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文檔簡(jiǎn)介

一、洛必達(dá)定理8.1fg在x0x0內(nèi)有定義gx0,limf(x)0x0limf(x)

limgx0,gx0,0x0(A可為有限或無(wú)窮0x0

g(則limfx)limfx)00x00

g(

x

g(x)補(bǔ)充定義:fx0gx00,xx0x0),fg在x0x]連續(xù)由Cauchy中值定理:x0x使得f(x)f(x)f(a)f()g( g(x)g(a) g(而當(dāng)xx時(shí)x因此 0x0

f(g(

00

f(g(

0x0

f(g(

定理8.2fg在(a,)內(nèi)有定義gx)0,limf(x)xlimf(x)xg(

limgx0,gx0,x(A可為有限或無(wú)窮則limfx)limfx)xg(x) xg(x)令t1,并利用定理8.1即可x對(duì)xxxxxx也成立

fg在x0x0內(nèi)有定義x g(x)0, limf(x),g'(x)x 0limf(x)

(A可為有限或無(wú)窮0x0

g(則limfx)limfx)00x00

g(

x

g(對(duì)xxxxxx也成立 上述定理中，若limfx)不存在，方法失效0x0

g(二 法則的應(yīng)例1lim1cosxlimsinx1;

2

xsin arctan

x

ysinyy31

1cosy1;3y2 2lim

1

x x

x x2

x1x2

limf(x)0xx0可推廣到xxxxxx 注意limfx)要存在或?yàn)闊o(wú)窮大否則要用其它方法0xx0

g(limxsinxlim1cosx不存在,不能 lim1sinx 例2.x時(shí),lnxx(0exxx1limlnx

x

xx

x

x

xex

x e

x

(1)(m1)xmelim(1)(m1)x exxmexe

ex limex(1lnx)xx

xexln

x例 求 1 sin 原式limxsin

1cos

xsin x0sinxxcos 求limxx

limln 原式lim

xln

limxlnex0

11 求limx1x

ln

ln

limx0 1x

e0 解lim解 原式lime1 ex11

limex

e1 f(x)

x)cos

xx其中g(shù)(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且g'(0)確定使f(x)在0點(diǎn)連續(xù)的求f'(x),并判斷其在0點(diǎn)連續(xù)性解：(1)因?yàn)閘imfxlimgxcos limg'(x)sinxg'(0) 所以afx)在0點(diǎn)連續(xù)(2)f'(x)x(g'(x)sinx)g(x)cosx,(xx2f'(0)limf(x)f limg(x)cosx x2limg'(x)sinx limg"(x)cosxg"(0)1. 2x

limf'(x)limg'

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