《數(shù)學(xué)分析》（華師大二版）課本上的習(xí)題9

本文格式為Word版，下載可任意編輯——《數(shù)學(xué)分析》（華師大二版）課本上的習(xí)題9P.204習(xí)題

1．按定積分定義證明：

?bakdx?k(b?a)

證明對(duì)[a,b]的任一分割T：a?x0?x1???xn?b，其Riemann和為

?f(?)?x??k(xiii?1i?1nnni?xi?1)?k?(xi?xi?1)?k(b?a)，所以當(dāng)分割的模T?0i?1n時(shí)，積分和

?f(?)?xii?1i的極限為k(b?a)，從而

?bakdx?k(b?a)

2．通過對(duì)積分區(qū)間作等分分割，并取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)集{?i}，把定積分看作是對(duì)應(yīng)的積分和的極限，來計(jì)算以下定積分：

⑴

?10x3dx

33解由于f(x)?x在[0,1]連續(xù)，故x在[0,1]的定積分存在。現(xiàn)在將[0,1]n等分，其分點(diǎn)為：xi?nii?1i,]的右端點(diǎn)，于是Riemann和，i?0,1,?,n，?i取為小區(qū)間[nnnni311為?f(?i)?xi??()?4nni?1i?1n?i3?i?1n11212?n(n?1)?(n??)，所以44n4?10x3dx?14⑵

?10exdx

x解由于f(x)?e在[0,1]連續(xù)，故f(x)在[0,1]的定積分存在?，F(xiàn)在將[0,1]n等

分，其分點(diǎn)為：xi?nii?1i,]的右端點(diǎn)，于是Riemann，i?0,1,?,n，?i取為小區(qū)間[nnnnin和為

?i?1f(?i)?xi??ei?1111e(1?e)??e???e?1(n??)1nni?1n1?ennin1n170

（由于limx??1，所以limx?01?exn??1n1?e1n，從而?exdx?e?1??1）

01⑶

?baexdx

解因f(x)?ex在[a,b]連續(xù)，故f(x)在[a,b]可積，將[a,b]n等分，其分點(diǎn)為：

xi?a?ii?1i(b?a)，i?0,1,?,n，?i取為小區(qū)間[a?(b?a),a?(b?a)]的右nnnnia?(b?a)nnb?aab?a?e?enni?1b?ain端點(diǎn)，于是Riemann和

?f(?)?x??eiii?1i?1n

b?ae?e?nab?an(1?eb?a)b?an?eb?ea，(n??)

1?e所以⑷

?bbaexdx?eb?ea

dx?ax2（0?a?b）

1解因f(x)?2在[a,b]連續(xù)，故f(x)在[a,b]可積，對(duì)[a,b]的任一分割

x，于T?{a?x0,x1,x2,?,xn?b}，取?i?xi?1xi?[xi?1,xi]（i?0,1,?,n）是Riemann和

nxi?xi?11111f(?)?x??(?)?????iixxxxabi?1i?1i?1i?1ii?1inn所以

dx11?ax2?a?b

bP.206習(xí)題

1．計(jì)算以下定積分：⑴

?10(2x?3)dx?(x2?3x)?4

01171

21?(1?x)?211?x22?1?dx?(?1?)dx?(?x?2arctanx)??1⑵??01?x2?0001?x221?x21⑶⑷

?e2ee2dlnxdxe2??ln|lnx|e?ln2xlnx?elnxx?2x1e(1?eex?e?x)111x1?2xx?xdx?dx?(1?e)de?(e?e)?(e?e?1)?1?02?02?2023011??220?⑸

?30tanxdx??3(secx?1)dx?(tanx?x)03?3??3

⑹

?(4409x?dxx1244)dx?(xx?2x)?33x49⑺

?1?

解令x?t代入得，

?1?04dxx??22tdt1?2?(1?)dx?4?2ln301?t01?t2e11223⑻?1(lnx)dx??1(lnx)dlnx?(lnx)3exeee1e?232．利用定積分求極限：⑴lim1112333(1?2???n)?lim(?()???1)

n??n4n??nn3nn1i11?lim?()3??x3dx?n??n04i?1n⑵limn?n???111?????222?(n?1)(n?2)(n?n)????1?111??lim??????n??n12n?(1?)2(1?)2(1?)2??nnn???

172

?lim?n??i?1n11111??dx?i2n0(1?x)22(1?)n⑶limn?n??11??1????2222?2n??n?1n?2??n1111???lim????

i2n01?x24?n??i?11?()?n???1?111?lim????n??n?122n1?()2?1?21?()nnn?n11??2?n?1?i?12⑷lim?sin?sin???sin???lim?sin??sin?xdx?

n??nnnnnn0???n??i?13．證明：若f在[a,b]上可積，F(xiàn)在[a,b]上連續(xù)，且除有限個(gè)點(diǎn)外有F?(x)?f(x)，則有

?baf(x)dx?F(b)?F(a)

證設(shè)除有限個(gè)點(diǎn)：y1,y2,?,ym外有F?(x)?f(x).對(duì)于[a,b]的任一分割T?，設(shè)T是分割T?添加分點(diǎn)y1,y2,?,ym后所得到的分割，設(shè)T的分點(diǎn)為：x1,x2,?,xn.在每個(gè)小區(qū)間[xi?1,xi]上對(duì)F(x)使用Lagrange中值定理，則分別存在?i?(xi?1,xi)，使得

F(b)?F(a)??[F(xi)?F(xi?1)]??F?(?i)?xi??f(?i)?xi

i?1i?1i?1nnn所以F(b)?F(a)?lim||T?||?0?f(?)?x??iii?1nbaf(x)dx.

P.212習(xí)題

1．證明：若T?是T增加若干個(gè)分點(diǎn)后所得的分割，則

????x?????xiiiT?Ti.

證不失一般性，這里只證明T?是T增加一個(gè)分點(diǎn)的情形.

在T上增加一個(gè)新分點(diǎn)，它必落在T的某一個(gè)小區(qū)間?k內(nèi)，而且將?k分為兩個(gè)新的

173

???小區(qū)間，記為??k與?k.但T的其它小區(qū)間沒有改變，仍是新分割T所屬的小區(qū)間，從而

???xiTi與

????x?的區(qū)別僅僅是???xiiiT?Ti中的?k?xk一項(xiàng)換成了

????x?中的

iiT???xk?與?k???xk??兩項(xiàng)（這里?k?與?k??分別是f在??k與??k?上的振幅，顯然?k???k，?k????k），所以?k???x?????x????xiiiikTT?k??xk???k???xk??)?(?k

???xk??)?(?k??xk???k???xk??)?(?k??k?)?xk??(?k??k?)?xk???0??k(?xk即

????x?????xiiiT?Ti

2．證明：若f在[a,b]上可積，[?,?]?[a,b]，則f在[?,?]上也可積.證因f在[a,b]上可積，所以對(duì)任給的??0，存在分割T，使得

???xiTi??.設(shè)

T?是T增加分點(diǎn)?，?后所得的分割，于是有??i??xi????i?xi??.記T?限制在區(qū)

T?T間[?,?]上的分割為T1，則有在[?,?]上可積.

????x??????x?????xiiiiiT1T?Ti所以由定理9.3’，f??，

3．設(shè)f、g均為定義在[a,b]上的有界函數(shù).證明：若僅在[a,b]中有限個(gè)點(diǎn)處

f(x)?g(x)，則當(dāng)f在[a,b]上可積時(shí)，g在[a,b]上也可積，且?f(x)dx??g(x)dx

aabb證設(shè)f在[a,b]上可積，J?1?k?n?baf(x)dx，在[a,b]中有限個(gè)點(diǎn)：x1,x2,?,xn處，

f(x)?g(x)，令M?max{|f(xk)?g(xk)|}.因f在[a,b]上可積，對(duì)任給的??0，

存在??0（不妨設(shè)??1?），使得當(dāng)分割T的模||T||??時(shí)，|?f(?i)?xi?J|?.4nM2T?|g(?i)?f(?i)|?xi?2nM||T||?T?2

174

從而|?g(?)?xiTi?J|?|?g(?i)?xi??f(?i)?xi|?|?f(?i)?xi?J|

TTT??2??2??

b所以

?bag(x)dx?J??f(x)dx

an??4．設(shè)f在[a,b]上有界，{an}?[a,b]，liman?c.證明：若f在[a,b]上只有an（n?1,2,?）為其休止點(diǎn)，則f在[a,b]上可積.

ni{證設(shè)?為f在[a,b]上的振幅，對(duì)任給的??0，取0???m?,c?a,b?c}6?則f在[a,c??]上只有有限個(gè)休止點(diǎn)，于是f在[a,c??]上可積，從而存在區(qū)間

[a,c??]的分割T1，使得f在[a,c??]上的振幅和??i??xi??T1?3；同樣，f在[c??,b]上只有有限個(gè)休止點(diǎn)，f在[c??,b]上也可積，存在區(qū)間[c??,b]的分割T2，使得f在

[c??,b]上的振幅和??i???xi???T2?3.最終把分割T1和T2與小區(qū)間[c??,c??]合并，構(gòu)

成區(qū)間[a,b]的分割T，f在[a,b]上的振幅和

??i?xi???i??xi????i???xi?????2??TT1T1?3??3??3??

所以f在[a,b]上可積.

5．證明：若f在區(qū)間?上有界，則M?supf(x)，m?inff(x)，證明

x?Ix?Isupf(x)?inff(x)?sup|f(x?)?f(x??)|

x??x??x?,x????證明方法與P.22，第16題一致.

P.219習(xí)題

1．證明：若f與g都在[a,b]上可積，則limn||T||?0?f(?)g(?)?x??iiii?1baf(x)g(x)dx，

175

其中?i,?i是T所屬小區(qū)間?i中的任意兩點(diǎn)，i?1,2,?,n.

證由于lim||T||?0?f(?)g(?)?x??iiii?1ni?1nbaf(x)g(x)dx，于是對(duì)任給的??0，存在

b?1?0，當(dāng)||T||??1時(shí)，|?f(?i)g(?i)?xi??f(x)g(x)dx|?a?2.

由于f在[a,b]上可積，所以有界，即存在M?0，使得對(duì)任何x?[a,b]都有

|f(x)|?M.又由于g在[a,b]上可積，故存在?2?0，當(dāng)||T||??2時(shí)，使得g在[a,b]上的振幅和

??i?xi?T?2M.

現(xiàn)在取??min{?1,?2}，當(dāng)||T||??時(shí)，

|?f(?i)g(?i)?xi??f(x)g(x)dx|

i?1anb?|?f(?i)g(?i)?xi??f(?i)g(?i)?xi|?|?f(?i)g(?i)?xi??f(x)g(x)dx|

i?1i?1i?1annnb?M??i?xi?|?f(?i)g(?i)?xi??f(x)g(x)dx|?i?1i?1annb?2??2??

所以lim||T||?0?f(?i)g(?i)?xi??f(x)g(x)dx

i?1anb2．不求出定積分的值，比較以下各對(duì)定積分的大小.⑴

?10xdx與?x2dx

0221解由于在(0,1)上x與x都連續(xù)，且x?x，所以

???10xdx??x2dx

01⑵

?20xdx與?2sinxdx

0176

解由于在(0,?2?0?0)上x與sinx都連續(xù)，且x?sinx，所以?2xdx??2sinxdx

3．證明以下不等式：⑴

?2???20dx11?sin2x2??2

證由于在(0,?2)上，

11?1?sin2x?1，所以1?22111?sin2x2?2

從而

?2???20dx11?sin2x2??2

⑵1??10exdx?e

x22證由于在(0,1)上，1?e??e，所以1??exdx?e

012⑶1??20sinx?dx?x2sinxsinx??1（P.125，習(xí)題7⑵）dx?證由于在(0,)上，?，所以1??202?xx2?2?⑷3e??4eelnxxlnxxdx?6

證設(shè)f(x)?，先求f在(e,4e)上的最大值和最小值.

11x?lnxlnx2?lnxx2x2)???由于(，得穩(wěn)定點(diǎn)x?e.計(jì)算在穩(wěn)定點(diǎn)和區(qū)間

xx2xx177

端點(diǎn)處的函數(shù)值f(e)?1e，f(4e)?ln4e2e，f(e)?22.比較可知f在(e,4e)上的最e大值為f(e)?2211lnx2，最小值為f(e)?，所以f在(e,4e)上??，從而eeexe3e??4eelnxxdx?6

4．設(shè)f在[a,b]上連續(xù)，且f(x)不恒等于零，證明

?baf2(x)dx?0

證設(shè)有x0?[a,b]，使得f(x0)?0，于是f2(x0)?0.由于f在[a,b]上連續(xù)，由連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性，存在x0的某鄰域(x0??,x0??)（當(dāng)x0?a或x0?b時(shí)，則

f2(x0)?0.從而為右鄰域或左鄰域），使得在其中f(x)?22?baf2(x)dx??x0??x0??2x0??af2(x)dx??x0??x0??x0??x0??f2(x)dx??bx0??f2(x)dx

??f(x)dx??f2(x0)dx?f2(x0)??025．設(shè)f與g都在[a,b]上可積，證明

M(x)?max{f(x),g(x)}，m(x)?min{f(x),g(x)}

x?[a,b]x?[a,b]在[a,b]上也都可積.

證由于M(x)?max{f(x),g(x)}?x?[a,b]1[f(x)?g(x)?|f(x)?g(x)|]，21m(x)?min{f(x),g(x)}?[f(x)?g(x)?|f(x)?g(x)|]，所以M(x)，m(x)在

x?[a,b]2[a,b]上也都可積.

6．試求心形線r?a(1?cos?)，0???2?上各點(diǎn)極徑的平均值.

178

解所求平均值為

12??2?0a(1?cos?)d??a2??2?0(1?cos?)d??a?2??a2?7．設(shè)f在[a,b]上可積，且在[a,b]上滿足|f(x)|?m?0.證明積.

證因f在[