二面角練習題

二面角練習題

一.選擇題（共13小題）

1.（2015?哈爾濱校級三模）如圖所示，點P在正方形ABCD所在平面外，PA_L平面ABCD,

PA=AB,則PB與AC所成的角是（）

A.90°B.60°C.45°D.30°￡

2.（2015?貴州二模）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點，沿AE、

AF、EF把正方形折成一個四面體，使B、C、D三點重合，重合后的點記為P,P點在4AEF

內(nèi)的射影為O.則下列說法正確的是（）AD

A.O是aAEF的垂心B.O是^AEF的內(nèi)心

C.O是aAEF的外心D.O是aAEF的重心,A

3.（2015?太原二模）已知長方體ABCD-AiBiCQi中，AA產(chǎn)AB=2,若棱AB上存在點P,

使得DiPJ_PC,則AD的取值范圍是（）

A.[1,2）B.（1.回C.（0,1]D.（0,2）

4.（2015?合肥一模）如圖，已知四邊形ABCD為正方形，PD_L平面ABCD且PD=AD,則

下列命題中錯誤的是（）

A.過BD且與PC平行的平面交PA于M點，則M為PA的中點

B.過AC且與PB垂直的平面交PB于N點，則N為PB的中點

C.過AD且與PC垂直的平面交PC于H點，則H為PC的

中2點P

D.過P、B、C的平面與平面PAD的交線為直線1,則1〃AD\\\

影H必在（）

1

BC

?/、、\l

由

A.直線AB上B.直線BC上C.直線CA上D.△ABC內(nèi)部

6.（2015?赫章縣校級模擬）已知正方形ABCD的邊長是4,對角線AC與BD交于O,將

正方形ABCD沿對角線BD折成60。的二面角，并給出下面結(jié)論：①ACJ_BD；@AD±CO；

③△AOC為正三角形；④cos/ADC=］，則其中的真命題是（）

A.①③④B.①②④C.②③④D.①②③

7.（2014秋?德化縣校級月考）在正n棱錐中，相鄰兩側(cè)面所成的二面角的取值范圍是（）

---

、八、

A..z（-n----2n,n）B.z（-n----1n,n）C./（A0,——）D.z（-n----2n,-n----1n）

nn2nn

8.（2014?秦州區(qū)校級一模）己知等腰直角三角形ABC中，NB=90。，AC,BC的中點分別

是D,E,將4CDE沿DE折起，使得C-DE-A為直二面角，此時斜邊AC被折成折線

ADC,則/ADC等于（）

A.150°B.135°C.120°D.90°

9.（2014秋?常德校級期末）己知E,F分別是正方體ABCD-AiBiQDi的棱BC,CQ的

中點，則截面AEFDi與底面ABCD所成二面角的正弦值是

（）Di___________Q

B.返C,亞D.Z返

^33

10.（2013秋?青山區(qū)校級期末）ABCD是正方形,P是平面ABCD"

外一點，PD±AD,PD=AD=2,二面角P-AD-C為60。，則P到AB的距離是（）

A.2&B.73C.2D.V7

II.（2014秋?雅安期末）A、B是直二面角a-1-B的棱1上的兩點，分別在a,。內(nèi)作垂

直于棱1的線段AC,BD,已知AB=AC=BD=1,那么CD的長為（）

A.1B.2C.aD.愿

2

12.（2014秋?平頂山期末）如圖，在60。二面角的棱上有兩點A、B,線段AC、BD分別在

這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱AB,若AB=4,AC=6,BD=8,則線段CD的長

為（）

A.V29B-10C.2741D.2V17

13.（2012?碑林區(qū)校級模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，2|AB『+|BD『-4=0,NABD=90。,

沿BD折成直二面角A-BD-C,則三棱錐A-BCD的外接球的表面積是（）

A.16nB.8nC.4nD.2n

二.填空題（共1小題）----D

14.（2014春?南關(guān)區(qū)校級期末）如圖，P是二面角a-AB-0棱

AB上的一點，分別在a,0上引射線PM,PN,如果

NBPM=/BPN=45。，/MPN=60。，那么二面角a-AB-B的大小是____________.

B

三.解答題（共6小題）

15.（2011?浙江）如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=AC,D為BC的中點，PO_L平面ABC,

垂足O落在線段AD上.

（I）證明：AP1BC；

（II）已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.求二面角

B-AP-C的大小.

16.（2010?四川）在正方體ABCD-AB9TT中,點M

是棱AA，的中點，點。是對角線BD，的中點.

（I）求證：OM為異面直線AA，和BD，的公垂線；

（II）求二面角M-BC-B，的大小.

3

17.（2009?陜西）如圖所示，在直三棱柱ABC-ABCi中，AB=1,AC=AA產(chǎn)代,ZABC=60".

（1）證明：AB1A1C；

（2）求二面角A-A,C-B的余弦值.

18.（2009?北京）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA_L底面ABC,PA=AB,NABC=60。,

ZBCA=90°,點D、E分別在棱PB、PC上，且DE〃BC.

（1）求證：BC_1■平面PAC；

（2）當D為PB的中點時，求AD與平面PAC所成的角的正弦值：

（3）是否存在點E使得二面角A-DE-P為直二面角？并說明理由.

4

D

B

C

19.(2008?天津)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,

PA=2,PD=2&,ZPAB=60°.

(I)證明AD1?平面PAB；

(II)求異面直線PC與AD所成的角的大??；

(III)求二面角P-BD-A的大小.

20.(2008?北京)如圖，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2,ZACB=90°,AP=BP=AB,PC±AC.

(I)求證：PC±AB；

(II)求二面角B-AP-C的大?。?/p>

(III)求點C到平面APB的距離.

5

p

6

2015年10月15日nxyxy的高中數(shù)學組卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共13小題）

1.（2015?哈爾濱校級三模）如圖所示，點P在正方形ABCD所在平面外，PA_L平面ABCD,

PA=AB,則PB與AC所成的角是（

A.90°B.60°C.45°D.30°

考點：直線與平面

垂直的判定；

異面直線及

其所成的角.

專題：計算題：空間

位置關(guān)系與

距離.

分析：將其還原成

正方體

ABCD-

PQRS,連接

SC,AS,可

得NASC（或

其補角）即為

所求角.

解答：解；將其還原

成正方體

ABCD-

PQRS,連接

SC,AS,則

PB〃SC,

7

R

i____________________

D

AZACS（或

其補角）是

PB與AC所

成的角

,/△ACS為

正三角形，

/.ZACS=60

/.PB與AC

所成的角是

60°

故選B.

點評:本題考查線

線角的計算，

考查學生分

析解決問題

的能力，屬于

中檔題.

2.（2015?貴州二模）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點，沿AE、

AF、EF把正方形折成一個四面體，使B、C、D三點重合，重合后的點記為P,P點在aAEF

內(nèi)的射影為O.則下列說法正確的是（）

A.O是^AEF的垂心B.O是^AEF的內(nèi)心

C.O是aAEF的外心D.O是aAEF的重心

考點：直線與平面

垂直的性質(zhì)；

8

棱錐的結(jié)構(gòu)

特征.

專題:空間位置關(guān)

系與距離.

分析:先證明

PA1EF,

PO±EF,可

證EF_L平面

PAO,從而可

得EF±AO,

同理可知：

AE1F0,

AF±EO,從

而判定O為

△AEF的垂

心.

解答:解：由題意可

知PA、PE、

PF兩兩垂直，

由PA_1_平面

PEF,從而

PA1EF,

而PO_L平面

AEF,則

PO±EF,

所以EF_L平

面PAO,

/.EF1AO,

同理可知：

AE1FO,

AF±EO,

.*.0^JAAEF

的垂心.

故選：A.

點評：本題主要考

9

查了垂心的

判定，考查了

直線和平面

垂直的判定

和性質(zhì)以及

直線和直線

垂直的判

定.在證明線

線垂直時，其

常用方法線

證明線面垂

直，再證明線

線垂直，屬于

中檔題.

3.（2015?太原二模）已知長方體ABCD-AiBiGDi中，AAi=AB=2,若棱AB上存在點P,

使得DiP^PC,則AD的取值范圍是（）

A.[1,2)B.(1.C.(0,1]D.(0,2)

考點：直線與平面

垂直的性質(zhì).

專題：空間位置關(guān)

系與距離.

分析：建立空間直

角坐標系，設(shè)

AD=a,求出

用、CP）

利用

求出a的范

圍.

解答：解：如圖建立

坐標系，

設(shè)AD=a(a

>0),AP=x

(0<x<2),

則P(a,x,2),

C(0,2,2),

DiP=1a，

x,2),CP=

10

(a,x-2,

0),

VDiP±PC,

，百甘CP=

0,

即a2+x(x-

2)=0,

7-X2+2X=

C~(x-1)

當0<x<2

時，a€(0,

!].

故選：C.

“z

A/D

：/P

1-

點評:本題考查棱

柱的結(jié)構(gòu)特

征，是基礎(chǔ)

題.

4.（2015?合肥一模）如圖，已知四邊形ABCD為正方形，PD_L平面ABCD且PD=AD,則

下列命題中錯誤的是（）

A.過BD且與PC平行的平面交PA于M點，則M為PA的中點

B.過AC且與PB垂直的平面交PB于N點，則N為PB的中點

C.過AD且與PC垂直的平面交PC于H點，則H為PC的中點

D.過P、B、C的平面與平面PAD的交線為直線1,則1〃AD

11

考點：直線與平面

垂直的性質(zhì).

專題：空間位置關(guān)

系與距離.

分析：設(shè)

ACnBD=O,

由ABCD是

正方形，得0

是AC中點，

從而

OM〃PC,由

此得到M是

PA中點;設(shè)N

為PB的中

點，連結(jié)AN,

貝ijAN與PB

不一定垂直，

從而得到N

不一定是PB

中點；由已知

得PA=AC,

PD=DC,從而

H為PC的中

點；由

AD〃BC,得

到

1〃AD〃BC.

解答：解：設(shè)

ACnBD=O,

VABCD是

正方形，...0

是AC中點，

,??過BD且與

PC平行的平

面交PA于M

點，

.,.OM//PC,

AM是PA中

點，故A正

確；

設(shè)N為PB的

中點，連結(jié)

AN,

12

VPA與AB

不一定相等，

.,.AN與PB

不一定垂直，

.?.過AC且與

PB垂直的平

面交PB于N

點，則N不一

定是PB中

點，故B錯

誤；

???四邊形

ABCD為正

方形,PD,平

面ABCD且

PD=AD,

，PA=AC,

PD=DC,

.,?過AD且與

PC垂直的平

面宛PC于H

點，則H為

PC的中點，

故C正確；

：AD〃BC,

平面PAD與

平面PCB有

公共點P,

."A//AD//B

C,故D正確.

故選：B.

點評:本題考查命

題真假的判

斷，是中檔

題，解題時要

認真審題，注

意空間思維

13

能力的培養(yǎng).

5.（2015?哈爾濱校級三模）如圖所示,在斜三棱柱ABC-A|B|C,中，NBAC=90。,BCi±AC,

則Ci在面ABC上的射影H必在（）

A.直線AB上B.直線BC上C.直線CA上D.△ABC內(nèi)部

考點：平面與平面

垂直的判定；

棱柱的結(jié)構(gòu)

特征.

分析：如圖，G在面

ABC上的射

影H必在兩

個相互垂直

平面的交線

上，所以證明

面ABC±13

ABCi就可以

了.

解答：解：

fCAlAB）

ICAlBClJ

=>CA±?

ABCi

=面ABC!

面ABCi，

過Ci在面

ABC內(nèi)作垂

直于平面

ABC,

垂線在面

ABC,內(nèi)，也

在面ABC內(nèi)，

...點H在兩

面的交線上，

即HGAB.

故選A

點評：本題通過射

14

影問題來考

查線面垂直

和面面垂直

問題.

6.（2015?赫章縣校級模擬）已知正方形ABCD的邊長是4,對角線AC與BD交于O,將

正方形ABCD沿對角線BD折成60。的二面角，并給出下面結(jié)論：①ACJ_BD；②AD_LCO；

A.①③④B.①②④C.②③④D.①②③

考點：與二面角有

關(guān)的立體幾

何綜合題.

專題:綜合題.

分析:由題意，作出

如圖的圖象，

由正方形的

性質(zhì)知，

CO±BD,

AO1BD,可

得8口_1_面

AOC,且

AC=AO=CO

=2加，

AD=CD=4,

可由線面垂

直判斷

AC1BD,

AD_LCO可

反證確定它

不成立，③可

由正三角形

的性質(zhì)判斷，

④可由余弦

定理直接求

出

3

COSNADC,

,由此可選出

正確答案

解答:解：由題意,

可作出如圖

的圖象，在下

圖中，由正方

15

形的性質(zhì)知，

C01BD,

AO±BD,故

可得8口_1_面

AOC

由此可得出

BD±AC,

ZAOC=60",

故①正確，

又由題設(shè)條

件0是正方

形對角線的

交點，可得出

AO=CO,于

是有

③△AOC為

正三角形，可

得③正確；

由上證知，

CO與面ABD

不垂直且

CO1BD,故

AD與CO不

垂直，由此知

②不正確：

由上證知，

△AOC是等

邊三角形，故

AC=AO=CO

=2加’

AD=CD=4,

所以

cos/ADC=

16+16-8=

2X4X4-

心故④正確

4

由上判斷知

①③④

故選A

16

B

點評:本題考查與

二面角有關(guān)

的綜合問題，

考查了線面

垂直，面面角

的平面的確

定等問題，這

是一個翻折

問題，此類問

題理解翻折

過程中的變

與不變是解

題的關(guān)鍵

7.(2014秋?德化縣校級月考)在正n棱錐中，相鄰兩側(cè)面所成的二面角的取值范圍是()

__-_

.n2、口n1、〃ZA冗、n/n2n1、

A.(z-------n,n)B.z(-------n,n)C.(0,——)D.(-------n,-------n)

nn2nn

考點：與二面角有

關(guān)的立體幾

何綜合題.

專題：計算題.

分析：當正n棱錐的

頂點無限趨

近于底面正

多邊形中心

17

時，則底面正

多邊形便為

極限狀態(tài)；當

棱錐高無限

大時，則正n

棱柱便又是

另一極限狀

態(tài).

解答：解：當正n棱

錐的頂點無

限趨近于底

面正多邊形

中心時，

則底面正多

邊形便為極

限狀態(tài)，此時

棱錐相鄰兩

側(cè)面所成二

面角a玲冗，

且小于n；當

棱錐高無限

大時，正n棱

柱便又是另

一極限狀態(tài)，

此時

4n-2

a->-----n,

n

且大于

n-2

-----n,

n

故選A.

點評：本題主要考

查了二面角

的度量方法、

極限思想及

運算推理能

力.

8.(2014?秦州區(qū)校級一模)已知等腰直角三角形ABC中，NB=90。，AC,BC的中點分別

是D,E,將aCDE沿DE折起，使得C-DE-A為直二面角，此時斜邊AC被折成折線

ADC,則NADC等于()

A.150°B.135°C.120°D.90°

考點：與二面角有

關(guān)的立體幾

18

何綜合題.

專題：計算題；空間

角.

分析：設(shè)等腰

△ABC中，

AB=BC=2,

由NB=90°,

AC,BC的中

點分別是D,

E,知

AD=DC=&

,DE=CE=1,

/DEC=90。，

AE=A/5-由C

-DE-A為

直二面角，知

ZAEC=90°,

AC=泥，由

此利用余弦

定理能求出

ZADC的大

小.

解答：解：如圖，設(shè)

等腰4ABC

中，

AB=BC=2,

,/ZB=90°,

AC,BC的中

點分別是D,

E,

；.AD=DC=

近，

DE=CE=1,

ZDEC=90°,

AE=A/^，

,將ACDE

沿DE折起，

使得C-DE

-A為直二

面角，

ZAEC=90

o

AC=J5+1=

娓,

19

.".cosADC

AD2+DC2-A

2AD-DC

2+2-6

2XV2><V2

攵，

/.ZADC=12

0°,

故選c.

點評:本題以等腰

直角三角形

的翻折問題

為載體，考查

空間角的求

法，解題時要

認真審題，注

意翻折前后

常量與變量

的相互關(guān)系

的合理運用.

9.（2014秋?常德校級期末）已知E,F分別是正方體ABCD-A|B|C|D|的棱BC,CJ的

中點，則截面AEFDi與底面ABCD所成二面角的正弦值是（）

20

考點：與二面角有

關(guān)的立體幾

何綜合題.

專題：計算題；轉(zhuǎn)化

思想.

分析：因為D|DJ_

面ABCD,故

可由三垂線

定理法作出

二面角的平

面角，再求

解.

解答：解：因為

DiDJ-面

ABCD,過D

做DH_LAE

與H,連接

DiH,則

ZDiHD即為

截面AEFD,

與底面

ABCD所成

二面角的平

面角，

設(shè)正方體

ABCD-

A]BiC]D|的

棱長為1,在

△DiHD中，

DjD=l,因為

ADAH-

△ABE,所以

DH=

DA.1

7￡XyABR=-r

蟲+

所以

DiH=

分考

，所以

sinZD]HD=

21

M1

故選c

點評:本題考查二

面角的做法

和求解、解三

角形知識，考

查空間想象

能力和運算

能力.

10.（2013秋?青山區(qū)校級期末）ABCD是正方形，P是平面ABCD外一點，PD±AD,

PD=AD=2,二面角P-AD-C為60°,則P到AB的距離是（）

A.2MB.V3C.2D.V7

考點：與二面角有

關(guān)的立體幾

何綜合題；

點、線、面間

的距離計算.

專題:計算題.

分析:要想求P到

AB的距離要

先證明AB1

平面PEF,即

PF1AB,根

據(jù)題中已知

條件求出PE

的長度，再根

據(jù)勾股定理

便可求出PF

的長度.

解答:解：過P作

PE-LCD,過E

作EF〃BC,

連接PF,

VAD1CD,

PD1AD,

22

.?.AD，平面

PDC,

又在平

面PDC上，

/.AD1PE,

又

VPE1CD,

...PEJ?平面

ABCD,

APE1AB

VEF//BC,

AAB1EF,

...AB,平面

PEF,

/.PF1AB,

.,.PF即為P

到AB的距

離，

NPDC=60

°,PD=2,

.?.PES，

：EF=AD=2,

由勾股定理

可得

PF=\3+4=

Vr.

故選D.

點評:本小題主要

考查空間線

面關(guān)系、二面

角的度量、點

線面距離的

技計算等知

識，考查數(shù)形

結(jié)合、化歸與

轉(zhuǎn)化的數(shù)學

思想方法，以

及空間想象

能力，耍求同

23

學們熟練掌

握.

11.（2014秋?雅安期末）A、B是直二面角a-1-B的棱］上的兩點，分別在a,0內(nèi)作垂

直于棱1的線段AC,BD,已知AB=AC=BD=1,那么CD的長為（）

A.1B.2C.&D.?

考點：與二面角有

關(guān)的立體幾

何綜合題.

專題：空間位置關(guān)

系與距離.

分析：由于本題中

的二面角是

直角，且兩線

段都與棱垂

直，可根據(jù)題

意作出相應

的正方體，

CD恰好是此

正方體的體

對角線，由正

方體的性質(zhì)

求出其長度

即可.

解答：解：如圖，由

于此題的二

面角是直角，

且線段AC,

BD分別在a,

B內(nèi)垂直于棱

1,

AB=AC=BD

=1,

作出以線段

AB,BD,AC

為棱的正方

體，CD即為

正方體的對

角線，

由正方體的

性質(zhì)知，

CD=

Vi2+i2+i2

24

故選D.

點評:本題考查與

二面角有關(guān)

的線段長度

計算問題，根

據(jù)本題的條

件選擇作出

正方體，利用

正方體的性

質(zhì)求線段的

長度，大大簡

化了計算，具

體解題中要

注意此類問

題的合理轉(zhuǎn)

化.

12.（2014秋?平頂山期末）如圖，在60。二面角的棱上有兩點A、B,線段AC、BD分別在

這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱AB,若AB=4,AC=6,BD=8,則線段CD的長

為（）

A.V29B-I。C.2A/41D.2V17

考點：與二面角有

關(guān)的立體幾

何綜合題.

專題：空間位置關(guān)

系與距離.

分析：CD=CA+AB+1

25

,利用數(shù)量積

運算性質(zhì)可

得

—*2—?2—"

CD=CA+AE

+2CA_^

2區(qū)礪

2AB-BD.根

據(jù)以1版，

BD1AB）可

得

以語0，

BD-AB=0,

由60。二面角

可得；

H-BD=

|CAIiBDlco

,代入計算即

可得出.

解答:解：

CD=CA+AB+1

nn

CD=ck+AE

+2CA^^

2欣礪

2AB-BD.

VCA1AB.

BD1AB.

??-CA?AB=0

，BD-AB=0,

H'BD=

26

ICAI|BD|co

~^X6X8

=-24.

??CD2=62+42

+82-

2x24=68,

?*.ICD|=2

故選：D.

點評:本題考查了

利用向量的

多邊形法則、

數(shù)量積的運

算性質(zhì)、向量

垂直與數(shù)量

積的關(guān)系，考

查了空間想

象能力，考查

了推理能力

與計算能力，

屬于中檔題

13.（2012?碑林區(qū)校級模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，2|AB『+|BD|2-4=0,ZABD=90°,

沿BD折成直二面角A-BD-C,則三棱錐A-BCD的外接球的表面積是（）

D.2n

考J，占、、、??與二面角有

關(guān)的立體幾

何綜合題.

專題:綜合題.

分析:先確定三棱

錐A-BCD

的外接球的

直徑為AC,

27

再根據(jù)

2|AB|2+|BD|2

-4=0,求得

外接球的半

徑為1,從而

可求表面積.

解答:解：平行四邊

形ABCD中，

,/ZABD=90

O

/.AB1BD,

CD±BD

?.?沿BD折成

直二面角A

-BD-C,

；.AB_L平面

BCD,CD±

平面ABD

.".AB1BC,

CD±DA

...三棱錐A

-BCD的外

接球的直徑

為AC,且

|AC|2=|AB|2+|

BD『+|CD/=2

|AB|2+|BD|2=

4

.?.外接球的

半徑為1,表

面積是4n.

故選C.

點評:本題考查幾

何體的外接

球，考查球的

表面積，解題

的關(guān)鍵是確

定外接球的

直徑.

二.填空題（共1小題）

14.（2014春?南關(guān)區(qū)校級期末）如圖，P是二面角a-AB-B棱AB上的一點，分別在a,

B上引射線PM,PN,如果NBPM=/BPN=45°,NMPN=60。，那么二面角a-AB-。的大

小是90。.

28

aAf

'B

考點:與二面角有

關(guān)的立體幾

何綜合題.

專題:計算題；壓軸

題.

分析:本題考查的

知識點是二

面角及其度

量，我們要根

據(jù)二面角的

定義，在兩個

平面的交線

上取一點Q,

然后向兩個

平面引垂線，

構(gòu)造出二面

角的平面角，

然后根據(jù)平

面幾何的性

質(zhì)，求出含二

面角的平面

角的三角形

中相關(guān)的邊

長，解三角形

即可得到答

案.

解答:解：過AB上

一點Q分別

在a,。內(nèi)做

AB的垂線，

交PM,PN于

M點和N點

則ZMQN即

為二面角a-

AB-0的平

面角，如下圖

所示：

設(shè)PQ=a,則

29

"/ZBPM=Z

BPN=45°

，QM=QN=a

PM=PN=V5I

又由

ZMPN=