淮安市2020屆高三下學(xué)期5月調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精江蘇省淮安市2020屆高三下學(xué)期5月調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題含解析淮安市5月高三調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)Ⅰ一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.1。已知集合，，則中的元素個(gè)數(shù)為________.【答案】4【解析】【分析】由集合的并運(yùn)算可得解.【詳解】由已知可得：則中的元素個(gè)數(shù)為4.故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查了集合的并運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的實(shí)部為________。【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再求得的實(shí)部.【詳解】整理得：,所以復(fù)數(shù)實(shí)部為。故答案為：?！军c(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查實(shí)部的概念，屬于基礎(chǔ)題。3.若一組數(shù)據(jù)3，，2，4，5的平均數(shù)為3，則該組數(shù)據(jù)的方差是________。【答案】2【解析】【分析】通過平均數(shù)求出x，再利用方差公式求出方差得解?！驹斀狻坑梢阎傻茫海獾?。則該組數(shù)據(jù)的方差是。故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查了平均數(shù)和方差的計(jì)算,意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題。4.函數(shù)的最小正周期為________.【答案】【解析】【分析】由輔助角公式可得，問題得解.【詳解】因所以函數(shù)的最小正周期為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了輔助角公式和三角函數(shù)的周期公式,屬于基礎(chǔ)題。5.執(zhí)行如圖所示的算法流程圖，則輸出的結(jié)果是________?！敬鸢浮?【解析】【分析】循環(huán)進(jìn)行賦值運(yùn)算，直到退出循環(huán)，輸出結(jié)果【詳解】當(dāng)時(shí)，進(jìn)入循環(huán):;當(dāng)時(shí)，進(jìn)入循環(huán)：；當(dāng)時(shí),退出循環(huán)，輸出.故答案為:8【點(diǎn)睛】本題考查了利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算變量的值,屬于基礎(chǔ)題。6.若，則方程有實(shí)根的概率為________.【答案】【解析】【分析】由已知可得，解得,可知當(dāng)時(shí)滿足要求,再根據(jù)古典概型概率公式求解.【詳解】方程有實(shí)根，，解得時(shí)滿足要求，則方程有實(shí)根的概率為。故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.7.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合,則該雙曲線的離心率為________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥肯惹髵佄锞€與雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)條件列式解得，最后根據(jù)雙曲線的離心率定義求結(jié)果?！驹斀狻繏佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為:由已知可得：，即則該雙曲線的離心率為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線和雙曲線的相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題。8。已知公差不為0的等差數(shù)列,其前項(xiàng)和為，首項(xiàng)，且，，成等比數(shù)列，則________.【答案】【解析】【分析】由已知得，由得，解得，最后由等差數(shù)列求和公式得解。【詳解】，，成等比數(shù)列,，等差數(shù)列首項(xiàng)，，解得或.因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差不為0，所以.由等差數(shù)列求和公式得。故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算和求和公式,考查了等比中項(xiàng)公式的應(yīng)用,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平。9.已知非零向量滿足，則與夾角的余弦值為________．【答案】【解析】【分析】首先由可得,再由向量的數(shù)量積可求得夾角的余弦值.【詳解】，又，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了向量的模長(zhǎng)、向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了向量最基本的化簡(jiǎn)，屬于中檔題.10。已知一個(gè)正四面體的體積為，則該正四面體的棱長(zhǎng)為_________.【答案】2【解析】【分析】設(shè)棱長(zhǎng)為a，根據(jù)正四面體的對(duì)稱性，求出正四面體的底面積和高，即可得解.【詳解】設(shè)四面體中CD邊中點(diǎn)為E，F(xiàn)為正三角形BCD的中心，則AF為四面體的高，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，則,，，，，解得，則該正四面體的棱長(zhǎng)為2.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查了求棱錐的體積,考查了計(jì)算能力，屬于中檔題。11.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，，若有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________。【答案】【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與有三個(gè)交點(diǎn),由已知畫出圖象觀察即可得解。【詳解】方程有三個(gè)零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為與有三個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再由當(dāng)時(shí),,可畫出下圖：由圖可知：【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性及二次函數(shù)函數(shù)作圖,考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題。12.已知，，且，則的最小值是________.【答案】【解析】【分析】由題得,再利用基本不等式可得解?！驹斀狻?，又，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,則的最小值是。故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式求最值，關(guān)鍵是利用兩式相乘創(chuàng)造積為定值的條件,意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平。13.已知，，則值為________。【答案】【解析】【分析】由可得，再由和可得的值，問題得解.【詳解】由已知得:則整理得：,解得或，當(dāng)時(shí)，則,當(dāng)時(shí)，舍故答案：【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的平方和關(guān)系和商數(shù)關(guān)系，考查了計(jì)算能力，較簡(jiǎn)單。14。在平面直角坐標(biāo)系，已知點(diǎn)在圓內(nèi)，動(dòng)直線過點(diǎn)且交圓于兩點(diǎn)，若的面積等于的直線恰有3條，則正實(shí)數(shù)的值為________.【答案】或【解析】【分析】將圓的方程配成標(biāo)準(zhǔn)式，求出圓心及半徑，由三角形面積公式得，則或，要使的面積等于的直線恰有3條，則有最小值，從而得到，即可求解；【詳解】解：由，得:，則圓心，,因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)，所以解得由已知得：，解得：，則或因?yàn)檫^的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，要使的面積等于的直線恰有3條，則有最小值，即所以或故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的綜合應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題。二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.在中，角的對(duì)邊分別為.已知.(1）求角；（2）若,求的值。【答案】(1）；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，得，整理得：,從而得解；（2）由，求出，由展開即可得解?！驹斀狻浚?）由，得，即，所以,，,，，解得。（2）由，得，，所以，的值為?！军c(diǎn)睛】本題考查了兩角和的正弦展開式和誘導(dǎo)公式,關(guān)鍵是利用正弦定理將邊化為角,屬于基礎(chǔ)題.16。如圖，矩形所在平面與菱形所在平面互相垂直,交線為，，是的中點(diǎn)。(1）求證：平面；（2）若點(diǎn)在線段上，且，求證：平面?！敬鸢浮浚?）見詳解；(2)見詳解【解析】【分析】(1)證出四邊形是平行四邊形，進(jìn)而得到，利用線面平行的判定定理，即可得證；（2）證出，又O是BD中點(diǎn),可得,又已知，借助線面垂直的判定定理，即可得證?！驹斀狻浚?）連接，，如圖，是菱形，O是AC的中點(diǎn)，又是矩形的邊的中點(diǎn)，且，四邊形是平行四邊形，，又平面,平面,平面.（2)平面平面，且平面平面，又平面，且,平面，,,由勾股定理知：,,又O是BD中點(diǎn)，，又且，平面?！军c(diǎn)睛】本題考查了線面平行判定定理和線面垂直的判定定理，考查了學(xué)生的邏輯推理能力，屬于中檔題.17.某校為整治校園環(huán)境,設(shè)計(jì)如圖所示的平行四邊形綠地，在綠地中種植兩塊相同的扇形花卉景觀，兩扇形的邊都落在平行四邊形的邊上，圓弧都與相切，其中扇形的圓心角為,扇形的半徑為8米.(1）求花卉景觀的面積;（2）求平行四邊形綠地占地面積的最小值.【答案】（1）；（2)平行四邊形綠地占地面積的最小值為.【解析】【分析】（1）由扇形面積公式即可得解;（2)設(shè)，由，得:，再由基本不等式可得的最小值，從而得解.【詳解】（1）由扇形面積公式可得,花卉景觀的面積為：，所以，花卉景觀的面積；（2)設(shè)，則由余弦定理得：，由，得:,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，解得，，所以，平行四邊形綠地占地面積的最小值為?！军c(diǎn)睛】本題考查了扇形面積公式，余弦定理,三角形面積公式及基本不等式，考查了轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.18.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線為.過點(diǎn)作與坐標(biāo)軸都不垂直的直線與橢圓交于，兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且直線與右準(zhǔn)線交于點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2)若,求直線的方程;（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立？若存在，求實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由?！敬鸢浮浚?）；（2);(3）存在，且?！窘馕觥俊痉治觥浚?）根據(jù)準(zhǔn)線的定義得，又由,結(jié)合可求得,得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由可求得點(diǎn)橫坐標(biāo)，設(shè)直線方程為,代入橢圓方程整理后應(yīng)用韋達(dá)定理得，由可得，得直線方程;（3）設(shè)，得，由點(diǎn)差法可得，從而得，則可得點(diǎn)坐標(biāo),然后計(jì)算可得．【詳解】（1）由已知可得:，解得：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:。（2)由可知:即，可得：,設(shè),直線AB的方程為，聯(lián)立,得：,為線段的中點(diǎn)，則，即,解得：，所以直線的方程為。（3）設(shè)，，，,，,由，兩方程相減得,即，∴，即，又,∴,∵，∴，即，，,，，，∴．∴存在滿足題意的,且．【點(diǎn)睛】本題考查已知準(zhǔn)線方程求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓相交的弦中點(diǎn)問題．橢圓中弦中點(diǎn)問題，點(diǎn)差法是最重要的方法，利用這種方法可以得到弦所在直線與弦中點(diǎn)和原點(diǎn)連線的斜率之間的關(guān)系．本題還考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力．屬于難題．19.已知函數(shù).（1)若曲線在處的切線與直線平行，求實(shí)數(shù)的值;（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且。①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②求證：。（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1）；（2）①；②見詳解【解析】【分析】(1）求出導(dǎo)數(shù)，利用可求得；(2)①求得,問題轉(zhuǎn)化為方程，有兩個(gè)不等的正實(shí)根，由二次方程的分布知識(shí)可得解．②由①得，，解得，代入不等式，進(jìn)行變形為，只要令,,用導(dǎo)數(shù)求出其最小值,最小值不小于0,即證原不等式成立．【詳解】（1)由，可得：,若曲線在處的切線與直線平行，則，解得。(2)①，設(shè),因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),,則在上有兩個(gè)根,,則有，解得;②證明：∵,，∴．由得,則，令,,，令得(舍去)，當(dāng)時(shí)，,單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴,∴,即．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查導(dǎo)數(shù)與極值點(diǎn)的關(guān)系，考查證明極值點(diǎn)有關(guān)的不等式．證明與極值點(diǎn)有關(guān)的不等式,可根據(jù)極值點(diǎn)的定義把函數(shù)式的參數(shù)用極值點(diǎn)表示出來代入要證不等式，這樣要證的不等式只含有極值點(diǎn)，問題可轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最值問題，這又可用導(dǎo)數(shù)實(shí)現(xiàn)．本題對(duì)學(xué)生的運(yùn)算求解能力,邏輯推理能力要求較高，屬于難題．20.已知數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和,且，，，其中為常數(shù)。（1）若，。①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；②求數(shù)列的通項(xiàng)公式。（2)若，.求證：.【答案】（1)①,②(2）見解析．【解析】【分析】（1）①已知兩等式相加可得是等比數(shù)列,從而可得通項(xiàng)公式,②已知兩等式相減可得的遞推關(guān)系式，湊配成一個(gè)新的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得；（2）已知兩等式相加可得數(shù)列是等比數(shù)列,就是的前項(xiàng)和，分類求得這個(gè)和，在且時(shí)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立．【詳解】（1）若，，則有由，得:所以是公比為4的等比數(shù)列,首項(xiàng),所以;由,得：則所以是公比為2的等比數(shù)列，首項(xiàng)，所以,則；（2）由,得，∵，，∴數(shù)列是等比數(shù)列，∴，時(shí),，不等式左邊，右邊,不等式成立；時(shí),，不等式即為，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:(i）時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊，不等式成立,(ii）假設(shè)時(shí),不等式成立，即,∵，∴則時(shí),左邊＝,由歸納假設(shè)左邊，下面只要證，即證，再用數(shù)學(xué)歸納法證明:①時(shí)，不等式左邊，右邊，不等式成立,②假設(shè)（）時(shí)不等式成立,即，則時(shí)，,不等式也成立，由①②得時(shí)，不等式成立,∴時(shí)，不等式成立，由（i）（ii），原不等式對(duì)一切正整數(shù)都成立．綜上