電磁場(chǎng)與電磁波1

本文格式為Word版，下載可任意編輯——電磁場(chǎng)與電磁波1第一章

矢量分析

重點(diǎn)和難點(diǎn)

關(guān)于矢量的定義、運(yùn)算規(guī)則等內(nèi)容可讓讀者自學(xué)。應(yīng)著重講解梯度、散度、旋度的物理概念和數(shù)學(xué)表示，以及格林定理和亥姆霍茲定理。至于正交曲面坐標(biāo)系一節(jié)可以略去。

考慮到高年級(jí)同學(xué)已學(xué)過物理學(xué)，講解梯度、散度和旋度時(shí)，應(yīng)結(jié)合電學(xué)中的電位、積分形式的高斯定律以及積分形式的安培環(huán)路定律等內(nèi)容，闡述梯度、散度和旋度的物理概念。詳細(xì)的數(shù)學(xué)推演可以從簡(jiǎn)，僅給出直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式即可。講解無散場(chǎng)和無旋場(chǎng)時(shí)，也應(yīng)以電學(xué)中介紹的靜電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng)的基本特性為例。

至于格林定理，證明可免，僅給出公式即可，但應(yīng)介紹格林定理的用途。前已指出，該教材的特色之一是以亥姆霍茲定理為依據(jù)逐一介紹電磁場(chǎng)，因此該定理應(yīng)著重介紹。但是由于證明過程較繁，還要涉及?函數(shù)，假使學(xué)時(shí)有限可以略去。由于亥姆霍茲定理嚴(yán)格地定量描述了自由空間中矢量場(chǎng)與其散度和旋度之間的關(guān)系，因此應(yīng)當(dāng)著重說明散度和旋度是產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源，而且也是惟一的兩個(gè)源。所以，散度和旋度是研究矢量場(chǎng)的首要問題。

此外，還應(yīng)強(qiáng)調(diào)自由空間可以存在無散場(chǎng)或無旋場(chǎng)，但是不可能存在既無散又無旋的矢量場(chǎng)。這種既無散又無旋的矢量場(chǎng)只能存在于局部的無源區(qū)中。

重要公式

直角坐標(biāo)系中的矢量表示：A?Axex?Ayey?Azez矢量的標(biāo)積：代數(shù)定義：A?B?AxBx?AyBy?AzBz

幾何定義：A?B?|A||B|cos?

1

exeyez矢量的矢積：代數(shù)定義：A?B?AxAyAzBxByBz

幾何定義：A?B?ez|A||B|sin?

標(biāo)量場(chǎng)的梯度：???e??x?x?e????y?y?ez?z矢量場(chǎng)的散度：??A??Ax?Ay?Az?x??y??z高斯定理：?V??AdV??SA?dS

exeyez矢量場(chǎng)的旋度：??A?????x?y?z；AxAyAz斯托克斯定理：

?S(??A)?dS??lA?dl

無散場(chǎng)：??(??A)?0；無旋場(chǎng)：??(??)?0格林定理：

第一和其次標(biāo)量格林定理：

?V(????????2?)dV??S(???)?dS

?V(??2????2?)dV??S??????????dS

第一和其次矢量格林定理：

?V[(??P)?(??Q)?P?????Q]dV??S?P???Q??dS

?V[Q?(????P)?P?(????Q]dV??S[P???Q?Q???P]?dS亥姆霍茲定理：F(r)????(r)???A(r)，式中

?(r)?1????F(r?)4?dV?A(r)?1????F(r?)V?r?r?4?V?r?r?dV?

三種坐標(biāo)系中矢量表示式之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：

2

?Ar??cos?????A?????sin??A???z??0sin?cos?00??Ax???0???Ay?

?1????Az?cos???Ax????sin????Ay?

?0????Az??Ar??sin?cos?????A????cos?cos??A???????sin??Ar??sin?????A????cos??A??????00sin?sin?cos?sin?cos?cos???Ar???0?sin????A??

?10????Az?

題解第一章題解

1-1已知三個(gè)矢量分別為A?ex?2ey?3ez；B?3ex?ey?2ez；C?2ex?ez。試求①|(zhì)A|,|B|,|C|；②單位矢量ea,eb,ec；③A?B；④A?B；⑤(A?B)?C及

(A?C)?B；⑥(A?C)?B及(A?B)?C。

22解①A?Ax?Ay?Az2?12?22???3??14

222B?Bx?By?Bz2?32?12?22?14

22C?Cx?Cy?Cz2?22?02???1??5

2②ea?AA1?ex?2ey?3ez???A1414BB1?3ex?ey?2ez???B1414CC1?2ex?ez???C55eb?ec?③A?B?AxBx?AyBy?AzBz?3?2?6??1

exeyAyByezBzex3ey21ez?3?7ex?11ey?5ez2④A?B?AxBxAz?13

⑤?A?B??C?72exexeyez?11?5?11ex?3ey?22ez0?1exAyCyex3exCzeyex2ezey20ez?3??2ex?5ey?4ez?1因

A?C?AxCxAz?1則

?A?C??B??2?5?4??6ex?8ey?13ez

12⑥?A?C??B???2??3???5??1?13?2?15

?A?B??C?7?2?0???5????1??19。

1-2已知z?0平面內(nèi)的位置矢量A與X軸的夾角為?，位置矢量B與X軸的夾角為?，試證

cos(???)?cos?cos??sin?sin?

證明由于兩矢量位于z?0平面內(nèi)，因此均為二維矢量，它們可以分別表示為

A?exAcos??eyAsin?B?exBcos??eyBsin?

已知A?B?ABco?s????，求得

cos??????即

ABcos?cos??ABsin?sin?AB

cos(???)?cos?cos??sin?sin?

1-3已知空間三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P1(0,1,?2)，P2(4,1,?3)及P3(6,2,5)。試問：①該三角形是否是直角三角形；②該三角形的面積是多少？解由題意知，三角形三個(gè)頂點(diǎn)的位置矢量分別為

P1?ey?2ez；P2?4ex?ey?3ez；那么，由頂點(diǎn)P1指向P2的邊矢量為

P3?6ex?2ey?5ez

4

P2?P1?4ex?ez

同理，由頂點(diǎn)P2指向P3的邊矢量由頂點(diǎn)P3指向P1的邊矢量分別為

P3?P2?2ex?ey?8ezP1?P3??6ex?ey?7ez

因兩個(gè)邊矢量(P2?P1)?(P3?P2)?0，意味該兩個(gè)邊矢量相互垂直，所以該三角形是直角三角形。

因

P2?P1?42?12?17P3?P2?22?12?82?69，

所以三角形的面積為

S?1P2?P1P3?P2?0.5117321-4已知矢量A?exy?eyx，兩點(diǎn)P1及P2的坐標(biāo)位置分別為P1(2,1,?1)及

P2(8,2,?1)。若取P1及P2之間的拋物線x?2y2或直線P1P2為積分路徑，試求

線積分

?p1p2A?dl。

解①積分路線為拋物線。已知拋物線方程為x?2y2,dx?4ydy，則

?P1P2A?dl???ydx?xdy???4y2dy?2y2dy??6y2dy?2y3??14②積分

P2P2P22P1P1??P11路線為直線。因P1,P2兩點(diǎn)位于z??1平面內(nèi)，過P1,P2兩點(diǎn)的直線方程為

y?1?2?1?x?2?，即6y?x?4，dx?6dy，則8?2?P1P2A?dl??6ydy??6y?4?dy?12y?4y2P2P1??12??14。

1-5設(shè)標(biāo)量??xy2?yz3，矢量A?2e