2022年高考數學真題試卷（新高考卷Ⅰ）答案解析版

2022年高考數學真題試卷（新高考卷Ⅰ）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若集合則=（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】解：由題意得，，則=，

故選：D

【分析】先由不等式的解法求得集合A，B，再根據交集的運算求得答案.2．若則（）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】D【解析】【解答】解：由題意得，，則，則2，

故選：D

【分析】先由復數的四則運算，求得z，，再求z+即可.3．在中，點D在邊AB上，記則（）A．3-2 B．-2+3 C．3+2 D．2+3【答案】B【解析】【解答】解：由題意得，，

故選：B

【分析】由向量的加法、減法、以及數乘運算求解即可.4．南水北調工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫。知該水庫水位為海拔148.5m時，相應水面的面積為水位為海拔157.5m時，相應水面的面積為將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時，增加的水量約為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：由題意知，S1=140km2，S2=180km2，h=(157.5-148.5)km=9km，

代入棱臺的體積公式，得，

故選：C

【分析】由棱臺的體積公式直接求解即可.5．從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【解答】解：由題意得，從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，共有個不同的結果，其中不是互質的有（2，4），（2，6），（2，8），（3，6），（4，6），（4，8），（6，8），共7個結果，則這2個數互質的概率為.

故選：D

【分析】由題意先求得結果總數，再由古典概型概率計算公式，結合對立事件的概率關系求得答案.6．記函數的最小正周期為T，若則的圖像關于點中心對稱，則（）A．1 B． C． D．3【答案】A【解析】【解答】解：由題意得，，

又的圖像關于點中心對稱，

則b=2，且，

所以，

則，

解得，

又，

則k=2，，

故，

故選：A

【分析】由正弦函數的圖象與性質，先求得b，，再求得即可.7．設則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：令a=xex，，c=-ln(1-x)，

則lna-lnb=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1-x)，

令y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，

則，

所以y≤0，

所以lna≤lnb，

所以b>a，

a-c=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，

令y=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，

，

令k(x)=，

所以k'(x)=(1-2x-x2)ex>0，

所以k(x)>k(0)>0，

所以y'>0，

所以a-c>0，

所以a>c，

綜上可得，c<a<b，

故選：C

【分析】分別構造函數y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，y=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，根據導數判斷函數的單調性，再運用作差法比較大小即可得解.8．已知正四棱錐的側棱長為，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36，且則該正四棱錐體積的取值范圍是（）A． B． C． D．[18，27]【答案】C【解析】【解答】解：記正四棱錐高與側棱夾角為θ，高為h，底面中心到各頂點的距離為m，

則，

則l=6cosθ，m=l·sinθ=6sinθcosθ，，

則正四棱錐的體積，

令y=sinθcos2θ=sinθ(1-sin2θ)=x(1-x2)=-x3+x，x=sinθ，

則y'=-3x2+1，故當，y'<0，當，y'>0，

則，

，

故該正四棱錐體積的取值范圍是.

故選：C

【分析】由題意正四棱錐的結構特征，結合余弦定理得，進而求得正四棱錐的體積，令x=sinθ，構造函數y=sinθcos2θ=-x3+x，利用導數研究函數的單調性與最值，求得y的最值，從而求得V的最值.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．已知正方體則（）A．直線與所成的角為B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為D．直線與平面ABCD所成的角為【答案】A,B,D【解析】【解答】解：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，因為BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，

所以BC1⊥DA1，BC1⊥CA1，故選項A，B均正確；

設A1C1∩B1D1=O，因為A1C1⊥平面BB1D1D，所以直線BC1與平面BB1D1D所成的角為∠C1BO，

在直角△C1BO中，sin∠C1BO=，故∠C1BO=30°，故選項C錯誤；

直線BC1與平面ABCD所成的角為∠C1BC=45°，故選項D正確.

故選：ABD

【分析】由直線與平面垂直的判定可得BC1⊥平面A1B1CD，進而再由直線與平面垂直的性質，從而可判斷AB，根據直線與平面所成角的定義可判斷CD.10．已知函數則（）A．f(x)有兩個極值點B．f(x)有三個零點C．點(0，1)是曲線的對稱中心D．直線是曲線的切線【答案】A,C【解析】【解答】解：令f'(x)=3x2-1=0，得或，

當或時，f'(x)>0，當時，f'(x)<0，

所以f(x)在上單調遞增，在上單調遞減，

所以f(x)有兩個極值點為或，故A正確；

又所以f(x)只有一個零點，故B錯誤；

由f(x)+f(-x)=2可知，點(0，1)是曲線y=f(x)的對稱中心，故C正確；

曲線y=f(x)在點(1，1)處的切線的斜率為k=f'(1)=2，則切線方程為y=2x-1，故D錯誤.

故選：AC

【分析】利用導數研究函數的單調性，極值，零點，以及函數的對稱中心，結合導數的幾何意義，逐項判斷即可.11．已知O為坐標原點，點A(1，1)在拋物線C：上，過點的直線交C于P，Q兩點，則（）A．C的準線為 B．直線AB與C相切C． D．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：由題意可知：1=2p，所以拋物線C：x2=y，故C的準線為，故A錯誤；

由y'=2x得曲線C在點A(1，1)處的切線斜率為2，所以切線方程為y=2x-1，又直線AB為：，即y=2x-1，故直線AB與C相切，故B正確；

過點B(0，-1)的直線設為y=kx-1，交C于P，Q兩點的坐標分別設為P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

聯(lián)立直線與C方程可得x2-kx+1=0，

則x1+x2=k，x1x2=1，且，

即k2>4，則y1+y2=k2-2，y1y2=1，

此時

，又|OA|2=2，則，故C正確；

，

又|BA|2=5，則，故D正確.

故選：BCD

【分析】由拋物線的定義與幾何性質可判斷A，根據導數的幾何意義，結合直線的兩點式方程可判斷B，根據直線與拋物線的位置，結合弦長公式可判斷C，根據向量的數量積運算可判斷D.12．已知函數及其導函數的定義域均為R，記若均為偶函數，則（）A． B．C． D．【答案】B,C【解析】【解答】解：由為偶函數可知函數f(x)關于直線對稱，

由g(2+x)為偶函數可知：：g(x)關于直線x=2對稱，

結合g(x)=f'(x)，根據g(x)關于直線x=2對稱可知f(x)關于點(2，t)對稱，

根據f(x)關于直線對稱可知：：g(x)關于點(，0)對稱，

綜上，函數f(x)與g(x)均是周期為2的周期函數，

所以有f(0)=f(2)=t，所以A不正確；

f(-1)=f(1)，f(4)=f(2)，f(1)=f(2)，故f(-1)=f(4)，所以C正確，

，g(-1)=g(1)，故B正確；

又g(1)+g(2)=0，所以g(-1)+g(2)=0，故D錯誤.

故選：BC

【分析】根據函數的奇偶性與對稱性，可判定f(x)與g(x)均是周期為2的周期函數，再由函數的值，逐項判斷即可.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中的系數為(用數字作答).【答案】-28【解析】【解答】解：(x+y)8的通項公式為，

①當8-r=2，即r=6時，展開式中項為，

②當8-r=3，即r=5時，展開式中項為，

則展開式中項為，

故答案為：-28

【分析】由二項式定理，分類討論求解即可.14．寫出與圓和都相切的一條直線的方程．【答案】x=-1或7x-24y-25=0或6x+8y-10=0【解析】【解答】解：記圓的圓心為O(0，0)，半徑為r1=1，

圓的圓心為A(3，4)，半徑為r2=4，

則|OA|=5=r1+r2，

則兩圓外切，作出圖象，如圖所示，

易得直線l1：x=-1為兩圓的切線，

易得直線OA為：，

可得直線l1與直線OA為，

易知兩圓的另一公切線l2必過點P，可設l2：，即，

則有，解得，即l2：，即7x-24y-25=0，

另由于兩圓外切，所以在公切點處存在公切線l3，由，解得切線l3：6x+8y-10=0.

故答案為：x=-1或7x-24y-25=0或6x+8y-10=0

【分析】先判斷可得兩圓外切，數形結合易得其中一切線為：x=-1，再由直線垂直的斜率關系求得切線l2，最后聯(lián)立兩圓的方程組可得切線l3，得解.15．若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是.【答案】a＞0或a＜-4【解析】【解答】解：易得曲線不過原點，設切點為(x0，(x0+a)ex0)，則切線斜率為f(x0)=(x0+a+1)ex0，

可得切線方程為y-(x0+a)ex0=(x0+a+1)ex0(x-x0)，又切線過原點，

可得-(x0+a)ex0=-x0(x0+a+1)ex0，化簡得(※)，

又切線有兩條，即方程※有兩不等實根，由判別式△=a2+4a>0，得a<-4或a>0.

故答案為：a<-4或a>0.

【分析】由導數的幾何意義，求得切線方程，再結合切線過原點，易得方程有兩不等實根，由△>0求解即可.16．已知橢圓C：C的上頂點為A，兩個焦點為離心率為，過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，則△ADE的周長是．【答案】13【解析】【解答】解：橢圓離心率為，則a=2c，，可設C：，

則|AF1|=|AF2|=|F1F2|=2c，

則△AF1F2為正三角形，則直線DE的斜率，

由等腰三角形性質可得，|AE|=|EF2|，|AD|=|DF2|，由

橢圓性質得△ADE的周長=|DE|+|DF2|+|EF2|=4a，

設D（x1，y1），E（x2，y2），直線DE為，

與橢圓方程聯(lián)立，得13x2+8cx-32c2=0，

則，

則，

解得，

即△ADE的周長=4a=13

故答案為：13

【分析】由橢圓的離心率，得a=2c，，并可判斷△AF1F2為正三角形，從而可得直線DE的方程為，再根據直線與橢圓的位置關系，結合弦長公式以及橢圓的定義，易得△ADE的周長.四、解答題：本題共6小題，共70分。17．記為數列的前n項和，已知是公差為，的等差數列.（1）求的通項公式；（2）證明：【答案】（1）因為是公差為的等差數列，而，所以①時，②①-②有：.所以，以上式子相乘，得經檢驗，時，，符合.所以.（2）由（1）知所以所以==因為，所以，所以，即．【解析】【分析】（1）根據等差數列的通項公式可得，由利用Sn與an的關系，得，再利用累積法，可得an；（2）由（1）得，利用裂項相消求和求得，再解不等式即可.18．記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知（1）若求B；（2）求的最小值.【答案】（1）因為，所以，所以，又因為，，所以，故.（2）因為所以所以由余弦定理所以當且僅當，即時取得等號，綜上，的最小值為.【解析】【分析】（1）先由二倍角公式與兩角和的余弦公式，化簡得，再由誘導公式，結合三角形的內角和性質，得，可得B；

（2）由誘導公式求得，，再結合余弦定理與三角恒等變換，化簡得，并利用基本不等式求最值即可.19．如圖，直三棱柱的體積為4，'的面積為（1）求A到平面的距離；（2）設D為的中點，平面平面求二面角的正弦值.【答案】（1）因為，所以，設A到平面的距離為h；則（2）設D為的中點，且，由于?BC⊥平面因為平面，所以，在直角中，，連接，過A作，則平面，而平面，故.由，所以，由，以B為原點，向量，，分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則所以設平面ABD的一個法向量，，令，則有.設平面BCD的一個法向量，令，則有所以所以二面角的正弦值為.【解析】【分析】（1）由題意易得，再結合棱錐的體積公式求得h；

（2）根據平面與平面垂直的性質可得BC⊥平面ABB1A1，再由直線與平面垂直的性質可得BC⊥AB，BC⊥A1B，再建立恰當的空間直角坐標系，分別求得平面ABD，平面BCD的法向量，，再求得，即可得答案.20．一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當地居民的衛(wèi)生習慣(衛(wèi)生習慣分為良好和不夠良好兩類)的關系，在己患該疾病的病例中隨機調查了100例(稱為病例組)，同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人(稱為對照組)，得到如下數據：不夠良好良好病例組4060對照組1090附：P(K2≥k)0.0500.0100.001K3.8416.63510.828（1）能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異?（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”，與的比值是衛(wèi)生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為R.(i)證明：(ii)利用該調查數據，給出的估計值，并利用(i)的結果給出R的估計值.【答案】（1）所以有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異.（2）用局部估計總體(i)(ii)故R的估計值為6【解析】【分析】（1）代入數據，求得K2，再對出表格，即可得結論；（2）(ⅰ)根據新定義，結合條件概率的計算公式，即可證明；(ⅱ)由條件概率的計算公式分別求得，再代入R，求解即可.21．已知點A(2，1)在雙曲線C：上，直線交C于P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率之和為0.（1）求的斜率；（2）若求的面積.【答案】（1）因為點A(2，1)在雙曲線上，所以有解得，所以雙曲線設直線，聯(lián)立消去y得到顯然，否則不可能有兩個交點，而，由韋達定理得，因為直線AP，AQ的斜率之和為0，所以所以所以即，所以有，將韋達定理代入化簡得，而當，此時直線為，易知恒過定點，故舍去，所以，此時滿足.（2）又由（1）易知，且依題可設AP斜率為，斜率為-，則由夾角公式知（后面補充證明），由對稱性易知，只需考慮的情況就行，所以有，解得或（舍）.而，同理，而，另一方面，聯(lián)立，（1）同理，（2）將以上兩式相加，得，解得，所以【解析】【分析】（1）先根據題意列式求得雙曲線C的方程，再結合直線與雙曲線的位置關系，以及直線的斜率公式，列式得，再判斷2