安徽省蕪湖市高三下學(xué)期理數(shù)5月教育教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控試卷含答案解析

安徽省蕪湖市高三下學(xué)期理數(shù)

5

月教育教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控試卷一、單項選擇題1.集合 ，A.B.，那么C.〔〕D.2.假設(shè) ，那么〔〕A.1 B.

-1 C. D.3.甲、乙兩名同學(xué)在高三的六次?？贾袛?shù)學(xué)成績統(tǒng)計如圖，那么以下說法錯誤的選項是〔

〕甲成績的極差小于乙成績的極差第

5

次模考甲的數(shù)學(xué)成績比乙高假設(shè)甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為假設(shè)甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為， ，那么， ，那么方程 表示橢圓，且該橢圓兩焦點間的距離為

4，那么離心率 〔 〕B. C. D.， ， ，那么〔 〕B. C. D.三位同學(xué)獲得本年度數(shù)學(xué)競賽前三名，老師告知他們?nèi)缦滦畔ⅲ孩偌撞皇堑谝幻虎谝沂堑谌?；③丙不是第三名，并告知他們以?/p>

3

條信息有且只有

1

條是正確信息，那么該三位同學(xué)的數(shù)學(xué)競賽成績從高到低的排序為〔

〕A.

甲、乙、丙B.

丙、甲、乙C.

甲、丙、乙D.

乙、甲、丙7.函數(shù)的局部圖象可能為〔

〕A.B.C.D.8.，其中 為常數(shù)，假設(shè)，那么 〔 〕D.

-64的中點，那么正四面體，A.-329.正四面體的外接球被平面B.32 C.

64的棱長為

2，

，

，

分別為所截的截面面積是〔 〕，A.B.C.D.10.，那么的外接圓半徑為

2，內(nèi)切圓半徑為

1，B. C.4

或的面積為〔

〕A.11.無窮等比數(shù)列

滿足

，其前

項和為有最大項A.

數(shù)列12.函數(shù)D. 或，那么〔 〕有最小項 D.

數(shù)列.假設(shè)對任意的為遞增數(shù)列 B.

數(shù)列 為遞減數(shù)列 C.

數(shù)列是定義在 上的偶函數(shù)，且當(dāng) 時，，那么實數(shù)

的最大值是〔 〕B. C.

0，均有A.D.二、填空題， ， 是單位向量，， 均為銳角，假設(shè)，那么

．，，那么

．15. 是拋物線的焦點，， 為拋物線上任意一點，當(dāng)取最小值時，

．16.在棱長為

1

的正方體中， 為棱上一點，滿足〔 為定值〕．記點的個數(shù)為

，有以下說法：①當(dāng)

時，

；②當(dāng)

時，時， ；④ 的最大值為

8．其中說法正確的選項是

．；③當(dāng)三、解答題17. 為數(shù)列 的前 項和，滿足下問題：，．再從條件①②③中選擇一個作為條件，完成以〔1〕求 的通項公式；〔2〕求數(shù)列 的前 項和．條件① ；②〔 為常數(shù)〕；③ ．注：如果選擇多個問題分別解答，按第一個解答計分．的軸截面，點

在上底面圓周上〔異于

，18.如圖，在圓柱 中，矩形 是圓柱〕，點

為下底面圓弧

的中點，點

與點

在平面高為

2．的同側(cè)，圓柱 的底面半徑為

1，〔1〕假設(shè)點

是圓弧平面 ；所成角的正弦值．的中點，證明：平面，求直線 與平面的右焦點為〔2〕假設(shè)19.雙曲線

：，離心率，直線

：與 的一條漸近線交于，與 軸交于 ，且.〔1〕求的方程；〔2〕過的直線 交的右支于，兩點，求證：平分．20.第24

屆冬奧會將于2022

年2

月在中國北京市和張家口巿聯(lián)合舉行．某城市為傳播冬奧文化，舉行冬奧知識講解員選技大賽．選手需關(guān)注活動平臺微信公眾號后，進(jìn)行在線答題，總分值為

200

分．經(jīng)統(tǒng)計，有40

名選手在線答題總分都在 內(nèi)．將得分區(qū)間平均分成

5

組，得到了如下列圖的頻率分布折線圖．〔1〕請根據(jù)頻率分布折線圖，畫出頻率分布直方圖，并估計這

40

名選手的平均分；〔2〕根據(jù)大賽要求，在線答題總分不低于

190

分的選手進(jìn)入線下集訓(xùn)，線下集訓(xùn)結(jié)束后，進(jìn)行兩輪考核．第一輪為筆試，考試科目為外語和冰雪運動知識，每科的筆試成績從高到低依次有

，

，

，四個等級．兩科均不低于 ，且至少有一科為 ，才能進(jìn)入第二輪面試，第二輪得到“通過〞的選手將獲得“冬奧知識講解員〞資格．總分高于

195

分的選手在每科筆試中取得

，

，

，

的概率分別為 ， ， ， ；總分不超過

195

分的選手在每科筆試中取得 ， ， ， 的概率分別為， ， ， ；假設(shè)兩科筆試成績均為

，那么無需參加“面試〞，直接獲得“冬奧知識講解員〞資格；假設(shè)兩科筆試成績只有一個 ，那么要參加面試，總分高于

195

分的選手面試“通過〞的概率為，總分不超過

195

分的選手面試“通過〞的概率為 ．假設(shè)參加線下集訓(xùn)的選手中有

2

人總分高于

195分，求恰有兩名選手獲得“冬奧知識講解員〞資格的概率．21.函數(shù) ， ．〔1〕討論函數(shù) ， 的單調(diào)性；〔2〕假設(shè) ，求實數(shù) 的取值范圍．22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為〔

為參數(shù)，〕，以

為極點， 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線

：與曲線 的交點為

，

，直線

：與曲線 的交點為

，

．〔1〕求曲線 的普通方程；〔2〕證明：為定值．23.正數(shù)

，

，

滿足．〔1〕求證：；〔2〕求證：．答案解析局部一、單項選擇題1.【解析】【解答】∵集合∴ ，故答案為：B，，【分析】

直接利用交集運算求解．2.【解析】【解答】因為,故.故答案為：C.【分析】

利用共軛復(fù)數(shù)的定義、模的計算公式即可得出.3.【解析】【解答】解：甲乙兩名同學(xué)在本學(xué)期的六次考試成績統(tǒng)計如圖，甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均值分別為，，甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為，，那么由折線圖得：在中，甲成績的極差小于乙成績的極差,

故正確；在在中，第

5

次?？技椎臄?shù)學(xué)成績比乙高，故中， ，故 正確；正確；在中， ，故 錯誤．故答案為：D．【分析】

利用折線圖的性質(zhì)直接求解。4.【解析】【解答】解：因為方程表示橢圓，所以，，所以，所以，因為焦距為

，所以，解得，所以，所以故答案為：B【分析】由題意可得，再由橢圓兩焦點間的距離為

4，求得， ，得到，

進(jìn)而得出離心率。，即可得出，5.【解析】【解答】，.故答案為：C.，，，【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，運用中間數(shù)比較法進(jìn)行求解，即可得出答案。6.【解析】【解答】假設(shè)①正確，②③不正確，即甲不是第一名；乙不是第三名，并是第三名，可得乙是第一名，甲是第二名，丙是第三名；假設(shè)②正確，①③不正確，即甲是第一名，乙是第三名，丙時第三名，此時乙與丙矛盾；假設(shè)③正確，①②不正確，即甲是第一名，丙不是第三名，丙不是第三名，此時沒有人是第三名，不符合題意，綜上可得：乙是第一名，甲是第二名，丙是第三名.故答案為：D.【分析】因為三條信息中有且只有一條信息正確，有個分析正確的信息，即可得出結(jié)論。7.【解析】【解答】∵ ，

，且，∴假設(shè)是奇函數(shù)，故排除A、C；，那么，，所以，故排除

D.故答案為：B.【分析】判斷函數(shù)的奇偶性和對稱性，利用排除法進(jìn)行判斷即可。8.【解析】【解答】解：由多項式乘法知，第一個因式中 乘以展開式中的項得一個項，第一個因式中的常數(shù) 乘以 展開式中的 項得另一個項，，解得，.兩項合并同類項得系數(shù)即為

，所以再令 ，得故答案為：A.【分析】由多項式乘法知，第一個因式中

乘以

展開式中的

項得一個

項，第一個因式中的常數(shù) 乘以 展開式中的 項得另一個 項，兩項合并同類項得系數(shù)即為 ，所以，再令 ，

即可得出答案。9.【解析】【解答】將正四面體放入正方體中，如下列圖，因為 ， 分別為 ， 的中點，所以

，

分別為左右側(cè)面的中心，所以正方體的外接球即正四面體的外接球球心為線段 的中點，所以正四面體 的外接球被平面 所截的截面即為大圓.因為正四面體 的棱長為

2，所以正方體的棱長為 ，所外接球半徑，所以大圓面積為：.故答案為：C.上，所以正四面體的外接球被平面【分析】將正四面體放入正方體中，根據(jù)題意可得球心在所截的截面即大圓，進(jìn)而可得其面積。10.【解析】【解答】因為三角形外接圓半徑R＝2，內(nèi)切圓半徑

r＝1，且

a=,由那么 ，

當(dāng)三有形

ABC

是銳角三角形時，(1)當(dāng)三有形ABC

是銳角三角形時，,因為又，由(1)(2)得又由余余弦定理有c2=a2+b2+2abcosC,

那么

12＝a2+b2－3ab,

那么〔a+b)2-3ab=12，所以〔a+b)2=12+3ab－－－－〔4〕將〔4〕代入

3〕，求得 ,

將〔5〕代入〔2〕得到 ,〔2〕而當(dāng)三角形ABC

是直角或鈍角三角形時，不滿足條件，所以此題選

A【分析】用正弦定理，余弦定理三角形面積與外接圓及內(nèi)切圓的半徑的關(guān)系，經(jīng)過復(fù)雜運算，求三角形面積。11.【解析】【解答】解：因為無窮等比數(shù)列 滿足 ，所以 ，即 ，由，所以，又，所以所以當(dāng)時，，遞減，單調(diào)遞增，所以 有最小項 ；不單調(diào)，但當(dāng)時，，，，不具有單調(diào)性，，所以

有最小項

；且，故答案為：C【分析】由分析等比數(shù)列的公比范圍，然后結(jié)合求和公式分析的單調(diào)性，結(jié)合選項可求。時， ，12.【解析】【解答】∵ 是定義在

上的偶函數(shù)，且當(dāng)∴ ，當(dāng)∴時為增函數(shù)，，那么等價于，即設(shè)，即對任意恒成立，，那么有，解得，又∵，∴.故答案為：A.【分析】首先根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，求出函數(shù)的解析式，結(jié)合不等式的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題即可得出答案。二、填空題13.【解析】【解答】∵兩邊平方可得，∴ ，，，又∵ ， ， 是單位向量，∴ ，∴∴.故答案為：.【分析】兩邊平方可得，由，，是單位向量得，

再根據(jù)模長公式可得答案。14.【解析】【解答】解：，，， 均為銳角，，，，.故答案為：.【分析】由求得，

結(jié)合誘導(dǎo)公式可得.，15.【解析】【解答】由題意得拋物線 的準(zhǔn)線方程方程為，點在準(zhǔn)線上，如下列圖，過 向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足為

，根據(jù)拋物線的定義知，所以，即問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)直線的傾斜角的正弦值最小時，求的值；設(shè)，當(dāng)直線與拋物線相切時，傾斜角的正弦值最小.聯(lián)立，判別式時，解得 ，此時，∴.故答案為：.【分析】由題意得，拋物線的準(zhǔn)線方程方程為，

根據(jù)拋物線的定義知，所以 ，即問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)直線 的傾斜角的正弦值最小時，求的值，把直線與拋物線聯(lián)立，當(dāng)直線與拋物線相切時，傾斜角的正弦值最小，即可求出 。16.【解析】【解答】根據(jù)正方體的對稱性，可把正方體的

12

條棱分成四類：(1)棱

AB ，

BC ，

CD ，DA；(2)棱

AA1 ，

CC1；(3)棱

BB1 ，

DD1；(4)棱

A1B1 ，

B1C1 ，

C1D1 ，D1A1 ，

如圖：(1)當(dāng)點

P

在棱

AB ，

BC ，

CD|P1A|=1-x ，，

DA

中任意一條上時，不妨是如圖中

P1位置，令|P1B|=x(0≤x≤1)，， ，，d(x)在[0，1]上遞減， ，當(dāng)且僅當(dāng)

P1

與

A ，

C

之一重合時，P1

與

B

重合時 ；當(dāng)點

P

在棱

AA1 ，

CC1

中任意一條上時，不妨是如圖中

P2

位置，令|P2A|=x(0<x≤1)，， 在(0，1]上遞增， ，當(dāng)且僅當(dāng)

P2

與

A1 ，

C1

之一重合時 ；當(dāng)點

P

在棱

BB1 ，

DD1

中任意一條上時，不妨是如圖中

P3

位置，令|P3B|=x(0<x≤1)，， 在(0，1]上遞增， ，當(dāng)且僅當(dāng)

P3

與

B1 ，

D1；，

B1C1 ，C1D1 ，

D1A1

中任意一條上時，不妨是如圖中

P4

位置，令之一重合時(4)當(dāng)點

P

在棱

A1B1|P4A|=x(0<x<1)，，，，由得，d(x)在上遞減，其值從減到，在上遞增，其值從增到，時，因為綜上：，n=2(P

與

A ，

C之一重合)，，n=6(P

在

AB ，

BC ，

CD ，

DA ，

AA1 ，

CC1

上各一個)，d=2，n=2(P

與

B ，

D

之一重合)，，n=4(P

在

AA1 ，CC1 ，

BB1 ，

DD1

上各一個)，，n=8(P

在

AA1 ，CC1 ，

BB1 ，

DD1 ，

A1B1 ，

B1C1 ，C1D1 ，

D1A1

上各一個)，，n=12(P

在

AA1 ，

CC1 ，

BB1 ，

DD1

上各一個，在

A1B1 ，

B1C1，C1D1 ，

D1A1

上各兩個)，，n=8(P

在

AA1 ，

CC1 ，

BB1 ，

DD1 ，

A1B1 ，

B1C1 ，C1D1 ，

D1A1上各一個)，，n=6(P

在

BB1 ，DD1 ，

A1B1 ，

B1C1 ，

C1D1 ，

D1A1

上各一個)，，n=2(P

與

B1 ，

D1

之一重合).故答案為：①②③【分析】根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征以及對稱性，代入特殊值逐項進(jìn)行驗證，即可得出答案。三、解答題17.【解析】【分析】

(1)選①②③主要利用關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列的通項公式；(2

)

由〔1〕可知 ，

令 ，， 進(jìn)一步利用二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果