陜西省中考數(shù)學歷年（2016-2022年）真題分類匯編專題9圓（附真題解析）

陜西省中考數(shù)學歷年（2016-2022

年）真題分類匯編專題

9

圓一、單選題1．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A＝50°.E是邊

BC的中點，連接

OE

并延長，交⊙O

于點

D，連接

BD，則∠D的大小為（ ）A．55° B．65° C．60° D．75°【答案】B【知識點】垂徑定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)【解析】【解答】解：連接

CD，∵∠A＝50°，∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，∵E

是邊

BC

的中點，∴OD⊥BC，∴BD＝CD，2∴∠ODB＝∠ODC＝1

∠BDC＝65°，故答案為：B.【分析】連接

CD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根據(jù)垂徑定理得到

OD⊥BC，求得

BD＝CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.2．如圖，⊙O

的半徑為

4，△ABC

是⊙O

的內(nèi)接三角形，連接

OB、OC．若∠BAC

與∠BOC互補，則弦

BC的長為（ ）A．3 3 B．4 3 C．5 3 D．6 3【答案】B【知識點】垂徑定理；圓周角定理；解直角三角形【解析】【解答】解：過點

O

作

OD⊥BC

于

D，則

BC=2BD，∵△ABC

內(nèi)接于⊙O，∠BAC

與∠BOC

互補，∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，∴∠BOC=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=1

（180°﹣∠BOC）=30°，2∵⊙O

的半徑為

4，∴BD=OB?cos∠OBC=4×

3

=2 3，2∴BC=4 3

．故選：B．【分析】首先過點

O

作

OD⊥BC于

D，由垂徑定理可得

BC=2BD，又由圓周角定理，可求得∠BOC

的度數(shù)，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求得∠OBC

的度數(shù)，利用余弦函數(shù)，即可求得答案．此題考查了圓周角定理、垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3．如圖，

△

??????內(nèi)接于⊙??，∠??

=

46°，連接????，則∠??????

=

（ ）A．44° B．45° C．54° D．67°【答案】A【知識點】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)；圓周角定理【解析】【解答】解：連接

OB，如圖，∵∠C=46°，∴∠AOB=2∠C=92°，∴∠OAB+∠OBA=180°-92°=88°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，2∴∠OAB=∠OBA=1×88°=44°.故答案為：A.【分析】連接

OB，由圓周角定理得∠AOB=2∠C=92°，結(jié)合內(nèi)角和定理可得∠OAB+∠OBA=88°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠OAB=∠OBA，據(jù)此計算.4．如圖，AB

是⊙O

的直徑，EF，EB

是⊙O

的弦，且

EF=EB，EF

與

AB

交于點

C，連接

OF，若∠AOF=40°，則∠F的度數(shù)是（ ）A．20° B．35° C．40° D．55°【答案】B【知識點】等腰三角形的性質(zhì)；圓周角定理【解析】【解答】解：連接

FB，則∠FOB=180°-∠AOF=180°-40°=140°，1∴∠FEB＝ ∠FOB=70°，2∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF=(180°-∠FOB)÷2=20°，∵EF＝EB，∴∠EFB＝∠EBF=(180°-∠FEB)÷2=55°，∴∠EFO＝∠EBF-∠OFB=55°-20°=35°，故答案為：B?！痉治觥窟B接

FB，根據(jù)鄰補角的定義得出∠FOB=180°-∠AOF=140°，根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半得出∠FEB＝

1

∠FOB=70°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠OFB＝∠OBF=20°，∠EFB＝∠EBF=55°，最后根據(jù)2∠EFO＝∠EBF-∠OFB

即可算出答案。5．如圖，△ABC是⊙O

的內(nèi)接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作

CD∥AB，并與○O相交于點

D，連接BD，則∠DBC

的大小為（ ）A．15° B．35° C．25° D．45°【答案】A【知識點】圓周角定理【解析】【解答】∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°，∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=50°，∵DC//AB，∴∠ACD=∠A=50°，又∵∠D=∠A=50°，∴∠DBC=180°-∠D

-∠BCD=180°-50°-（65°+50°）=15°，故答案為：A.【分析】根據(jù)等邊對等角得出∠ABC=∠ACB=65°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出∠A

的度數(shù)，根據(jù)二直線平行，內(nèi)錯角相等得出∠ACD=∠A，根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出∠D=∠A，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得出答案。6．如圖，△ABC是⊙O

的內(nèi)接三角形，∠C=30°，⊙O

的半徑為

5，若點

P

是⊙O上的一點，在△ABP

中，PB=AB，則

PA

的長為（ ）A．5B．5

32C．5 2 D．5 3【答案】D【知識點】等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；三角形的外接圓與外心；銳角三角函數(shù)的定義【解析】【解答】連接

OA、OB、OP，∵∠C=30°，∴∠APB=∠C=30°，∵PB=AB，∴∠PAB=∠APB=30°∴∠ABP=120°，∵PB=AB，∴OB⊥AP，AD=PD，∴∠OBP=∠OBA=60°，∵OB=OA，∴△AOB

是等邊三角形，∴AB=OA=5，則Rt△PBD中，PD=cos30°?PB=

3

×5=53

，2 2∴AP=2PD=5 3

，故答案為：D．【分析】連接

OA、OB、OP，由等腰三角形性質(zhì)得出∠APB=∠C=30°；再由

PB=AB

得出∠PAB=∠APB=30°；由三角形內(nèi)角和得出∠ABP=120°，由等腰三角形的性質(zhì)得出

OB⊥AP，AD=PD，由等邊三角形的判定得出△AOB

是等邊三角形，在

Rt△PBD中，由銳角三角函數(shù)得出

PD=cos30°?PB

從而求出

AP.二、填空題7．如圖，在圓內(nèi)接四邊形

ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度數(shù)之比為

4：3：5，則∠D的度數(shù)是

°．【答案】120【知識點】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)【解析】【解答】∵∠A，∠B，∠C

的度數(shù)之比為

4：3：5，∴設(shè)∠A=4x，則∠B=3x，∠C=5x．∵四邊形

ABCD

是圓內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠C=180°，即

4x+5x=180°，解得

x=20°，∴∠B=3x=60°，∴∠D=180°﹣60°=120°．故答案為：120．【分析】由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)對角互補，即∠A+∠C=180°，求出每一份

x，進而求出∠B=3x=60°，最后求出∠D=180°﹣60°=120°.8．如圖，正方形

????????

的邊長為

4，

⊙

??

的半徑為

1.若

⊙??

在正方形

????????

內(nèi)平移（

⊙??

可以與該正方形的邊相切），則點

A到

⊙??

上的點的距離的最大值為

.【答案】3

2

+1【知識點】正方形的性質(zhì)；切線的性質(zhì)【解析】【解答】解：由題意得當

⊙

??

與

BC、CD

相切時，切點分別為

F、G，點

A

到

⊙

??

上的點的距離取得最大，如圖所示：∠??????=

90°連接

AC，OF，AC交

⊙

??

于點

E，此時

AE

的長即為點

A

到

⊙

??

上的點的距離為最大，如圖所示，∵四邊形

????????

是正方形，且邊長為

4，∴????=????=4,∠??????=45°

，∴△OFC

是等腰直角三角形，

????=

4

2

，∵

⊙

??

的半徑為

1，∴????=????=1

，∴????=2

，∴????=?????????=32

，∴????=????+????=32+1

，即點

A

到

⊙

??

上的點的距離的最大值為

3

2

+1

；故答案為

3

2

+1

.【分析】

當⊙O與

CB、CD

相切時，切點分別為

F、G，點

A

到⊙

??上的點的距離取得最大，連接

AC，OF，AC

交⊙

??于點

E，此時

AE的長即為點

A

到⊙

??上的點的距離為最大；根據(jù)切線的性質(zhì)得到

OE＝OF，由正方形的性質(zhì)可得△OFC

是等腰直角三角形，用勾股定理可求得

AC

的值，由線段的構(gòu)成

AO=AAC-OC

可求得

AO

的值，則

AE=AO+OE

可求解.9．△ABC

中，∠C為直角，AB=2，則這個三角形的外接圓半徑為

．【答案】1【知識點】三角形的外接圓與外心【解析】【解答】解：∵△ABC

中，∠C

為直角，AB=2，∴這個三角形的外接圓半徑為

2÷2=1．故答案為：1．【分析】根據(jù)題意可知，∠C

是外接圓的圓周角，因為∠C

為直角，所以∠C

所對應(yīng)的邊

AB=2

為該圓的直徑，則半徑為

2÷2=1.三、綜合題10．如圖，????是⊙??的直徑，????是⊙??的切線，????、????是⊙??的弦，且????

⊥

????，垂足為

E，連接????并延長，交????于點

P.（1）求證：∠??????

=

∠??????；（2）若⊙??的半徑??

=

5，????

=

8，求線段????的長.【答案】（1）證明：∵????是

⊙

??的切線，∴∠??????=

90°.∵????⊥

????∴∠??????=

90°，∴????∥

????.∴∠??????=

∠??????.∵∠??????=

∠??????，∴∠??????=

∠??????.（2）解：如圖，連接????.∵????為直徑，∴∠ADB=90°，∴∠??????+∠??????=

90°.∵∠??????+∠??=90°，∠??????=

∠??????，∴∠??????=

∠??.∴????=????=

8.∵????=2??=

10，∴????=????2?????2=

6.∵∠BAP=∠BDA=90°，∠ABD=∠PBA，∴

△??????∽△??????.????

????∴????

=

????.????2∴????= = =100

50????

6

3.∴????=50

=32.3

?6 3【知識點】平行線的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理；切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)【解析】【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠BAM=90°，根據(jù)垂直的概念可得∠CEA=90°，推出

AM∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠CDB=∠APB，由圓周角定理可得∠CAB=∠CDB，據(jù)此證明；（2）連接

AD，根據(jù)圓周角定理可得∠ADB=90°，由圓周角定理可得∠CAB=∠CDB，由等角的余角相等可得∠ADC=∠C，則

AD=AC=8，利用勾股定理求出

BD，證明△ADB∽△PAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得

PB，然后根據(jù)

DP=PB-BD

進行計算.11．如圖，

????

是

⊙??

的直徑，點

E、F在

⊙

??

上，且

????=2????

，連接

????

、????

，過點

??

作⊙

??

的切線，分別與

????

、

????

的延長線交于點

C、D.（1）求證：

∠??????

=

∠??

；（2）若

????=

6

，

????

=

4

，求線段

????

的長.【答案】（1）證明：如圖，取

????

的中點

M，連接

????

、

????

，∵????=2????

，∴????=????=????

，12∴∠??????=∠??????

，1∵∠??=∠??????

，2∴∠??????=

∠??（2）解：連接

????

，∵????

是

⊙

??

的切線，∴????⊥????

，由（1）知

∠??????

=

∠??

，∴△??????∽△??????

，∴????

=????

，???? ????∵????=6，????=4

，∴????

==????

?

????

4×

6???? 3=8

.∴????=62+82=10

，∵????

是

⊙

??

的直徑，∴????⊥????.∵∠??=∠??，∴△??????∽△??????

.????

????∴????

=????

，????28232∴????

= = =????

10

5【知識點】圓的綜合題2【解析】【分析】（1）取弧

BF

的中點

M，連接

OM、OF，利用圓心角定理得到∠COB＝1

BOF，利用圓周角∠2定理得到∠A＝1∠BOF

可求解；（2）連接

BF，如圖，先根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OBC＝∠ABD＝90°，根據(jù)有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似????

????可得△OBC∽△ABD，由比例式????

=

????可求出

BD

的值，然后用勾股定理可計算出

AD的值，根據(jù)圓周角定????

????????

????理得∠AFB＝90°，根據(jù)有兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可得

Rt△DBF∽Rt△DAB，得比例式 = 可求解．12．如圖，△ABC是⊙O

的內(nèi)接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°.連接

AO

并延長，交⊙O于點

D，連接BD.過點

C

作⊙O

的切線，與

BA

的延長線相交于點

E.（1）求證：AD∥EC；（2）若

AB＝12，求線段

EC

的長.【答案】（1）證明：連接

OC，∵CE

與⊙O

相切于點

C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OCE＝180°，∴∴AD∥EC；（2）解：如圖，過點

A

作

AF⊥EC

交

EC

于

F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，????2∴sin∠ADB＝????

=

3

，∴AD＝12×

23＝8 3

，∴OA＝OC＝4 3

，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，∴四邊形

OAFC

是矩形，又∵OA＝OC，∴四邊形

OAFC

是正方形，∴CF＝AF＝4 3

，∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，????∵tan∠EAF＝????

=3

，∴EF＝ 3AF＝12，∴CE＝CF+EF＝12+4 3

.【知識點】圓的綜合題【解析】【分析】（1）連接

OC，由切線的性質(zhì)可得∠OCE＝90°，由圓周角定理可得∠AOC＝90°，可得結(jié)論；（2）過點

A作

AF⊥EC

交

EC

于

F，由銳角三角函數(shù)可求

AD＝8 3

，可證四邊形

OAFC

是正方形，可得

CF＝AF＝4 3

，由銳角三角函數(shù)可求

EF＝12，即可求解.13．如圖，AC

是⊙O

的一條弦，AP是⊙O的切線。作

BM=AB

并與

AP

交于點

M，延長

MB

交

AC于點

E，交⊙O

于點

D，連接

AD.（1）求證：AB=BE；（2）若⊙O

的半徑

R=5，AB=6，求

AD

的長.【答案】（1）證明：∵AP

是⊙O

的切線，∴∠EAM＝90°，∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEB＋∠AMB＝90°，又∵AB＝BM，∴∠MAB＝∠AMB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE（2）解：連接

BC，∵AC

是⊙O

的直徑，∴∠ABC＝90°在

Rt△ABC

中，AC＝10，AB＝6，∴BC＝ ????2?????2

=8，由(1)知，∠BAE＝∠AEB，又∠ABC=∠EAM=90°，∴△ABC∽△EAM，???? ????∴∠C＝∠AME，????

=????

，10

8

即 = ，12 ????∴AM＝48

，5又∵∠D＝∠C，∴∠D＝∠AMD，∴AD＝AM＝

485【知識點】圓的綜合題【解析】【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得出

∠EAM＝90°，

根據(jù)等邊對等角得出

∠MAB＝∠AMB，

利用等角的余角相等得出

∠BAE＝∠AEB

，根據(jù)等角對等邊得出

AB=BE；（2）

連接

BC，

根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得出

∠ABC＝90°，根據(jù)勾股定理算出

BC

的長，然后判斷????

????出

△ABC∽△EAM，

推出

∠C＝∠AME， = ，

根據(jù)比例式算出

AM

的長，根據(jù)同弧所對的圓周角???? ????相等得出

∠D＝∠C，

故

∠D＝∠AMD，

根據(jù)等角對對等邊即可得出

AD=AM，從而得出答案。14．如圖，在

Rt△ABC

中，∠ACB＝90°，以斜邊

AB

上的中線

CD

為直徑作⊙O，分別與

AC、BC

相交于點M、N．（1）過點

N

作⊙O

的切線

NE

與

AB

相交于點

E，求證：NE⊥AB；（2）連接

MD，求證：MD＝NB．【答案】（1）解：如圖，連接

ON，∵CD

是

Rt△ABC

斜邊

AB

上的中線，∴AD＝CD＝DB，∴∠DCB＝∠DBC，又∵OC=ON，∴∠DCB＝∠ONC，∴∠ONC＝∠DBC，∴ON∥AB，∵NE

是⊙O的切線，ON是⊙O

的半徑，∴∠ONE＝90°，∴∠NEB＝90°，即

NE⊥AB（2）解：如圖所示，由（1）可知

ON∥AB，∵OC＝OD，∴∴CN＝NB＝1

CB，2又∵CD

是⊙O

的直徑，∴∠CMD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CMD+∠ACB=180°，∴MD//BC，12又∵D是

AB的中點，∴MD＝ CB，∴MD＝NB．【知識點】圓的綜合題【解析】【分析】（1）如圖，連接

ON，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出

AD＝CD＝DB，根據(jù)等邊對等角得出∠DCB＝∠DBC，∠DCB＝∠ONC，根據(jù)等量代換得出∠ONC＝∠DBC，根據(jù)同位角相等，兩直線平行得出

ON∥AB，根據(jù)切線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)得出

NE⊥AB

；2（2）

根據(jù)中位線的判定定理，由

ON∥AB，OC＝OD，得出

CN＝NB＝

1CB，根據(jù)圓周角定理得出12∠CMD=90°，根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行得出

MD//BC，再根據(jù)三角形的中位線定理得出

MD＝

CB，根據(jù)等量代換得出

MD＝NB．15．如圖，在△ABC

中，∠ACB=90°，O

是邊

AC

上一點，以

O

為圓心，OA

為半徑的圓分別交

AB，AC

于點E，D，在

BC的延長線上取點

F，使得

BF=EF，EF與

AC交于點

G．（1）試判斷直線

EF

與⊙O

的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若

OA=2，∠A=30°，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）解：連接

OE，∵OA=OE，∴∠A=∠AEO，∵BF=EF，∴∠B=∠BEF，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠AEO+∠BEF=90°，∴∠OEG=90°，∴EF

是⊙O

的切線；（2）解：∵AD

是⊙O

的直徑，∴∠AED=90°，∵∠A=30°，∴∠EOD=60°，∴∠EGO=30°，∵AO=2，∴OE=2，∴EG=2 3

，∴陰影部分的面積=

1

×

2×22 3603﹣60???×22

=233﹣2

π．【知識點】直線與圓的位置關(guān)系；扇形面積的計算【解析】【分析】（1）先觀察，再理性論證.EF

與圓有公共點，可連結(jié)

OE,證明

OE

與

EF

垂直，可證∠AEO+∠BEF=90°;（2）陰影部分面積較小，可采用作差法，轉(zhuǎn)化為直角三角形

OEG

面積減去扇形

OED

的面積即可.16．如圖，已知⊙O

的半徑為

5，PA

是⊙O

的一條切線，切點為

A，連接

PO

并延長，交⊙O

于點

B，過點A

作

AC⊥PB交⊙O

于點

C、交

PB

于點

D，連接

BC，當∠P=30°時，（1）求弦

AC

的長；（2）求證：BC∥PA．【答案】（1）解：連接

OA，∵PA

是⊙O

的切線，∴∠PAO=90°∵∠P=30°，∴∠AOD=60°，∵AC⊥PB，PB

過圓心

O，∴AD=DC在

Rt△ODA

中，AD=OA?sin60°=

5

32∴AC=2AD=5 3（2）證明：∵AC⊥PB，∠P=30°，∴∠PAC=60°，∵∠AOP=60°∴∠BOA=120°，∴∠BCA=60°，∴∠PAC=∠BCA∴BC∥PA【知識點】平行線的判定；三角形內(nèi)角和定理；切線的性質(zhì)【解析】【分析】（1）連接

OA，由切線性質(zhì)得出∠PAO=90°，再由三角形內(nèi)角和得出∠AOD=60°，由

AC⊥PB，PB

過圓心

O

得出

AD=DC；在

Rt△ODA

中；由銳角三角函數(shù)求出

AD=OA?sin60°

；從而求出

AC=2AD（2）由

AC⊥PB，∠P=30°得出∠PAC=∠AOP=60°；從而得出∠BOA=120°，∠BCA=60°，∠PAC=∠BC；由平行線的判定得出

ABC∥PA.17．如圖，已知：AB

是⊙O

的弦，過點

B

作

BC⊥AB

交⊙O

于點

C，過點

C

作⊙O

的切線交

AB

的延長線于點

D，取

AD的中點

E，過點

E

作

EF∥BC

交

DC

的延長線于點

F，連接

AF

并延長交

BC

的延長線于點

G．求證：（1）FC=FG；（2）AB2=BC?BG．【答案】（1）證明（1）∵EF∥BC，AB⊥BG，∴EF⊥AD，∵E

是

AD

的中點，∴FA=FD，∴∠FAD=∠D，∵GB⊥AB，∴∠GAB+∠G=∠D+∠DCB=90°，∴∠DCB=∠G，∵∠DCB=∠GCF，∴∠GCF=∠G∴FC=FG；（2）證明:

連接

AC，如圖所示：∵AB⊥BG，∴AC

是⊙O

的直徑，∵FD

是⊙O

的切線，切點為

C，∴∠DCB=∠CAB，∵∠DCB=∠G，∴∠CAB=∠G，∵∠CBA=∠GBA=90°，∴△ABC∽△GBA，∴????

=????

，???? ????∴AB2=BC?BG．【知識點】垂徑定理；切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)【解析】【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得出

EF⊥AD，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出

FA=FD，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠FAD=∠D，證出∠DCB=∠G，由對頂角相等得出∠GCF=∠G，即可得出結(jié)論；（2）連接

AC，由圓周角定理證出

AC

是⊙O的直徑，由弦切角定理得出∠DCB=∠CAB，證出∠CAB=∠G，再由∠CBA=∠GBA=90°，證明△ABC∽△GBA，得出對應(yīng)邊成比例，即可得出結(jié)論．本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、弦切角定理等知識；熟練掌握圓周角定理和弦切角定理，證明三角形相似是解決問題（2）的關(guān)鍵．18．如圖（1）問題提出如圖

1，在

Rt△ABC

中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB

的平分線交

AB

于點

D.過點

D分別作

DE⊥AC，DF⊥BC.垂足分別為

E，F(xiàn)，則圖

1中與線段

CE相等的線段是

.（2）問題探究如圖

2，AB

是半圓

O的直徑，AB＝8.P

是????

上一點，且????=2????

，連接

AP，BP.∠APB的平分線交AB

于點

C，過點

C

分別作

CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分別為

E，F(xiàn)，求線段

CF

的長.（3）問題解決如圖

3，是某公園內(nèi)“少兒活動中心”的設(shè)計示意圖.已知⊙O

的直徑

AB＝70m，點

C

在⊙O上，且

CA＝CB.P

為

AB

上一點，連接

CP

并延長，交⊙O

于點

D.連接

AD，BD.過點

P

分別作

PE⊥AD，PF⊥BD，重足分別為

E，F(xiàn).按設(shè)計要求，四邊形

PEDF

內(nèi)部為室內(nèi)活動區(qū)，陰影部分是戶外活動區(qū)，圓內(nèi)其余部分為綠化區(qū).設(shè)

AP

的長為

x（m），陰影部分的面積為

y（m2）.①求

y

與

x

之間的函數(shù)關(guān)系式；②按照“少兒活動中心”的設(shè)計要求，發(fā)現(xiàn)當

AP

的長度為

30m

時，整體布局比較合理.試求當

AP＝30m

時.室內(nèi)活動區(qū)（四邊形

PEDF）的面積.【答案】（1）CF、DE、DF（2）解：連接

OP，如圖

2

所示：∵AB

是半圓

O

的直徑，

????=

2????

，3∴∠APB＝90°，∠AOP＝1

×180°＝60°，∴∠ABP＝30°，同（1）得：四邊形

PECF

是正方形，∴PF＝CF，在

Rt△APB

中，PB＝AB?cos∠ABP＝8×cos30°＝8×

3

＝4 3 ，2tan∠?????? tan30°在

Rt△CFB中

BF＝

???? ＝

????

＝

????33＝ 3

CF，∵PB＝PF+BF，∴PB＝CF+BF，即：4 3

＝CF+ 3

CF，解得：CF＝6﹣2 3

；（3）解：①∵AB

為⊙O

的直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵CA＝CB，∴∠ADC＝∠BDC，同（1）得：四邊形

DEPF

是正方形，∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，∴將△APE

繞點

P

逆時針旋轉(zhuǎn)

90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如圖

3

所示：則

A′、F、B

三點共線，∠APE＝∠A′PF，∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，1

12 2∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝2PA′?PB＝2

x（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BC＝

2

AB＝

2

×70＝35 2，2∴S△ACB＝1

AC2＝

1

×（35 2

）2＝1225，∴y＝S△PA′B+S△ACB＝21212x（70﹣x）+1225＝﹣ x2+35x+1225；②當

AP＝30

時，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40，在

Rt△A′PB

中，由勾股定理得：A′B＝ ??′??2

+????2 ＝302+402

＝50，∵S△A′PB＝1

A′B?PF＝1

PB?A′P，2 2∴1

×50×PF＝1

×40×30，2 2解得：PF＝24，∴S

四邊形

PEDF＝PF2＝242＝576（m2），∴當

AP＝30m

時.室內(nèi)活動區(qū)（四邊形

PEDF）的面積為

576m2.【知識點】圓的綜合題【解析】【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，∴四邊形

CEDF

是矩形，∵CD

平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF，∴四邊形

CEDF

是正方形，∴CE＝CF＝DE＝DF，故答案為：CF、DE、DF；【分析】（1）證明四邊形

CEDF

是正方形，即可得出結(jié)果；（2）連接

OP，由

AB

是半圓

O的直徑，

????=

2????

，得出∠APB＝90°，∠AOP＝60°，則∠ABP＝30°，同（1）得四邊形

PECF

是正方形，得

PF＝CF，在

Rt△APB

中，PB＝AB?cos∠ABP＝4 3

，在

Rt△CFB

中，BF＝

???? ＝ 3

CF，推出

PB＝CF+BF，即可得出結(jié)果；tan∠??????（3）①

同（1）得四邊形

DEPF

是正方形，得出

PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，將△APE

繞點

P

逆時針旋轉(zhuǎn)

90°，得到△A′PF，PA′＝PA，則

A′、F、B三點共線，∠APE＝∠A′PF，證∠A′PB＝90°，得出

S△PAE+S△PBF＝S△PA′B＝

1

PA′?PB＝

1

x（70﹣x），在

Rt△ACB

中，AC＝BC＝35 2，S△ACB＝

12 2 2AC2＝1225，由

y＝S△PA′B+S△ACB，即可得出結(jié)果；②

當

AP＝30

時，A′P＝30，PB＝40，在

Rt△A′PB

中，由＝50，由

S△A′PB＝

1

A′B?PF＝

1

PB?A′P，求

PF，即可得出2 2勾股定理得

A′B＝ ??′??2+

????2

＝ 302+

402結(jié)果.19．如圖（1）【問題提出】如圖①，在△ABC

中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，則△ABC

的外接圓半徑

R的值為

．（2）【問題探究】如圖②，⊙O的半徑為

13，弦

AB＝24，M是

AB的中點，P

是⊙O上一動點，求

PM的最大值．（3）【問題解決】如圖③所示，AB、AC、BC

是某新區(qū)的三條規(guī)劃路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC

所對的圓心角為

60°．新區(qū)管委會想在

BC

路邊建物資總站點

P，在

AB、AC

路邊分別建物資分站點

E、F．也就是，分別在弧

BC

、線段

AB

和

AC

上選取點

P、E、F．由于總站工作人員每天要將物資在各物資站點間按P→E→F→P

的路徑進行運輸，因此，要在各物資站點之間規(guī)劃道路

PE、EF

和

FP．為了快捷環(huán)保和節(jié)約成本要使得線段

PE、EF、FP

之和最短，試求

PE＋EF＋FP

的最小值(各物資站點與所在道路之間的距離、路寬均忽略不計)．【答案】（1）5（2）解：如圖（2）所示，連接

MO并延長交⊙O于

N，連接

OP，顯然，MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，ON＝13，OM＝ 132?122

＝5，MN＝18，∴PM

的最大值為

18（3）解：如圖（3）所示，假設(shè)

P

點即為所求點，分別作出點

P

關(guān)于

AB、AC

的對稱點

P′、P＂連接

PP′、P′E，PE，P＂F，PF，PP＂由對稱性可知

PE＋EF＋FP＝P′E＋EF＋FP＂＝P′P＂，且

P′、E、F、P＂在一條直線上，所以

P′P＂即為最短距離，其長度取決于

PA

的長度，如圖（4），作出弧

BC

的圓心

O，連接

AO，與弧

BC

交于

P，P

點即為使得

PA

最短的點，∵AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，∴?ABC

是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝3 3

，BC

所對的圓心角為

60°，∴?OBC

是等邊三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝3 3

，∴∠ABO＝90°，AO＝3 7

，PA＝3 7

－3 3

，∠P′AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂，∴∠P′AP＂＝2∠ABC＝120°，P′A＝AP＂，∴∠AP′E＝∠AP＂F＝30°，∵P′P＂＝2P′Acos∠AP′E＝ 3

P′A＝3 21

－9，所以

PE＋EF＋FP

的最小值為

3 21

－9km【知識點】圓的綜合題【解析】【解答】解：（1）如圖（1），設(shè)外接圓的圓心為

O，連接

OA，

OB，∵O

是等腰三角形

ABC

的外心，AB=AC，∴∠BAO=∠OAC=1

∠BAC=1

×120°

=60°，2 2∵OA=OB，∴△AOB

是等邊三角形，∴OB=AB=5，故答案為：5；【分析】（1）如圖（1），設(shè)外接圓的圓心為

O，連接

OA，

OB，等腰三角形的三線合一得出∠BAO=∠OAC=1

12 2° °∠BAC= ×120

=60

，根據(jù)有一個角是

60°的等腰三角形是等邊三角形得出△AOB

是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出答案；（2）如圖（2）所示，連接

MO

并延長交⊙O

于

N，連接

OP，根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系及等量代換得出MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，當

PM=MN時，PM最大，根據(jù)垂徑定理及勾股定理得出

OM的長，根據(jù)線段的和差即可得出結(jié)論；（3）如圖（3）所示，假設(shè)

P

點即為所求點，分別作出點

P

關(guān)于

AB、AC的對稱點

P′、P＂連接

PP′、P′E，PE，P＂F，PF，PP＂由對稱性可知

PE＋EF＋FP＝P′E＋EF＋FP＂＝P′P＂，且

P′、E、F、P＂在一條直線上，所以

P′P＂即為最短距離，其長度取決于

PA

的長度，如圖（4），作出弧

BC

的圓心

O，連接

AO，與弧BC交于

P，P點即為使得

PA

最短的點， 首先判斷出?ABC

是直角三角形，及∠ABC＝30°，BC

的長度，BC所對的圓心角為

60°，進而判斷出?OBC

是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠CBO＝60°，BO＝BC，進而得出∠ABO＝90°，Aode

長，PA

的長，∠P′AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂，故∠P′AP＂＝2∠ABC＝120°，P′A＝AP＂，∠AP′E＝∠AP＂F＝30°，根據(jù)余弦函數(shù)，由

P′P＂＝2P′Acos∠AP′E=3

P′A，從而得出答案。20．綜合題（1）問題提出如圖①，△ABC

是等邊三角形，AB=12，若點

O是△ABC

的內(nèi)心，則

OA的長為

；（2）問題探究如圖②，在矩形

ABCD中，AB=12，AD=18，如果點

P

是

AD邊上一點，且

AP=3，那么

BC

邊上是否存在一點

Q，使得線段

PQ

將矩形

ABCD

的面積平分？若存在，求出

PQ

的長；若不存在，請說明理由．（3）問題解決某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM

草地和弦

AB

與其所對的劣弧圍成的草地組成，如圖③所示．管理員王師傅在

M

處的水管上安裝了一噴灌龍頭，以后，他想只用噴灌龍頭來給這塊草坪澆水，并且在用噴灌龍頭澆水時，既要能確保草坪的每個角落都能澆上水，又能節(jié)約用水，于是，他讓噴灌龍頭的轉(zhuǎn)角正好等于∠AMB（即每次噴灌時噴灌龍頭由

MA

轉(zhuǎn)到

MB，然后再轉(zhuǎn)回，這樣往復(fù)噴灌．）同時，再合理設(shè)計好噴灌龍頭噴水的射程就可以了．如圖③，已測出

AB=24m，MB=10m，△AMB

的面積為

96m2；過弦

AB

的中點

D

作

DE⊥AB

交

????

于點E，又測得

DE=8m．請你根據(jù)以上信息，幫助