彈性體的振動(dòng)

彈性體的振動(dòng)第1頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四6.1引言前面各章在討論振動(dòng)問(wèn)題時(shí)采用的都是集中參數(shù)模型，它只有有限多個(gè)自由度，且運(yùn)動(dòng)規(guī)律由常微分方程來(lái)確定。事實(shí)上，它只是現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的一類力學(xué)模型?？陀^現(xiàn)實(shí)的另一類力學(xué)模型是彈性體(也稱連續(xù)系統(tǒng)或分布參數(shù)系統(tǒng))，它的物理參數(shù)是分布型的，具有無(wú)限多個(gè)自由度，且運(yùn)動(dòng)規(guī)律由偏微分方程來(lái)確定第2頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由于描述的都是振動(dòng)現(xiàn)象，所以在許多方面有共同之處。在多自由度系統(tǒng)振動(dòng)分析所形成的一系列重要概念。在彈性體振動(dòng)分析中都有相應(yīng)的地位和發(fā)展。在彈性體振動(dòng)中系統(tǒng)固有頻率的數(shù)目增大為無(wú)限多個(gè)；主振型的概念發(fā)展為固有振型函數(shù)，而且這些振型函數(shù)之間也存在關(guān)于分布質(zhì)量與剛度的加權(quán)正交性；在線性振動(dòng)問(wèn)題中，疊加原理以及建立在這一原理基礎(chǔ)上的模態(tài)分析法、脈沖響應(yīng)法、頻率響應(yīng)法等同樣適用于彈性體振動(dòng)分析。第3頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四在考察實(shí)際振動(dòng)問(wèn)題時(shí)，究竟該采用那一類力學(xué)模型，得根據(jù)具體對(duì)象作具體處理。例如。飛機(jī)蒙皮一般取為薄板模型，渦輪盤取為厚圓板模型。渦輪葉片則取為薄殼或厚殼模型等。當(dāng)考察振動(dòng)體內(nèi)彈性波的傳播問(wèn)題時(shí)，就得采用彈性體模型。第4頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四討論理想彈性體的振動(dòng)。理想彈性體滿足以下假設(shè)條件：1）勻質(zhì)分布；2）各向同性；3）服從虎克定律。通過(guò)對(duì)一些簡(jiǎn)單形狀的彈性體的振動(dòng)分析，著重說(shuō)明彈性體振動(dòng)的特點(diǎn)，弄清它與多自由度系統(tǒng)振動(dòng)的共同點(diǎn)與不同點(diǎn)。第5頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四6.2一維連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)弦振動(dòng)從有限多自由度模型到無(wú)限多自由度模型－連續(xù)系統(tǒng)第6頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四張力為T的弦振動(dòng)－多自由度模型第7頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四根據(jù)牛頓第二定律，列出質(zhì)點(diǎn)橫向振動(dòng)的微分方程為假定作微小振動(dòng)，因此第8頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四考慮到Dxi=xi+1－xi＝li在微振動(dòng)中保持不變。進(jìn)一步簡(jiǎn)化方程，可以得到Ti=Ti-1，即弦中張力可近似看做常量T、并且有在弦的兩端有y0＝y(tǒng)n+1＝0。第9頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四寫成矩陣形式，有第10頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四將上式兩端向除以Dxi，得隨著質(zhì)點(diǎn)數(shù)n的增加。質(zhì)點(diǎn)間的距離Dxi越來(lái)越小，弦上各質(zhì)點(diǎn)的位移yi(t)將趨于—連續(xù)函數(shù)y(x,t)。同時(shí)分別是弦上單位長(zhǎng)度的質(zhì)量和作用在弦上單位長(zhǎng)度上的載荷第11頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四于是方程(6．2．4)演化為一階偏微分方程其邊界條件可見(jiàn)，對(duì)連續(xù)體若用方程(6.2.3)代替方程(6.2.5)，可近似確定系統(tǒng)在外激擾力作用的響應(yīng)，這種做法在實(shí)際問(wèn)題中常常用到。若把弦作為連續(xù)系統(tǒng)，精確地確定系統(tǒng)的響應(yīng)，則需求解偏微分方程(6.2.5)。第12頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四弦的振動(dòng)微分方程及其自由振動(dòng)直接就連續(xù)體來(lái)推導(dǎo)弦橫向振動(dòng)的微分方程。如圖在弦作微振動(dòng)假設(shè)下，有考慮到微元段在水平方向的平衡，弦中張力可近似看成是常量T第13頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四微元段的運(yùn)動(dòng)微分方程為與方程(6.2.5)完全相同第14頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四討淪無(wú)阻尼自由振動(dòng)的情形。此時(shí)

p(x，t)＝0，于是程(6.2.5)可寫成稱做一維波動(dòng)方程，c就是波沿弦向的傳播速度。要求給出系統(tǒng)的邊界條件和初始條件第15頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四方程(6.2.6)的解可表示成兩種形式，一種是波動(dòng)解，另一種是振動(dòng)解。波動(dòng)解將弦的運(yùn)動(dòng)表示為即把弦的運(yùn)動(dòng)看成是由兩個(gè)相同形式的反向行進(jìn)波的疊加。振動(dòng)解則將弦的運(yùn)動(dòng)表示成各橫向同步運(yùn)動(dòng)的疊加，各點(diǎn)的振幅在空間按特定的模式分布第16頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四兩種解從不同的角度描述了弦的運(yùn)動(dòng)，各有其特點(diǎn)。波動(dòng)解能形象直觀地描述波動(dòng)過(guò)程，給出任何時(shí)劃清晰的波形，但求解比較復(fù)雜；振動(dòng)解揭示了弦的運(yùn)動(dòng)由無(wú)窮多個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)疊加而成第17頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四對(duì)特定動(dòng)力分析過(guò)程，選擇什么形式的解要視實(shí)際問(wèn)題的需要來(lái)定。這既取決于擾動(dòng)源的性質(zhì)，又取決于所考慮物體的相對(duì)尺寸，同時(shí)還與所關(guān)心的問(wèn)題等因素有關(guān)。在一般機(jī)械系統(tǒng)中，直接進(jìn)行振動(dòng)分析更為簡(jiǎn)單可行。下面尋求方程（6.2.6)的振動(dòng)解。第18頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四觀察弦的自由振動(dòng)可以發(fā)現(xiàn)。弦的運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)同步振動(dòng)，即在運(yùn)動(dòng)中，弦的各點(diǎn)同時(shí)達(dá)到最大幅值，又同時(shí)通過(guò)平衡位置，而整個(gè)弦的振動(dòng)形態(tài)不隨時(shí)間而變化。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，描述弦振動(dòng)的函數(shù)y(x,t)可以分解為空間函數(shù)和時(shí)間函數(shù)的乘積，即第19頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四其中X(x)足是振型函數(shù)，它描述整個(gè)弦的振動(dòng)形態(tài)。Y(t)描述弦各點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律。將(6.2.9)代入方程(6.2.6)，得到上式左邊僅是x的函數(shù)，右邊僅是t的函數(shù)，所以要使上式對(duì)任意的x、t都成立，只有兩邊都等于同一常數(shù)。設(shè)這一常數(shù)為a，有第20頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四只有當(dāng)a為負(fù)數(shù)時(shí)，才能從上述第一個(gè)方程中確定振動(dòng)運(yùn)動(dòng)。所以，取于是，上述方程改為第21頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四方程（6.2.10)和（6.2.11)的解分別是其中A，B，C，D為積分常數(shù)。另外由邊界條件(6.2.7)，得于是有第22頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四而由條件(6.2.15)可得上式稱做弦振動(dòng)的特征方程。由此可確定一系列特征值bi所以系統(tǒng)的各階固有頻率為：第23頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四與其相應(yīng)的特征函數(shù)，亦稱振型函數(shù)為弦對(duì)應(yīng)于各階固有頻率pi的主振動(dòng)為第24頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四弦的自由振動(dòng)可以表示為各階主振動(dòng)的疊加，即有其中Ai，Bi由運(yùn)動(dòng)的初始條件確定。將初始條件(6.2.8)代入上式，有第25頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四三角函數(shù)族具有正交性，即由此可得第26頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由以上討論可見(jiàn)，張緊弦的自由振動(dòng)除了基頻(最低頻率p1)振動(dòng)外，還可以包含頻率為基頻整數(shù)倍的振動(dòng)，這種倍頻振動(dòng)亦稱諧波振動(dòng)。第27頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四6.3導(dǎo)致一維波動(dòng)方程的其它振動(dòng)系統(tǒng)比較典型的有：桿的縱向振動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)第28頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第29頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四以u(píng)(x，t)表示桿上距原點(diǎn)x處在t時(shí)刻的縱向位移。在桿上取微元段dx，它的受力如上圖(b)所示。根據(jù)牛頓第二定律，它的運(yùn)動(dòng)方程為第30頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四將它代入式(6.3.1)并化簡(jiǎn)，得第31頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四可見(jiàn)桿的縱向振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程也是一維波動(dòng)方程。方程的求解仍可采用上節(jié)中的分離變量法將：第32頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四按上類似的方式可得其中固有頻率p與振型函數(shù)X(x)由桿的邊界條件確定。典型的邊界條件有以下幾種：第33頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(1)固定端該處縱向位移為零，即有(2)自由端該處軸向內(nèi)力為零，即有(3)彈性支承設(shè)桿的右端為彈性支承(如圖(a))，則此處軸向內(nèi)力等于彈性力，即第34頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(4)慣性載荷設(shè)桿的右端附—集中質(zhì)量塊(圖(b))，則此處桿的軸向內(nèi)力等于質(zhì)量塊的慣性力，即第35頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)長(zhǎng)為l的等截面直園軸。設(shè)軸單位體積的質(zhì)量為r，圓截面對(duì)其中心的極慣性矩為Ip，材料剪切彈性模量為G。第36頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四假定軸的橫截面在扭轉(zhuǎn)振動(dòng)中保持為平面作整體轉(zhuǎn)動(dòng)。以q(x,t)表示軸上x截面處在t時(shí)刻相對(duì)左端面的扭轉(zhuǎn)角。為推導(dǎo)軸扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的微分方程，從其中截取一微元段如上圖。列出運(yùn)動(dòng)微分方程為其中T為軸上x截面處的扭矩。由材料力學(xué)知，代入式(6.3.8)，整理得第37頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四其中。可見(jiàn)軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)微分方程仍為一維波動(dòng)方程。常見(jiàn)的邊界條件有以下幾種：(1)固定端該處轉(zhuǎn)角為零，即有第38頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(2)自由端該處扭矩為零，即(3)彈性支承若軸的右端通過(guò)剛度為Kt的扭簧與固定點(diǎn)相連，則有(4)慣性載荷若軸的右端附有一圓盤，則有上(4)中J0為圓盤對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第39頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四6.4梁的彎曲振動(dòng)粱彎曲振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程考察勻質(zhì)等截面細(xì)直梁的橫向彎曲振動(dòng)。假定梁只有縱向?qū)ΨQ平面，所受的外力也在此對(duì)稱平面內(nèi)，故梁在此平面內(nèi)作彎曲振動(dòng)；還假定梁的長(zhǎng)度與截面高度之比大于10。根據(jù)材料力學(xué)“簡(jiǎn)單梁理論”，忽略剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，這種梁稱做歐拉—貝努利(Euler-Bernoulli)梁。于是，梁上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)只需用梁軸線的橫向位移表示第40頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四設(shè)梁長(zhǎng)為l，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量r及抗彎剛度EI均為常數(shù)，建立如上圖所示的坐標(biāo)系。第41頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四在梁上距左端x處取微元段dx，在任意瞬時(shí)t，此微元段的橫向位移可用y(x,t)表示。按其受力情況。微元段沿y方向的運(yùn)動(dòng)方程為忽略轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，各力對(duì)右截面上任一點(diǎn)的矩之和應(yīng)為零，即第42頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四略去二階微量，有由材料力學(xué)知，彎矩與撓曲線的關(guān)系為將(6.4.2)和(6.4.3)代入(6.4.1)中，得第43頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四上式就是梁彎曲振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。如p(x,t)=0，梁作自由振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)微分方程為

或?qū)懗善渲械?4頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四粱的自由振動(dòng)粱彎曲振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程(6.4.6)是一個(gè)四階偏微分方程。為求其振動(dòng)解，仍采用分離變量法，即假定方程(6.4.6)的解為

將(6.4.7)代入方程(6.4.6)中，得第45頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四要使僅依賴于t的左端與僅依賴于x的右端相等，兩者應(yīng)等于同一常數(shù)。取這一常數(shù)為，于是有方程(6.4.9)的通解為第46頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四方程(6.4.10)是一個(gè)四階常系數(shù)線性微分方程，它的特征方程是

其特征值為

所以，方程(6.4.10)的通解為第47頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四或表示為特征值b及振型函數(shù)由梁的邊界條件來(lái)確定。對(duì)于梁的彎曲振動(dòng)，基本的邊界條件有以下幾種：

(1)固支端固支端的撓度和轉(zhuǎn)角都為零，即第48頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(2)鉸支端鉸支端的撓度與彎矩都為零，即(3)自由端自由端的彎矩與剪力都為零，即第49頁(yè)，共52頁(yè)，2023年，2月20日，星期四還有其它一些邊界條件，如圖所示梁端具有彈性支承或附有集中質(zhì)量。圖(a)所示梁右端的邊界條件為第50頁(yè)，共5