第八章非正弦周期電流電路的分析

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第八章非正弦周期電流電路的分析

主要內(nèi)容：

?了解非正弦周期電路的概念、研究棵正弦周期電路的意義及方法;?理解并把握諧波分析法的基本思想及方法;

?理解非正弦周期信號的有效值、平均值和平均功率的定義及其計算;?理解并把握非正弦周期電路的分析方法及解題步驟;

§8-1周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開式

一、傅立葉級數(shù)

設(shè)T為周期函數(shù)f(t)的周期，即f(t)=f(t+kT)，k=0，1，2，3?，假使f(t)滿足狄里赫利條件，即

（1）在一個周期內(nèi)，如極大值和微小值的數(shù)目為有限個；（2）在一個周期內(nèi)，如只有有限個不連續(xù)點(diǎn);

（3）在一個周期內(nèi)，f(t)絕對值的積分為有限值，即?f(t)dt??，則f(t)可展開

0T為一無窮級數(shù)。

1、傅立葉級數(shù)的第一形式

af(t)?0?a1cos?1t?a2cos2?1t???b1sin?1t?b2sin2?1t???

2a0????(ancosn?1t?bnsinn?1t)

2n?1a其中：n為正整數(shù)；0，an，bn稱為傅立葉系數(shù)。

2a2、傅立葉系數(shù)0，an，bn的計算式

2對和式兩端在一個周期內(nèi)積分TTaTT0f(t)dt?dt?acos?tdt??0?o2?o11?oa2cos2?1tdt??

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???Tob1sin?1tdt??b2sin2?1tdt???oTa02a01?2T?T0f(t)dt，

a0是f(t)在T內(nèi)的平均值，稱為直流分量。2求an：用cosnω1t乘和式兩端

af(t)cosn?1t?0cosn?1t?a1cos?1tcosn?1t?a2cos2?1tcosn?1t2

???ancos2n?1t?b1sin?1tcosn?1t???bnsin?1tcosn?1t兩端在一周期內(nèi)積分得：

1T(1?cos2n?1t)dt?an22?T0f(t)cosn?1tdt??ancos2n?1tdt?ab?0TT0?an?2Tf(t)cos(n?1t)dt?0T積分出來之后，令n=1.2.3.…便可求得a1.a2……

求bn:同理用sinnω1t乘和式兩端，并就兩端在一周期內(nèi)積分，可得：

2Tbn??f(t)sin(n?1t)dt

T03、傅立葉展開式的其次種形式

將和式中的同頻率的正弦項(xiàng)和余弦出合并為一個同頻率的正弦波（可用相量法）

A0???Anmsin(n?1t??n)f(t)?2n?1式中：AnmA0a0an??a?b；?n?tg；22bn2n2n?1二、周期函數(shù)的幾種對稱性1、奇函數(shù)：f(t)=-f(-t)特點(diǎn)：（1）圖形對稱于原點(diǎn)；

（2）上下平移會破壞對稱性，

所以平均值必為零；（3）左右平移可破壞對稱性。

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奇函數(shù)的波形例如

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結(jié)論：不含cos項(xiàng)；an=0；2、偶函數(shù)：f(t)=f(-t)

a0=0；僅含sin項(xiàng)；bn≠02特點(diǎn)：（1）圖形對于縱軸對稱（2）上下平移仍為偶函數(shù)，

可有非零平均值

（3）左右平移可破壞縱軸對稱性

a結(jié)論：不含sin項(xiàng)；bn=0；an≠0；0可不為零.

23、奇諧波函數(shù)：f(t)=-f(t+T/2)

(a)(b)

奇諧波函數(shù)的波形例如

偶函數(shù)的波形例如

波形對稱性：后半周反號重復(fù)前半周，或后半周左移半周與前半周成鏡像。稱為奇半波對稱性。f(t)稱為奇諧波函數(shù)。

特點(diǎn)：（1）左右平移不影響對稱性；上下平移一定破壞對稱性。（2）只含有奇諧波函數(shù)；不含偶次諧波和直流分量

a結(jié)論：0=0，an和bn中n只取奇數(shù)。

2小結(jié)：1、奇，偶函數(shù)的對稱性可能因原點(diǎn)的移動而遭破壞，奇諧波函數(shù)的對稱性不受原點(diǎn)移動的影響。

2、適選中擇時間起點(diǎn)，可使有些函數(shù)具有一種以上的對稱性。

3、對波形的對稱性的判斷可直觀地判斷哪些諧波存在，哪些諧波不存在。減少付立葉級數(shù)展開的工作量。

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§8-2線性電路對周期性鼓舞的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

一、諧波分析法的思想：

在電工程中常見的周期性鼓舞信號一般都滿足狄里赫利條件，都可展開為傅氏級數(shù)。則諧波分析法是利用高等數(shù)學(xué)中的傅氏級數(shù)展開法，將非正弦周期鼓舞信號分解為一系列不同頻率的正弦量之和，再根據(jù)線性電路的疊加定理，分別計算各次諧波的正弦量單獨(dú)作用下在電路中產(chǎn)生的同頻正弦分量，最終將所得的分量按時域形式疊加，就可以得到電路在非正弦周期鼓舞下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。其實(shí)質(zhì)是將一個非正弦的周期電路轉(zhuǎn)換為一多個正弦電流電路來計算。

由于傅氏級數(shù)的收斂性，根據(jù)工程計算所允許的誤差范圍，一般只取前若干項(xiàng)來計算。（對周期電壓信號可認(rèn)為是若干諧波電壓源相串聯(lián)，對周期電流信號可認(rèn)為是若干諧波電流源相并聯(lián)）。

二、非正弦周期電流電路的計算步驟：

1.把給定的非正弦周期電壓或電流分解為傅氏級數(shù)，高次諧波取到哪一項(xiàng)為止，要視所需精度來確定。

2.分別求出電源電壓或電流的恒定分量及各次諧波分量單獨(dú)作用時的響應(yīng)。對于恒定分量，求解時將電容開路，電感短路，歸結(jié)為一個直流電路的求解;而在求各次諧波的響應(yīng)時，應(yīng)特別注意電容和電感的參數(shù)可能在某一頻率下產(chǎn)生串聯(lián)諧振或并聯(lián)諧振，此時，在各次諧波下，電路的求解歸結(jié)為普通正弦交流電路的求解。

3.應(yīng)用疊加定理，將基波分量和各次諧波分量所引起的響應(yīng)在時域內(nèi)進(jìn)行疊加，

不能用相量相加，得到所求響應(yīng)。

例1圖示電路中，已知ω=314rad/s,R1=R2=10?,L1=0.106H，L2=0.0133H，C1=95.6μF，C2=159?F，us(t)?(10?202sin?t?102sin3?t)V，求i1(t)及i2(t)。

解：直流分量電壓單獨(dú)作用時，電容相當(dāng)于開路，電感相當(dāng)于短路

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I10?Us010?A?1A,I20?0R110基波分量電壓單獨(dú)作用時，L1與C1并聯(lián)的等效導(dǎo)納為

j?C1?1?j(3?10?2?3?10?2)S?0j?L1相當(dāng)于開路，因此

??I??I11m21m?Us1mR1?R2?1j?C2?202ej0?A=1ej45A10?10?j20?基波分量電壓單獨(dú)作用時響應(yīng)的時域解為

i11(t)?i21(t)?1sin(?t?45?)A

三次諧波分量電壓單獨(dú)作用時，L1與C1并聯(lián)的等效阻抗為

11j3?C1?j3?L1??j12.5?

而電感L2在三次諧波頻率下的阻抗為j3?L2=j12.5?，所以對三次諧波而言，L1與C1并聯(lián)后再與L2串聯(lián)，發(fā)生串聯(lián)諧振，相當(dāng)于短路。故

??I13m?Us3mR1102ej0j0???0A?A?2eA;I23m10?三次諧波分量電壓單獨(dú)作用時響應(yīng)的時域解為

i13(t)?2sin3?tA,i23(t)?0A

將響應(yīng)的直流分量和各次諧波分量單獨(dú)作用時的正弦穩(wěn)態(tài)