動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用

本文格式為Word版，下載可任意編輯——?jiǎng)恿W(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用

一、內(nèi)容提要

質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)普遍定理包括動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理。它們建立了描述質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)特征量（動(dòng)量、動(dòng)量矩和動(dòng)能）與力的作用量（沖量、力矩和功）之間的內(nèi)在聯(lián)系，是求解質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題的一種基本理論。

1.1動(dòng)量定理

動(dòng)量定理建立了質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量（或動(dòng)量變化量）與其上外力（或外力沖量）之間的關(guān)系。此外，還研究了動(dòng)量定理的另一種形式—質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。詳見表1表1動(dòng)量定理公式定理動(dòng)量沖量質(zhì)心動(dòng)量定理內(nèi)容表達(dá)式質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系機(jī)械p??mivi?MvC運(yùn)動(dòng)的一種度量t力在一段時(shí)間內(nèi)作元沖量dI?Fdt；沖量I??Fdt0用效果的度量質(zhì)量中心，反映質(zhì)?mirir?點(diǎn)系質(zhì)量分布的點(diǎn)CMdpdt?微質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量對(duì)時(shí)分間的導(dǎo)數(shù)等于外力形系的矢量和式積分形式質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在一段時(shí)間內(nèi)的變化量等于質(zhì)點(diǎn)系上外力沖量的矢量和質(zhì)點(diǎn)系所受外力主矢等于零質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積等于質(zhì)點(diǎn)系上所有外力的矢量和質(zhì)點(diǎn)系所受外力主矢等于零?yFeFy，eedpdtX??FX，edpdteX??dpzdt??Feyezp2?p1?p2X?p1X?p2Z?p1Z?I?I??I，p2y?p1y?e?I，eZ守恒一質(zhì)般心表運(yùn)達(dá)動(dòng)式定守理恒?Fe?0，p?常矢量；?FX?0，pX?常數(shù)MaC?MaCX?MaC??Fe?F??F?eXe，MaCy?，MaCn?F??Fey，MaCZ?，0??FebeZen?F?F?FeeX?0，aC?0，vC?常矢量?0，aCX?0，vCX?常量1.2動(dòng)量矩定理

1)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

（1）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

Jz??mr?ii2?m（xi2i?yi）

21

或Jz?M?2

（2）回轉(zhuǎn)半徑

?z?JzM

（3）平行軸定理JZ?JZC?Md的距離。

2

其中，JZC為剛體對(duì)質(zhì)心軸zC的慣性矩，z軸是與zC軸平行的任一軸，d是二平行軸間

2)動(dòng)量矩定理

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理的表達(dá)式詳見表2。質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理的一種特例，故表中不在列出。

表2動(dòng)量矩定理定理內(nèi)容動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量對(duì)點(diǎn)和軸之矩矩動(dòng)量矩定理定點(diǎn)O定軸z質(zhì)心C轉(zhuǎn)動(dòng)方程動(dòng)矩恒理剛平運(yùn)微方量守定體面動(dòng)分程質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于該質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對(duì)同一點(diǎn)的主矩質(zhì)點(diǎn)系對(duì)定軸z的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于該質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對(duì)該軸之矩的代數(shù)和質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于該質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對(duì)質(zhì)心的主矩剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積等于作用于剛體上的主動(dòng)力對(duì)該軸之矩的代數(shù)和質(zhì)點(diǎn)系所受外力對(duì)任一固定點(diǎn)（或軸）之矩始終為零，則質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該點(diǎn)（軸）的動(dòng)量矩為常量根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理，可得剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程表達(dá)式LO??m（mv）??r?mvL??m（mv）OzzdLOdt??m（FOe）dLzdtdLCdtJzd?dt22??m（Fze）e??m（FCz）?F）?m（F）或Jz???m（zee?m（F?m（FOZ）?0，LO?常矢量）?0，LZ?常量?C??m?x???C??m?y?????JC???F?F?m（F）xyC1.3動(dòng)能定理

動(dòng)能定理主要研究力的功與質(zhì)點(diǎn)（系）具有的動(dòng)能之間的關(guān)系，并用以解決動(dòng)力學(xué)兩類問題。

1)力的功和功率

力的功是在一路程中力對(duì)物體作用的累積效果的量度。功是一個(gè)代數(shù)量，單位是N·m

或J。

2

功和功率的具體表達(dá)形式如表3所示。

表3功和功率表達(dá)式定理內(nèi)容表達(dá)式元功力F在無限小位移上作的功?W?F?dr?Xdx?Ydy?ZdzMM總功力F在路程MM上作的功12w??2M1F?dr??（Xdx?Ydy?Zdz）M12常見力的功常力的功重力的功力矩的功W?Fscos?W??mghW????21MZd?MZ?常數(shù)時(shí)，W?M（?2??1）Z彈性力的功功率單位時(shí)間力所作的功功率質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)方程數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有力的功率的代數(shù)和k22W?（?1??2）2P?dTdt?Wdt??F?v?F?vP或P輸入?P有用?P無用?dTdt?2)動(dòng)能

動(dòng)能是物體由于速度而具有的能量，它是物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的另一種度量，動(dòng)能恒為正值，單位與功一致。動(dòng)能的表達(dá)式如表4所示。質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能是質(zhì)點(diǎn)系的一種特例，故表中不在列出。

表4動(dòng)能表達(dá)式研究對(duì)象質(zhì)點(diǎn)系平動(dòng)剛體動(dòng)能表達(dá)式T?T?12?12mivi2研究對(duì)象定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體平面運(yùn)動(dòng)剛體動(dòng)能表達(dá)式T?T?1212JZ?MvC?22MvC12JC?23)勢能

在勢力場中，質(zhì)點(diǎn)從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到零勢能點(diǎn)，有勢力所作的功稱為質(zhì)點(diǎn)在M點(diǎn)的勢能，在不同的勢力場中勢能的表達(dá)式如表5所示。表5勢能表達(dá)式勢力場零勢能點(diǎn)位置勢能表達(dá)式備注重力場z—質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)V?mg（z?z0）坐標(biāo)z0處彈性力場萬有引力場彈簧自然位置處無窮遠(yuǎn)處V?k2?fm1m2r22?—彈簧變形量f—引力常數(shù)V??r—質(zhì)點(diǎn)矢徑4)動(dòng)能定理

動(dòng)能定理及機(jī)械能首恒定理見表6

3

表6動(dòng)能定理表達(dá)式

定理微分形式動(dòng)能定理積分形式動(dòng)能定理機(jī)械能守恒定理內(nèi)容質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的微分，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系所有力的元功之和質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能在某一段路程上的改變量等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有力在這段路程中所作功之和再勢力場中，質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械能保持不變表達(dá)式dT???WT2?T1??WT?V?常量1.4動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用

動(dòng)力學(xué)普遍定理的應(yīng)用，是已知主動(dòng)力求質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)，或已知質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)求其反力，還有既求力又求運(yùn)動(dòng)的問題。有些問題，可以分別用不同的定理求解，即所謂一題多解，還有些問題，如既要求力又求運(yùn)動(dòng)的問題，往往需要聯(lián)合應(yīng)用幾個(gè)定理方能求解，即所謂普遍定理的綜合應(yīng)用。

二、解題要點(diǎn)

在具體問題中，能否順利地確定選用哪一個(gè)定理求解，取決于對(duì)基本概念理解的程度和經(jīng)驗(yàn)的多寡。并沒有現(xiàn)成的模式可以不加分析地保解百題?，F(xiàn)將應(yīng)用普遍定理求解動(dòng)力學(xué)問題的一般方法、步驟及本卷須知綜述如下：

1、首先要弄清題意。這包括分析系統(tǒng)是由哪幾個(gè)物體組成，各物體間的連接方式，約束類型；每一物體作何種形式的運(yùn)動(dòng)；弄清已知量和待求量等等。

2、根據(jù)題設(shè)條件選用適當(dāng)定理求解。判斷應(yīng)選中用哪一個(gè)定理求解的總原則是：所選定理應(yīng)描述題設(shè)的已知量和待求量之間的關(guān)系。例如，

（1）題設(shè)中包含力、時(shí)間及速度等量時(shí)，一般可考慮動(dòng)量定理或動(dòng)量矩定理；

（2）題設(shè)中包含力（常力或是距離的函數(shù)）、距離及速度等量時(shí)，一般可考慮動(dòng)能定理，

（3）動(dòng)能定理也可以求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程或加速度；

（4）當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心加速度已知時(shí)，可用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求外力。

（5）研究連續(xù)介質(zhì)（液體或氣體）的運(yùn)動(dòng)時(shí)，一般可考慮動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理。（6）研究定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，可用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程或動(dòng)能定理。

（7）如求約束反力，可用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。（8）假使系統(tǒng)由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)物體與平動(dòng)物體組成時(shí)，一般可考慮動(dòng)量矩定理或動(dòng)能定理。（9）對(duì)平面運(yùn)動(dòng)剛體，一般可用平面運(yùn)動(dòng)微分方程。

（10）對(duì)即求運(yùn)動(dòng)又要求力的問題，往往需要普遍定理的綜合應(yīng)用。

3、動(dòng)量定理（包括質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理）和動(dòng)量矩定理，均為矢量形式，實(shí)際中常用其投影形式，列其方程時(shí)要注意正、負(fù)號(hào)的確定。應(yīng)用這兩個(gè)定理時(shí)，只需考慮質(zhì)點(diǎn)系的外力；動(dòng)能定理是標(biāo)量形式，應(yīng)用時(shí)一般取整體為研究對(duì)象，只能列一個(gè)方程，但一般需要考慮運(yùn)動(dòng)學(xué)的關(guān)系，在計(jì)算力的功時(shí)要注意內(nèi)力的功不一定等于零。

4、除相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理外，各普遍定理只適用于慣性坐標(biāo)系，因而在計(jì)算位移或速度時(shí)，必需是絕對(duì)位移或絕對(duì)速度。

5、要注意判斷動(dòng)量、質(zhì)心及動(dòng)量矩守恒的狀況。這類問題往往用其他定理不易求解。

4

三、范例分析

例1：圖1所示滑輪系統(tǒng)，物體A、B的質(zhì)量分別為m1、m2，滑輪D、E的質(zhì)量分別為m3、m4，物體B以加速度a下降，不計(jì)繩的質(zhì)量及軸承摩擦。求滑輪E的軸承反力。

圖1

解

解題思路：將整個(gè)系統(tǒng)作為質(zhì)點(diǎn)系，用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理就可求出輪E的軸承的反力。以整體為研究對(duì)象，作受力圖，并建立坐標(biāo)系如圖示，假設(shè)A、B、D的坐標(biāo)分別為yA、yB和yD，則系統(tǒng)的質(zhì)心坐標(biāo)為

?xC?常數(shù)??m1yA?m2yB?m3yC?m4?0

y??Cm1?m2?m3?m4?根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，有

dxC（m?m?m?m）?XO12342dt2得XO?