待定系數(shù)法求遞推數(shù)列通項公式

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最全的待定系數(shù)法求遞推數(shù)列通項

用待定系數(shù)法求遞推數(shù)列通項公式初探

摘要:本文通過用待定系數(shù)法分析求解9個遞推數(shù)列的例題，得出適用待定系數(shù)法求其通項公式的七種類型的遞推數(shù)列，用于解決像觀測法、公式法、迭乘法、迭加法、裂項相消法和公式法等不能解決的數(shù)列的通項問題。關鍵詞:變形對應系數(shù)待定遞推數(shù)列

數(shù)列在高中數(shù)學中占有重要的地位，推導通項公式是學習數(shù)列必由之路，特別是根據(jù)遞推公式推導出通項公式，對教師的教學和學生的學習來說都是一大難點，遞推公式千奇百怪，推導方法卻各不一致，靈活多變。對學生的觀測、分析能力要求較高，解題的關鍵在于如何變形。常見的方法有觀測法、公式法、迭乘法、迭加法、裂項相消法和公式法。但是對比較繁雜的遞推公式，用上述方法難以完成，用待定系數(shù)法將遞推公式進行變形，變成新的數(shù)列等差數(shù)列或等比數(shù)列。下面就分類型談談如何利用待定系數(shù)法求解幾類數(shù)列的遞推公式。

一、an??pan?q型（p、q為常數(shù)，且pq?0,p?1）例題1.在數(shù)列?an?中，a1?1,an?1?2an?1,試求其通項公式。

分析：顯然，這不是等差或等比數(shù)列，但假使在an?1?2an?1的兩邊同時加上1，整理為an?1?1?2(an?1)，此時，把an?1?1和an?1看作一個整體，或者換元，令bn?1?an?1?1，那么bn?an?1，即bn?1?2bn，b1?a1?1?2，因此，數(shù)列?an?1?或?bn?就是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列

an?1?2n，或者b?2n，進一步求出a?2n?1。

nn啟示：在這個問題中，簡單看出在左右兩邊加上1就構成了新的等比數(shù)列?an?1?，那不易看出在左右兩邊該加幾后構成新的等比數(shù)列時，該怎么辦呢？

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其實，已知an?1?2an?1，可變形為an?1???2(an??)的形式，然后展開括號、移項后再與an?1?2an?1相比較，利用待定系數(shù)法可得2????1,??1。

這樣，對于形如an?1?pan?q（其中p、q為常數(shù)，且pq?0,p?1）的遞推數(shù)列，先變?yōu)閍n?1???p(an??)的形式，展開、移項，利用待定系數(shù)法有(p?1)??q，??qp?1即an?1??p(an?)p?1p?1??a?,公比為p的等比數(shù)列則數(shù)列?an?首項為?1p?1p?1??an??(a1?)pn?1即an?(a1?)pn?1?p?1p?1p?1p?1因此，形如an?1?pan?q這一類型的數(shù)列，都可以利用待定系數(shù)法來求解。那么，若q變?yōu)閒(n),f(n)是關于n非零多項式時，該怎么辦呢？是否也能運用待定系數(shù)法呢？二an?1?pa?qn?r(pq?0,且p?1)型n例題2.在數(shù)列?an?中，a1?1,an?1?2an?3n?1,試求其通項公式。

分析：依循例題1的思路，在兩邊既要加上某一常數(shù)同時也要加上n的倍數(shù)，才能使新的數(shù)列有一致的形式。先變?yōu)閍n?1??(n?1)???2(an??n)?1，展開比較得??3,即an?1?3(n?1)?2(an?3n)?4進一步an?1?3(n?1)?4?2(an?3n?4)

則數(shù)列?an?3n?4?是a1?3?1?4?8首項為a1?3?1?4?8公比為2的等比數(shù)列，所以

an?3n?4?8?2n?1?2n?2，an?2n?2?3n?4

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同樣，形如an?1?pa?qn?r的遞推數(shù)列，設an?1?x(n?1)?y?p(an?xn?y)展開、

n?(p?1)x?q移項、整理，比較對應系數(shù)相等，列出方程?

(p?1)y?x?r?q?x??p?1?解得?

x?rqr?y???2?p?1(p?1)p?1?即an?1??rr?(n?1)???pa?n??n??22p?1(p?1)p?1p?1(p?1)p?1???r?rn??則數(shù)列?an?是以為首項，以p為公比a????122p?1(p?1)p?1p?1(p?1)p?1??的等比數(shù)列。于是就可以進一步求出?an?的通項。

同理，若a也可以構造新的等比數(shù)列，?pa?f(n)其中f(n)是關于n的多項式時，n?1n利用待定系數(shù)法求出其通項。譬如當f(n)?qn2?rn?s=時，可設an?1?x(n?1)2?y(n?1)?z?p(an?xn2?yn?z)展開根據(jù)對應系數(shù)分別相等求解方程即可。

f(n)為n的三次、四次、五次等多項式時也能用同樣的思路和方法進行求解。

而假使當f(n)是n的指數(shù)式，即f(n)?qn?r時，遞推公式又將如何變形呢？三a?pa?rqn?s型(pqr?0,且p?1,q?1,p?q)

n?1n例題3.在數(shù)列?an?中，a1?1,an?1?3an?2n,試求其通項an。

分析1：由于an?1?3an?2n與例題1的區(qū)別在于2n是指數(shù)式，可以用上面的思路進行變形，在兩邊同時加上2?2n變?yōu)閍n?1?2n?1?3an?3?2n即an?1?2n?1?3(an?2n)

則數(shù)列?an?2n?是首項為3，公比為3的等比數(shù)列an?2n?3n，則

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an?3n?2n

分析2：假使將指數(shù)式先變?yōu)槌?shù)，兩邊同除2n?1

an?13an13an1n?1?n?1????

22222n2就回到了我們的類型一。進一步也可求出an?3n?2n。

例題4.在數(shù)列?an?中，a1?3,an?1?3an?5?2n?4,試求?an?的通項an。分析：若按例題3的思路2，在兩邊同時除以2n?1，雖然產(chǎn)生了了

an?1an、，但是又增加nn?1224n?2，與原式并沒有大的變化。所以只能運用思路1，在兩邊同時加上10整理n?12an?1?5?2n?1?3(an?5?2n)?4進一步an?1?5?2n?1?2?3(an?5?2n?2)則數(shù)列?an?5?2n?2?是首項為15，公比為3的等比數(shù)列an?5?2n?2?15?3n?1?5?3n即an?5(3n?2n)?2

啟示：已知數(shù)列?an?的首項，an?1?pan?rqn?s(pqr?0且p?1,q?1,q?p)

1）當s?0,即an?1?pan?rqn由例題3知，有兩種思路進行變換，利用待定系數(shù)法構造首項和公比已知或可求的等比數(shù)列。

思路一：在兩邊同時除以qn?1，將不含an?1和an的項變?yōu)槌?shù)，即

an?1panr??n?n?1r???q??an?為前面的類型一，再用類型一的待定系數(shù)法思想可得數(shù)列?n??最終求解出?an?p?q?1?q????的通項。

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思路二：在兩邊同時加上qn的倍數(shù)，最終能變形為an?1?xqn?1?p(an?xqn)對應系數(shù)相等得(p?q)x?r，即x?rp?q即an?1?rr?qn?1?p(an??qn)p?qp?q??r求出數(shù)列?an??qn?的通項，進一步求出?an?的通項。

p?q??

2）當s?0時，即an?1?pan?rqn?s

由例4可知只能在選擇思路二，兩邊既要加qn的倍數(shù)，也要加常數(shù)，最終能變形為

an?1?xqn?1?y?p(an?xqn?y)

比較得x，y的方程組

?(p?q)x?r??(p?1)y?sr?x??p?q?即?

s?y??p?1?于是an?1?rsrs?qn?1??p(an??qn?)p?qp?1p?qp?1?rs?求出數(shù)列?an??qn??的通項，進一步求出?an?的通項。

p?qp?1??

四：an?2?pan?1?qan?f(n)型(已知a1,a2其中f(n)可以為常數(shù)、n的多項式或指數(shù)式）以f(n)=0為例。

21例題5.在數(shù)列?an?中，a1?1,a2?2,an?2?an?1?an,試求?an?的通項。

33分析：這是三項之間遞推數(shù)列，根據(jù)前面的思路，可以把an?1看做常數(shù)進行處理，可變

1為an?2?an?1??(an?1?an)，先求出數(shù)列?an?1?an?的通項

31an?1?an?(?)n?1

3

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然后利用累加法即可進一步求出?an?的通項an。

對于形如an?2?pan?1?qan的遞推數(shù)列，可以設an?2?xan?1?y(an?1?xan)展開，利用

?x?y?p對應系數(shù)相等，列方程??xy?q

于是數(shù)列?an?1?xan?就是以a2?xa1為首項，y為公比的等比數(shù)列，不難求出

?an?1?xan?的通項進一步利用相關即可求出an。

同理，an?2?pan?1?qan?f(n)當f(n)為非零多項式或者是指數(shù)式時，也可結合前面的思路進行處理。問題的關鍵在于先變形an?2?xan?1?y(an?1?xan)?f(n)然后把an?1?xan看做一個整體就變?yōu)榱饲懊娴念愋汀?/p>

五：an?1?p?anr(p?1且p?R?，r?0,r?1)型，?an?為正項數(shù)列例題6.在數(shù)列?an?中，a1?1,an?1?2an2，試求其通項an。

分析：此題和前面的幾種類型沒有一致之處，左邊是一次式，而右邊是二次式，關鍵在于通過變形，使兩邊次數(shù)一致，由于an?0，所以可聯(lián)想到對數(shù)的相關性質(zhì)，對an?1?2an2兩邊取對數(shù)，即lgan?1?lg(2an2)?lg2?lgan2?2lgan?lg2就是前面的類型一了，即lgan?1?lg2?2(lgan?lg2)lgan?lg2?(lg2)?2n?1?lg22

2變形得an?2n?1n?1?1

對于類似an?1?p?anr(p?1且p?R?，r?0,r?1)的遞推數(shù)列，由于兩邊次數(shù)不一致，又是正項數(shù)列，所以可以利用對數(shù)性質(zhì)，兩邊同時取對數(shù)，得lgan?1?lgp?anr?rlgan?lgp

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lgp??然后就是前面的類型一了，就可以利用待定系數(shù)法進一步構造數(shù)列?lgan?1??為已

r?1??lgp??知首項和公比的等比數(shù)列了。求出?lgan?1??最終就可以得出?an?的通項。

r?1??同樣，假使將an?1?p?anr(p?1且p?R?，r?0,r?1)中的p換為指數(shù)式qn時，同樣可以利用一致的方法。即：an?1?qn?anr(q?1且q?R?，r?0,r?1)兩邊取對數(shù)lgan?1?lg(qn?anr)?rlgan?nlgq變?yōu)轭愋投gan?1?x(n?1)?y?r(lgan?xn?y)即可進一步得出?an?的通項。

以上是一些整式型的遞推數(shù)列通項公式的求解，接下來再看看比較繁雜的分式型遞推數(shù)列。六：an?1?ran?s(pr?0)型

pan?qan，試求其通項an。

3an?2例題7.在數(shù)列?an?中，a1?1,an?1?分析：這是一個分式型數(shù)列，假使去分母變?yōu)?an?1an?2an?1?an?0后就無法進行處理了。兩邊同時取倒數(shù)

3a?211?n?2??3an?1anan就是前面的類型一了。

?1?1?3?2??3?an?1?an??1?1所以數(shù)列??3?是首項為?3?4，公比為2的等比數(shù)列，不難求出

a1?an?an?

12n?1?3

例題8.在數(shù)列?an?中，a1?1,an?1?

an?2，試求其通項an。

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分析：此題比例題7的區(qū)別多了常數(shù)項，兩邊取倒

11??4??3an?1an?2左右兩邊

11與并不一致。但可以對循例題7的思路，取倒數(shù)之后分母會具有一an?1an?2致的結構，根據(jù)等式和分式的性質(zhì)，我們可在兩邊同時加上某一常數(shù)，整理：

2?2x??(3x?1)?an??an?23x?1??an?1?x??x?

3an?23an?2此時假使

2x?22?x，那么遞推式左邊和右邊分母就一致了。解方程得x1??,x2?13x?132???1?an??23?因此an?1???

33an?2an?1?1?（4an?1?1）

3an?2（4an?1?1），

3an?2此時可選擇其中一個遞推式依循例題7的方式進行處理，這里選擇an?1?1?兩邊取倒

1an?1?11?3an?2113???

（4an?1?1）4an?14回到了類型一

3113???(?)an?1?154an?15根據(jù)類型一的方法易求出：

4?(?4)n?1?1an?

6?(?4)n?1?1現(xiàn)在我們將兩式相比：

22an?3??1?3

an?1?14an?1an?1?

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2??a??n3?則數(shù)列??是我已知首項和公比的等比數(shù)列，進一步化簡求出an。

a?1?n???通過以上兩個例題可知，形如an?1?的綜合能力要求較高。

ran?s(pr?0)這一類型的遞推數(shù)列，對學生

pan?q1、假使右邊分子缺常數(shù)項，即s?0，那么直接對兩邊取倒數(shù)即可得：此時，若

1q1p???an?1ranr?1，那就是我們熟悉的等差數(shù)列，若?1，那就是前面的類型一——用待rr定系數(shù)法求解。

2、若s?0，就需要先變形，使左邊和右邊分子結構一致。兩邊同時加上某一個常數(shù)(x)

(r?xp)(an?s?xq)r?px

pan?qan?1?x?然后令

s?qx?x，解出x的值。r?px而另一種思路是直接設an?1?ran?s變形之后為

pan?qy(an?x)

pan?qan?1?x?然后展開，根據(jù)對應項系數(shù)相等得二元方程組

?y?xp?r?

?x(y?q)?s求出x,y。

兩種思路都是解x的一元二次方程，設其解為x1,x2。an?1?x1?y1(an?x1)y(a?x2)和an?1?x2?2n

p(an?q)p(an?q)若x1?x2時，那就只能利用例題7的方法，兩邊取倒數(shù)，部分分式整理即可轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

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類型一。

p(an?q)p(an?x1)?p(q?x1)p(q?x1)11p?????

an?1?x1y1(an?x1)y1(an?x1)y1an?x1y1最終求出an。

當x1?x2時，可以選擇其中的一個依照上面的方式進行求解，但是此時計算量頗大，于是直接將兩式相比得：

an?1?x1y1an?x1??

an?1?x2y2an?x2?a?x?a?xy所以數(shù)列?n1?是首項為11，公比為1的等比數(shù)列。進一步求出an。

a1?x2y2?an?x2?

ran2?s(pr?0,p?2r,q2?4rs?0)型七：an?1?pan?qan2?3例題9.在數(shù)列?an?中，a1?2,an?1?，試求其通項an。

2an?2分析：此題屬于分式非線性遞推式，與類型五又有相像之處，所以我們可以結合類型五、六的思路，進行變換：

兩邊同時加上某個常數(shù)，設最終變?yōu)椋?/p>

(an?x)2an?1?x?

2an?2與原式比較，對應系數(shù)相等，得x2?2x?3解方程得x1??1,x2?3即有：

(an?3)2an?1?3?2an?2

(an?1)2

an?1?1?2an?2對單個式子進行處理，無從下手，兩式相比得

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a?3?an?3?n?1???

an?1?1?an?1?2然后，兩邊取對數(shù)得：

?a?3?a?3an?3?lg?n?2lglgn?1?an?1?1an?1?an?1?2?an?3?a?3則數(shù)列?lg?lg5，公比為2的等比數(shù)列。?是首項為lg1a?1a?