第32課時(shí) 相像形

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第十章相像形

第32課時(shí)相像形(50分)

一、選擇題(每題5分，共30分)

1．以下各組線段(單位：cm)中，成比例線段的是A．1，2，3，4

()

B．1，2，2，4D．1，2，2，3

C．3，5，9，13

2．如圖32－1，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，則以下結(jié)論不正確的是

()

圖32－1

A．BC＝2DEB．△ADE∽△ABCC.ADAB＝AEAC

D．S△ABC＝3S△ADE

3．[2023·重慶]如圖32－2，△ABC∽△DEF，相像比為1∶2，若BC＝1，則EF的長(zhǎng)是

()

圖32－2

A．1

B．2

C．3

1

D．4

4．[2023·XX]在研究相像問(wèn)題時(shí)，甲乙同學(xué)的觀點(diǎn)如下：甲：將邊長(zhǎng)為3，4，5的三角形按圖32－3的方式向外擴(kuò)張，得到新三角形，它們的對(duì)應(yīng)邊間距為1，則新三角形與原三角形相像.

乙：將鄰邊為3和5的矩形按圖32－4的方式向外擴(kuò)張，得到新矩形，它們的對(duì)應(yīng)邊間距為1，則新矩形與原矩形相像.對(duì)于兩人的觀點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是A．兩人都對(duì)

圖32－4

()圖32－3B．兩人都不對(duì)D．甲不對(duì)，乙對(duì)

C．甲對(duì)，乙不對(duì)

5．[2023·寧波]如圖32－5，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，則△ABC與△DCA的面積比為

()

圖32－5

A．2∶3

B．2∶5

C．4∶9

D.2∶3

6．[2023·雅安]如圖32－6，DE是△ABC的中位線，延長(zhǎng)DE至F使EF＝DE，連接CF，則S△CEF∶S四邊形BCED的值為

()

圖32－6

A．1∶3

B．2∶3

C．1∶4

D．2∶5

二、填空題(每題4分，共20分)

7．[2023·濱州]如圖32－7，平行于BC的直線DE把△ABC分成的兩部分面積相等．則

AD

＝________．AB

2

圖32－7

8．[2023·安順]如圖32－8，在?ABCD中，點(diǎn)E在DC上，若DE∶EC＝1∶2，則BF∶BE＝________．

圖32－8

9．如圖32－9，∠1＝∠2，添加一個(gè)條件使得△ADE∽△ACB：____________．

圖32－9

10．[2023·六盤水]如圖32－10，添加一個(gè)條件：__________________________，使得△ADE∽△ACB.(寫出一個(gè)即可)

圖32－10

11．[2023·宜賓]如圖32－11，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，將△ABC折疊，使點(diǎn)B恰好落在斜邊AC上，與點(diǎn)B′重合，AE為折痕，則EB′＝________．

3

圖32－11

三、解答題(共20分)

12．(10分)[2023·佛山]如圖32－12，網(wǎng)格圖中每個(gè)方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形．若A、B、C、D、E、F都是格點(diǎn)，試說(shuō)明△ABC∽△DEF.

圖32－12

13．(10分)[2023·益陽(yáng)]如圖32－13，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E.求證：△ABD∽△CBE.

(20分)

14．(10分)如圖32－14，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE.

(1)寫出圖中兩對(duì)相像三角形(不得添加輔助線)；(2)請(qǐng)分別說(shuō)明兩對(duì)三角形相像的理由．

圖32－13

圖32－14

4

15．(10分)[2023·資陽(yáng)]如圖32－15，AB是⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線并在其上取一點(diǎn)C，連接OC交⊙O于點(diǎn)D，BD的延長(zhǎng)線交AC于E，連接AD.(1)求證：△CDE∽△CAD；

(2)若AB＝2，AC＝22，求AE的長(zhǎng)．

圖32－15

(10分)

16．(10分)[2023·金華]如圖32－16所示，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，在AC、BC邊上各取一點(diǎn)E、F，連接AF、BE相交于點(diǎn)P.(1)若AE＝CF.

①求證：AF＝BE，并求∠APB的度數(shù)．②若AE＝2，試求AP·AF的值．

(2)若AF＝BE，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，試求點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．

答案解析

1．B判斷四條線段是否是比例線段，可先將四條線段按從小到大的順序排列，由比例線段的基本性質(zhì)可知，假使第一、四兩個(gè)數(shù)的積等于其次、三兩個(gè)數(shù)的積，則這四條線段是比例線段，否則不是比例線段，由于1×4＝2×2，所以1，2，2，4是比例線段．

2．D∵在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，∴DE∥BC，1ADDE＝BC，∴BC＝2DE，故A正確；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴

2AEAB

＝，故B、C正確；∵BC＝2DE，∴S△ABC＝4S△ADE，故D錯(cuò)誤．應(yīng)選D.AC3．B4.C5.C

6．A先利用SAS證明△ADE≌△CFE(SAS)，得出S△ADE＝S△CFE，再

5

圖32－16

由DE為中位線，判斷△ADE∽△ABC，且相像比為1∶2，利用相像三角形的面積比等于相像比的平方，得到S△ADE∶S△ABC＝1∶4，則S△ADE∶S四邊形BCED＝1∶3，進(jìn)而得出S△CEF∶S四邊形BCED＝1∶3.7.22

∴EC∶CD＝2∶3，即EC∶AB＝2∶3.∵AB∥CD，∴△ABF∽△CEF，∴BF∶EF＝AB∶EC＝3∶2，∴BF∶BE＝3∶5.9．∠D＝∠C或∠E＝∠B或

ADAE

＝等∵∠1＝∠2，ACAB

8．3∶5∵DE∶EC＝1∶2，

∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，即∠DAE＝∠CAB.ADAE

當(dāng)∠D＝∠C或∠E＝∠B或＝時(shí)，

ACAB△ADE∽△ACB.

10．∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或

ADAE＝ACAB

3

11.根據(jù)折疊可得BE＝EB′，AB′＝AB＝3.2設(shè)BE＝EB′＝x，則EC＝4－x，∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，

∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝5，∴B′C＝AC－AB′＝5－3＝2，在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2＋22＝(4－x)2，解得x＝1.5.

12．解：∵AC＝2，BC＝10，AB＝4，DF＝22，EF＝210，DE＝8，∴

ACBCAB1

＝＝＝，∴△ABC∽△DEF.DFEFDE2

13．證明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.∵CE⊥AB，

6

∴∠ADB＝∠CEB＝90°.又∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE.

14．由兩角對(duì)應(yīng)相等得兩三角形相像，關(guān)鍵是得到∠BAC＝∠DAE要運(yùn)用等式性質(zhì)．

解：(1)△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE.(2)∵∠BAD＝∠CAE，

∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE.

又∵∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE，∴

ABAC

＝.ADAE

又∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE.

15．(1)證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.

又AC是⊙O的切線，則BA⊥AC，

即∠BAC＝90°，∴∠CAD＋∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAD.

∵∠ABD＝∠BDO＝∠CDE，∴∠CAD＝∠CDE，

又∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD.(2)解：在Rt△OAC中，∠OAC＝90°，∴OA2＋AC2＝OC2，即12＋(22)2＝OC2，∴OC＝3，則CD＝2.又由△CDE∽△CAD，得即

CDCA＝，CECD

222＝，∴CE＝2，CE2

∴AE＝AC－CE＝22－2＝2.

16．解：(1)①證明：∵三角形ABC為等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°，

7

∵AE＝CF，∴△BAE≌△ACF(SAS)，∴AF＝BE，∠ABE＝∠CAF.

∵∠APB＝180°－(∠ABE＋∠FAB)，

∴∠APB＝180°－(∠CAF＋∠FAB)＝180°－∠BAC＝180°－60°＝120°.②∵∠AEB＝∠AEP，∠ABE＝∠CAF，APAE＝，ABBEAP2

∵AB＝6，AE＝2，∴＝，

6AF∴△BAE∽△APE，∴∴AP·AF＝6×2＝12.

(2)由(1)知∠APB＝120°，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，∠APB保持不變，此時(shí)，P點(diǎn)的路徑分四種狀況．

第一種：當(dāng)點(diǎn)F從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P的路徑為△ABP的外接圓的一段120°弧，點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為l＝

nπr120π×2343π

＝＝；1801803

第16題答圖(1)

其次種：當(dāng)點(diǎn)F從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P的路徑為△ABC中AB邊上的垂直平分線．點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為l＝CD＝AC2－AD2＝62－32＝33；

第