2022年高考理數(shù)真題試卷（全國(guó)甲卷）（含答案）

2022

年高考理數(shù)真題試卷（全國(guó)甲卷）一、選擇題：本題共

12

小題，每小題

5

分，共

60

分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若 ，則 （

）A．B．C．D．2．某社區(qū)通過(guò)公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí)．為了解講座效果，隨機(jī)抽取

10

位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問(wèn)卷，這

10

位社區(qū)居民在講座前和講座后問(wèn)卷答題的正確率如下圖：則（

）講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)小于

70%講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于

85%講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D．講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差設(shè)全集 ，集合（

）B． C．，則D．4．如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為

1，則該多面體的體積為（

）A．8B．12C．16D．205．函數(shù)在區(qū)間的圖像大致為（

）A．B．C．D．6．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（

）A．-1B．C．D．17．在長(zhǎng)方體，則（

）中，已知 與平面和平面所成的角均為A．B．AB

與平面所成的角為C．D． 與平面 所成的角為8．沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，是以

O

為圓心，OA

為半徑的圓弧，C

是

AB

的中點(diǎn)，D

在 上， ．“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)的近似值s

的計(jì)算公式：．當(dāng)時(shí)，（

）A．B．C．D．9．甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（

）A．B．C．D．10．橢圓的左頂點(diǎn)為

A，點(diǎn)

P，Q

均在

C

上，且關(guān)于

y軸對(duì)稱．若直線的斜率之積為，則

C

的離心率為（

）A．B．C．D．11．設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．12．已知 ，則（

）A． B． C．二、填空題：本題共

4

小題，每小題

5

分，共

20

分。13．設(shè)向量 ， 的夾角的余弦值為 ，且D．，則

．14．若雙曲線的漸近線與圓相切，則

．從正方體的

8個(gè)頂點(diǎn)中任選

4

個(gè)，則這

4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為

．已知 中，點(diǎn)

D

在邊

BC

上， ．當(dāng)小值時(shí)，

．取得最三、解答題：共

70

分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第

17～21

題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第

22、23

題為選考題，考生根據(jù)要求作答。記 為數(shù)列 的前

n

項(xiàng)和．已知 ．證明： 是等差數(shù)列；若 成等比數(shù)列，求 的最小值．在四棱錐 中， 底面．（1）證明：；（2）求

PD與平面 所成的角的正弦值．19．甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得

10

分，負(fù)方得

0

分，沒(méi)有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為

0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；（2）用

X

表示乙學(xué)校的總得分，求

X

的分布列與期望．20．設(shè)拋物線 的焦點(diǎn)為

F，點(diǎn)點(diǎn)．當(dāng)直線

MD

垂直于

x

軸時(shí)， ．（1）求

C

的方程：，過(guò) 的直線交

C

于

M，N

兩（2）設(shè)直線與

C

的另一個(gè)交點(diǎn)分別為

A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線

AB

的方程．21．已知函數(shù)．（1）若，求a

的取值范圍；（2）證明：若 有兩個(gè)零點(diǎn) ，則 ．四、選考題：共

10

分。請(qǐng)考生在第

22、23

題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（t

為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（s

為參數(shù)）．寫(xiě)出 的普通方程；以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線，求 與 交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，及 與23．已知

a，b，c

均為正數(shù)，且 ，證明：（1） ；（2）若 ，則 ．的極坐標(biāo)方程為交點(diǎn)的直角坐標(biāo)．答案解析部分【答案】C【答案】B【答案】D【答案】B【答案】A【答案】B【答案】D【答案】B【答案】C【答案】A【答案】C【答案】A【答案】11【答案】【答案】【答案】

或【答案】（1）已知，即①，當(dāng) 時(shí)，②，①-②得，即 ，，即 ，所以，且，所以 是以

1

為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）中 可得，，，，又 ， ， 成等比數(shù)列，所以，即 ，解得，所以，所以，所以，當(dāng) 或 時(shí)18．【答案】（1）證明：在四邊形．中，作于，于，因?yàn)?，所以四邊形所以為等腰梯形，，故，，所以，所以，因?yàn)樗云矫?，?平面 ，又，所以又因所以平面平面，，（2）解：

由(1)知，PD，AD，BD

兩兩垂直，，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則∴設(shè)平面

PAB

的法向量為，則即不妨設(shè) ，則設(shè)

PD

與平面PAB

的所成角為

θ，則，∴PD

與平面PAB

的所成的角的正弦值為.19．【答案】（1）

解：設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為

A，B，C，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為P==0.16+0.16+

0.24+0.04=0.6.（2）解：依題可知，X

的可能取值為，所以，，，，.即

X

的分布列為X0102030P0.160.440.340.06期望20．【答案】（1）解：拋物線的準(zhǔn)線為此時(shí) ，所以所以拋物線

C

的方程為 ；，，當(dāng)與

x

軸垂直時(shí)，點(diǎn)

M

的橫坐標(biāo)為p，（2）解：設(shè)，直線 ，由可得，，由斜率公式可得，，直線，代入拋物線方程可得，，所以，同理可得，所以又因?yàn)橹本€

MN、AB

的傾斜角分別為所以 ，，若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線 .21．【答案】（1） 解：

由題意得，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，，?/p>

f'(x)=0，

得

x=1

，當(dāng)

x∈（0，1），f'(x)<0，

f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)

x∈（1，+∞），f'(x)>0，

f(x)單調(diào)遞增

，若

f(x)≥0，則

e+1-a≥0，

即

a≤e+1

，所以

a

的取值范圍為（-∞，e+1）（2）證明：由題知， 一個(gè)零點(diǎn)小于

1，一個(gè)零點(diǎn)大于

1不妨設(shè)要證，即證因?yàn)?，即證因?yàn)椋醋C即證即證下面證明時(shí)，設(shè)，則設(shè)所以，而所以，所以所以在單調(diào)遞增即，所以令所以在單調(diào)遞減即，所以；綜上，，所以22．【答案】（1）解：因?yàn)?，，所以，即普通方程為．?）解：因