初中八年級(jí)數(shù)學(xué)下必考點(diǎn)平行四邊形幾何模型詳解

【下載后獲高清版】初中八年級(jí)數(shù)學(xué)下必考點(diǎn)-平行四邊形幾何模型詳解一、基礎(chǔ)知識(shí)條件的組合搭配是解決幾何綜合題目的基本思路，在進(jìn)行組合搭配中往往遇到一些常用的結(jié)構(gòu)．可以通過(guò)補(bǔ)全圖形，從而構(gòu)造熟悉的結(jié)構(gòu)：三角形的三線：底邊上的中線、底邊上的高線、頂角的角平分線.二、方法技能1．幾何計(jì)算、證明的基本思考流程①標(biāo)注條件，合理轉(zhuǎn)化；②組合特征，分析結(jié)構(gòu)；③由因?qū)Ч瑘?zhí)果索因．2．特殊四邊形中隱含條件①平行四邊形中隱含條件：平行、中點(diǎn)；②菱形中隱含條件：平行、中點(diǎn)、角平分線、垂直；③矩形中隱含條件：平行、中點(diǎn)、垂直；④正方形中隱含條件：平行、中點(diǎn)、角平分線、垂直．3．四邊形中常見(jiàn)幾何結(jié)構(gòu)舉例①中點(diǎn)結(jié)構(gòu)：直角+中點(diǎn)，平行+中點(diǎn)，多個(gè)中點(diǎn)；②旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)：等線段共點(diǎn)，對(duì)角互補(bǔ)；③弦圖結(jié)構(gòu)：外弦圖，內(nèi)弦圖，等腰直角，三垂；④面積結(jié)構(gòu)：三個(gè)“一半”，平行轉(zhuǎn)化．三、典例精講1．如圖，在平行四邊形ABCD

中，BC=2AB

，CE⊥AB

于點(diǎn)E，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，若∠AEF

=54°，則∠B

=

．【分析】（體會(huì)條件組合與搭配）方法一：①AB∥CD

，F(xiàn)為AD

的中點(diǎn)；→平行夾中點(diǎn)→延長(zhǎng)證全等；②∠GCE

=∠CEB=

90°，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)；→直角+中點(diǎn)→直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．∴易證△AFE≌△DFG

(SAS)，∴EF=FG∵∠GCE=∠CEB

=90°，∴EF=GF=CF∵BC=2AB

，∴FD=CD∵∠AEF=54°，∴∠FEC=∠FCE

=36°，∠CFD=∠FCD=∠G=54°∴∠B=∠CDF=180°-108°=72°方法二：F為AD的中點(diǎn)，取CE中點(diǎn)造梯形AECD

的中位線（構(gòu)成△CEF

兩線合一）∵∠AEF=54°，∴∠FEC=∠FCE=36°，∠CFD=∠FCD=54°∴∠B=∠CDF=180°-108°=72°方法三：∵CE⊥

AB

于點(diǎn)E

，∴取BC中點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半又∵BC=2AB

，∴BG=EG=CG=CD=FD=AF

，∴AB∥FG∥CD

，∴∠GEF=∠GFE=∠AEF=54°，∠B=∠GEB=72°2．如圖，在菱形ABCD中，∠A

=110°，E

、F分別是邊AB

、BC的中點(diǎn)，若EP⊥CD于點(diǎn)P

，則∠FPC=

．【分析】四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)分別是邊BC的中點(diǎn)，構(gòu)成平行夾中點(diǎn)→延長(zhǎng)證△BEF≌△CGF(SAS)∴EF=FG=FP

，AE=BE=BF=FG（菱形的四邊相等）∴∠B=70°,∠BFE=∠BEF=∠G=∠FPC=55°3．如圖，在菱形ABCD中，AB=BD,點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，且AE=DF連接BF,與DE相交于點(diǎn)G，連接CG,與BD相交于點(diǎn)H

．則下列結(jié)論：①△AED≌△DFB；②∠BGD=120°其中正確的是

．（填序號(hào)）【分析】①△AED≌△DFB（SAS），∴①正確②由△AED≌△DFB

得∠1=∠2，∴∠BGE=∠1+∠3=∠2+∠3=60°，∠BGD

=120°∴②正確③∵∠BGD+∠BCD=120°+60°=180°（對(duì)角互補(bǔ)）,CD

=CB（等線段共點(diǎn)C）∴可以考慮將△CDG繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△CBM

，也可將△CBG繞點(diǎn)C

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°注意：輔助線的敘述與三點(diǎn)共線敘述一：將△CDG旋轉(zhuǎn)到△CBM

，必須根據(jù)對(duì)角互補(bǔ)說(shuō)明G、B、M三點(diǎn)在一條直線上；敘述二：延長(zhǎng)GB至M

，使BM=DG（保證了G、B

、M

三點(diǎn)在一條直線上)，連接CM，此法只需要證明△CBM≌△CDG(SAS)，從而證得△CGM是等邊三角形.∴∴③正確4.（2019）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是射線AD

(與A重合)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)△PBC為直角三角形時(shí)，AP的長(zhǎng)為

.【分析】∵點(diǎn)P是射線AD上的一點(diǎn)，且不與A重合，∴∠BCP=90°∵∠ACB=90°，AC=BC=6，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴四、典型練習(xí)【思路分析】本題給出F為AD的中點(diǎn)，結(jié)合平行四邊形提供的對(duì)邊平行，故考慮“平行夾中點(diǎn)”，借助全等轉(zhuǎn)移邊、轉(zhuǎn)移角．綜上，其中一定正確的是①②④．【思路分析】本題給出AB=OB

，點(diǎn)E是OA的中點(diǎn)（等腰+中點(diǎn)構(gòu)三線合一）∴連接BE得BE⊥

AC3．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC

，點(diǎn)E在BC邊上，AE=BE

，F(xiàn)是CD邊的中點(diǎn)，且AF⊥AB

．若AD=2.7，AF=4，AB=6，則CE的長(zhǎng)為

．【思路分析】本題給出AD∥BC，F(xiàn)是CD邊的中點(diǎn)，這是很典型的“平行夾中點(diǎn)”∴延長(zhǎng)AF，BC交于點(diǎn)G，易證△ADF≌△GCF，∴AF=FG=4，∵AF⊥AB

，∴由勾股定理可得BG=10．∵AE=BE

，∴∠B=∠2，∴∠B+∠G=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠G

，AE=EG=BE=5，∴CE=5-2.7=2.3【思路分析】本題給出正方形內(nèi)含有正方形結(jié)構(gòu)，∴構(gòu)造弦圖易證：△ABC≌△GFB，△AOB≌△GOF得OA=OG，∠AOG=90°，AG=12，∴AC=GB=12+4=16【思路分析】本題給出ABCD是正方形，∠CED=90°，∴∠COD+∠CED=180°，∠ODE+∠OCE=180°構(gòu)成對(duì)角互補(bǔ)，∵OC=OD

，構(gòu)成等線段共點(diǎn)，∴可考慮將△ODE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°∴將OE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到OF，連接CF，易證△ABC≌△GFB

，∴∠ODE=∠OCF，DE=CF，OE=OF6．如圖，兩個(gè)邊長(zhǎng)均為2的正方形重疊在一起，正方形OPQR的頂點(diǎn)O與正方形ABCD的中心重合．給出以下結(jié)論：①四邊形OECF

的面積為1；②CE+CF=2；③OE+OF=2；④四邊形OECF

的周長(zhǎng)為4．其中正確的是

．（填序號(hào)）【思路分析】本題給出正方形OPQR的頂點(diǎn)O與正方形ABCD的中心重合．方法一：∴∠EOF+∠ECF=90°+90°=180°（對(duì)角互補(bǔ)），連接OC、OD，△OEC與△OFD構(gòu)成旋轉(zhuǎn)型全等.方法二：∵∠EOF這個(gè)直角的兩邊不是水平線和鉛垂線（稱為斜直角），解決“斜直角”問(wèn)題常用的方法就是“斜直角放正”（直角的兩邊由水平線和鉛垂線構(gòu)成），這種方法在直角坐標(biāo)系中用得很多！∴作OG⊥BC于G，OH⊥CD于H

，易證△OGE≌△OHF，同樣可得上述結(jié)論．【思路分析】∠AMF是斜直角，可考慮“斜直角放正”，得△AMG≌△BMF

，∴AG=FB，GM=FM∴四邊形OGMF是正方形，OG=OF=3，AG=FB=1；△OAB≌△EBC（三垂全等），∴BE=OA=2，CE=OB=4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6,4）構(gòu)造弦圖可得：△OAB≌△EBC（三垂全等），△OME

是等腰直角三角形，∴OE=6,

BE=OA=2,CE=OB=4,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，4）8．如圖，正方形ABCD的面積為18，菱形AECF的面積為6，則菱形的邊長(zhǎng)為

．【思路分析】本題給出正方形和菱形，他們的對(duì)角線都是互相垂直平分的，∴連接BD，AC9．如圖，四邊形ABCD和CEFG都是菱形，連接AG、GE、AE，若∠F=60°，EF=4，則△AEG的面積為

．【思路分析】本題給出兩個(gè)銳角為60°的菱形，∴連接AC，可得∠ACB=∠GEC=60°，∴AC∥BG，∴（構(gòu)造平行線造等底等高，平行轉(zhuǎn)移）10．如圖，E是□ABCD內(nèi)任一點(diǎn)，若□ABCD的面積為8，則圖中陰影部分的面積為

．【思路分析】過(guò)點(diǎn)E作AD的平行線交AB于G，交CD于F，利用平行轉(zhuǎn)移得：11．如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中,∠B=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊AB

，AD，DC，CB上，且AF=CH，BE=DG=2.P是直線EF，GH之間的任一點(diǎn)，連接PE，PF，PG，PH，則△PEF與△PGH的面積之和為

.【思路分析】由已知易證△AEF≌△CGH，△BEH≌△DGF，∴EF=GH，EH=FG∴四邊形EFGH是平行四邊形，∴由“三個(gè)一半，平行轉(zhuǎn)化”知連接EG，過(guò)點(diǎn)P作EF的平行