羅爾拉格朗日柯西中值定理洛必達法則與導數的應用

本文格式為Word版，下載可任意編輯——羅爾拉格朗日柯西中值定理洛必達法則與導數的應用第3章中值定理與導數的應用

內容概要名稱3.1中值定理名稱羅爾中值定理主要內容（3.1、3.2）條件（1）在[a,b]上連續(xù)；（2）在(a,b)y?f(x)：內可導；（3）結論至少存在一點ξ?(a,b)使得f(a)?f(b)f/(ξ)?0至少存在一點拉格朗日中值定理柯西中值定理（1）在[a,b]上連續(xù)；（2）在(a,b)y?f(x)：內可導??(a,b)使得f/(ξ)?f(b)?f(a)b?af(x)、g(x)：（1）在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內可導；（2）在(a,b)內每點處g/至少存在一點ξ?(a,b)使得(x)?0f/(ξ)f(b)?f(a)?b?ag/(ξ)3.2洛必達法則基本形式00型與?型未定式?通分或取倒數化為基本形式0?型或型；0?0?2）0??型：常用取倒數的手段化為型或型，即：0?00??0????或0????；1/?01/0?1）???型：常用通分的手段化為1）0型：取對數得000取對數化為基本形式?e0?ln0，其中0?ln0?0??????；1/0?00?1/?0或0?ln0?0???2）1型：取對數得1???e??ln1，00?1/?0???；或??ln1???0?1/0?其中??ln1???0?3）?型：取對數得?00?e0?ln?，00?1/?0????；??ln??0???1/0?

其中0?ln??0???課后習題全解

習題3-1

★1.以下函數在給定區(qū)間上是否滿足羅爾定理的所有條件？如滿足，請求出滿足定理的數值

?。

（1）

f(x)?2x2?x?3,[?1,1.5]；

（2）

f(x)?x3?x,[0,3]。

知識點：羅爾中值定理。

思路：根據羅爾定理的條件和結論，求解方程f/(ξ)?0，得到的根ξ便為所求。

2解：（1）∵f(x)?2x?x?3在[?1,1.5]上連續(xù)，在(?1,1.5)內可導，且f(?1)?f(1.5)?0，

∴

得ξ?1?0f(x)?2x2?x?3在[?1,1.5]上滿足羅爾定理的條件。令f?(ξ)?4ξ?（2）∵∴

1?(?1,1.5)即為所求。4f(x)?x3?x在[0,3]上連續(xù)，在(0,3)內可導，且f(0)?f(3)?0，f(x)?x3?x在[0,3]上滿足羅爾定理的條件。令

ξ?0，得ξ?2?(0,3)即為所求。

23?ξf?(ξ)?3?ξ?★2.驗證拉格朗日中值定理對函數

y?4x3?5x2?x?2在區(qū)間[0,1]上的正確性。

f(1)?f(0)1]則，若得到的根ξ?[0,1?032知識點：拉格朗日中值定理。

思路：根據拉格朗日中值定理的條件和結論，求解方程f?(ξ)?可驗證定理的正確性。

1]連續(xù)，在(0,1)內可導，∴y?4x?5x?x?2在解：∵y?f(x)?4x?5x?x?2在[0,1]上滿足拉格朗日中值定理的條件。又區(qū)間[0,f?(?)?32f(1)??2,f(0)??2，f?(x)?12x2?10x?1，

∴要使

f(1)?f(0)5?13?0，只要：???(0,1)，

1?012∴???f(1)?f(0)5?13?(0,1)，使f?(ξ)?，驗證完畢。

1?012★3.已知函數

f(x)?x4在區(qū)間[1,2]上滿足拉格朗日中值定理的條件，試求滿足定理的ξ33。

解：要使

的?。

f(2)?f(1)15153f?(ξ)?，只要4ξ?15???，從而ξ??(1,2)即為滿足定理

2?144★★4.試證明對函數

y?px2?qx?r應用拉格朗日中值定理時所求得的點ξ總是位于區(qū)間的正中間。

證明：不妨設所探討的區(qū)間為[a,b]，則函數y?px2?qx?r在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內可導，從

而有

f(b)?f(a)(pb2?qb?r)?(pa2?qa?r)f?(ξ)?，即2ξ?q?，

b?ab?a解得ξ?b?a，結論成立。2★5.函數

f(x)?x3與g(x)?x2?1在區(qū)間[1,2]上是否滿足柯西定理的所有條件？如滿足，請求出滿

足定理的數值ξ。

知識點：柯西中值定理。

思路：根據柯西中值定理的條件和結論，求解方程

f?(ξ)f(b)?f(a)?，得到的根ξ?g(ξ)g(b)?g(a)便為所求。

解：∵f(x)?x3及g(x)?x2?1在[1,2]上連續(xù)，在(1,2)內可導，且在(1,2)內的每一點處有

g?(x)?2x?0，所以滿足柯西中值定理的條件。要使

得ξf?(ξ)f(2)?f(1)3ξ27?，只要?，解

g?(ξ)g(2)?g(1)2ξ3?14?(1,2)，ξ9即為滿足定理的數值。

★★★6.設

f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內可導，且f(1)?0。求證：

存在ξ?(0,1)，使f?(ξ)??f(ξ)。ξ知識點：羅爾中值定理的應用。思路：從f(ξ)??/f(ξ)ξ結論出發(fā)，變形為

f/(ξ)ξ?f(ξ)?0，構造輔助函數使其導函數為

f/(x)x?f(x)，然后再利用羅爾中值定理，便得結論。構造輔助函數也是利用中值定理解決問題時常

用的方法。

證明：構造輔助函數F(x)?xf(x)，F(xiàn)?(x)?f(x)?xf?(x)

根據題意F(x)?xf(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內可導，且F(1)?1?f(1)?0，

F(0)?0?f(0)?0，從而由羅爾中值定理得：存在ξ?(0,1)，使F?(ξ)?f?(ξ)ξ?f(ξ)?0，即f?(ξ)??f(ξ)。ξ注：輔助函數的構造方法一般可通過結論倒推，如：要使f?(x)??f(x)，只要x

f?(x)1[xf(x)]????[lnf(x)]???[lnx]??[lnxf(x)]??0??0?[xf(x)]??0f(x)xxf(x)?xf(x)

∴只要設輔助函數F(x)★★7.若函數

f(x)在(a,b)內具有二階導函數，且f(x1)?f(x2)?f(x3)

(a?x1?x2?x3?b)，證明：在(x1,x3)內至少有一點ξ，使得f??(ξ)?0。

知識點：羅爾中值定理的應用。思路：連續(xù)兩次使用羅爾中值定理。

證明：∵f(x)在(a,b)內具有二階導函數，∴f(x)在[x1,x2]、[x2,x3]內連續(xù)，

在(x1,x2)、(x2,x3)內可導，又

f(x1)?f(x2)?f(x3)，

∴由羅爾定理，至少有一點ξ1?(x1,x2)、ξ2使得

?(x2,x3)，

f?(ξ1)?0、f?(ξ2)?0；又f?(x)在[ξ1,ξ2]上連續(xù)，在(ξ1,ξ2)內可導，

(x1,x3)，使得f??(ξ)?0。

從而由羅爾中值定理，至少有一點ξ?(ξ1,ξ2)?★★8.若4次方程

a0x4?a1x3?a2x2?a3x?a4?0有4個不同的實根，證明：

4a0x3?3a1x2?2a2x?a3?0

的所有根皆為實根。

知識點：羅爾中值定理的應用。

思路：探討方程根的狀況可考慮羅爾中值定理。證明：令f(x)?a0x4?a1x3?a2x2?a3x?a4

則由題意，∵又

f(x)有4個不同的實數零點，分別設為x1,x2,x3,x4，

f(x)在[x1,x2]、[x2,x3]、[x3,x4]上連續(xù)，在(x1,x2)、(x2,x3)、(x3,x4)上可導，

f(x1)?f(x2)?f(x3)?f(x4)?0，

∴由羅爾中值定理，至少有一點ξ1?(x1,x2)、ξ2使得

?(x2,x3)、ξ3?(x3,x4)

f?(ξ1)?f?(ξ2)?f?(ξ3)?0，即方程4a0x3?3a1x2?2a2x?a3?0至少有3個實根，又

三次方程最多有3個實根，從而結論成立。

★★★9.證明：方程

x5?x?1?0只有一個正根。

知識點：零點定理和羅爾定理的應用。

思路：探討某些方程根的唯一性，可利用反證法，結合零點定理和羅爾定理得出結論。零點定理往往用來

探討函數的零點狀況；羅爾定理往往用來探討導函數的零點狀況。

解：令f(x)?x5?x?1，∵f(x)在[0,1]上連續(xù)，且f(1)?1?0，f(0)??1?0，

∴由零點定理，至少有一點ξ假設x則

5?(0,1)，使得f(ξ)?ξ5?ξ?1?0；

?x?1?0有兩個正根，分別設為ξ1、ξ2（ξ1?ξ2），

f(x)在在[ξ1,ξ2]上連續(xù)，在(ξ1,ξ2)內可導，且f(ξ1)?f(ξ2)?0，

從而由羅爾定理，至少有一點ξ∴方程x5?(ξ1,ξ2)，使得f?(ξ)?5ξ4?1?0，這不可能。

?x?1?0只有一個正根。

f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)的導數，說明方程f?(x)?0有幾個實根，

★★10.不用求出函數

并指出它們所在的區(qū)間。

知識點：羅爾中值定理的應用。

思路：探討導函數的零點，可考慮利用羅爾中值定理。

解：∵f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)在[1,2]、[2,3]、[3,4]上連續(xù)，

在(1,2)、(2,3)、(3,4)內可導，且∴由羅爾中值定理，至少有一點ξ1使得

f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?0，

?(1,2)、ξ2?(2,3)、ξ3?(3,4)，

f?(ξ1)?f?(ξ2)?f?(ξ3)?0，即方程f?(x)?0至少有三個實根，

f?(x)?0為三次方程，至多有三個實根，

又方程∴

f?(x)?0有3個實根，分別為ξ1?(1,2)、ξ2?(2,3)、ξ3?(3,4)。

★★★11.證明以下不等式：

（1）

arctana?arctanb?a?b；（2）當x?1時，ex?ex；

。

（3）設x11?0，證明ln(1?x)?x；（4）當x?0時，ln(1?)?x1?x知識點：利用拉格朗日中值定理。

思路：用拉格朗日中值定理證明不等式的過程：尋覓函數y?f(x)，通過式子f?(ξ)?（或

f(b)?f(a)b?af(b)?f(a)?f?(ξ)(b?a)）證明的不等式。

證明：（1）令f(x)?arctanx，∵f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內可導，

∴由拉格朗日中值定理，得

arctana?arctanb?f?(ξ)(b?a)?1b?a?b?a21?ξ。

（2）令

f(x)?ex(x?1)，∵f(x)在[1,x]上連續(xù)，在(1,x)內可導，

x∴由拉格朗日中值定理，得e∵1??e?eξ(x?1)，

ξ?x，∴ex?e?eξ(x?1)?e(x?1)?ex?e，從而當x?1時，ex?ex。

（3）令

f(x)?ln(1?x)(x?0)，∵f(x)在[0,x]上連續(xù)，在(0,x)內可導，

∴由拉格朗日中值定理，得ln(1?x)?ln(1?x)?ln(1?0)?f?(ξ)(x?0)?1x，1?ξ∵0?ξ?x，∴

1x?x，即x?0，ln(1?x)?x。1?ξ（4）令

f(x)?lnx(x?0)，∵f(x)在[x,1?x]上連續(xù)，在(x,1?x)內可導，

∴由拉格朗日中值定理，得ln(1?11)?ln(1?x)?lnx?f?(ξ)(1?0)?xξ。

，

∵x?ξ?1?x，∴

1111?，即當x?0時，ln(1?)?x1?xξ1?x★★12.證明等式：2arctanx?arcsin2x?π(x?1).

1?x2知識點：f?(x)?0?f(x)?C（C為常數）。

思路：證明一個函數表達式f(x)恒等于一個常數，只要證f?(x)?0

2x(x?1)，21?x當x?1時，有2arctan1?arcsin1?π；當x?1時，有

證明：令f(x)?2arctanx?arcsin2f?(x)??21?x12(1?x2)?2x?2x212?2x2????22222(1?x)1?x1?x(1?x)2x21?()1?x2；

22?(?)?0，∴f(x)?C?f(1)??1?x21?x22x?π(x?1)成立。∴2arctanx?arcsin1?x2?★★★13.證明：若函數

f(x)在(-?,??)內滿足關系式f?(x)?f(x)，且f(0)?1，則f(x)?ex。

知識點：f?(x)?0?f(x)?C

思路：由于f(x)?ex?e?xf(x)?1，所以當設F(x)?e?xf(x)時，只要證F?(x)?0即可證明：構造輔助函數F(x)?e?xf(x)，

則F?(x)?e∴F(x)?e∴

?x?xf?(x)?e?xf(x)?0；

f(x)?C?F(0)?1

f(x)?ex。

f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內有二階導數，且有

f(a)?f(b)?0,f(c)?0(a?c?b)，

★★★14.設函數

試證在(a,b)內至少存在一點ξ，使f??(ξ)?0。

知識點：拉格朗日中值定理的應用。思路：關于導函數f(n)(ξ)在一點處符號的判斷，根據已知條件和拉格朗日中值定理的結論，逐層分析

各層導函數改變量和自變量改變量的符號，得出結論。

證明：∵f(x)在[a,c]、[c,b]上連續(xù)，在(a,c)、(c,b)內可導，

∴由拉格朗日中值定理，至少有一點ξ1?(a,c)、ξ2使得又

?(c,b)，

f?(ξ2)?f(c)?f(b)f(a)?f(c)?0，f?(ξ1)??0；

c?ba?cf?(x)在[ξ1,ξ2]上連續(xù)，在(ξ1,ξ2)內可導，從而至少有一點ξ?(ξ1,ξ2)，

使得

f??(ξ)?f?(ξ2)?f?(ξ1)?0。

ξ2?ξ1★★★15.設

?f(x)在[a,b]上可微，且f??(a)?0,f??(b)?0,f(a)f(b?)/試證明f(x)在A,(a,b)內至少有兩個零點。

知識點：極限的保號性、介值定理、微分中值定理。

思路：要證明在某個區(qū)間(a,b)內導函數至少存在兩個零點，只要證該函數在[a,b]上有三個零點，即可

以利用羅爾中值定理，得出結論。

證明：∵f??(a)?lim?x?af(x)?f(a)?0，由極限的保號性知，

x?a???(a,δ1)（不妨設δ1?b-a2），對于?x???(a,δ1)，均有

f(x)?f(a)?0，

x?a特別地，?x1???(a,δ1)，使得

f(x1)?f(a)?0，∴得f(x1)?f(a)?A；

x1?ab-a2），使得

同理，由

f??(b)?0,得?x2???(b,δ2)（δ2?f(x2)?f(b)?0，

x2?b從而得又∵∵

f(x2)?f(b)?A；

f(x)在[x1,x2]上連續(xù)，∴由介值定理知，至少有一點ξ?(x1,x2)使得f(ξ)?A；

f(x)在[a,ξ]、[ξ,b]上連續(xù)，在(a,ξ)、(ξ,b)內可導，且f(a)?f(ξ)?f(b)?A，

∴由羅爾中值定理知，至少有一點ξ1?(a,ξ)、ξ2★★★16.設

?(ξ,b)，使得f?(ξ1)?f?(ξ2)?0，結論成立。

f(x)在閉區(qū)間[a,b]上滿足f??(x)?0，試證明存在唯一的c,a?c?b，使得

f?(c)?f(b)?f(a)。

b?a知識點：微分中值定理或函數單調性的應用。

思路：證明唯一性的題目或考慮利用反證法；或正面論述。此題用反證法和羅爾中值定理，或利用函數的

單調性得出結論。

證明：存在性。

∵

f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內可導，∴由拉格朗日中值定理知，至少有一點c?(a,b)，使得

f(b)?f(a)。

b?af(b)?f(a)，

b?af?(c)?唯一性的證明如下：

方法一：利用反證法。假設另外存在一點d?(a,b)，使得f?(d)?又∵

f?(x)在[c,d]（或[d,c]）上連續(xù)，在(c,d)（或(d,c)）內可導，

?(c,d)?(a,b)（或ξ?(d,c)?(a,b)），使得f??(ξ)?0，

∴由羅爾中值定理知，至少存在一點ξ這與

f(x)在閉區(qū)間[a,b]上滿足f??(x)?0矛盾。從而結論成立。

方法二：∵f(x)在閉區(qū)間[a,b]上滿足f??(x)?0，∴f?(x)在[a,b]單調遞增，

從而存在存在唯一的c?(a,b)，使得

★★★17.設函數

f?(c)?f(b)?f(a)。結論成立。

b?ay?f(x)在x?0的某個鄰域內具有n階導數，且

f(0)?f?(0)???f(n?1)(0)?0,試用柯西中值定理證明：

f(x)f(n)(θx)?(0?θ?1)。nn!x知識點：柯西中值定理。

思路：對f(x)、g(x)?xn在[0,x]上連續(xù)使用n次柯西中值定理便可得結論。證明：∵f(x)、g(x)?xn及其各階導數在[0,x]上連續(xù)，在(0,x)上可導，

且在(0,x)每一點處，g(n?1)(x)?n!x?0，又f(0)?f?(0)???f(n?1)(0)?0,，

∴連續(xù)使用n次柯西中值定理得，

f(n?1)(ξn?1)?f(n?1)(0)f(x)f(x)?f(0)f?(?1)f?(ξ1)?f?(0)?n?????xnx?g(0)n?1n?1nξ1n?1?g?(0)n!ξn?1?g(n?1)(0)f(n)(θx)?(0?θ?1)，從而結論成立。

n!習題3-2

★★1.用洛必達法則求以下極限：

1ln(1?)lnsinxsinx?sinae?ex；

（1）lim；（2）lim；（3）lim；（4）lim2πx?ax?0x???arccotxx-asinxx?(π-2x)2x?xlntan7xtanx?xx3?1?lnxlim（5）lim；（6）lim；（7）

x??0lntan2xx?0x-sinxx?1ex?e1；（8）limxcotx?02x；

（9）limxx?02ex2；（10）limx(ex??1x11x1lim(?x)；lim(?)；?1)；（11）（12）x?0xx?1x-1lnxe?1ax1tanxex?ln(1?x)?1sinxx；（15）lim?()；（16）lim（13）lim(1?)；（14）lim；

x??x?0x?0?x?0xxx-arctanx1x1n22x(ln)lim(ntan)。lim(1?sinx)；lim(x?1?x)（17）（18）lim；（19）；（20）?x?0x???x?0?n???xn知識點：洛必達法則。

思路：注意洛必達法則的適用范圍。該法則解決的是未定型的極限問題，基本形式為：

1x100型與

?型未定?式，對于這種形式可連續(xù)使用洛必達法則；對于???型與0??型的未定式，可通過通分或者取倒數的形式化為基本形式；對于0型、1型與?型的未定式，可通過取對數等手段化為未定式；此外，還可以結合等價無窮小替換、兩個重要的極限、換元等手段使問題簡化。

0?0ex?e?xex?e?x?lim?2；解：（1）limx?0x?0sinxcosx（2）limsinx?sinacosx?lim?cosa；

x?ax?ax?a1cosxlnsinxsinx?limcosx?lim?sinx??1；

（3）lim?lim2ππππ88x?(π?2x)x?4(2x?π)x?4(2x?π)x?222211?ln(1?)1?x2x(x?1)x?lim?lim?1；（4）limx???arccotxx???x???x(x?1)1?1?x27sec27xlntan7x7cos22x?tan2xtan7x?lim?lim?1；（5）limx??0lntan2xx??02sec22xx??0tan7x?2cos27xtan2x（6）limx?1x?1?lnx?limxx?1e?e33x2?1x?4；

eextanx?xsec2x?12tanxsec2x2?lim?lim?lim?2；（7）lim3x?0x?sinxx?01?cosxx?0x?0sinxcosx（8）limxcotx?02x?limx11?lim?；

x?0tan2xx?02sec22x2111（9）limxx?02ex22x21?e23ex2x?lim?lim?limex???；

x?01x?0x?02?x2x31u?1x2（或解為：limxx?02x2eeueu?lim?lim???）u???uu???11x11?2ex11(e?1)x?lim?limex?1；（10）limx(ex?1)?limx??x??x??x??11?2xx11e1/x?11/xx?lim?1）（或解為：∵當x??時，e?1~，∴l(xiāng)imx(e?1)?limx??x??x??1/x1/xx1x11ex?1?x(e?1)~xex?1?xex?11（11）lim(?x)?lim?lim?lim?；

x?0xx?0x?02xe?1x?0x(ex?1)x22x

★★4.求函數

f(x)?lnx按(x?2)的冪展開的帶有皮亞諾型余項的n階泰勒公式。

知識點：泰勒公式。

思路：直接展開法，解法同1；或者間接展開法，f(x)為對數函數時，尋常利用已知的結論

n?1x2x3nx????(?1)?o(xn?1)。ln(1?x)?x?23n?1方法一：（直接展開）f?(x)?f???(x)?2x3，

1111，f?(2)?；f??(x)??2，f??(2)??；x2x41(n?1)!(n)n?1(n?1)!f???(2)?；?,f(n)(x)?(?1)n?1f(2)?(?1)，；nn4x2將以上結果代入泰勒公式，得

f?(2)f??(2)f???(2)f(4)(2)23lnx?f(2)?(x?2)?(x?2)?(x?2)?(x?2)4??1!2!3!4!111f(n)(2)3(x?2)???(x?2)n?o((x?2)n)?ln2?(x?2)?3(x?2)2?3223?2n!?(?1)n?11(x?2)n?o((x?2)n)。nn?2x?2x?21x?22)?ln2??()22221x?231x?2nx?2n11?()???(?1)n?1()?o(())?ln2?(x?2)?3(x?2)232n2222113n?1?(x?2)???(?1)(x?2)n?o((x?2)n)。3n3?2n?21★★5.求函數f(x)?按(x?1)的冪展開的帶有拉格朗日型余項的n階泰勒公式。

x方法二：f(x)?lnx?ln(2?x?2)?ln2?ln(1?知識點：泰勒公式。

思路：直接展開法，解法同1；或者間接展開法，f(x)為有理分式時尋常利用已知的結論

11n?1?1?x?x2???xn?x。n?21?x(1??)方法一：f?(x)??1x2，

f?(?1)??1；f??(x)?2x3，

f??(?1)??2；f???(x)??6x4，

f???(?1)??6?,f(n)(x)?(?1)n將以上結果代入泰勒公式，得

n!n!(n)nf(?1)?(?1)??n!；，n?1n?1x(?1)1f?(?1)f??(?1)f???(?1)?f(?1)?(x?1)?(x?1)2?(x?1)3??x1!2!3!f(n)(?1)f(n?1)(ξ)n?(x?1)?(x?1)n?1

n!(n?1)!(?1)n?1??1?(x?1)?(x?1)?(x?1)???(x?1)?n?2(x?1)n?1（ξξ23n介于x與?1之間）。

方法二：

11????[1?(x?1)?(x?1)2?(x?1)3???(x?1)nx1?(x?1)(?1)n?1(?1)n?123nn?1?n?2(x?1)]??1?(x?1)?(x?1)?(x?1)???(x?1)?n?2(x?1)n?1

ξξ（ξ介于x與?1之間）。

★★6.求函數

y?xex的帶有皮亞諾型余項的n階麥克勞林展開式。

知識點：麥克勞林公式。

思路：直接展開法，解法同1；間接展開法。f(x)中含有e時，尋常利用已知結論

xx2xne?1?x?????o(xn)。

2!n!x方法一：y??(x?1)ex，y?(0)?1；y???(x?2)ex，y??(0)?2；?,y(n)?(x?n)ex，

y(n)(0)?n，將以上結果代入麥克勞林公式，得

f?(0)f??(0)2f???(0)3f(n)(0)nxe?f(0)??x?x?x???x?o(xn)

1!2!3!n!xx3xnn?x?x?????o(x)。

2!(n?1)!2x2xn?1x3n?12方法二：xe?x(1?x?????o(x))?x?x???

2!(n?1)!2!xxnn?o(x)。?(n?1)!1★★7.驗證當0?x?2x2x3?時，按公式e?1?x?26x計算e的近似值時，所產生的誤差小于

x0.01，并求e的近似值，使誤差小于0.01。

知識點：泰勒公式的應用。

思路：利用泰勒公式估計誤差，就是估計拉格朗日余項的范圍。

解：

111eξ4e4211?0.646。；e?1???R3(x)?x?x???0.01428484!4!4!2192?5，求ln1.2的近似值，并估計其誤差。

12★★8.用泰勒公式取n知識點：泰勒公式的應用。解：設f(x)?ln(1?x)，則

f?(0)f??(0)2f(5)(0)5f(x)?f(0)?x?x???x

1!2!5!x2x5????x?52誤差為：

0.220.230.240.25????0.1823；其，從而ln1.2?f(0.2)?0.2?234510.266。R5(x)??x??0.000010766(1?ξ)6★★★9.利用函數的泰勒展開式求以下極限：

12x?1?x23232（1）lim(x?3x?x?x)；（2）lim2x?0x???(cosx?ex)sinx21?。

知識點：泰勒展開式的應用。

思路：間接展開法。利用已知的結論將函數展開到適當的形式，然后利用極限的運算性質得到結果。

31解：（1）lim(x?3x?x?x)?lim[x(1?2)3?x(1?)2]

x???x???xx3321111(?1)1311111?lim[x(1??2?o(2))]?x(1??(?)?22?2?o(2))]x???3x2x2xxx1911?lim(??o())?。x???28xx2111?x2?1?x21?x2?(1?x2)222（2）lim?lim2x2x2x?0x?0(cosx?e)sinx(cosx?e)x21

11(?1)14121222x?o(x4)1?x?(1?x?)x4?o(x4)18222。?lim?lim??4x?0x?012x23x(1??o(x2)?(1?x2?o(x2)))x2??o(x4)22x2?ln(1?x)?！铩?0.設x?0，證明：x?2知識點：泰勒公式。

思路：用泰勒公式證明不等式是常用的一種方法。特別是不等式的一邊為某個函數，另一邊為其冪級數展

開的一部分時，可考慮用泰勒公式。

x2x3解：ln(1?x)?x??23(1?ξ)3x3（ξ介于0與x之間），∵x?0，∴?0，33(1?ξ)，結論成立。

x2x3x2從而ln(1?x)?x???x?23(1?ξ)32（也可用§3.4函數單調性的判定定理證明之）

★★11.證明函數

f(x)是n次多項式的充要條件是f(n?1)(x)?0。

知識點：麥克勞林公式。

思路：將f(x)依照麥克勞林公式形式展開，根據已知條件，得結論。解：必要性。易知，若f(x)是n次多項式，則有f(n?1)(n?1)(x)?0。

f??(0)x2f(x)?f(0)?f?(0)x?2!

充分性。∵

f(x)?0，∴f(x)的n階麥克勞林公式為：

f??(0)x2f???(0)x3f(n)(0)xnf(n?1)(ξ)xn?1??????f(0)?f?(0)x?2!3!n!(n?1)!f???(0)x3f(n)(0)xn????，即f(x)是n次多項式，結論成立。

n!3!★★★12.若

f(x)在[a,b]上有n階導數，且f(a)?f(b)?f?(b)?f??(b)???f(n?1)(b)?0

證明在(a,b)內至少存在一點ξ，使

f(n)(ξ)?0(a?ξ?b)。

知識點：泰勒中值定理、拉格朗日中值定理。思路：證明f(n)(ξ)?0(a?ξ?b)，可連續(xù)使用拉格朗日中值定理，驗證f(n?1)(x)在[a,b]上滿足

f(x)在x?b處的泰勒展開式及已知條件得結論。

羅爾中值定理；或者利用泰勒中值定理，根據

方法一：∵f(x)在[a,b]上可導，且f(a)?f(b)，

∴由羅爾中值定理知，在(a,b)內至少存在一點ξ1，使得∵

f?(ξ1)?0；

f?(x)在[ξ1,b]?[a,b]上可導，且f?(b)?0，

∴由羅爾中值定理知，在(ξ1,b)依次類推可知，

?(a,b)內至少存在一點ξ2，使得f??(ξ2)?0；

f(n?1)(x)在[ξn?1,b]?[a,b]上可導，且f(n?1)(ξn?1)?f(n?1)(b)?0，

f(n)(ξ)?0。

∴由羅爾中值定理知，在(ξn?1,b)?(a,b)內至少存在一點ξ，使得

方法二：根據已知條件，f(x)在x?b處的泰勒展開式為：

f??(b)f(n?1)(b)f(n)(ξ)2n?1f(x)?f(b)?f?(b)(x?b)?(x?b)???(x?b)?(x?b)n2!(n?1)!n!f(n)(ξ)?(x?b)n(x?ξ?b)，

n!∴

f(n)(ξ)(a?b)n?0，從而得f(n)(ξ)?0，結論成立。f(a)?n!內容概要名稱3.4函數的單調性與曲線的凹凸性主要內容（3.4）函數單調性的判別法：設（1）若在(a,b)內（2）若在(a,b)內y?f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內可導，則f?(x)?0，則y?f(x)在[a,b]上單調增加；f?(x)?0，則y?f(x)在[a,b]上單調減少。f(x)在區(qū)間I內連續(xù)，假使對I上任意兩點x1,x2，恒有1）曲線凹凸性的概念：設f(x1?x2f(x1)?f(x2))?22x1?x2f(x1)?f(x2))?22，則稱f(x)在I上的圖形是凹的；假使恒有f(，則稱f(x)在I上的圖形是凸的。2）拐點的概念：連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點成為曲線的拐點。曲線凹凸性的判別法：設（1）若在(a,b)內（2）若在(a,b)內f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內具有一階和二階導數，則f??(x)?0，則y?f(x)在[a,b]上的圖形是凹的；f??(x)?0，則y?f(x)在[a,b]上的圖形是凸的。

習題3-4

★1.證明函數

y?x?ln(1?x2)單調增加。

知識點：導數的應用。

思路：利用一階導數符號判斷函數的單調性是常用的方法。在某個區(qū)間I上，f?(x)?0（f?(x)?0），

則

f(x)在I單調增加（減少）。

2x(1?x)2??0（僅在x?1處y??0）證明：∵y??1?，

1?x21?x2∴

y?x?ln(1?x2)在(??,??)內是單調增加的。

f(x)?x?sinx(0?x?2π)的單調性。

★2.判定函數

解：∵f?(x)?1?cosx?0（僅在x?π處f?(x)?0），

∴

f(x)?x?sinx(0?x?2π)是單調增加的。

1382x?x2?3x?1；（2）y?2x?(x?0)；（3）y?x?3x23x3★★3.求以下函數的單調區(qū)間：

（1）

y?；

（4）

y?ln(x?1?x2)；（5）y?(1?x)x；（6）y?2x2?lnx。

知識點：導數的應用。

思路：利用一階導數符號判斷函數的單調性。求函數的單調區(qū)間，用導數為零的點及不可導點，將定義域

劃分成若干個區(qū)間，然后在每個區(qū)間上判斷函數的單調性；假使劃分定義域的點有兩個或以上，可列表探討，使得思路更明了一些。

解：（1）y?得x113x?x2?3x?1的定義域為(??,??)；令y??x2?2x?3?0，3??1，x2?3。列表探討如下：

xf?(x)f(x)由上表可知，y(??,?1)?1(?1,3)－↘30(3,??)?↗0?↗13x?x2?3x?1在(??,?1)、(3,??)內嚴格單增，而在(?1,3)內嚴格單減。38（2）在(0,??)內，令y??2?2?0，得x?2；

x?當x?(0,2)時，有∴

y??0；當x?(2,??)時，有y??0；

y?2x?8(x?0)在(0,2)內嚴格單增，在(2,??)內嚴格單減。x322?12(x?1)的定義域為(??,??)；令y???x3??0，

3333x223（3）y?x?x3得x

?1；x?0為不可導點。列表探討如下：

xf?(x)f(x)由上表可知，

(??,0)00(0,1)－↘1(1,??)?↗0?↗y?2x?3x23在(??,0)、(1,??)內嚴格單增，而在(0,1)內嚴格單減。

（4）

y?ln(x?1?x2)的定義域為(??,??)，

1x?1?x2y??(1?x1?x2)?11?x2?0，

∴

y?ln(x?1?x2)在(??,??)內嚴格單增。

y?(1?x)x的定義域為[0,??)，∵y??(x?x)??1?32（5）

3x?0，2∴

y?(1?x)x在[0,??)上嚴格單增。

2114x2?1?0，得x?（6）y?2x?lnx的定義域為(0,??)，令y??4x??2xx11)時，y??0；當x?(,??)時，y??0；22112∴y?2x?lnx在(0,)內嚴格單增，在(,??)內嚴格單減。

22當x?(0,★★4.證明以下不等式：

；

1x?1?x；（2）當x?4時，2x?x2；2π11?x)?arctanx；（4）0?x?時，tanx?x?x3。（3）當x?0時，(1?x)ln(23（1）當x?0時，1?知識點：導數的應用或者泰勒公式的應用。

思路：利用泰勒公式可以證明一些不等式（見習題3-3第10題），利用函數單調性也是證明不等式常用的

方法。

解：（1）方法一：令f(x)?1?則當x1x?1?x，2?0時，f?(x)?1111??(1?)?0，221?x21?x∴

f(x)?1?1x?1?x在[0,??)上嚴格單增；從而f(x)?f(0)?0，2即1?1x?1?x，結論成立。2方法二：由泰勒公式，得

111f(x)?1?x?1?x?1?x?(1?x?222∴

x28(1?ξ)32)?x28(1?ξ)32（0?ξ?x），

f(x)?x28(1?ξ)32?0，從而得1?1x?1?x，結論成立。2（2）方法一：令

f(x)?2x?x2，則當x?4時，f?(x)?2xln2?2x，

f??(x)?2xln22?2?f??(4)?16ln22?2?(ln42)2?2?(lne2)2?2?0，

∴

f?(x)?2xln2?2x在(4,??)內嚴格單增，

f?(x)?2xln2?2x?f?(4)?16ln2?4?4(ln16?1)?0，

從而∴

f(x)?2x?x2在(4,??)內嚴格單增，在(4,??)內f(x)?2x?x2?f(4)?8?0，

x∴2?x2，結論成立。

注：利用f??(x)的符號判斷f?(x)的單調性，利用f?(x)的單調性判斷其在某區(qū)間上的符號，從而得出

f(x)在某區(qū)間上的單調性，也是常用的一種方法。

方法二：令f(x)?xln2?2lnx，

當x∴

?4時，f/(x)?ln2?2111?ln2??ln4??0，x222f(x)?xln2?2lnx在(4,??)內嚴格單增，

f(x)?xln2?2lnx?f(4)?4ln2?2ln4?0，從而有，xln2?2lnx，

xln2∴∴e?e2lnx，即2x?x2，結論成立。f(x)?(1?x)ln(1?x)?arctanx，

1?0（僅在x?0時，f?(x)?0），21?x（3）令則當x∴

?0時有f?(x)?ln(1?x)?1?f(x)在[0,??)上嚴格單增，從而有f(x)?f(0)?0，

x)ln(1?x)?arctanx，結論成立。

?tanx?x，則當0?x?π22時，有g?(x)?secx?1?tanx?02即(1?（4）令g(x)ππ?tanx?x在(0,)內嚴格單增，∴g(x)?g(0)?0，即在(0,)內tanx?x；

2213再令f(x)?tanx?x?x，

3π2222則當0?x?時，f?(x)?secx?1?x?tanx?x?0，

213π從而f(x)?tanx?x?x在(0,)內嚴格單增，∴f(x)?f(0)?0，

32π13即在(0,)內tanx?x?x，結論成立。

23★★★5.試證方程sinx?x只有一個實根。

從而g(x)知識點：導數的應用。

思路：利用導數的符號判斷函數的單調性，進而探討方程的根是常用的方法。解：易知，sin0?0，即x?0是方程的一個根；

令∴

f(x)?x?sinx，則f?(x)?1?cosx?0（僅在x?2kπ(k?Z)處f?(x)?0），f(x)?x?sinx在(??,??)內嚴格單增，從而f(x)只有一個零點，

x?x只有一個實根。

即方程sin★★6.單調函數的導函數是否必為單調函數？研究例子：

f(x)?x?sinx。

知識點：導數的應用。

思路：利用一階導數符號判斷單調性，從而證明結論。解：單調函數的導函數不一定為單調函數。

∵∴而

f?(x)?1?cosx?0（僅在x?(2k?1)π(k?Z)處f?(x)?0），f(x)?x?sinx在(??,??)內嚴格單增；

f?(x)?1?cosx在(2kπ,(2k?1)π)內嚴格單減，在((2k?1)π,2kπ)內嚴格單增，從而在

(??,??)上不單調。

★★7.求以下函數圖形的拐點及凹凸區(qū)間：

（1）

y?x?1x(x?0)；（2）y?x?2；（3）y?xarctanx；xx?1（4）

y?(x?1)4?ex；（5）y?ln(x2?1)；（6）y?earctanx。

知識點：導數的應用。

思路：利用二階導數的符號判斷函數的凹凸性；求拐點和凹凸區(qū)間，用二階導數為零的點及不可導點，將

定義域劃分成若干個區(qū)間，然后在每個區(qū)間上判斷函數的凹凸性；假使劃分定義域的點有兩個或以上，可列表探討，使得思路更明了一些。

解：（1）y??1?12??y?，，∵當x?0時，y???0，22xx1在[0,??)上為凹函數，沒有拐點。xx1)?(1,??)；（2）y?x?2的定義域為(??,?1)?(?1,x?1∴

y?x?1?x22x(x2?3)，y???，令y???0，得x?0；y??1?2223(x?1)(x?1)當x??1或0?x?1時，y???0；當?1?x?0或x?1時，y???0；

∴

y?x?x的凹區(qū)間為(?1,0)、(1,??)，凸區(qū)間為(??,?1)、(0,1)；∴拐點為(0,0)。2x?1x2??y??0，，

1?x2(1?x2)2（3）∴

y?xarctanx的定義域為(??,??)，y??arctanx?y?xarctanx在整個定義域上為凹函數，沒有拐點。

（4）

y?(x?1)4?ex的定義域為(??,??)，y??4(x?1)3?ex，

y???12(x?1)2?ex?0，∴y?(x?1)4?ex在整個定義域上為凹函數，沒有拐點。

2x2(1?x2)（5）y?ln(x?1)的定義域為(??,??)，y??，y???，

1?x2(1?x2)22令y???0，得x1,2??1；列表探討如下：

xf??(x)f(x)由上表可知，y及(1,ln2)。

(??,?1)－?1(?1,1)1(1,??)－0??0???ln(x2?1)的凸區(qū)間為(??,?1)、(1,??)，凹區(qū)間為(?1,1)，拐點為(?1,ln2)（6）

y?earctanxearctanxearcanx(1?2x)的定義域為(??,??)，y??，y???，2221?x(1?x)111

；當x?時，y???0；當x?222

時，

令y???0，得x?y???0；

1∴

y?earctanx111arctan2)。的凹區(qū)間為(??,]，凸區(qū)間為[,??)，拐點為(,e222★★★8.利用函數圖形的凹凸性，證明不等式：

ex?ey（1）?e2x?y2(x?y)；（2）cosx?ycosx?cosyππ?,?x,y?(?,)。2222知識點：函數凹凸性的概念。

思路：利用函數凹凸性的概念可證明一些不等式，特別是不等式中含不同變量的線性組合及其函數值的線

性組合時可考慮利用函數的凹凸性。

xxx證明：（1）令y?e，∵y???e?0，∴y?e在(??,??)內是凹的。

x?y2ex?ey利用凹函數的定義，?x,y?(??,??)(x?y)，有?e2（2）令

，結論成立。

ππππ,)內，y????cosx?0，∴y?cosx在(?,)內是凸的。利2222ππx?ycosx?cosy?用凸函數的定義，?x,y?(?,)(x?y)，有cos，結論成立。

2222x?1★★★9.求曲線y?的拐點。2x?1y?cosx，∵在(?知識點：導數的應用。思路：同7。

x?11?2x?x2解：y?2的定義域為(??,??)，y??，

x?1(1?x2)2(2?2x)(1?x2)2?(1?2x?x2)?4x(1?x2)2(x?1)(x2?4x?1)y????2423(1?x)(1?x)令y???0，得x1??1，x2,3?2?3；現(xiàn)列表探討如下：

x(??,?1)－?1(?1,2?3)2?3(2?3,2?3)2?3－(2?3,??)f??(x)0?00?f(x)???1?38?43?由上表可知，拐點為(?1,?1)、(2?3,1?38?43)、(2?3,)。

★★10.問

a及b為何值時，點(1,3)為曲線y?ax3?bx2的拐點？

知識點：導數的應用。

思路：拐點尋常是二階導數的零點或者是不可導點。又高階可導的函數的拐點一定是二階導數的零點。解：y?ax?bx的定義域為(??,??)，y??3ax?2bx，y???6ax?2b；

322將(1,3)代入將(1,3)代入由①②得，ay?ax3?bx2中，得：3?a?b①；

y???6ax?2b中，得：0?6a?2b②；??39，b?。22★★★11.試確定曲線

y?ax3?bx2?cx?d中的a、b、c、d，使得在x??2處曲線有水平切線，

(1,?10)為拐點，且點(?2,44)在曲線上。

知識點：導數的幾何意義及導數的應用。

思路：利用可導函數的拐點一定是二階導數的零點，在某點處的導數值等于該點處切線的斜率，以及已知

條件，建立方程組，確定函數中的待定參數。

解：y??3ax2?2bx?c，y???6ax?2b；將(?2,44)代入y?ax3?bx2?cx?d，得

44??8a?4b?2c?d①

將(1,?10)分別代入

y?ax3?bx2?cx?d與y???6ax?2b中，得

?10?a?b?c?d②；0?6a?2b③

將x??2代入y??3ax2?2bx?c中，得0?12a?4b?c④

?1，b??3，c??24，d?16。

由①②③④得，a★★★12.試確定

y?k(x2?3)2中k的值，使曲線的拐點處的法線通過原點。

知識點：導數的應用。

思路：可導的拐點必為二階導數為零的點；依此求出拐點坐標，寫出法線方程，根據已知條件，求出k值。解：y?k(x?3)的定義域為(??,??)；y??4kx(x?3)，y???12k(x?1)；

令

2222y???0，得x1,2??1。易知，當x的取值通過x1,2??1的兩側時，y???12k(x2?1)會變號，

∴(1,4k)與(?1,4k)均為

y?k(x2?3)2的拐點；∵y?y?4k?x?1??8k，y?x??1?8k，

∴兩拐點處法線方程分別為：

11(x?1)，y?4k??(x?1)；8k8k2又兩法線過原點，將(0,0)代入法線方程，得32k?1，解得k??28。

★★★★13.設函數

y?f(x)在x?x0的某鄰域內具有三階導數，假使f??(x0)?0，

而

f???(x0)?0，試問(x0,f(x0))是否為拐點，為什么？

知識點：導數的應用。

思路：根據極限的保號性和拐點的定義得結論。

方法一：f??(x0)?0，f???(x0)?0不妨設f???(x0)?0，即

f???(x0)?limx?x0f??(x)?f??(x0)f??(x)?0；?limx?0x?x0x?x0f??(x)?0；x?x0由極限的保號性知，必存在δ?0，使得?x??(x0,δ)，均有

從而當x0?δ?x?x0時，有f??(x)?0，當x0?x?x0?δ時，有f??(x)?0；

∴(x0,f(x0))為拐點。

內容概要名稱3.5函數的極值與最大值最小值主要內容（3.5）極值的概念：設函數恒有若對該鄰域內任意一點x（x?x0），f(x)在點x0的某個鄰域內有定義，，則稱f(x)在點x0處取得極大值（或微小值），f(x)?f(x0)（或f(x)?f(x0)）。f(x)的極大值點（或微小值點）第一充分條件：設函數以不存在），（1）若在x0的左鄰域內，則而x0成為函數函數極值的判別法f(x)在點x0的某個鄰域內連續(xù)且可導（f?(x0)可f?(x)?0；在在x0的右鄰域內，f?(x)?0，f(x)在x0處取得極大值f(x0)；f?(x)?0；在在x0的右鄰域內，f?(x)?0，（2）若在x0的左鄰域內，則f(x)在x0處取得微小值f(x0)；f?(x)不變號，則f(x)在x0處沒有極值。（3）若在x0的左鄰域內，注：第一充分條件利用一階導數符號判斷函數單調性。其次充分條件：設f(x)在x0處具有二階導數，且f?(x0)?0，f??(x0)?0，則（1）當（2）當f??(x0)?0時，函數f(x)在x0處取得極大值；f??(x0)?0時，函數f(x)在x0處取得微小值。注：利用駐點處二階導數符號判斷駐點是否為極值點。函數的最大值和最小值：注意函數極值和最值的區(qū)別和聯(lián)系

習題3-5

★★1.求以下函數的極值：

（1）

13ln2x2f(x)?x?x?3x；（2）y?x?ln(1?x)；（3）y?3x；

（4）

y?x?1?x；（5）y?excosx；（6）f(x)?(x?1)?3x2。

知識點：極值的充分條件。

思路：求y??0的點或者y?不存在的點，然后利用極值的第一或者其次充分條件進行判斷。當所有的極

值可疑點多于兩個時，若利用第一充分條件，可列表探討；其次充分條件僅用來對駐點是否為極值點進行判斷。

解：（1）方法一：f(x)?令

13x?x2?3x的定義域為(??,??)，3f?(x)?x2?2x?3?0，得x1?3，x2??1；現(xiàn)列表探討如下：

xf?(x)f(x)由上表知，

(??,?