插值法與數(shù)值微分

插值法與數(shù)值微分第1頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五目錄§2-1線性插值和拋物插值§2-3分段插值法§2-2拉格朗日插值多項(xiàng)式§2-4牛頓插值多項(xiàng)式§2-5三次樣條插值§2-6數(shù)值積分第2頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五引言

插值法在工程及建筑設(shè)計(jì)中應(yīng)用十分廣泛。例如，已知一天24小時(shí)的逐時(shí)室外氣溫、綜合溫度、冷熱負(fù)荷等值，需要知道其他任意時(shí)刻的值，即可應(yīng)用插值計(jì)算求得；又如，我國(guó)工業(yè)企業(yè)采取通風(fēng)和空氣調(diào)節(jié)設(shè)計(jì)規(guī)范中，僅給出了有限個(gè)地區(qū)相應(yīng)有限個(gè)方位的夏季太陽(yáng)輻射熱總強(qiáng)度值，以及透過(guò)窗玻璃的太陽(yáng)總輻射強(qiáng)度值，至于其它任意方位（0-350）的中間值，也要用插值法求得。因此，插值法的研究很有必要。

實(shí)際中，f(x)多樣，復(fù)雜，通常只能觀測(cè)到一些離散數(shù)據(jù)；或者f(x)過(guò)于復(fù)雜而難以運(yùn)算。這時(shí)我們要用近似函數(shù)g(x)來(lái)逼近f(x)。這個(gè)過(guò)程就是曲線擬合。第3頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五常用曲線擬合方法：插值法、最小二乘法

自然地，希望g(x)通過(guò)所有的離散點(diǎn)x0x1x2x3x4xg(x)

f(x)本章學(xué)習(xí)插值法曲線擬合的幾何意義第4頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第5頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五插值函數(shù)的幾何意義yx第6頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§2-1線性插值和拋物插值一、線性插值yxy=??（??）圖2-1第7頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡(jiǎn)單，以直線代替曲線。缺點(diǎn)：精度低，誤差大。改進(jìn)：多用一些點(diǎn)。第8頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五【例】已知某多葉調(diào)節(jié)風(fēng)閥。當(dāng)葉片數(shù)為n=3時(shí)，葉片與氣流方向呈各種角度α?xí)r。某局部阻力系數(shù)β值如下表表示：求當(dāng)α等于30°時(shí)，多葉調(diào)節(jié)風(fēng)閥的局部阻力系數(shù)β的線形插值。并將其代入線性插值公式，有第9頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五幾何意義：通過(guò)三點(diǎn)A、B、C的拋物線代替曲線其中為待定常數(shù)。若將A，B，C三點(diǎn)分別代入上式會(huì)得到一個(gè)有唯一解的三元一次方程，從而即可確定，但求起來(lái)比較麻煩。第10頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五簡(jiǎn)便算法：見(jiàn)下一頁(yè)第11頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五拋物插值公式：（二次插值公式）稍加整理即得拋物插值公式。第12頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五【例3】分別計(jì)算下列各題：

1）利用100和121求平方根115；

2）利用100，121和144求平方根115。

解:用線形插值求解問(wèn)題1）與所求平方根的實(shí)際值10.72387比較，得到了具有三位有效數(shù)字的結(jié)果10.71428。第13頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五用拋物插值求解問(wèn)題2）與平方根實(shí)際值10.7238比較，10.72275551具有四位有效數(shù)字，顯然比線形插值的結(jié)果好。一般地說(shuō)，拋物插值比線形插值近似程度要好些。第14頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五一、拉格朗日插值公式：?jiǎn)栴}提出：這節(jié)就具有一般形式的代數(shù)插值問(wèn)題（即已知函數(shù)

在n+1個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值

求一個(gè)n次多項(xiàng)式，并滿足條件，）來(lái)討論如何構(gòu)造其插值多項(xiàng)式?！?-2拉格朗日插值多項(xiàng)式第15頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第16頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第17頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五這就是所要求的插值多項(xiàng)式，稱為拉格朗日（Lagrange）插值多項(xiàng)式。當(dāng)n=1時(shí)，就得出線形插值多項(xiàng)式，

n=2時(shí)，就得出拋物插值多項(xiàng)式。第18頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五二、拉格朗日插值余項(xiàng)：插值余項(xiàng)：定理：第19頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五證明：當(dāng)X為節(jié)點(diǎn)時(shí)，兩邊皆為0，顯然成立。下設(shè)X不為節(jié)點(diǎn)。作輔助函數(shù)第20頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五即問(wèn)題得證。這個(gè)定理所講的余項(xiàng)用起來(lái)有一定的困難

，因?yàn)閷?shí)際計(jì)算時(shí)，只是給出的一張數(shù)據(jù)表，并未給出具體的解析式子，故并不知道，所以也就無(wú)法得到。第21頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第22頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五【例4】在例3中分別用線性插值和拋物插值計(jì)算了的近似值，試估計(jì)它們的截?cái)嗾`差。第23頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第24頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第25頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五解：記由插值多項(xiàng)式有故根據(jù)余項(xiàng)公式，若能估計(jì)出的上界，那么將有第26頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五三、插值誤差的事后估計(jì)法第27頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五利用余項(xiàng)公式知：第28頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五稍加整理得：這種用計(jì)算的結(jié)果來(lái)估計(jì)誤差的辦法，通常稱為事后估計(jì)，在計(jì)算中是常用的，這種估計(jì)誤差的方法，將貫穿我們計(jì)算方法這門課程的始終。

第29頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五四、拉格朗日插值多項(xiàng)式的優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：拉格朗日插值多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)對(duì)稱，使用方便

缺點(diǎn)：a.不具備遞推性，當(dāng)需要增加節(jié)點(diǎn)時(shí)需要重新計(jì)算；b.龍格（Runge）現(xiàn)象:高次拉格朗日插值多項(xiàng)式穩(wěn)定性差，對(duì)于計(jì)算過(guò)程的舍入誤差十分敏感，當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增多時(shí)，不能保證非節(jié)點(diǎn)處的插值精度得到改善，有時(shí)反而誤差更大。龍格就給出了一個(gè)例子：設(shè)被插值函數(shù)第30頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五取等矩節(jié)點(diǎn)，作拉格朗日插值多項(xiàng)式。當(dāng)n=10時(shí)，函數(shù)及插值多項(xiàng)式的圖形如下所示。由圖可見(jiàn)，在區(qū)間[-0.2，0.2]上比較接近,但在區(qū)間[-1，1]兩端則誤差很大。當(dāng)n增大時(shí)，部分區(qū)間上插值多項(xiàng)式截?cái)嗾`差偏大的現(xiàn)象更重。這種現(xiàn)象稱龍格現(xiàn)象。-11x0.51.01.5y0龍格現(xiàn)象＊為避免龍格現(xiàn)象和不穩(wěn)定，通常限定n≤7，不采用高次插值多項(xiàng)式。第31頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§2-3分段插值法問(wèn)題提出：適當(dāng)提高插值多項(xiàng)式的次數(shù)，可以提高計(jì)算的精確度，但次數(shù)太高又會(huì)產(chǎn)生不好的效果。因?yàn)榇螖?shù)越高，計(jì)算越繁，積累誤差就越大；曲線就會(huì)出現(xiàn)過(guò)多的扭擺。當(dāng)局部插值點(diǎn)有微小變動(dòng)時(shí)，就可能引起曲線大幅度的變化，使計(jì)算很不穩(wěn)定。因此，插值多項(xiàng)式次數(shù)越高，其所求得的插值越顯得不可靠，從而也大大降低了它的工程應(yīng)用價(jià)值。這也就是很少采用拉格朗日插值公式的原因。因此，在工程應(yīng)用中，多采用分段插值法。即將插值區(qū)間分為若干個(gè)小段，在每一小段上使用低階插值——如線形插值或拋物插值。

設(shè)已給出一系列離散結(jié)點(diǎn)：應(yīng)用低階插值的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)靥暨x插值結(jié)點(diǎn)。余項(xiàng)公式說(shuō)明，選取的結(jié)點(diǎn)離插值點(diǎn)越近，誤差就越小，因而插值效果也就越好。因此應(yīng)當(dāng)盡量在插值點(diǎn)的鄰近選取插值結(jié)點(diǎn)。第32頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五一、分段線性插值這種分段低次插值叫做分段線性插值。在幾何上就是用折線代替曲線，故分段線性插值又稱折線插值。第33頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五000（i=1,2，···，n-1）第34頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五二、分段拋物插值以三個(gè)節(jié)點(diǎn)為例，公式為：第35頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五其節(jié)點(diǎn)的選取方法為：-----------式（2.13）式（2.13）稱為分段拋物插值公式。第36頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五解：在各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值為由此求出分段線性插值基函數(shù):第37頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五故有第38頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§2-4牛頓插值多項(xiàng)式對(duì)于n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值問(wèn)題,將n次插值多項(xiàng)式寫成如下形式多項(xiàng)式稱為牛頓(Newton)插值多項(xiàng)式.形如上式的插值為待定系數(shù).第39頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第40頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五一、向前差分與牛頓向前插值公式第41頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五差分表第42頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五將其代入牛頓插值公式，得牛頓向前插值公式，簡(jiǎn)稱前插公式。第43頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五----------表2.3第44頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第45頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五用二次插值得用三次插值得第46頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第47頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五二、向后差分與牛頓向前后插值公式第48頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五【例10】已知函數(shù)表同例9，計(jì)算sin(0.58)，并估計(jì)截?cái)嗾`差.因三階向后差分接近于常數(shù)，故用三次插值進(jìn)行計(jì)算,且于是由后插公式得第49頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第50頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五定義1記稱為關(guān)于xi

的零階均差.稱為關(guān)于xi

,xi+1的一階均差.稱為二階均差.三、差商與牛頓基本插值多項(xiàng)式第51頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五一般地,k階均差為均差有如下基本性質(zhì)：定理1:(1)均差與函數(shù)值的關(guān)系為(2)均差與節(jié)點(diǎn)的排列順序無(wú)關(guān),即第52頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五(4)若函數(shù)在上存在n階導(dǎo)數(shù),且節(jié)點(diǎn)則使得第53頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五54三、均差的計(jì)算方法(表格法):規(guī)定函數(shù)值為零階均差均差表第54頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五解：先構(gòu)造差商表如表2-5所示。由表可以看出牛頓基本插值多項(xiàng)式中各系數(shù)為表2.5第55頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五故用線性插值所得的近似值為用拋物插值所得的近似值為第56頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五§2-5三次樣條插值

樣條這一名詞來(lái)源于工程中的樣條曲線，繪圖員為了將一些指定點(diǎn)（稱作樣點(diǎn)）鏈接成一條光滑曲線，往往用細(xì)長(zhǎng)的木條（稱作繪圖員的樣條）把相近的幾點(diǎn)連接在一起，再逐步延伸連接起全部指定點(diǎn)，使形成一條光滑的樣條曲線，它在連接點(diǎn)處具有連續(xù)曲率，我們對(duì)繪圖員的樣條曲線進(jìn)行數(shù)學(xué)模擬，得出的函數(shù)叫做樣條函數(shù)，它在連接處具有一階和二階連續(xù)微商。第57頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五一、三次樣條插值函數(shù)的定義定義：------(1)第58頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五二、邊界條件問(wèn)題的提出與類型------(2)第59頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五------(3)------(4)第60頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五并且我們不能只對(duì)插值函數(shù)在中間節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)進(jìn)行限制也要對(duì)插值多項(xiàng)式在兩端點(diǎn)的狀態(tài)加以要求也就是所謂的邊界條件:第一類(一階)邊界條件：第二類(二階)邊界條件：第三類(周期)邊界條件：少兩個(gè)條件------(6)------(5)------(7)第61頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五加上任何一類邊界條件(至少兩個(gè))后一般使用第一、二類邊界條件,即------(8)或常用第二類邊界條件第62頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五------(9)第63頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五加以整理后可得------(10)------(11)第64頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五由條件由于以上兩式相等,得第65頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五------(12)第66頁(yè)，共78頁(yè)，2023年，2月20日，星期五如果問(wèn)題要求滿足第一類(一階)邊界條件:------(5)基本方程組(12)化為n-1階方程組------(13)即將(13)式化