上海-解析幾何綜合測(cè)試題附答案

上海-解析幾何綜合測(cè)試題附答案上海高二數(shù)學(xué)解析幾何綜合試題（附答案）1．是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值是．2．若直線mx+ny－3=0與圓x2+y2=3沒有公共點(diǎn)，則m、n滿足的關(guān)系式為____________；以（m，n）為點(diǎn)P的坐標(biāo)，過點(diǎn)P的一條直線與橢圓+=1的公共點(diǎn)有_______個(gè).3.P是拋物線y2=x上的動(dòng)點(diǎn)，Q是圓(x-3)2+y2=1的動(dòng)點(diǎn)，則｜PQ｜的最小值為.4．若圓與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)。則實(shí)數(shù)的范圍為.5．若曲線與直線+3有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.6．圓心在直線2x－y－7=0上的圓C與y軸交于兩點(diǎn)A（0，－4）、B（0，－2），則圓C的方程為____________.7．經(jīng)過兩圓（x+3）2+y2=13和x+2（y+3）2=37的交點(diǎn)，且圓心在直線x－y－4=0上的圓的方程為____________8.雙曲線x2－y2＝1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為左支下半支上任意一點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），則直線PF的斜率的變化范圍是___________.9．已知A（0，7）、B（0，－7）、C（12，2），以C14.P為雙曲線C上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)F1作∠F1PF2的平分線的垂線，設(shè)垂足為Q，則Q點(diǎn)的軌跡是()12.A.直線 B.圓 C.橢圓 D.雙曲線三、解答題15．（滿分10分）如下圖，過拋物線y2=2px（p＞0）上一定點(diǎn)P（x0，y0）（y0＞0），作兩條直線分別交拋物線于A（x1，y1）、B（x2，y2）.（1）求該拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離；（2）當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求的值，并證明直線AB的斜率是非零常數(shù).16．（滿分10分）如下圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l在x軸和y軸上的截距分別是a和b（a>0，b≠0），且交拋物線y2=2px（p>0）于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點(diǎn).（1）證明：+=；（2）當(dāng)a=2p時(shí)，求∠MON的大小.（15題圖）（16題圖）17．（滿分10分）已知橢圓C的方程為+=1（a>b>0），雙曲線－=1的兩條漸近線為l1、l2，過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l，使l⊥l1，又l與l2交于P點(diǎn)，設(shè)l與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)由上至下依次為A、B.（如下圖）（1）當(dāng)l1與l2夾角為60°，雙曲線的焦距為4時(shí)，求橢圓C的方程；（2）當(dāng)=λ時(shí)，求λ的最大值.xyxyOAB（17題圖）（18題圖）18．（滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線上異于坐標(biāo)原點(diǎn)Ｏ的兩不同動(dòng)點(diǎn)Ａ、Ｂ滿足（如上圖）．（Ⅰ）求得重心Ｇ（即三角形三條中線的交點(diǎn)）的軌跡方程；（Ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．19．（滿分12分）拋物線y2=4px（p>0）的準(zhǔn)線與x軸交于M點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn).（1）若線段AB的垂直平分線交x軸于N（x0，0），求證：x0>3p；（2）若直線l的斜率依次為p，p2，p3，…，線段AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)依次為N1，N2，N3，…，當(dāng)0<p<1時(shí)，求++…+的值.20．（滿分12分）設(shè)A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn).（Ⅰ）確定的取值范圍，并求直線AB的方程；（Ⅱ）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上？并說明理由.解析幾何綜合題1．是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值是．1答案：4簡(jiǎn)解：≤2．若直線mx+ny－3=0與圓x2+y2=3沒有公共點(diǎn)，則m、n滿足的關(guān)系式為____________；以（m，n）為點(diǎn)P的坐標(biāo)，過點(diǎn)P的一條直線與橢圓+=1的公共點(diǎn)有____________個(gè).2答案：0<m2+n2<3；2簡(jiǎn)解：將直線mx+ny－3=0變形代入圓方程x2+y2=3，消去x，得（m2+n2）y2－6ny+9－3m2=0.令Δ<0得m2+n2<3.又m、n不同時(shí)為零，∴0<m2+n2<3.由0<m2+n2<3，可知|n|<，|m|<，再由橢圓方程a=，b=可知公共點(diǎn)有2個(gè).3.P是拋物線y2=x上的動(dòng)點(diǎn)，Q是圓(x-3)2+y2=1的動(dòng)點(diǎn)，則｜PQ｜的最小值為.3．答案：-1簡(jiǎn)解：將問題轉(zhuǎn)化為圓心到拋物線一上的動(dòng)點(diǎn)的最小值4．若圓與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)。則實(shí)數(shù)為.4．答案：或簡(jiǎn)解：將圓與拋物線聯(lián)立，消去，得要使圓與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是方程①有一正根、一負(fù)根；或有兩個(gè)相等正根?；蚪庵?．若曲線與直線+3有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.5．答案：簡(jiǎn)解：將曲線轉(zhuǎn)化為時(shí)考慮縱坐標(biāo)的范圍；另外沒有看清過點(diǎn)(2,-3)且與漸近線平行的直線與雙曲線的位置關(guān)系。6．圓心在直線2x－y－7=0上的圓C與y軸交于兩點(diǎn)A（0，－4）、B（0，－2），則圓C的方程為____________.6．答案：（x－2）2+（y+3）2=55．簡(jiǎn)解：∵圓C與y軸交于A（0，－4），B（0，－2），∴由垂徑定理得圓心在y=－3這條直線上.又已知圓心在直線2x－y－7=0上，解得x=2，∴聯(lián)立解得x=2，∴聯(lián)立2x－y－7=0.∴圓心為（2，－3），半徑r=|AC|==.∴所求圓C的方程為（x－2）2+（y+3）2=5.7．經(jīng)過兩圓（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交點(diǎn)，且圓心在直線x－y－4=0上的圓的方程為____________..7．答案：（x+）2+（y+）2=簡(jiǎn)解：因?yàn)樗蟮膱A經(jīng)過兩圓（x+3）2+y2=13和x+2（y+3）2=37的交點(diǎn)，所以設(shè)所求圓的方程為（x+3）2+y2－13+λ［x2+（y+3）2－37］=0.展開、配方、整理，得（x+）2+（y+）2=+.圓心為（－，－），代入方程x－y－4=0，得λ=－7.故所求圓的方程為（x+）2+（y+）2=.8.雙曲線x2－y2＝1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為左支下半支上任意一點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），則直線PF的斜率的變化范圍是___________.8．答案：（－∞，0）∪（1，+∞）簡(jiǎn)解：解析：數(shù)形結(jié)合法，與漸近線斜率比較.9．已知A（0，7）、B（0，－7）、C（12，2），以C為一個(gè)焦點(diǎn)作過A、B的橢圓，橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F的軌跡方程是___________.9．答案：.y2－＝1（y≤－1）簡(jiǎn)解：由題意｜AC｜＝13，｜BC｜＝15，｜AB｜＝14，又｜AF｜＋｜AC｜＝｜BF｜＋｜BC｜，∴｜AF｜－｜BF｜＝｜BC｜－｜AC｜＝2.故F點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線下支.又c=7，a=1，b2＝48，所以軌跡方程為y2－＝1（y≤－1）.10．設(shè)P1（，）、P2（－，－），M是雙曲線y=上位于第一象限的點(diǎn)，對(duì)于命題①|(zhì)MP2|－|MP1|=2；②以線段MP1為直徑的圓與圓x2+y2=2相切；③存在常數(shù)b，使得M到直線y=－x+b的距離等于|MP1|.其中所有正確命題的序號(hào)是____________.10答案：①②③簡(jiǎn)解：由雙曲線定義可知①正確，②畫圖由題意可知正確，③由距離公式及|MP1|可知正確.11．到兩定點(diǎn)A（0，0），B（3，4）距離之和為5的點(diǎn)的軌跡是（）A.橢圓 B.AB所在直線C.線段AB D.無軌跡11．答案：C簡(jiǎn)解：數(shù)形結(jié)合易知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是線段AB：y=x，其中0≤x≤3.12．若點(diǎn)（x，y）在橢圓4x2+y2=4上，則的最小值為（）A.1 B.－1C.－ D.以上都不對(duì)12．答案：C簡(jiǎn)解：的幾何意義是橢圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)（2，0）連線的斜率.顯然直線與橢圓相切時(shí)取得最值，設(shè)直線y=k（x－2）代入橢圓方程（4+k2）x2－4k2x+4k2－4=0.令Δ=0，k=±.∴kmin=－.13．.已知F1（－3，0）、F2（3，0）是橢圓+＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2＝時(shí)，△F1PF2的面積最大，則有（）A.m=12，n=3 B.m=24，n=6C.m=6，n= D.m=12，n=613．答案：A簡(jiǎn)解：由條件求出橢圓方程即得m=12，n=3.14.P為雙曲線C上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)F1作∠F1PF2的平分線的垂線，設(shè)垂足為Q，則Q點(diǎn)的軌跡是()12.A.直線 B.圓 C.橢圓 D.雙曲線14．答案：B簡(jiǎn)解：延長F1Q與PF2相交點(diǎn)R，根據(jù)雙曲線的定義，R在以F2為圓心的圓上，利用代入法得15．如下圖，過拋物線y2=2px（p＞0）上一定點(diǎn)P（x0，y0）（y0＞0），作兩條直線分別交拋物線于A（x1，y1）、B（x2，y2）.（1）求該拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離；（2）當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求的值，并證明直線AB的斜率是非零常數(shù).解：（1）當(dāng)y=時(shí)，x=.又拋物線y2=2px的準(zhǔn)線方程為x=－，由拋物線定義得所求距離為－（－）=.（2）設(shè)直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB.由y12=2px1，y02=2px0，相減得（y1－y0）（y1+y0）=2p（x1－x0），故kPA==（x1≠x0）.同理可得kPB=（x2≠x0）.由PA、PB傾斜角互補(bǔ)知kPA=－kPB，即=－，所以y1+y2=－2y0，故=－2.設(shè)直線AB的斜率為kAB.由y22=2px2，y12=2px1，相減得（y2－y1）（y2+y1）=2p（x2－x1），所以kAB==（x1≠x2）.將y1+y2=－2y0（y0＞0）代入得kAB==－，所以kAB是非零常數(shù).16．如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l在x軸和y軸上的截距分別是a和b（a>0，b≠0），且交拋物線y2=2px（p>0）于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點(diǎn).（1）證明：+=；（2）當(dāng)a=2p時(shí)，求∠MON的大小.16證明：（1）直線l的截距式方程為+=1.①，由①及y2=2px消去x可得by2+2pay－2pab=0.②解：點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)y1、y2為②的兩個(gè)根，故y1+y2=，y1y2=－2pa.所以+===.（2）解：設(shè)直線OM、ON的斜率分別為k1、k2，則k1=，k2=.當(dāng)a=2p時(shí)，由（2）知，y1y2=－2pa=－4p2，由y12=2px1，y22=2px2，相乘得（y1y2）2=4p2x1x2，x1x2===4p2，因此k1k2===－1.所以O(shè)M⊥ON，即∠MON=90°.17．已知橢圓C的方程為+=1（a>b>0），雙曲線－=1的兩條漸近線為l1、l2，過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l，使l⊥l1，又l與l2交于P點(diǎn)，設(shè)l與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)由上至下依次為A、B.（如下圖）（1）當(dāng)l1與l2夾角為60°，雙曲線的焦距為4時(shí)，求橢圓C的方程；（2）當(dāng)=λ時(shí)，求λ的最大值.17解：（1）∵雙曲線的漸近線為y=±x，兩漸近線夾角為60°，又<1，∴∠POx=30°，即=tan30°=.∴a=b.又a2+b2=4，∴a2=3，b2=1.故橢圓C的方程為+y2=1.（2）由已知l：y=（x－c），與y=x解得P（，），由=λ得A（，）.將A點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得（c2+λa2）2+λ2a4=（1+λ）2a2c2.∴（e2+λ）2+λ2=e2（1+λ）2.（令）∴λ2==－［（2－e2）+］+3≤3－2.∴λ的最大值為－1.18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線上異于坐標(biāo)原點(diǎn)Ｏ的兩不同動(dòng)點(diǎn)Ａ、Ｂ滿足（如圖４所示）．（Ⅰ）求得重心Ｇ（即三角形三條中線的交點(diǎn)）的軌跡方程；（Ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．xxyOAB18解：（I）設(shè)△AOB的重心為G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),則…（1）∵OA⊥OB∴,即，……(2)又點(diǎn)A，B在拋物線上，有，代入（2）化簡(jiǎn)得∴所以重心為G的軌跡方程為（II）由（I）得當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立。所以△AOB的面積存在最小值，存在時(shí)求最小值1；19．拋物線y2=4px（p>0）的準(zhǔn)線與x軸交于M點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn).（1）若線段AB的垂直平分線交x軸于N（x0，0），求證：x0>3p；（2）若直線l的斜率依次為p，p2，p3，…，線段AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)依次為N1，N2，N3，…，當(dāng)0<p<1時(shí)，求++…+的值.19證明：設(shè)直線l方程為y=k（x+p），代入y2=4px.得k2x2+（2k2p－4p）x+k2p2=0.Δ=4（k2p－2p）2－4k2·k2p2>0，得0<k2<1.令A(yù)（x1，y1）、B（x2，y2），則x1+x2=－，y1+y2=k（x1+x2+2p）=，AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（，）.AB垂直平分線為y－=－（x－）.令y=0，得x0==p+.由上可知0<k2<1，∴x0>p+2p=3p.∴x0>3p.（2）解：∵l的斜率依次為p，p2，p3，…時(shí)，AB中垂線與x軸交點(diǎn)依次為N1，N2，N3，…（0<p<1）.∴點(diǎn)Nn的坐標(biāo)為（p+，0）.|NnNn+1|=|（p+）－（p+）|=，=，所求的值為