

AD

B

將其折成二面角A－BD－C，若折后AB?CD。

（1）求二面角A?BD?C的大??；（2）求折后點C到面ABD的距離。

三、解答題（12+12+12+12+12+14分）

11E

A

FDB

EC學(xué)科測評網(wǎng)主頁：.email:jssqwsh2023@電話：05274342551手機法一：設(shè)A點在面BCD內(nèi)的射影為H，

連結(jié)BH交CD于E，連DH，在ΔADB中，AB2=AD2+BD2，∴AD⊥DB。又AH⊥面DBC，∴BH⊥DH。

∴∠ADH為二面角A—BD—C的平面角。

由AB⊥CD，AH⊥面DBC，∴BH⊥CD。易求得CE=22，DE=2。

又∵Rt△DEH∽Rt△CEB∴DH=在RtΔADH中，cos?ADH?∴二面角A—BD—C的大小為

19．在棱長AB=AD=2，AA’=3的長方體AC1中，點E是平面BCC1B1上動點，

點F是CD的中點。

(1)試確定E的位置，使D1E⊥平面AB1F。

(2)求二面角B1－AF－B的大小。

解：(1)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

A(0，0，0)，F(xiàn)(1，2，0)，B1(2，0，3)，D1(0，2，3)，

B

設(shè)E(2，y，z)

B1

A1C1D1

3。

1?,??ADH?，23AF

C

D

?。3法二：在△BCD中，由余弦定理得cos?BDC?3,?ADB??DBC?90?。

3∵DA?BD,BC?DB,?二面角的大小就是?DA,BC??！逜B?DC,?AB?DC?0,即(DB?DA)?CD?0，即DB?CD?DA?CD?0,故DB?CD?DA?CD。

?D1E?(2,y?2,z?3)，AF?(1,2,0)，AB1?(2,0,3)

??D1E?AF?0由D1E⊥平面AB1F??，即

??D1E?AB1?0

????????????????DA?BC=DA(DC?DB)=(DA?DC)?(DA?DB)=

?????cosDA,BC?????1223?23|DA||BC|DB?DC

12=DBDCcos(DB,DC)126?32?=1233?1

2?y?1?2?2(y?2)?0?5?∴E(2，1，)為所求。5??4?3(z?3)?0z?3??3?4(2)當(dāng)D1E⊥平面AB1F時，D1E?(2,?1,?)，B1B?(0,0,?3)

3又B1B與D1E分別是平面BEF與平面B1EF的法向量，則

二面角B1-AF-B的平面角等于?！遚os=

?(DA,BC)?60?

(2)由對稱性成等積性知：C到面ABD的距離等于A到面BCD的距離

4?3(?)34322?1?(?)23?46161AH?AD?sin?ADH?23?3?3(12分)212

學(xué)科測評網(wǎng)主頁：.email:jssqwsh2023@電話：05274342551手機B1-AF-B的平面角為arccos35461或用傳統(tǒng)法做(略)(arctan)614????????????|n1?n2|1515??????。cos??|cos?n1,n2?|?????arccos55|n1|?|n2|21．如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，

20．（本小題總分值14分）如圖，在正三棱柱A1B1C1?ABC中，D、E分別是

棱BC、CC1的中點，AB?AA1?2。

（Ⅰ）證明：BE?AB1；（Ⅱ）求二面角B?AB1?D的大小。

解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則

（Ⅰ）證明：由于B(?1,0,0)，E(1,0,1)，

A1B1BC?AA1?4，AC?3，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點。（1）在棱BB1上求一點P，使CP⊥BD；（E2）在（1）的條件下，求DP與面BB1C1C所成的角的大小。

解法一：（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系

C1A(0,3,0)，B1(?1,0,2)，

?????????所以BE?(2,0,1)，AB1?(?1,?3,2)，故????????BE?AB1?2?(?1)?0?(?3)?1?2?0，

因此，有BE?AB1；量，

AB?CP?4，0，z?，則CP??4，0，z?設(shè)??3??3???B4，0，0，D2，，4由4???得：BD???2，，2??2????由CP⊥BD，得：CP·BD?0?z?2

所以點P為BB1的中點時，有CP⊥BD

C1D???（Ⅱ）設(shè)n1?(x,y,z)是平面ABB1的法向

z?????????由于AB1?(?1,?3,2)，BB1?(0,0,2)，???????????????????n1?AB1?n1?AB1??x?3y?2z?0?????????????????????n1?BB1?n1?BB1?2z?0（2）過D作DE⊥B1C1，垂足為E，易知E為D在平面BC1上的射影，

ExA1B1所以由

∴∠DPE為DP與平面BC1所成的角

??3??3?4?得：PD???2，，由（1），P（4，0，z），D?2，，2?

2?2???∵E(2,0,4)，∴PE?(?2,0,2)。PD?PE?|PD|?|PEcos?DPE，∴cos?DPE????可取n1?(3,?1,0)；

???同理，n2?(2,0,1)是平面AB1D的法向量。

設(shè)二面角B?AB1?D的平面角為?，則

yABDC482482，∴?DPE?arccos。4141482。41即DP與面BB1C1C所成的角的大小為arccos解法二：取B1C1的中點E，連接BE、DE。顯然DE⊥平面BC1

13

學(xué)科測評網(wǎng)主頁：.email:jssqwsh2023@電話：05274342551手機BE為BD在面BC1內(nèi)的射影，若P是BB1上一點且CP⊥BD，則必有CP⊥BE

∵四邊形BCC1B1為正方形，E是B1C1的中點∴點P是BB1的中點，∴BB1的中點即為所求的點P（2）連接DE，則DE⊥B1C1，垂足為E，連接PE、DP??DPE為DP與平面BC1所成的角

∴側(cè)面PAC⊥側(cè)面PBC.

（2）以BP所在直線為z軸，CB所在直線y軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，由條件可設(shè)

P(0,0,42),B(0,0,0),C(0,?42,0),A(42,?42,0)則E(0,?22,22),F(22,?22,22)AE?(?42,22,22),BF?(22,?22,22),?AE?BF??16,|AE|?|BF|?242,

?cos?AE,BF???22,?AE與BF所成的角是arccos33

3由（1）和題意知：DE?,PE?22

2?DPE?tanDE3232?,??DPE?arctanPE88即DP與面BB1C1C所成的角的大小為arctan

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（3）平面EFB的法向量a=(0,1,1)，平面ABE的法向量