常微分線性微分方程的一般理論

常微分線性微分方程的一般理論第1頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四理解高階齊次線性方程解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)理解高階非齊次線性方程解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)本節(jié)要求第2頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四n

階線性微分方程一般形式：其中是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。稱它為n階齊次線性微分方程，而方程（4.1）為n階非齊次線性微分方程。4.1.1引言

n

階微分方程一般形式：第3頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四方程（4.1）的解的存在唯一性定理:上，且滿足初始條件：定理1及都是區(qū)間則對于任一及任意的方程（4.1）存在，定義于區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),唯一解如果第4頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四4.1.2齊線性方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)

定理2

（疊加原理）如果則它們的線性組合的解，這里是任意常數(shù)。是方程（4.2）也是（4.2）的k個解，例有解第5頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四證明第6頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四問題：時，若能否成為方程（4.2）的通解？不一定不包含解要使為方程（4.2）的通解還需滿足一定的條件。當(dāng)是齊線性方程的解，如在上例中第7頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四函數(shù)線性無關(guān)和相關(guān)定義在上的函數(shù)，如果存在使得恒等式不全為零的常數(shù)對所有成立，稱這些函數(shù)是線性相關(guān)的，否則稱是線性無關(guān)的。如上線性無關(guān)上線性相關(guān)上線性無關(guān)要使得則第8頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四定義在區(qū)間上的k個可微k-1次的函數(shù)所作成的行列式稱為這些函數(shù)的伏朗斯基行列式。伏朗斯基行列式第9頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四

定理3在區(qū)間上線性相關(guān)，上它們的伏朗斯基行列式。則在證明由假設(shè)，即知存在一組不全為零的常數(shù)（4.6）（4.7）使得依次對t微分此恒等式，得到若函數(shù)的齊次線性代數(shù)方程組，關(guān)于第10頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四它的系數(shù)行列式方程存在非零解的充要條件是系數(shù)行列式必須為零，即由線性代數(shù)理論證畢其逆定理是否成立？例如：即由其構(gòu)成的伏朗斯基行列式為零，但它們也可能是線性無關(guān)的。不一定第11頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四故是線性無關(guān)的。第12頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四如果方程(4.2)的解在區(qū)間上線性無關(guān)，則任何點上都不等于零，即在這個區(qū)間的定理4設(shè)有某個，使得考慮關(guān)于的齊次線性代數(shù)方程組證明

反證法（4.9）第13頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四其系數(shù)行列式，故（4.9）有非零解構(gòu)造函數(shù)根據(jù)疊加原理，是方程（4.2）的解，且滿足初始條件由解的唯一性知，即因為不全為0，與的假設(shè)矛盾。（4.10）另也是方程(4.2)的解，線性無關(guān)證畢也滿足初始條件（4.10）第14頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四定理5

n

階齊線性方程(4.2)一定存在n個線性無關(guān)的解，線性相關(guān)定理4定理3重要結(jié)論方程(4.2)的解在區(qū)間上線性無關(guān)的充分必要條件是且任意n+1個解都線性相關(guān)。證明在上連續(xù)，取則滿足條件存在唯一。第15頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四線性無關(guān)。即齊線性方程(4.2)一定存在n個線性無關(guān)的解。任取方程(4.2)的n+1個解，第16頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四任意n+1個解都線性相關(guān)。第17頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四引理方程(4.2)的解組在上是線性無關(guān)(相關(guān))的，當(dāng)且僅當(dāng)由它們構(gòu)造的向量函數(shù)組在上是線性無關(guān)(相關(guān))第18頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四

定理6（通解結(jié)構(gòu)）其中是任意常數(shù)，且通解（4.11）是方程（4.2）的n個線性無關(guān)的解，則方程（4.2）的通解可表為（4.11）包括方程（4.2）的所有解。方程(4.2)的一組n個線性無關(guān)解稱為它的一個基本解組。如果n

階齊線性方程的所有解構(gòu)成一個n維線性空間。第19頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四例

已知方程，求它的基本解組？并寫出它的通解。分析：試探方法求其基本解組。則原方程的通解為第20頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四

4.1.3非齊線性方程與常數(shù)變易法

性質(zhì)1

如果是方程（4.1）的解，而（4.2）的解，則性質(zhì)2

方程（4.1）的任意兩個解之差必為方程（4.2）的解。是方程也是方程（4.1）的解。第21頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四是任意常數(shù)，且通解（4.14）包括定理7為方程（4.2）的基本解組，是方程（4.1）的某一解，則方程（4.1）的通解為其中（4.14）設(shè)方程（4.1）的所有解。證明1)（4.14）一定是方程（4.1）的解，且含有n個獨立的任意常數(shù)，是通解。2)是方程（4.1）的任一個解，則是方程（4.2）的解證畢第22頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四由定理可知：要求解非齊線性方程，只需要知道它的一個解和對應(yīng)的齊線性方程的基本解組。只要知道對應(yīng)的齊線性方程的基本解組就可以利用常數(shù)變易法求得非齊線性方程的解。一階非齊線性微分方程求解中常數(shù)變易法的精神實質(zhì)是什么？提問：為了尋找，只要再找n-1個限制條件即可，而這些條件在理論上是任意取的，當(dāng)然以運算上“方便”為前提。適當(dāng)選取方法，就可得到一關(guān)于的線性方程組，進而利用求解線性方程組的方法可求得。第23頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四設(shè)為方程（4.2）的基本解組，為（4.2）的通解。（4.15）（4.16）非齊線性方程齊線性方程非齊線性方程通解特解基解組表示關(guān)鍵常數(shù)變易法為（4.1）的解。第24頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四令第25頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四（4.16）代入方程（4.1）第26頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四方程組有唯一的解，設(shè)為（4.16）第27頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四特解通解非齊線性方程的通解等于對應(yīng)齊次方程的結(jié)構(gòu):通解與自身的一個特解之和。第28頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四3、非齊線性方程的求解步驟求對應(yīng)齊線性方程的一個基本解組；用常數(shù)變易法求非齊線性方程的通解。方法一求非齊線性方程的一個特解；求對應(yīng)的齊線性方程的一個基本解組；寫出非齊線性方程的通解。方法二常數(shù)變易方法：把對應(yīng)齊線性方程的通解中任意常數(shù)看成待定函數(shù)，給出n個限制條件即可求解。第29頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四例1

求方程基本解組為，的通解，已知它對應(yīng)齊線性方程的解解得原方程的通解為令第30頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四第31頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四例2

求方程于域解對應(yīng)的齊線性方程為上的所有解。得易見有基本解組這里A、B

為任意常數(shù)。設(shè)為方程的解故得原方程的通解（為任意常數(shù))

第32頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四作業(yè)：P.131，第1，2，3（3，5），4，5，6，7題練習(xí)題，并求方程的基本解組為1驗證的通解。2求方程方程的基本解組為，的通解，已知它對應(yīng)齊線性思考題常數(shù)變易法中待定函數(shù)的條件如何選擇？第33頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四

關(guān)于線性微分方程的通解結(jié)構(gòu)問題，從理論上說，已經(jīng)解決了，但是，求方程通解的方法還沒有具體給出。事實上，對于一般的線性微分方程是沒有普遍解法的。但通過尋求一些特殊類型方程的解法對求解一般方程的解還是有幫助和啟發(fā)的。所以，介紹求解問題能夠徹底解決的一類方程——常系數(shù)線性微分方程及可以化為這一類型的方程；同時將看到，為了求得常系數(shù)齊次線性微分方程的通解，只須解一個代數(shù)方程而不必通過積分運算。對于某些特殊的非齊線性微分方程也可以通過代數(shù)運算和微分運算求得它的通解。以及注意到物理問題提供微分方程很直觀的物理背景，而微分方程為更深刻地理解物理現(xiàn)象提供有力的工具。4.2常系數(shù)線性微分方程的解法第34頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四具體內(nèi)容復(fù)值函數(shù)與復(fù)值解常系數(shù)齊次線性微分方程和歐拉方程非齊次線性微分方程的解法：比較系數(shù)法和拉普拉斯變換法應(yīng)用分析：質(zhì)點振動第35頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四4.2.1引子:復(fù)值函數(shù)和復(fù)值解1、復(fù)數(shù)及其相等的定義。2、有關(guān)定義：復(fù)值函數(shù)的連續(xù)、可導(dǎo)性等。第36頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四1、復(fù)值函數(shù)在點連續(xù)的定義如果，就稱在連續(xù)。如果對于區(qū)間中的每一實數(shù)t，有復(fù)數(shù)與它對應(yīng)，其中和是在區(qū)間上定義的實函數(shù)，i是虛單位，就說在區(qū)間上給定了一個復(fù)值函數(shù)。如果實函數(shù)，,當(dāng)t趨于時有極限,就稱復(fù)值函數(shù)當(dāng)t趨于時有極限，并且定義第37頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四復(fù)值函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的定義：即表示在區(qū)間上每一點都連續(xù)。注：復(fù)值函數(shù)在點連續(xù)意為著對應(yīng)的兩個實函數(shù)也在該點連續(xù)。第38頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四2、復(fù)值函數(shù)在點有導(dǎo)數(shù)的定義如果極限存在，就稱z(t)在點有導(dǎo)數(shù)（可微）,且記此極限為或者。顯然在處有導(dǎo)數(shù)相當(dāng)于,在處有導(dǎo)數(shù)，且第39頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四3、復(fù)值函數(shù)的微分運算性質(zhì)注意：同實值函數(shù)的微分運算法則一樣。線性性乘積性第40頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四4、復(fù)指數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)設(shè)是任意一復(fù)數(shù)，這里是實數(shù)，而為實變量?；拘再|(zhì)重要性質(zhì)第41頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四5、復(fù)值解的定義定義于區(qū)間上的實變量復(fù)值函數(shù)稱為方程（4.1）的復(fù)值解。如果對于恒成立。第42頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四定理8：

方程（4.2）的復(fù)值解的實部和虛部也是對應(yīng)方程（4.2）的解。定理9：

復(fù)方程的復(fù)值解的實部和虛部也是方程對應(yīng)的實方程和虛方程的解。6、兩個重要定理第43頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四問題：常系數(shù)線性微分方程的求解常系數(shù)齊線性微分方程的求解-如果？常數(shù)變易法(至少)比較系數(shù)法Laplace變換法有無其它方法？？?歐拉指數(shù)法第44頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四4.2.2常系數(shù)齊線性方程和歐拉方程常系數(shù)齊線性方程歐拉（Euler）待定指數(shù)函數(shù)法

特征根是單根的情形有復(fù)根的情形特征根是重根的情形應(yīng)用歐拉方程1、框架第45頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四2、常系數(shù)齊線性方程其中是常數(shù)。此時，稱（4.19）為n階常系數(shù)齊線性方程。若齊線性方程（4.2）的所有系數(shù)都是常數(shù)，即原方程可以寫為如下形式：第46頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四3、歐拉（Euler）待定指數(shù)函數(shù)法引子：一階微分方程解形式的啟示有指數(shù)形式的解：對于n階齊線性方程（4.19）是否也有類似形式的解？下面用試探法進行討論。提問第47頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四假如有下面形式（4.20）是方程（4.19）的解于是有：要（4.20）是方程（4.2）的解的充要條件為：稱（4.21）是方程（4.19）的特征方程，它的根稱為特征根。第48頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四求解常系數(shù)線性微分方程問題轉(zhuǎn)化為求解一個代數(shù)方程問題。第49頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四設(shè)是特征方程（4.17）的n個彼此不相等的根，則相應(yīng)地方程（4.16）有如下n個解：可以證明這n個解在區(qū)間上線性無關(guān)（？），從而組成方程（4.19）的基本解組。如果均為實數(shù)，則(4.22)是方程(4.19)的n個線性無關(guān)的實值解，而方程(4.19)的通解可表示為:其中為任意常數(shù)。3.1特征根是單實根的情形第50頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四例1

求方程的通解。解：(單實根)特征方程為：特征根：通解：對應(yīng)的基本解組：第51頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四3.2特征根是單虛根的情形設(shè)有單復(fù)根，此時，由定理8，可以求得實值解：第52頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四例2求方程的通解解：(復(fù)單根)特征方程為：特征根通解對應(yīng)的基本解組第53頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四3.3特征根是重根的情形設(shè)特征方程有k重根，由代數(shù)學(xué)基本知識有：下面分三步來討論基本解組的構(gòu)成：先討論，此時，有線性無關(guān)的函數(shù)組：討論把這種情況通過變換化為第一種情況。再構(gòu)成線性無關(guān)的函數(shù)組：第54頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四特征根的重數(shù)分別為：則有線性無關(guān)的函數(shù)組：第55頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四對于特征方程有復(fù)重根的情況，結(jié)合前面的兩種情況就可以討論了。譬如假設(shè)是k重特征根，則也是k重特征根，仿1一樣處理，將得到方程（15）的2k個實值解：第56頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四例3求方程的通解特征方程：解：復(fù)重根的情形對應(yīng)的基本解組：通解：特征根：是2重根。第57頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四4、歐拉方程定義：形如的方程被稱為歐拉方程。歐拉方程的求解方法是通過變換變?yōu)槌Ｏ禂?shù)齊線性方程，因而求解問題很容易解決。引進變換：得到常系數(shù)齊線性微分方程：

利用齊線性方程的求解方法可求得其解，然后帶回變量變換即可完成歐拉方程的求解。第58頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四及由數(shù)學(xué)歸納法，不難證明其中都是常數(shù)。事實上，由，有注：如果，則用所得結(jié)果一樣，為方便，設(shè)，但最后結(jié)果應(yīng)以代回。第59頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四于是對應(yīng)于歐拉方程（4.23）的齊線性方程有形如的解，從歐拉方程有形如的解。若以代入歐拉方程，得到其對應(yīng)的特征方程：方程（4.25）的m重實根，對應(yīng)于方程（25）的m個解方程4.25的m重復(fù)根，對應(yīng)于方程（4.23）的2m個實值解歐拉方程的解第60頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四例5求解方程解：分析原方程為歐拉方程，于是有：得到確定的代數(shù)方程：方程的通解為其中是任意常數(shù)。特征根為二重實根：尋找方程的形式解，法一：利用歐拉方程求解過程進行求解；法二：可以直接利用歐拉方程的求解方法求解：第61頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四例6求解方程解：分析可知，這個方程是一個典型的常系數(shù)齊線性微分方程，于是由歐拉待定指數(shù)方法求解。特征方程為：或特征根為：第62頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四于是可以寫出這個方程的一個基本解組為：于是可以寫出這個方程的通解為：其中是任意常數(shù)。第63頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四4.2.3非齊次線性微分方程的解法：比較系數(shù)法和拉普拉斯變換法——求特解考慮常系數(shù)非齊線性方程其實，該方程（4.26）的求解問題已經(jīng)解決，因為在前面已經(jīng)解決了（4.1）的求解問題，即比（4.26）更一般的微分方程（4.1）的通解問題是這樣解決的：（常數(shù)變易法）用先求出對應(yīng)齊線性方程（4.2）的一個基本解組，然后找出（4.1）的某一個解，根據(jù)前面的定理7就可以寫出（4.1）的通解。于是也就完成了（4.26）的求解問題，只是用常數(shù)變易法來求解，求解步驟比較繁瑣，并且要用到積分運算。（注：大家必須掌握常數(shù)變易法求解高階微分方程，因為它帶有普遍性。）但是，在解決實際問題時，往往要解決一些比較簡單的微分方程，即帶有特殊形式的微分方程，為此，在這里，介紹兩種常用的方法：比較系數(shù)法和拉普拉斯變換法，它們的共同特點是不需要通過積分而用代數(shù)運算方法即可求得非齊線性方程的特解。第64頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四類型Ⅰ那么，方程（4.26）有形如①如果不是特征根是特征根②如果作變量變換，（4.26）化為特征方程的根對應(yīng)于（4.27）的特征方程的零根，并且重數(shù)相同。于是利用上面的結(jié)論有：的特解。其中k為特征方程的根的重數(shù)而是待定系數(shù)，可以通過比較系數(shù)來確定。一、求特解--比較系數(shù)法第65頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四①如果不是特征根,取k=0,有如下形式的特解：則比較t的同次冪的系數(shù)，得到常數(shù)應(yīng)滿足的方程組為第66頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四②如果是k重特征根，即，方程（4.26）將為作變換：，則方程（4.28）化為對于（4.29），已不是它的特征根。因此，由前面的討論，有形如下列形式的特解。第67頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四這表明是t的m+k次多項式，其中t的冪次的項帶有任意常數(shù)。但因只需要知道一個特解就夠了。特別地取這些任意常數(shù)均為零，于是得到方程（4.28）（或方程（4.26））的一個特解因而方程（4.28）有特解滿足：第68頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四③如果作變量變換，（4.26）化為特征方程的根對應(yīng)于（4.27）的特征方程的零根，并且重數(shù)相同。于是利用上面的結(jié)論有：在不是特征方程的根的情形，（4.26）有特解：在是特征方程的根的情形，（4.26）有特解：其中k為重數(shù).第69頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四利用比較系數(shù)法求解非齊線性常系數(shù)微分方程的一般步驟：1、求對應(yīng)齊線性常系數(shù)微分方程的特征根；2、分析f(t)的形式；3、判定上述f(t)中的指數(shù)是否為特征根？4、然后利用比較系數(shù)法求得.第70頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四例7求解方程解：對應(yīng)齊線性方程的通解為再求非齊線性方程的一個特解。這里并且不是特征根，故可取特解形如將代入原方程，得到：比較系數(shù)得原方程的通解為第71頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四例8求方程通解分析:主要目的-求一特解。故根據(jù)比較系數(shù)法有特解形如，通過代入，化簡求得于是原方程的通解為：這里，且，特征根為：其中正是單特征根:第72頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四類型Ⅱ設(shè)，其中為常數(shù)，而是帶實系數(shù)的t的多項式，其中一個的次數(shù)為m，而另一個的次數(shù)不超過m，那么有如下結(jié)論：方程（4.22）有形如的特解。這里k為特征根的重數(shù)，而P(t)，Q(t)均為待定的實系數(shù)的次數(shù)不高于m關(guān)于t的多項式，可以通過比較系數(shù)的方法來確定。第73頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四的解之和必為方程（4.26)的解。與則根據(jù)非齊線性方程的疊加原理有：通過分析,（4.26）有解形如：改寫f(t)的形式如下其中第74頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四利用非齊線性方程的疊加原理和類型I類型II的求解思想注意：正確寫出特解形式是待定系數(shù)法的關(guān)鍵問題。第75頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四例9求方程通解解：很容易求得原方程對應(yīng)齊線性方程的通解為：再求非齊線性方程的一個特解。因為不是特征根，求形如的特解，將它代入原方程并化簡得到通過比較同類項的系數(shù)，得到原方程的通解：第76頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四類型Ⅱ的特殊情形例10用復(fù)數(shù)法求解例9解：由例9已知對應(yīng)齊線性方程的通解為：為求非齊線性方程的一個特解,先求方程的特解。這屬于類型Ⅰ，而2i不是特征根，故可設(shè)特解為：將它代入方程并消去因子得，因而，由定理9，這是原方程的特解，于是原方程的通解為于是：復(fù)數(shù)法求解第77頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四二、拉普拉斯變換法定義（拉普拉斯變換）：由積分

設(shè)給定微分方程及初始條件其中是常數(shù)，而f(t)為連續(xù)函數(shù)且滿足原函數(shù)的條件。所定義的確定于復(fù)平面上的復(fù)變數(shù)s的函數(shù)F(s)，稱為函數(shù)的拉普拉斯變換，其中于有定義，且滿足不等式這里為某兩個正常數(shù)，將稱為原函數(shù)，而稱F(s)為象函數(shù)。第78頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四

拉普拉斯變換法主要是借助于拉普拉斯變換把常系數(shù)線性微分方程（組）轉(zhuǎn)換成復(fù)變數(shù)的代數(shù)方程（組）。通過一些代數(shù)運算，一般地利用拉普拉斯變換表，很容易求出微分方程（組）的解。方法十分簡單，為工程技術(shù)人員所普遍采用。當(dāng)然，方法本身也有一定的局限性，它要求所考察的微分方程的右端函數(shù)必須是原函數(shù)，否則方法就不再適用了。第79頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四那么，按原函數(shù)微分性質(zhì)有可以證明，如果函數(shù)是方程（4.22）的任意解，則x(t)及其各階導(dǎo)數(shù)均是原函數(shù)。記第80頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四于是，對方程（4.22）兩端施行拉普拉斯變換,并利用線性性質(zhì)得到這就是方程（4.22）的滿足所給定初始條件的解的象函數(shù)。即或第81頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四例11求方程滿足初始條件的解。解：對方程兩端施行拉普拉斯變換，得到方程的解的象函數(shù)所滿足的方程：所以，利用初始條件有：直接利用拉普拉斯變換表，可得的原函數(shù)分別是。因此，利用拉普拉斯變換的線性性質(zhì)得的原函數(shù)為即為原方程的解。第82頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四例12

求解方程解：由于初始條件不在零點，所以先作平移變換：于是有再對新方程施行拉普拉斯變換，得到還原變量代換得原方程的通解：有于是第83頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四借助于拉普拉斯變換把常系數(shù)線性微分方程（組）轉(zhuǎn)換成復(fù)變數(shù)S的代數(shù)方程（組）。優(yōu)點：通過一些代數(shù)運算，一般地再利用拉普拉斯變換表，即可求出微分方程（組）的解。方法簡便，為工程技術(shù)工作者所普遍采用。缺點：要求微分方程右端的函數(shù)是一個原函數(shù)(滿足條件（*）)。拉普拉斯變換法的主要思想注意：拉普拉斯變換存在是有條件的。第84頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四§4.3高階微分方程的降階和冪級數(shù)解法

第85頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四一、可降階的一些方程類型

n階微分方程的一般形式:

1不顯含未知函數(shù)x,或更一般不顯含未知函數(shù)及其直到k-1(k>1)階導(dǎo)數(shù)的方程是若能求得(4.58)的通解對上式經(jīng)過k次積分,即可得(4.57)的通解即第86頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四

解題步驟:第一步:第二步:求以上方程的通解即第三步:對上式求k次積分,即得原方程的通解第87頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四解令則方程化為這是一階方程,其通解為即有對上式積分4次,得原方程的通解為例1第88頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四

2不顯含自變量t的方程,

一般形式:因為第89頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四用數(shù)學(xué)歸納法易得:將這些表達式代入(4.59)可得:即有新方程它比原方程降低一階第90頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四

解題步驟:第一步:第二步:求以上方程的通解第三步:解方程即得原方程的通解第91頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四解令則方程化為從而可得及這兩方程的全部解是例2再代回原來變量得到所以得原方程的通解為第92頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四

3已知齊線性方程的非零特解,進行降階的非零解令則代入(4.69)得即第93頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四引入新的未知函數(shù)方程變?yōu)槭且浑A線性方程,解之得因而則第94頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四因此(4.69)的通解為第95頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四

解題步驟:第一步:第二步:解之得即第96頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四第三步:第四步:(4.69)的通解為注一般求(4.69)的解直接用公式(4.70)第97頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四解這里由(4.70)得例3第98頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四代入(4.2)得第99頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四事實上第100頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四若則即因此,對(4.67)仿以上做法,第101頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四第102頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四二、二階線性方程的冪級數(shù)解法對二階變系數(shù)齊線性方程其求解問題,歸結(jié)為尋求它的一個非零解.下面考慮該方程及初始條件用級數(shù)表示解?第103頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四例

求方程的滿足初始條件y(0)=0的解。解：分析：設(shè)y可以表示成級數(shù)形式：為方程的解，這里是待定系數(shù)，由此有將

的表達式代入方程，并比較x的同次冪的系數(shù)，得到第104頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四及y(0)=0，就有,利用數(shù)學(xué)歸納法可以推得，一般地代入（4.71）得這就是所求的解。事實上，方程是一階線性的，容易求得它的通解而由條件y(0)=0,確定常數(shù)c=-1，即得方程的解為。第105頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四例

求方程的滿足初始條件y(0)=0的解。解：以代入原方程并比較的同次冪的系數(shù)。并利用初始條件，有于是有此級數(shù)對任何都是發(fā)散的，故，所給問題沒有形如假設(shè)形式的級數(shù)解。第106頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四注意：并不是所有的微分方程的解都能表示成x的冪級數(shù)形式，它們或者因為級數(shù)的系數(shù)無法確定，或者因為所得級數(shù)不收斂。究竟方程應(yīng)該滿足什么條件才能保證它的解可用冪級數(shù)來表示？級數(shù)的形式如何？其收斂區(qū)間如何？等等這些問題，在微分方程解析理論中有完滿的解答，在此不作介紹?？蓞㈤喨~彥謙翻譯的《高等數(shù)學(xué)教程》第三卷第三分冊第五章。這里只提一下Bessel方程和Bessel函數(shù)。第107頁，共120頁，2023年，2月20日，星期四定理10第108頁，共120頁，2