現(xiàn)代控制理論及其MATLAB實現(xiàn) PPT

現(xiàn)代控制理論及其MATLAB實現(xiàn)韓致信編著第1章

控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間數(shù)學模型第2章

控制系統(tǒng)的運動分析第3章

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析第4章

控制系統(tǒng)的能控性與能觀測性第5章

線性定常控制系統(tǒng)的綜合第6章

最優(yōu)控制緒論緒論3返回總目錄20世紀40年代3形成體系19世紀2發(fā)展階段萌芽階段118世紀初一、經(jīng)典控制理論的形成與發(fā)展§01現(xiàn)代控制理論的形成和發(fā)展41、萌芽階段

隨著科學技術(shù)與工業(yè)生產(chǎn)的發(fā)展，到十八世紀，自動控制技術(shù)逐漸應用到現(xiàn)代工業(yè)中。其中最卓越的代表是瓦特（J.Watt）發(fā)明的蒸汽機離心調(diào)速器，加速了第一次工業(yè)革命的步伐。瓦特52、發(fā)展階段1868年馬克斯韋爾（J.C.Maxwell）解決了蒸汽機調(diào)速系統(tǒng)中出現(xiàn)的劇烈振蕩的不穩(wěn)定問題，提出了簡單的穩(wěn)定性代數(shù)判據(jù)。馬克斯韋爾（J.C.Maxwell）63、形成體系階段1895年勞斯（Routh）與赫爾維茨（Hurwitz）把馬克斯韋爾的思想擴展到高階微分方程描述的更復雜的系統(tǒng)中,各自提出了兩個著名的穩(wěn)定性判據(jù)—勞斯判據(jù)和赫爾維茨判據(jù)。基本上滿足了二十世紀初期控制工程師的需要。赫爾維茨（Hurwitz）7由于第二次世界大戰(zhàn)需要控制系統(tǒng)具有準確跟蹤與補償能力，1932年奈奎斯特（H.Nyquist）提出了頻域內(nèi)研究系統(tǒng)的頻率響應法，為具有高質(zhì)量的動態(tài)品質(zhì)和靜態(tài)準確度的軍用控制系統(tǒng)提供了所需的分析工具。

奈奎斯特84、經(jīng)典控制理論的特點和局限性(1)以SISO線性定常系統(tǒng)為研究對象。(2)以拉氏變換為工具，以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)在頻率域中分析與設計。(3)難以有效地應用于時變系統(tǒng)、多變量系統(tǒng)(4)難以有效地應用于非線性系統(tǒng)。9二、現(xiàn)代控制理論的形成與發(fā)展80年代后3形成體系60~80年代

2發(fā)展階段萌芽階段120世紀50年代

101.五十年代后期，貝爾曼（Bellman）等人提出了狀態(tài)分析法；在1957年提出了動態(tài)規(guī)劃。2.1959年卡爾曼（Kalman）和布西創(chuàng)建了卡爾曼濾波理論；1960年在控制系統(tǒng)的研究中成功地應用了狀態(tài)空間法，并提出了可控性和可觀測性的新概念?？柭?14.羅森布洛克（H.H.Rosenbrock）、歐文斯（D.H.Owens）和麥克法輪（G.J.MacFarlane）研究了使用于計算機輔助控制系統(tǒng)設計的現(xiàn)代頻域法理論，將經(jīng)典控制理論傳遞函數(shù)的概念推廣到多變量系統(tǒng)，并探討了傳遞函數(shù)矩陣與狀態(tài)方程之間的等價轉(zhuǎn)換關(guān)系，為進一步建立統(tǒng)一的線性系統(tǒng)理論奠定了基礎(chǔ)3.1961年龐特里亞金（俄國人）提出了極?。ù螅┲翟?。

L.S.Pontryagin125.由于現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展，結(jié)合著H2和H等范數(shù)而

出現(xiàn)了H2和H控制，還有逆系統(tǒng)控制等方法。

6.20世紀70年代末，控制理論向著“大系統(tǒng)理論”、

“智能控制理論”和“復雜系統(tǒng)理論”的方向發(fā)展：大系統(tǒng)理論：研究各種大系的結(jié)構(gòu)方案、總體設計中的分解方法和協(xié)調(diào)等問題的技術(shù)基礎(chǔ)理論。智能控制理論：研究與模擬人類智能活動及其控制與信

息傳遞過程的規(guī)律，的理論。復雜系統(tǒng)理論：把系統(tǒng)的研究拓廣到開放復雜巨系統(tǒng)的范

籌，以解決復雜系統(tǒng)的控制為目標。返回本章目錄§02現(xiàn)代控制理論的內(nèi)容現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)的主要內(nèi)容有:線性系統(tǒng)理論最優(yōu)控制理論最優(yōu)估計理論系統(tǒng)辨識理論自適應控制理論非線性系統(tǒng)理論14

經(jīng)典控制理論

現(xiàn)代控制理論

研究對象單輸入單輸出系統(tǒng)(SISO)高階微分方程

多輸入多輸出系統(tǒng)(MIMO):一階微分方程組

研究方法傳遞函數(shù)法(外部描述)

狀態(tài)空間法(內(nèi)部描述)

研究工具拉普拉斯變換

線性代數(shù)矩陣

分析方法頻域(復域),頻率響應和根軌跡法

復域、實域，可控和可觀測

設計方法PID控制和校正網(wǎng)絡

狀態(tài)反饋和輸出反饋

其他

頻率法的物理意義直觀、實用，難于實現(xiàn)最優(yōu)控制

易于實現(xiàn)實時控制和最優(yōu)控制15現(xiàn)代控制理論應用示例：地空導彈穩(wěn)定控制機器人控制16返回本章目錄1.1基本概念1.3線性時變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間數(shù)學模型1.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間數(shù)學模型1.5線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間數(shù)學模型1.4非線性連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間數(shù)學模型1.6線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的MATLAB實現(xiàn)第1章

控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間數(shù)學模型返回總目錄

內(nèi)容提示：本章論證控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間數(shù)學模型，包括線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型及其線性變換、線性時變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型、非線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型、線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型、線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的MATLAB實現(xiàn)等。1．輸入量和輸入向量1.1基本概念2．輸出量和輸出向量3．狀態(tài)變量、狀態(tài)向量和狀態(tài)空間狀態(tài)變量具有最小性，非唯一性，獨立性。4．狀態(tài)方程非線性時變系統(tǒng)狀態(tài)方程非線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程4．狀態(tài)方程線性時變系統(tǒng)狀態(tài)方程系統(tǒng)矩陣輸入（或控制）矩陣5.輸出（或觀測）方程非線性時變系統(tǒng)輸出方程非線性定常系統(tǒng)輸出方程5.輸出（或觀測）方程線性時變系統(tǒng)輸出方程輸出（或觀測）矩陣前饋（或順饋）矩陣5.輸出（或觀測）方程線性定常系統(tǒng)輸出方程輸出矩陣C和前饋矩陣D為常數(shù)矩陣（1）系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣和前饋矩陣都只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其參數(shù)有關(guān)，統(tǒng)稱為系數(shù)矩陣。（2）系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型描述的是系統(tǒng)的輸入、狀態(tài)及輸出三者之間的動態(tài)關(guān)系，故狀態(tài)方程和輸出方程統(tǒng)稱為動態(tài)方程。（3）由于狀態(tài)變量的非唯一性，同一系統(tǒng)可以具有不同的動態(tài)方程。但不論怎樣選取狀態(tài)變量，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣必定是唯一的，對于一定的輸入和初始條件，系統(tǒng)的輸出也必定是唯一的。（4）為了保障微分方程解的存在性，狀態(tài)變量的選取不能使狀態(tài)方程含有輸入量的導數(shù)項。因為有些輸入量的導數(shù)不連續(xù)，會使狀態(tài)方程無解。（5）線性系統(tǒng)的動態(tài)方程完全決定于其系數(shù)矩陣，常常直接表示為線性時變系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)線性時變系統(tǒng)6.系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖線性定常系統(tǒng)6.系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖返回本章目錄1.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間數(shù)學模型當已知系統(tǒng)的物理模型時，狀態(tài)變量一般選物理量，特別是標志能量大小的物理量。如機械系統(tǒng)中彈性元件的變形（反映位能）和質(zhì)量元件的速度（反映動能）；電氣系統(tǒng)中的電容電壓（反映電能）和電感電流（反映磁能）。1.2.1根據(jù)物理模型建立狀態(tài)空間模型【例】由質(zhì)量為的質(zhì)塊、剛度為的無重彈簧及阻尼系數(shù)為的阻尼器組成的質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)如圖所示。建立以激勵力為輸入量、以質(zhì)塊位移為輸出量的狀態(tài)空間模型。

選取彈簧變形和質(zhì)塊速度為狀態(tài)變量，即【例】一個由電阻、電容和電感元件組成的四端無源網(wǎng)絡如圖所示，試建立以輸入電壓

為輸入量、以輸出電壓為輸出量的狀態(tài)空間模型。選取電容電壓和電感電流為狀態(tài)變量，即

狀態(tài)空間模型框圖繪制步驟：積分器的數(shù)目等于狀態(tài)變量數(shù)，每個積分器的輸出表示一個狀態(tài)變量（用矢線表示），根據(jù)所給的狀態(tài)方程和輸出方程，畫出加法器和比例器。1.2.2根據(jù)微分方程建立狀態(tài)空間模型當已知系統(tǒng)的微分方程時，可根據(jù)高階微分方程與一階微分方程組的關(guān)系將其化為一階微分方程組。由于狀態(tài)變量選取的非唯一性，同一微分方程可演化出許多不同的狀態(tài)空間模型，其中最常用的是兩種觀測器規(guī)范型。

1.能觀測規(guī)范Ⅰ型令為待定系數(shù)

為使狀態(tài)方程不含輸入量的導數(shù)項，令

能觀測規(guī)范Ⅰ型

推廣到n階系統(tǒng)

【例】假設系統(tǒng)的微分方程為試求其狀態(tài)空間數(shù)學模型。2．能觀測規(guī)范Ⅱ型1.2.2根據(jù)微分方程建立狀態(tài)空間模型令……

能觀測規(guī)范Ⅱ型【例】假設系統(tǒng)的微分方程為試求其狀態(tài)空間數(shù)學模型。1.2.3根據(jù)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型當已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時，可借助于傳遞函數(shù)與微分方程的關(guān)系及結(jié)構(gòu)圖將其化為一階微分方程組。由于狀態(tài)變量選取的非唯一性，同一傳遞函數(shù)可演化出許多不同的狀態(tài)空間模型，其中最常用的是兩種控制器規(guī)范型。1．能控規(guī)范Ⅰ型…令能控規(guī)范Ⅰ型【例】假設系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

試求其狀態(tài)空間數(shù)學模型。2．能控規(guī)范Ⅱ型……令能控規(guī)范Ⅱ型能控規(guī)范型與能觀測規(guī)范型的關(guān)系【例1】假設系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

試求其狀態(tài)空間數(shù)學模型。

3．約當規(guī)范型假設傳遞函數(shù)的極點有一個重極點，其余極點為單極點，即令約當規(guī)范型4．對角線規(guī)范型當已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)圖時，仿照上面約當規(guī)范型的狀態(tài)變量定義方法，對每個積分環(huán)節(jié)和各一次項倒數(shù)環(huán)節(jié)的輸出端定義一個狀態(tài)變量，再通過簡單數(shù)學運算即可建立狀態(tài)空間模型。當結(jié)構(gòu)圖中含有二次項或更高次有理分式函數(shù)環(huán)節(jié)時，可應用梅遜公式和結(jié)構(gòu)圖等效變換方法將其化為一次項倒數(shù)環(huán)節(jié)的組合形式。還可以綜合運用以上幾種方法來建立狀態(tài)空間模型。1.2.4根據(jù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)圖建立狀態(tài)空間模型【例】假設系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示，試建立其狀態(tài)空間模型。

令【例】

解法一（應用梅遜公式）解法二根據(jù)能控規(guī)范Ⅰ型由結(jié)構(gòu)圖得1.2.5狀態(tài)空間模型的線性變換1.線性變換

（1）任意選取非奇異矩陣T

為在新狀態(tài)空間中的狀態(tài)向量；z向量空間的系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣和輸出矩陣。1.2.5狀態(tài)空間模型的線性變換1.線性變換

（2）任意選取非奇異矩陣T

為在新狀態(tài)空間中的狀態(tài)向量；分別為z向量空間的系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣和輸出矩陣。

與或是相似矩陣，而相似矩陣具有相同的特征值。線性變換不改變系統(tǒng)的特征值。

2.對角線規(guī)范型的實現(xiàn)假設單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)的特征值互異，與對應的特征向量為將系統(tǒng)化為對角線規(guī)范型的變換矩陣為變換后，新狀態(tài)空間模型的系統(tǒng)矩陣為

3.約當規(guī)范型的實現(xiàn)有一個化為約當規(guī)范型的變換矩陣為

假設系統(tǒng)矩陣重特征值，其余特征值互異

…

…

新狀態(tài)空間模型的系統(tǒng)矩陣為【例】假設系統(tǒng)的系數(shù)矩陣分別為

試求系統(tǒng)的特征值并據(jù)以將系統(tǒng)化為約當規(guī)范型或?qū)蔷€規(guī)范型。（1）求系統(tǒng)矩陣A的特征值三重特征值（2）化為約當規(guī)范型

（2）化為約當規(guī)范型

1.2.6狀態(tài)空間模型與傳遞函數(shù)矩陣之間的關(guān)系返回本章目錄1.3線性時變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間數(shù)學模型線性時變系統(tǒng)沒有傳遞函數(shù)，其狀態(tài)空間模型可仿照線性定常系統(tǒng)觀測器規(guī)范型來建立。【例】假設線性時變系統(tǒng)的微分方程為

試建立其狀態(tài)空間數(shù)學模型。

令為使狀態(tài)方程不含輸入量的導數(shù)項，令

返回本章目錄1.4非線性連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間數(shù)學模型非線性系統(tǒng)有本質(zhì)非線性和本征非線性兩種類型。其元件具有滯環(huán)或飽和等非線性特性的系統(tǒng)稱為本質(zhì)非線性系統(tǒng)。其微分方程含有非線性項的系統(tǒng)稱為本征非線性系統(tǒng)。對于本質(zhì)非線性系統(tǒng)，可將線性部分狀態(tài)空間模型列寫出來，對非線性部分進行相應的變量代換。本征非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可通過變量代換來建立。1.4.1本質(zhì)非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型【例】假設系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖（a）所示，其中，滯環(huán)非線性元件的特性如圖（b）所示，試建立其狀態(tài)空間模型。圖（a）圖（b）根據(jù)能控規(guī)范Ⅰ型設1.4.2本征非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型【例】假設系統(tǒng)的微分方程為試建立其狀態(tài)空間模型。令返回本章目錄1.5線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間數(shù)學模型1.5.1基本概念1.差分方程n階前向差分方程

n階后向差分方程

2.脈沖傳遞函數(shù)在零初始條件下輸出量的z變換與輸入量的z變換之比。

3.狀態(tài)空間模型線性時變離散系統(tǒng)動態(tài)方程線性定常離散系統(tǒng)動態(tài)方程1.5.2線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型1.能觀測規(guī)范型（1）能觀測規(guī)范Ⅰ型令…

（2）能觀測規(guī)范Ⅱ型令…

線性定常離散系統(tǒng)的能觀測規(guī)范型與線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀測規(guī)范型完全一致2．能控規(guī)范型線性定常離散系統(tǒng)的能控規(guī)范型與線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控規(guī)范型完全一致（1）能控規(guī)范Ⅰ型

（2）能控規(guī)范Ⅱ型

（2）能控規(guī)范Ⅱ型

返回本章目錄1.6線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的MATLAB實現(xiàn)1.6.1數(shù)學模型的MATLAB表示法1．傳遞函數(shù)在MATLAB中可表示為2．傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換狀態(tài)空間模型在MALAB中，用符號“tf”表示傳遞函數(shù)，用符號“ss”表示狀態(tài)空間。將傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型的命令語句是tf2ss，其調(diào)用格式是[ABCD]=tf2ss(num,den)3．狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換傳遞函數(shù)[num,den]=ss2tf(ABCD)4．狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換約當規(guī)范型[T,J]=jordan(A)【例】假設系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試求狀態(tài)空間模型及其約當規(guī)范型。（1）狀態(tài)空間模型（2）狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換約當規(guī)范型1.6.2實現(xiàn)能控規(guī)范型的MATLAB編程及計算——實現(xiàn)能控規(guī)范Ⅰ型實現(xiàn)能控Ⅰ型算例1.6.2實現(xiàn)能控規(guī)范型的MATLAB編程及計算——實現(xiàn)能控規(guī)范Ⅱ型實現(xiàn)能控Ⅱ型算例返回本章目錄第2章控制系統(tǒng)的運動分析2.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的運動分析2.2線性時變連續(xù)系統(tǒng)的運動分析2.3線性定常離散系統(tǒng)的運動分析2.4線性時變離散系統(tǒng)的運動分析返回總目錄

內(nèi)容提示：本章論證控制系統(tǒng)的運動分析方法，包括定常連續(xù)和離散、時變連續(xù)和離散四種線性系統(tǒng)自由運動、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣、受控運動及其MATLAB編程與計算等。2.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的運動分析

在初始條件下的解1．直接解法—待定系數(shù)法2.1.1系統(tǒng)狀態(tài)自由運動系統(tǒng)狀態(tài)自由運動是在沒有外部激勵的情況下由不為零的初始狀態(tài)引發(fā)的狀態(tài)運動，在數(shù)學上，就是齊次微分方程第1步，假設微分方程的預解，用待定系數(shù)反映事先不確定的因素；第2步，將假設的預解代入微分方程并確定待定系數(shù)；第3步，將確定的待定系數(shù)回代入預解。假設齊次微分方程的預解為左邊==右邊

…當時，代入微分方程，得

矩陣指數(shù)函數(shù)——狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，并用符號表示

2．間接解法—拉氏變換法

第1步，對微分方程進行拉氏變換；第2步，求出微分方程的復域解；第3步，對復域解進行拉氏逆變換。對微分方程進行拉氏變換，得令2.1.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

1.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)（1）初值（2）可求導數(shù)

左提矩陣A

因，故

右提矩陣A（3）可分解

（4）可逆

（5）可乘方（1）冪級數(shù)計算法

2．狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計算（2）拉氏變換計算法【例】試求矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)（3）應用凱萊-哈密頓(Cayley-Hamilton)定理計算一般表達式的同次冪合并同類項，可得再按研究系數(shù)的計算方法

10）系統(tǒng)矩陣的特征值互異與其特征值可以互換。

根據(jù)凱萊-哈密頓定理，方陣20）系統(tǒng)矩陣有重特征值

關(guān)于重特征值求一階、二階直至階導數(shù)，可得個方程。

解n元一次方程組便可確定

【例】應用凱萊-哈密頓定理求解前例(學生練習）（4）對角線矩陣和約當矩陣的指數(shù)函數(shù)10）對角線矩陣

20）約當矩陣30）約當矩陣（5）相似變換計算法與是相似矩陣，具有相同特征值。

2.1.3系統(tǒng)狀態(tài)受控運動第1步，將齊次微分方程的解的常數(shù)參量用變參量代替并作為非齊次微分方程的預解；1．直接解法—常數(shù)變易法第2步，將預解代入非齊次微分方程并確定變參量；第3步，將確定的變參量回代入預解。（1）假設非齊次方程預解齊次微分方程的解為得非齊次微分方程的預解，即

將常數(shù)向量用變參數(shù)向量代替（2）確定變參數(shù)向量左邊==右邊將代入微分方程（3）變參量回代

系統(tǒng)的受控運動由兩部分組成受控運動分量——輸入量引發(fā)則由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)——不為零的初始狀態(tài)自由運動分量引發(fā)如果給定的初始時刻為t0、初始狀態(tài)為2．間接解法—拉氏變換法

2.1.4系統(tǒng)的輸出響應2.1.5實現(xiàn)線性定常連續(xù)系統(tǒng)運動分析的MATLAB編程直接法拉氏變換法【例2】已知系統(tǒng)的動態(tài)方程為

試求系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和時間響應實現(xiàn)系統(tǒng)運動分析的MALAB人機交互計算過程及數(shù)據(jù)表輸出量變化曲線圖【例】上例中，若初始狀態(tài)輸出矩陣，試求系統(tǒng)的響應。輸出量變化曲線圖（a）輸出量y1

（b）輸出量y2

返回本章目錄2.2線性時變連續(xù)系統(tǒng)的運動分析2.2.1系統(tǒng)狀態(tài)自由運動

是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。=右邊=線性時變系統(tǒng)無法實施拉氏變換，只能用時域直接法進行分析。設時變系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解為左邊=

——線性時變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義式。2.2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)（1）初值

（2）可分解（3）可逆

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣關(guān)于時間t的導數(shù)為（4）可求導數(shù)2．狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計算時，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為[定理]當且僅當（1）冪級數(shù)法證明：左邊==右邊=

（2）遞推級數(shù)法對狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣定義式兩邊積分，可得向下遞推向上迭代時變系統(tǒng)的非齊次狀態(tài)方程為故按照常數(shù)變易法的思想，假設非齊次方程的預解為2.2.3系統(tǒng)狀態(tài)受控運動的解為齊次狀態(tài)方程左邊==右邊

與定常系統(tǒng)一樣，時變系統(tǒng)的狀態(tài)受控運動也是自由運動分量和受控運動分量兩部分的疊加。將預解代入微分方程，得2.2.4系統(tǒng)輸出響應2.2.5實現(xiàn)線性時變連續(xù)系統(tǒng)運動分析的MATLAB編程1．計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的MATLAB編程2．實現(xiàn)系統(tǒng)運動分析的MATLAB編程【例】假設系統(tǒng)的動態(tài)方程為

若初始狀態(tài)為試求在控制信號作用下系統(tǒng)的響應。

實現(xiàn)系統(tǒng)運動分析的MALAB人機交互計算過程及數(shù)據(jù)表

【例】假設系統(tǒng)的動態(tài)方程為

若初始狀態(tài)為試求在控制信號作用下系統(tǒng)的響應。返回本章目錄2.3線性定常離散系統(tǒng)的運動分析1.離散化模型2.3.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化及其MATLAB實現(xiàn)令

令設2.線性定常連續(xù)系統(tǒng)離散模型的MATLAB實現(xiàn)[Ak,Bk]=c2d(A,B,T)連續(xù)模型轉(zhuǎn)化為離散模型T為采樣周期離散模型轉(zhuǎn)化為連續(xù)模型[A,B]=d2c(AkBk,T)【例】假設連續(xù)系統(tǒng)的系數(shù)矩陣為

若采樣周期為T=0.05（s），試求其離散化模型。系統(tǒng)的離散化模型為實現(xiàn)離散模型的MATLAB過程和數(shù)據(jù)表2.3.2線性定常離散系統(tǒng)的運動分析1.求解狀態(tài)方程的遞推法

——離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

——離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣2．求解狀態(tài)方程的z變換法

對進行z變換，得

3．系統(tǒng)輸出響應2.3.3實現(xiàn)線性定常離散系統(tǒng)運動分析的MATLAB編程直接遞推法Z變換法【例2】

假設離散系統(tǒng)的系數(shù)矩陣為

采樣周期T=0.1（s），試求系統(tǒng)第10步采樣以前的響應序列。

MATLAB人機交互過程及計算數(shù)據(jù)表（a）輸出量y1序列圖

（b）輸出量y2序列圖返回本章目錄2.4線性時變離散系統(tǒng)的運動分析2.4.1線性時變連續(xù)系統(tǒng)的離散化及其MATLAB實現(xiàn)1.離散化模型令令2.實現(xiàn)線性時變連續(xù)系統(tǒng)離散模型的MATLAB編程【例】假設線性時變連續(xù)系統(tǒng)的動態(tài)方程為

試求其離散化模型，采樣周期T=0.1(s)

將狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣中的t用(k+1)T代替、t0用kT代替，可得離散化系統(tǒng)矩陣2.4.2線性時變離散系統(tǒng)的運動分析——時變離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

2.4.3實現(xiàn)線性時變離散系統(tǒng)運動分析的MATLAB編程【例】假設線性時變離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為

試求當采樣周期分別為T=0.1（s）和T=0.05（s）時前20步采樣的響應序列（1）T=0.1（s）（1）T=0.1（s）（a）輸出量y1序列圖

（b）輸出量y2序列圖（1）T=0.05（s）（1）T=0.05（s）（a）輸出量y1序列圖

（b）輸出量y2序列圖返回本章目錄第3章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.1李雅普諾夫穩(wěn)定性基本定理返回總目錄3.2線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.3線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.4非線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

內(nèi)容提示：本章論證控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析法，包括定常連續(xù)和離散、時變連續(xù)和離散四種線性系統(tǒng)、非線性連續(xù)系統(tǒng)等的穩(wěn)定性分析及其MATLAB編程與計算等。3.1關(guān)于系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念1．系統(tǒng)自由運動數(shù)學描述受擾運動——任何一個處于平衡狀態(tài)的控制系統(tǒng)，當受到擾動作用后，偏離其平衡狀態(tài)進行運動。

受擾自由運動——擾動消失以后的受擾運動。系統(tǒng)的受擾自由運動與控制作用無關(guān)。系統(tǒng)的穩(wěn)定與否，與輸入無關(guān)，在研究穩(wěn)定性時，只須依據(jù)自由運動數(shù)學模型，即齊次微分方程。非線性系統(tǒng)的齊次微分方程的一般形式為（時變）（定常）線性系統(tǒng)（時變）（定常）2．平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)——系統(tǒng)運動形式保持恒定的狀態(tài)，其數(shù)學描述是狀態(tài)變量關(guān)于時間的導數(shù)等于0，即（非線性）（線性）為平衡狀態(tài)線性系統(tǒng)：當非奇異時，有唯一的平衡狀態(tài)當奇異時，有無窮多個平衡狀態(tài)。非線性系統(tǒng)：常有多個平衡狀態(tài)。3.李雅普諾夫穩(wěn)定性定義李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性在平衡狀態(tài)的鄰域內(nèi)，任意選定實數(shù)，如果存在，使得由滿足另一實數(shù)的任意初始狀態(tài)引發(fā)的系統(tǒng)自由運動總滿足則稱系統(tǒng)在處是李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的，簡稱isL穩(wěn)定。如果而與初始時刻無關(guān)，則稱isL一致穩(wěn)定。對于n階系統(tǒng)，狀態(tài)變量是n維向量，在狀態(tài)空間，是歐幾里得范數(shù)。isL穩(wěn)定的幾何意義是：由超球面內(nèi)的任意初始狀態(tài)引發(fā)的自由運動永遠不會超出超球面。二階系統(tǒng)isL穩(wěn)定的幾何意義示意圖漸進穩(wěn)定如果系統(tǒng)在處是isL穩(wěn)定的，且則稱系統(tǒng)在處是漸近穩(wěn)定的。當系統(tǒng)在處是isL一致穩(wěn)定時，稱為一致漸近穩(wěn)定。當時間足夠大時，由偏離平衡狀態(tài)的任意初始狀態(tài)引發(fā)的自由運動最終趨于。2階系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的幾何意義全局漸進穩(wěn)定如果為中的任意點，由引發(fā)的一切自由運動都是漸近穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的。當系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定時，平衡狀態(tài)一定是唯一的。對于非奇異線性系統(tǒng)，因平衡狀態(tài)只有一個狀態(tài)空間原點，只要漸近穩(wěn)定，那必定也是全局漸近穩(wěn)定。對于有多個平衡狀態(tài)的非線性系統(tǒng)，漸近穩(wěn)定一定是小范圍的。不穩(wěn)定如果在平衡狀態(tài)的鄰域內(nèi)，不論該鄰域多么小，對于任意選定，的實數(shù)均無法找到另一實數(shù)，使之滿足isL穩(wěn)定的條件，則稱系統(tǒng)在該平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。幾何意義：只要偏離，由必定隨時間的延續(xù)離而遠去。它引發(fā)的2階系統(tǒng)不穩(wěn)定的幾何意義4李雅普諾夫穩(wěn)定性基本定理[定理1]在的鄰域內(nèi)，對于滿足系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的狀態(tài)向量，如果存在一個具有連續(xù)一階偏導數(shù)的標量函數(shù)，而且（1）正定負定（2）則系統(tǒng)在處漸近穩(wěn)定。又當時，如果，那么系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定。[定理2]在的鄰域內(nèi)，對于滿足系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的狀態(tài)向量，如果存在一個滿足系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的具有連續(xù)一階偏導數(shù)的，而且標量函數(shù)（2）負半定（1）正定外，不恒等于0。（3）除則系統(tǒng)在處漸近穩(wěn)定。又當時，如果，那么系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定。[定理3]在的鄰域內(nèi)，對于滿足系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的狀態(tài)向量，如果存在一個滿足系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的具有連續(xù)一階偏導數(shù)的，而且標量函數(shù)（1）正定（2）負半定則系統(tǒng)在處是isL穩(wěn)定的。[定理4]在的鄰域內(nèi)，對于滿足系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的狀態(tài)向量，如果存在一個滿足系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的具有連續(xù)一階偏導數(shù)的，而且標量函數(shù)（1）正定（2）正定則系統(tǒng)在處是不穩(wěn)定的。（2）以上定理均以為平衡狀態(tài)，對于任意平衡狀態(tài)，可通過線性坐標變換將其轉(zhuǎn)化為0平衡狀態(tài)，再應用定理進行分析。（1）以上定理關(guān)于穩(wěn)定的條件對線性系統(tǒng)是充分必要條件，但對非線性系統(tǒng)是充分條件，而非充分必要條件。如果選取的標量函數(shù)滿足穩(wěn)定的條件，則可斷定穩(wěn)定。這樣的標量函數(shù)稱為李雅普諾夫V函數(shù)（簡稱李氏V函數(shù)）。但如果選取的標量函數(shù)不滿足穩(wěn)定的條件，對非線性系統(tǒng)不能就此斷定不穩(wěn)定。（3）以上定理均以標量函數(shù)為依據(jù)，該函數(shù)除了其中的必須滿足系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程外并未有其它限制。因此，能夠判不是唯一的。李雅普諾夫穩(wěn)定性定理之的隨意性，使的選取沒有章法可循，只能憑判斷和經(jīng)驗通過試探選取。定系統(tǒng)穩(wěn)定性的有廣泛的適應性。但另一方面，也正是通常依據(jù)系統(tǒng)的廣義能量和廣義距離選取李氏V函數(shù)。（4）以上定理具有普遍意義，既適用于線性系統(tǒng)，也適用于非線性系統(tǒng)，即適用于定常系統(tǒng)，也適用于時變系統(tǒng)。5標量函數(shù)的定號性設Ω是包含狀態(tài)空間原點的有限閉域，在Ω內(nèi)是向量的標量函數(shù)且具有連續(xù)一階偏導數(shù)：則有正定和半正定函數(shù)為正定函數(shù)當時當時為半正定函數(shù)當時當時負定和半負定函數(shù)為負定函數(shù)當時當時為半負定函數(shù)當時當時不定函數(shù)不定函數(shù)——不論閉域Ω多么小，當時，可正可負

6二次型函數(shù)的定號性二次型函數(shù)定義實對稱矩陣根據(jù)西爾維斯特（Sylvester）準則，二次型函數(shù)的定號性等價于矩陣P的定號性。實對稱矩陣P為正定的充分必要條件是其所有特征值為正或各階主子式為正，即且或…如果為奇異矩陣，則當以上各階主子式非負時，為正半定。實對稱矩陣為負定的充分必要條件是為正定矩陣。如果為奇異矩陣，則當為正半定時，為負半定。P為負定的充分必要條件為：其奇數(shù)次主子式為負，偶數(shù)次主子式為正…奇異矩陣P為負半定的充分必要條件為：奇數(shù)次主子式為非正，偶數(shù)次主子式為非負，即…【例】某系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：令可得且唯一。預選與之間的廣義距離作為V函數(shù)，即顯然，是正定的。對關(guān)于時間t求一階導數(shù)并將給定的系統(tǒng)齊次微分方程代入顯然負定。因正定，負定，且當時，，所以該系統(tǒng)是全局漸進穩(wěn)定的。返回本章目錄3.2線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析1.線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理當非奇異時，是唯一平衡狀態(tài)。選取二次型函數(shù)為V函數(shù)，即為正定實對稱矩陣。根據(jù)李雅普諾夫定理，欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須負定，而根據(jù)負定。西爾維斯特準則，這只需[定理]線性定常連續(xù)系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：任給正定實對稱矩陣，存在正定實對稱矩陣，使得線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫方程此時李氏V函數(shù)為為簡化運算，也可取半正定實對稱矩陣，但此時為半負定。不恒為0的條件。根據(jù)定理2，欲使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，還必須附加最簡單的半正定矩陣為或?qū)崿F(xiàn)線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB通用程序【例】某系統(tǒng)的自由運動方程為試判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并求李氏V函數(shù)。解：因系統(tǒng)矩陣非奇異，故該系統(tǒng)只有一個位于狀態(tài)空間原點的平衡狀態(tài)，即李氏方程為若取，則如果，必有根據(jù)給定狀態(tài)方程當時，必有可見，只有在處，。除此以外，不恒為0。解方程可得因為正定實對稱矩陣，矩陣Q為正半定實對稱矩陣且不恒為0，滿足李氏方程。故該系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定。李氏V函數(shù)為MATLAB人機交互過程及數(shù)據(jù)表2.線性時變連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理線性時變系統(tǒng)的齊次微分方程為選取二次型函數(shù)為V函數(shù)，即當非奇異時，是唯一平衡狀態(tài)。為正定實對稱矩陣。線性時變系統(tǒng)的李雅普諾夫方程根據(jù)李雅普諾夫定理，欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須負定，而根據(jù)負定。西爾維斯特準則，這只需[定理]線性時變連續(xù)系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：任給正定實對稱矩陣，存在正定實對稱矩陣，使得李氏V函數(shù)為在實際應用時，矩陣常取單位陣。不恒為0的條件。也可取正半定實對稱矩陣，但必須附加時變系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與（從而與）有關(guān)，還有關(guān)。與初始時刻李氏V方程是Riccati（里卡提）矩陣微分方程的特殊情形，其解為和是系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，；為初始條件。返回本章目錄3.3線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析1.線性定常離散系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理線性定常離散系統(tǒng)的齊次差分方程為當非奇異時，是唯一平衡狀態(tài)。選取二次型函數(shù)為V函數(shù)，即為正定實對稱矩陣。離散系統(tǒng)信號不連續(xù)，的導數(shù)不存在，只能用差分代替導數(shù)。對上式求一階前向差分，可得根據(jù)李雅普諾夫定理，欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須負定。這只需負定。[定理]線性定常離散系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：任給正定實對稱矩陣，存在正定實對稱矩陣，使得此時李氏V函數(shù)為線性定常離散系統(tǒng)的李雅普諾夫方程在實際應用時，矩陣常取單位陣。為簡化運算，也可取不恒為0的條件。正半定實對稱矩陣，但必須附加【例】某離散系統(tǒng)的自由運動方程為試判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并求李氏V函數(shù)。解：因系統(tǒng)矩陣非奇異，故該系統(tǒng)只有一個位于狀態(tài)空間原點的平衡狀態(tài)，即李氏方程為若取，則李氏方程為解方程可得因為負定實對稱矩陣，不滿足李氏方程，所以，該系統(tǒng)不穩(wěn)定。MATLAB人機交互過程及數(shù)據(jù)表2.線性時變離散系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理線性時變離散系統(tǒng)的齊次差分方程為選取二次型函數(shù)為V函數(shù)當非奇異時，是唯一平衡狀態(tài)。為正定實對稱矩陣。線性時變離散系統(tǒng)的李雅普諾夫方程此時李氏V函數(shù)為根據(jù)李雅普諾夫定理，欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須負定。[定理]線性時變離散系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：任給正定實對稱矩陣，存在正定實對稱矩陣，使得返回本章目錄3.4非線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與線性系統(tǒng)相比，非線性系統(tǒng)的特性要復雜得多，平衡狀態(tài)也往往不至一個，系統(tǒng)在某一個平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定或不穩(wěn)定，只可能具有局部性質(zhì)，并不能代表系統(tǒng)穩(wěn)定或不穩(wěn)定。李雅普諾夫穩(wěn)定性定理給出的判決條件是充分條件，不是充分必要條件，找不到李氏V函數(shù)，不能斷定系統(tǒng)不穩(wěn)定。能否應用該理論解決穩(wěn)定性問題，關(guān)鍵在于能否找到李氏V函數(shù)。關(guān)于非線性系統(tǒng)的李氏V函數(shù)，尚未有一般性建構(gòu)方法，只有一些適用于特殊函數(shù)和針對特殊問題的建構(gòu)方法。兩種方法：雅可比（Jacobian）矩陣法變量梯度法1.雅可比（Jacobian）矩陣法雅可比矩陣法利用系統(tǒng)狀態(tài)方程等式右邊的函數(shù)向量構(gòu)造V函數(shù)。假設非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

且，即，關(guān)于存在一階連續(xù)導數(shù)，則的雅可比矩陣為預選如下形式的二次型作為V函數(shù)P為正定實對稱矩陣

根據(jù)李雅普諾夫定理，欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須負定，而根據(jù)西爾負定。維斯特準則，這只需[定理]非線性系統(tǒng)在漸近穩(wěn)定的充分條件是：，矩陣對于任意正定實對稱矩陣是負定的。李氏V函數(shù)是又當時，如果，那么系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定。雅可比矩陣法是一種特殊方法，只適用于部分特殊的狀態(tài)方程函數(shù)。而且定理的判定條件是充分條件，不是充分必要條件?？死鞣蛩够↘rasovski）提出，可以取，直接用狀態(tài)方程函數(shù)向量的點積作為V函數(shù)，即系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件簡化為負定雅可比矩陣法的技術(shù)路線比較簡單，但負定這個條件是苛刻的，大多數(shù)實際系統(tǒng)的狀態(tài)空間函數(shù)向量難以滿足。[推論]非奇異線性定常系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：負定。將克拉索夫斯基法應用于線性定常連續(xù)系統(tǒng)，可得如下推論：用于非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的MATLAB通用程序【例】某系統(tǒng)的自由運動方程為試判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并求李氏V函數(shù)。令系統(tǒng)的平衡狀態(tài)唯一。令的各階主子式為因的一階主子式為負，二階主子式為正，故矩陣是負定的。根據(jù)克拉索夫斯基穩(wěn)定性分析法，該系統(tǒng)在處漸近穩(wěn)定。又當時，該系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定。李雅普諾夫V函數(shù)為應用現(xiàn)克拉索夫斯基法的MATLAB人機過程及數(shù)據(jù)2.變量梯度法假設為預選的非線性系統(tǒng)在處的李氏V函數(shù)是標量函數(shù)的梯度向量。如果確定了的梯度向量，則可由上式積分而定根據(jù)線積分與路徑無關(guān)的條件，如果梯度向量的旋度，則上式積分與路徑無關(guān)，即欲使旋度，只須有梯度向量的雅可比矩陣對稱，即式中，變量梯度法技術(shù)路線：（1）用狀態(tài)變量的線性組合表示標量函數(shù)的梯度向量，稱為變量梯度，即為待定系數(shù)。（2）令梯度向量的雅可比矩陣對稱，即個方程（3）按照負定條件補充個條件。根據(jù)以上（2）和（3）條件，聯(lián)立解方程組，可確定變量梯度中的全部系數(shù)，從而可確定變量梯度式。（4）通過線積分確定【例】某系統(tǒng)的自由運動方程為試用用變量梯度法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：（1）假設變量梯度（2）求梯度向量的雅可比矩陣（3）由負定條件補充3個條件將變量梯度和系統(tǒng)狀態(tài)方程代入上式，得試取，有欲使負定，只須有。于是正定，負定，且當時，該系統(tǒng)是全局漸進穩(wěn)定的。（4）通過線積分確定返回本章目錄第4章控制系統(tǒng)的能控性與能觀測性4.1系統(tǒng)的能控性4.2系統(tǒng)的能觀測性4.3能控與能觀測規(guī)范型的實現(xiàn)4.4線性定常系統(tǒng)能控性與能觀測性在復域[s]中的判據(jù)4.5對偶系統(tǒng)及對偶性原理4.6線性定常系統(tǒng)能控與能觀測結(jié)構(gòu)分解返回總目錄內(nèi)容提示：本章討論控制系統(tǒng)的能控性與能觀測性包括定常連續(xù)和離散、時變連續(xù)3種線性系統(tǒng)的能控性與能觀測性判據(jù)、能控與能觀測規(guī)范型的實現(xiàn)、對偶性原理、線性定常系統(tǒng)能控能觀測結(jié)構(gòu)分解以及與這些內(nèi)容相關(guān)的MATLAB編程與計算等。系統(tǒng)的能控性——系統(tǒng)狀態(tài)變量能通過輸入量控制的特性能觀測性——系統(tǒng)狀態(tài)變量能通過輸出量觀測的特性經(jīng)典控制理論，系統(tǒng)分析與綜合是通過傳遞函數(shù)來實現(xiàn)的，而傳遞函數(shù)直接將輸出量與輸入量連在一起。由于輸入量與輸出量之間有著明確的函數(shù)關(guān)系，所以輸入量直接決定著輸出量?，F(xiàn)代控制理論的基礎(chǔ)是狀態(tài)空間模型，在狀態(tài)空間模型中，除含有順饋環(huán)節(jié)的系統(tǒng)以外，輸出量不是由輸入量直接決定的，而是由狀態(tài)變量決定的，如果狀態(tài)變量不能被輸入量控制，那輸出量也就無法實現(xiàn)控制。輸出量無法控制，控制系統(tǒng)就失去存在價值。另外，狀態(tài)反饋是現(xiàn)代控制理論實現(xiàn)系統(tǒng)綜合的主要方式，如果狀態(tài)變量不能被輸入量控制，那么狀態(tài)反饋也就無從談起。因此，能控性問題是系統(tǒng)分析與綜合的基本問題之一。與穩(wěn)定性一樣，能控性是系統(tǒng)本身的固有屬性，只與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)及參數(shù)有關(guān)，與具體的輸入量無關(guān)。通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)系統(tǒng)綜合的前提條件是，狀態(tài)信號能夠在物理上引出來。然而，在狀態(tài)空間模型中，在許多情況下，系統(tǒng)的狀態(tài)變量只具有數(shù)學意義，沒有物理意義，無法取出信號。如果通過量測輸出量而能觀測到狀態(tài)變量，那就可通過輸出反饋實現(xiàn)與狀態(tài)反饋相同的功能。特別在下一章介紹的狀態(tài)重構(gòu)器設計中，只有狀態(tài)能觀測，才能實現(xiàn)狀態(tài)重構(gòu)。因此，能觀測性問題是系統(tǒng)分析與綜合的另一基本問題之一。與能控性一樣，能觀測性也是系統(tǒng)本身的固有屬性，只與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)及參數(shù)有關(guān)，與具體的輸出量無關(guān)。系統(tǒng)的能控性與能觀測性是卡爾曼（Kalman）于20世紀60年代提出來的，是實現(xiàn)最優(yōu)控制和最優(yōu)估值及其它系統(tǒng)綜合與校正的必要條件。4.1系統(tǒng)的能控性[定義]設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為對于任意非零初始狀態(tài)，如果存在容許控制，在有限時區(qū)將其轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點，即，則稱系統(tǒng)在時刻是狀態(tài)能控的。對于任意的初始時刻，如果系統(tǒng)都是狀態(tài)能控的，則稱系統(tǒng)是能控。狀態(tài)完全能控的，簡稱系統(tǒng)狀態(tài)能控，并記為線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性與初始時刻無關(guān)。定義中的容許控制指的是在物理上可實現(xiàn)的控制信號，在數(shù)學上是每個分量在有限時區(qū)平方可積，即收斂。在上面的定義中，狀態(tài)能控與否取決于能否用容許控制把任意非零初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點，而不是把零初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到指定的任意目標狀態(tài)。若存在容許控制在有限時區(qū)把零初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到指定的任意目標狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)能達的。對于定常系統(tǒng)來說，能控性與能達性兩者是等價的，對于時變系統(tǒng)來說，由于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)隨時間變化，故兩者是不完全等價的。上面的定義沒有涉及輸出方程。表明系統(tǒng)的狀態(tài)能控性與輸出沒有關(guān)系。這是不言而喻的。能控性是從輸入端考察狀態(tài)，自然與輸出方程無涉。4.1.1線性時變連續(xù)系統(tǒng)的能控性[引理1]在連續(xù)的方陣行線性無關(guān)等價于格拉姆(Gram)矩陣非奇異。[引理2]在有限時區(qū)具有n-1階連續(xù)導數(shù)的方陣行線性無關(guān)等價于行滿秩，即的充分必要條件是：

[判據(jù)1]線性時變系統(tǒng)在時刻狀態(tài)能控在有限時區(qū)，矩陣行線性無關(guān)或格拉姆矩陣非奇異。根據(jù)引理1，行線性無關(guān)與格拉姆矩陣非奇異是等價的。1充分性由線性時變系統(tǒng)狀態(tài)方程的解和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)，可得因非奇異，故存在。若取這表明，只要格拉姆矩陣非奇異，必存在將任意非零初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點的容許控制。2必要性直接證明判據(jù)提出的必要性是困難的，茲用反證法來證明。假定矩陣行線性相關(guān)而系統(tǒng)狀態(tài)能控。當行線性相關(guān)時，必存在非零向量，使又因系統(tǒng)狀態(tài)能控，故因此上式成立的條件是，或者，或者，二者必居其一。任意及非零兩者相矛盾。而這與表明行線性相關(guān)而系統(tǒng)狀態(tài)能控不成立。對上式等式兩邊乘以并由可得[判據(jù)2]若和存在n-1階連續(xù)導數(shù)，則系統(tǒng)在時刻狀態(tài)能控的充分必要條件是：行滿秩，即式中：系統(tǒng)的能控性矩陣。，矩陣在有限時區(qū)假設對上式關(guān)于時間t求一階、二階、直至n-1階導數(shù)，可得…因非奇異，故無關(guān)，進而根據(jù)判據(jù)1，系統(tǒng)狀態(tài)能控。根據(jù)引理2，當上式行滿秩時，必有行線性【例】設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試分析其能控性。解：不論t取何值，總有因此，該系統(tǒng)是狀態(tài)能控的。4.1.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性線性定常系統(tǒng)是線性時變系統(tǒng)的特例，毫無疑問，所有線性時變系統(tǒng)理論均適用于線性定常系統(tǒng)。將線性定常系統(tǒng)的常數(shù)矩陣和該矩陣與矩陣具有相同的秩。1基本判據(jù)——秩判據(jù)代入可得能控性矩陣線性定常系統(tǒng)狀態(tài)能控的充分必要條件是：系統(tǒng)能控性矩陣行滿秩，即【例】試分析能控規(guī)范Ⅰ型系統(tǒng)的能控性，其中解：系統(tǒng)的能控性矩陣及其秩分別為因能控性矩陣行滿秩，故該能控規(guī)范Ⅰ型系統(tǒng)狀態(tài)能控?！纠吭嚪治瞿芸匾?guī)范Ⅱ型系統(tǒng)的能控性，其中解：系統(tǒng)的能控性矩陣及其秩分別為因能控性矩陣行滿秩，故該能控規(guī)范Ⅱ型系統(tǒng)狀態(tài)能控?！纠吭嚪治黾s當規(guī)范型系統(tǒng)的能控性，其中解：系統(tǒng)的能控性矩陣及其秩分別為因能控性矩陣行滿秩，故該約當規(guī)范型系統(tǒng)狀態(tài)能控。2關(guān)于能控規(guī)范型的判據(jù)能控規(guī)范Ⅰ型系統(tǒng)和能控規(guī)范Ⅱ型系統(tǒng)狀態(tài)能控。3關(guān)于約當規(guī)范型的判據(jù)約當規(guī)范型系統(tǒng)狀態(tài)能控的充分必要條件是：①中每個約當小塊對應的特征值互異；②

中與每個約當小塊最后一行同行的元素不全為零?！纠吭嚪治黾s當規(guī)范型系統(tǒng)的能控性，其中解：系統(tǒng)矩陣含2個約當小塊，即這2個約當小塊對應的特征值互異，分別為-3和-5，又在控制矩陣中，與2個約當小塊的最后一行同行的元素不全為0

故該約當規(guī)范型狀態(tài)能控。實現(xiàn)能控性分析的MATLAB人機交互過程及數(shù)據(jù)4關(guān)于對角線規(guī)范型的判據(jù)對角線規(guī)范型系統(tǒng)狀態(tài)能控的充分必要條件是：①

且互異；②中無全零元素的行。對角線規(guī)范型是約當規(guī)范型的特例，4.1.3線性定常離散系統(tǒng)的能控性線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能控性定義和判據(jù)可從線性定常連續(xù)系統(tǒng)直接移植而來。上面線性連續(xù)系統(tǒng)的所有能控性判據(jù)均適用于線性定常離散系統(tǒng)?！纠吭O離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中：試分析其能控性。本系統(tǒng)為對角線規(guī)范型，因系統(tǒng)矩陣的特征值互異，分別為沒有全0元素的行，故它是狀態(tài)能控的。-3、-2、-5和10，控制矩陣其能控制性矩陣及其秩分別為解：4.1.4系統(tǒng)的輸出能控性

系統(tǒng)的輸出能控性指的是輸出量能通過輸入量實現(xiàn)控制的特性。輸出能控性與狀態(tài)能控性之間無必然因果關(guān)系。1輸出能控性定義假設系統(tǒng)的動態(tài)方程為，如果存在容許控制，

對于任意初始輸出能在有限時區(qū)將其轉(zhuǎn)移到任意的指定輸出，則稱系統(tǒng)在時刻是輸出能控的。

對于任意的初始時刻，如果系統(tǒng)都是輸出能控的，則稱系統(tǒng)是輸出完全能控的。線性定常系統(tǒng)的輸出能控性與初始時刻無關(guān)2．線性定常連續(xù)系統(tǒng)的輸出能控性判據(jù)q輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng)輸出能控的充分必要條件是行滿秩，即式中，稱為系統(tǒng)的輸出能控性矩陣返回本章目錄4.2系統(tǒng)的能觀測性4.2.1

線性時變連續(xù)系統(tǒng)的能觀測性[定義]假設系統(tǒng)狀態(tài)方程與輸出方程分別為對于任意初始狀態(tài)，如果能根據(jù)有限時區(qū)的輸出唯一確定，則稱系統(tǒng)在時刻是狀態(tài)能觀測的。對于任意的初始時刻，如果系統(tǒng)都是狀態(tài)能觀測的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的，簡稱系統(tǒng)狀態(tài)能觀測，記為能觀測。能觀測性分析是從輸出端考察狀態(tài)，自然與輸入無涉。線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能觀測性與初始時刻無關(guān)。[判據(jù)1]線性時變系統(tǒng)在時刻狀態(tài)能觀測的充分必要條件是：在有限時區(qū)，矩陣列線性無關(guān)或格拉姆矩陣非奇異。[判據(jù)2]當和存在n-1階的連續(xù)導數(shù)時，系統(tǒng)在時刻狀態(tài)能觀測的充分必要條件是：列滿秩，即稱為系統(tǒng)的能觀測性矩陣【例】假設系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣與輸出矩陣分別為

試分析能觀測性。解：因，當時故該系統(tǒng)是狀態(tài)能觀測的。4.2.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀測性1．基本判據(jù)—秩判據(jù)線性定常系統(tǒng)狀態(tài)能觀測的充分必要條件是其能觀測性矩陣列滿秩，即【例】試分析能觀測規(guī)范Ⅰ型系統(tǒng)的狀態(tài)能觀測性，其中解：系統(tǒng)的能觀測性矩陣及其秩分別為因能觀測性矩陣列滿秩，故該能觀測規(guī)范Ⅰ型系統(tǒng)狀態(tài)能觀測?！纠吭嚪治瞿苡^測規(guī)范Ⅱ型系統(tǒng)的狀態(tài)能觀測性，其中解：系統(tǒng)的能觀測性矩陣及其秩分別為因能觀測性矩陣列滿秩，故該能觀測規(guī)范Ⅱ型系統(tǒng)狀態(tài)能觀測。2．關(guān)于能觀測規(guī)范型的判據(jù)能觀測規(guī)范Ⅰ型系統(tǒng)和能觀測規(guī)范Ⅱ型系統(tǒng)狀態(tài)能觀測。3．關(guān)于約當規(guī)范型的判據(jù)（1）中每個約當小塊對應的特征值互異；（2）中與每個約當小塊第一列同列的元素不全為零。

約當規(guī)范型系統(tǒng)狀態(tài)能觀測的充分必要條件是：【例4.10】試分析約當規(guī)范型系統(tǒng)的能觀測性，其中

解：系統(tǒng)矩陣含兩個約當小塊，即這兩個約當小塊對應的特征值互異，分別為-3和-5，又在觀測矩陣中，與兩個約當小塊的第一列同列的元素不全為0，故該約當規(guī)范型狀態(tài)能觀測。實現(xiàn)能觀測性分析的MALAB人機交互過程及數(shù)據(jù)4．關(guān)于對角線規(guī)范型的判據(jù)對角線規(guī)范型系統(tǒng)狀態(tài)能觀測的充分必要條件是：且互異；（1)（2）中無全零元素的列。4.2.3線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能觀測性與連續(xù)系統(tǒng)一樣，離散系統(tǒng)的狀態(tài)能觀測性與輸入量無關(guān)。與線性定常連續(xù)系統(tǒng)類似，線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能觀測性與初始采樣節(jié)點無關(guān)。線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)能觀測性定義和判據(jù)可從線性定常連續(xù)系統(tǒng)直接移植而來。上面線性連續(xù)系統(tǒng)的所有能觀測性判據(jù)均適用于線性定常離散系統(tǒng)。

【例】假設離散系統(tǒng)的動態(tài)方程為其中：

試分析其能觀測性。解：本例系統(tǒng)為對角線規(guī)范型，因系統(tǒng)矩陣的特征值互異，分別為-3、-2、-5和10，觀測矩陣沒有全0元素的列，故它是狀態(tài)能觀測的。實現(xiàn)能觀測性分析的MATLAB人機交互過程及數(shù)據(jù)返回本章目錄4.3能控與能觀測規(guī)范型的實現(xiàn)4.3.1能控規(guī)范型的實現(xiàn)1.能控規(guī)范Ⅰ型的實現(xiàn)對于狀態(tài)能控的任意單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)，經(jīng)如下線性變換可將其變換為能控規(guī)范Ⅰ型，即式中：是系統(tǒng)矩陣的特征多項式系數(shù)，即

2.能控規(guī)范Ⅱ型的實現(xiàn)對于狀態(tài)能控的任意單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)，經(jīng)如下線性變換可將其變換為能控規(guī)范Ⅱ型，即式中：

【例4.12】試分析約當規(guī)范型系統(tǒng)的能控性，其中

又當系統(tǒng)狀態(tài)能控時，將其化為兩種能控規(guī)范型。因系統(tǒng)矩陣為約當矩陣，有兩個約當小塊，其對應的特征值互異，分別為-3和-5，又在控制矩陣中，與兩個約當小塊最后一行同行的元素不為0，故該約當規(guī)范型狀態(tài)能控。解：（1）能控性分析（2）將約當規(guī)范型化為能控規(guī)范Ⅰ型變換矩陣為

（3）將約當規(guī)范型化為能控規(guī)范Ⅱ型進行線性變換，可得

實現(xiàn)能控規(guī)范型運算的MATLAB通用程序?qū)崿F(xiàn)能控型的MATLAB過程及數(shù)據(jù)4.3.2能觀測規(guī)范型的實現(xiàn)1.能觀測規(guī)范Ⅰ型的實現(xiàn)對于狀態(tài)能觀測的任意單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)，經(jīng)如下線性變換可將其變換為能觀測規(guī)范Ⅰ型，即式中：對于狀態(tài)能觀測的任意單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)，經(jīng)如下線性變換可將其變換為能觀測規(guī)范Ⅱ型系統(tǒng)，即式中：

意義同前。2.能觀測規(guī)范Ⅱ型的實現(xiàn)【例】試分析約當規(guī)范型系統(tǒng)的能觀測性，其中

又當系統(tǒng)狀態(tài)能觀測時，將其化為兩種能觀測規(guī)范型。解：（1）能觀測性分析因系統(tǒng)矩陣為約當矩陣，有兩個約當小塊，其對應的特征值互異，分別為-3和-5，又在觀測矩陣中，與兩個約當小塊的第一列同列的元素不全為0，故該約當規(guī)范型狀態(tài)能觀測。（2）將約當規(guī)范型化為能觀測規(guī)范Ⅰ型

進行線性變換，可得

（3）將約當規(guī)范型化為能觀測規(guī)范Ⅱ變換矩陣為

系統(tǒng)的特征多項式為進行線性變換，可得

實現(xiàn)能觀測規(guī)范型運算的MATLAB通用程序

實現(xiàn)能觀測型的MATLAB過程及數(shù)據(jù)返回本章目錄4.4線性定常系統(tǒng)能控性與能觀測性在復域[s]中的判據(jù)1．傳遞函數(shù)矩陣與此狀態(tài)空間模型對應的傳遞函數(shù)矩陣為假設系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為仿傳遞函數(shù)矩陣的定義，如下定義u—x之間和x—y之間的傳遞函數(shù)矩陣：以上各個傳遞函數(shù)矩陣的分母多項式相同，均為系統(tǒng)的特征多項式，表明它們具有相同的極點。在以矩陣為根的多項式中，最高次冪系數(shù)為1、階數(shù)最小的多項式稱為的最小多項式。如果伴隨矩陣的各個元素有最大公因子，即則矩陣的最小特征多項式為2．傳遞函數(shù)矩陣的最小多項式形式具有最小特征多項式的傳遞函數(shù)矩陣形式稱為傳遞函數(shù)矩陣的最小多項式形式，即如果線性定常系統(tǒng)是狀態(tài)能控的，那么其輸入到狀態(tài)的傳遞函數(shù)矩陣的最小多項式形式?jīng)]有零點極點相消因子。3．狀態(tài)能控的[s]域判據(jù)沒有零點極點相消因子。4．狀態(tài)能觀測的[s]域判據(jù)如果線性定常系統(tǒng)是狀態(tài)能觀測的，那么其狀態(tài)到輸出的傳遞函數(shù)矩陣的最小多項式形式5．狀態(tài)能控能觀測的[s]域判據(jù)如果線性定常系統(tǒng)是狀態(tài)能控又能觀測的，那么其傳遞函數(shù)矩陣的最小多項式形式（1）對單輸入單輸出系統(tǒng)來說，以上狀態(tài)能控和能觀測的條件是充分必要條件。而且A的特征多項式就是其最小特征多項式。（2）對多輸入多輸出系統(tǒng)來說，以上狀態(tài)能控和能觀測的條件是必要條件而不是充分必要條件。沒有零點極點相消因子?！纠磕诚到y(tǒng)的系數(shù)矩陣分別為解：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為因傳遞函數(shù)有一個零點極點相消因子s+1，故該系統(tǒng)不是狀態(tài)能控又能觀測的。試分析其能控性和能觀測性。x—y之間的傳遞函數(shù)矩陣為因不含零點極點相消因子，而含有零點極點相消因子s+1，故該系統(tǒng)是狀態(tài)能控但不能觀測的。u—x之間的傳遞函數(shù)矩陣為返回本章目錄4.5對偶系統(tǒng)及對偶性原理4.5.1線性定常對偶系統(tǒng)1.對偶性若兩個線性定常系統(tǒng)與的系數(shù)矩陣滿足

則稱這兩個系統(tǒng)互為對偶系統(tǒng)。由對偶性定義知，能控規(guī)范Ⅰ型系統(tǒng)與能觀測規(guī)范Ⅱ型

系統(tǒng)互為對偶系統(tǒng)，能控規(guī)范Ⅱ型系統(tǒng)與能觀測規(guī)范Ⅰ型系統(tǒng)互為對偶系統(tǒng)。（2）因矩陣轉(zhuǎn)置并不改變其特征值，故線性定常對偶系統(tǒng)的特征值相同。（1）線性定常對偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置，即（3）對偶系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣互為轉(zhuǎn)置，即2.對偶系統(tǒng)的特點3．對偶性原理若兩個系統(tǒng)與互為對偶系統(tǒng)，那么（1）的狀態(tài)能控性等價于的狀態(tài)能觀測性。（2）的狀態(tài)能觀測性等價于的狀態(tài)能控性。4.5.2線性時變對偶系統(tǒng)1.對偶性線性時變系統(tǒng)與互為對偶的條件是：2.對偶系統(tǒng)的特點式中，是的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，是

的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。若兩個系統(tǒng)與互為對偶系統(tǒng)，那么3．對偶性原理（1）的狀態(tài)能控性等價于的狀態(tài)能觀測性。（2）的狀態(tài)能觀測性等價于的狀態(tài)能控性。返回本章目錄4.6線性定常系統(tǒng)能控與能觀測結(jié)構(gòu)分解4.6.1能控與不能控結(jié)構(gòu)分解假設系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能控的，其能控性矩陣的秩為那么存在非奇異矩陣，經(jīng)線性變換后，可得從中選前個線性無列向量

以非奇異為準任意選擇經(jīng)上述線性變換后，在維子空間，是狀態(tài)能控的，而在維子空間，是狀態(tài)不能控的。經(jīng)上述按能控性結(jié)構(gòu)進行分解后，Z變量空間的動態(tài)方程又可分解表示為由于選取線性變換矩陣的非唯一性，能控與不能控結(jié)構(gòu)分解的結(jié)果不是唯一的。[A_,B_,C_,Tc,Rc]=ctrbf(A,B,C)MATLAB實現(xiàn)能控與不能控結(jié)構(gòu)規(guī)范分解的命令ctrbf

【例】假設系統(tǒng)的動態(tài)方程為試分析狀態(tài)能控性，若不能控，則進行結(jié)構(gòu)分解，將狀態(tài)向量分解為能控和不能控兩部分。解：（1）能控性分析因，故系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控。

（2）結(jié)構(gòu)規(guī)范分解從中取線性無關(guān)前3列并以非奇異為準則構(gòu)造，得按進行線性變換，可得z變量空間的動態(tài)方程，即

經(jīng)上述線性變換后，在維子空間，是狀態(tài)能控的，亦即能控，而在維子空間，是狀態(tài)不能控的，亦即不能控。4.6.2能觀測與不能觀測結(jié)構(gòu)分解假設系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能觀測的，且那么存在非奇異矩陣，經(jīng)線性變換后，可得從中選取前個線性無關(guān)行向量。以非奇異為準任意選擇。在維子空間，是狀態(tài)能觀測的，而在維子空間，是狀態(tài)不能觀測的。按能觀測性結(jié)構(gòu)進行分解后，變量空間的動態(tài)方程又可分解表示為由于選取線性變換矩陣的非唯一性，能觀測與不能觀測結(jié)構(gòu)分解的結(jié)果不是唯一的。試分析系統(tǒng)的狀態(tài)能觀測性，若不能觀測，則進行結(jié)構(gòu)分解，將狀態(tài)向量分解為能觀測和不能觀測兩部分?！纠考僭O系統(tǒng)的動態(tài)方程為解：（1）能觀測性分析因，故系統(tǒng)狀態(tài)不完全能觀測。（2）結(jié)構(gòu)規(guī)范分解從中取線性無關(guān)前2行并以非奇異為準則構(gòu)造，得按進行線性變換，可得z變量空間的動態(tài)方程，即

在維子空間，是狀態(tài)能觀測的，亦即

能觀測，而在維子空間，是狀態(tài)不能觀測的，亦即不能觀測。

[A_,B_,C_,To,Ro]=obsvf(A,B,C)MATLAB實現(xiàn)能觀測與不能觀測結(jié)構(gòu)規(guī)范分解的命令obsvf

4.6.3能控性與能觀測性結(jié)構(gòu)綜合分解對于既不完全能控也不完全能觀測的系統(tǒng)，可分3步進行結(jié)構(gòu)分解。

當然，也可先按能觀測性進行結(jié)構(gòu)分解，再對能觀測與不能觀測兩個子空間分別按能控性進行結(jié)構(gòu)分解。第2步：對能控子空間按能觀測性結(jié)構(gòu)進行分解。第3步：對不能控子空間按能觀測性進行結(jié)構(gòu)分解。第1步：按能控性結(jié)構(gòu)進行分解，將狀態(tài)空間分解為能控和不能控兩個子空間?！纠磕尘€性定常連續(xù)系統(tǒng)的動態(tài)方程為

試分析系統(tǒng)的能控性和能觀測性，若不能控和不能觀測，則進行結(jié)構(gòu)分解。因，，所以系統(tǒng)狀態(tài)既不完全能控也不完全能觀測。解：（1）能控性和能觀測性分析系統(tǒng)能控性和能觀測性矩陣分別為（2）能控與不能控結(jié)構(gòu)分解從中取線性無關(guān)前2列并以非奇異為準則構(gòu)造，得按進行線性變換，可得變量狀態(tài)空間模型令

（3）將能控子空間分解為能觀測與不能觀測兩子空間

在能控子空間，能觀測性矩陣為因，故只有一個狀態(tài)變量能觀測。從中取第1行并以非奇異為準則構(gòu)造，得

令按進行線性變換，可得w1既能控又能觀測，w2能控但不能觀測。（4）將不能控子空間分解為能觀測與不能觀測兩子空間因，故只有一個狀態(tài)變量能觀測。從中取第1行并以非奇異為準則構(gòu)造，得

在不能控子空間，能觀測性矩陣為令是不能控但能觀測的，而是既不能控又不能觀測的。按進行線性變換

既能控又能觀測，