初中數(shù)學競賽輔導講義：從創(chuàng)新構(gòu)造入手

初中數(shù)學競賽輔導講義:從創(chuàng)新構(gòu)造入手有些數(shù)學問題直接求解比較困難，可通過創(chuàng)造性構(gòu)造轉(zhuǎn)化問題而使問題獲解.所謂構(gòu)造法，就是綜合運用各種知識和方法，依據(jù)問題的條件和結(jié)論給出的信息，把問題作適當?shù)募庸ぬ幚?構(gòu)造與問題相關(guān)的數(shù)學模式，揭示問題的本質(zhì)，從而溝通解題思路的方法.構(gòu)造法是一種創(chuàng)造性思維，是建立在對問題結(jié)構(gòu)特點的深刻認識基礎上的.構(gòu)造法的基本形式是以已知條件為“原料”，以所求結(jié)論為“方向”構(gòu)造一種新的數(shù)學形式，初中階段常用的構(gòu)造解題的基本方法有：.構(gòu)造方程；.構(gòu)造函數(shù)；.構(gòu)造圖形；.對于存在性問題，構(gòu)造實例；.對于錯誤的命題，構(gòu)造反例；.構(gòu)造等價命題等.【例題求解】【例1】設％、％、b1、b2都為實數(shù)，。/a2,滿足(，1+b1)(，1+b2)=(a2+bi)(a2+b2),求證：("]+b1)(a2+bj=(a1+b2)(a2+b2)=-1?思路點撥可以從展開已知等式、按比例性質(zhì)變形已知等式等角度嘗試.仔細觀察已知等式特點，％、a2可看作方程(%+b1)(%+b2)=1的兩根，則(%+b1)(%+b2)-1=(%-a1)(%-a2)，通過構(gòu)造方程揭示題設條件與結(jié)論的內(nèi)在規(guī)律，解題思路新穎而深刻.注:一般說來，構(gòu)造法包含下述兩層意思:利用抽象的普遍性，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型；利用具體問題的特殊性，給所解決的問題設計一個框架，強調(diào)數(shù)學應用的數(shù)學建模是前一層意思的代表，而后一層意思的“框架”含義更為廣泛，如方程、函數(shù)、圖形、“抽屜”等.【例2】求代數(shù)式,:%2+2%+2+%:%2-4%+13的最小值.

思路點撥用一般求最值的方法很難求出此代數(shù)式的最小值.”2+2x+2+\：x2_4X+13=、：'(x+1)2+(0—1)2+工：(x—2)2+(0—3)2,于是問題轉(zhuǎn)化為:在x軸上求一點C(1,0)，使它到兩點A(—1，1)和B(2,3)的距離和(CA+CB)最小，利用對稱性可求出C點坐標.這樣，通過構(gòu)造圖形而使問題獲解.【例3】已知b、c為整數(shù)，方程5x2+bx+C=0的兩根都大于-1且小于0,求b和c的值.思路點撥利用求根公式，解不等式組求出b、c的范圍，這是解本例的基本思路，解法繁難.由于二次函數(shù)與二次方程有深刻的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)造函數(shù)，令y=5x2+bx+c，從討論拋物線與x軸交點在-1與0之間所滿足的約束條件入手.【例4】如圖，在矩形ABCD中，AD=a,AB=b，問:能否在Ab邊上找一點E,使E點與C、D的連線將此矩形分成三個彼此相似的三角形?若能找到，這樣的E點有幾個?若不能找到，請說明理由.思路點撥假設在AB邊上存在點E,使Rt^ADEsRtABECsRtAECD,又設AE=x，則AD=BE,即a=0,于是將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程是否有實根，在一定條件下有AEBCxa幾個實根的研究，通過構(gòu)造方程解決問題.【例5】試證:世界上任何6個人，總有3人彼此認識或者彼此不認識.思路點撥構(gòu)造圖形解題，我們把“人”看作“點”，把2個人之間的關(guān)系看作染成顏色的線段.比如2個人彼此認識就把連接2個人的對應點的線段染成紅色；2個人彼此不認識，就把相應的線段染成藍色，這樣，有3個人彼此認識就是存在一個3邊都是紅色的三角形，否則就是存在一個3邊都是藍色的三角形，這樣本題就化作：已知有6個點，任何3點不共線，每2點之間用線段連結(jié)起來，并染上紅色或藍色，并且一條邊只能染成一種顏色.證明:不管怎么染色，總可以找出三邊同色的三角形.注：“數(shù)缺形時少直觀，形缺少時難入微”數(shù)形互助是一種重要的思想方法，主要體現(xiàn)在：(1)幾何問題代數(shù)化；(2)利用圖形圖表解代數(shù)問題；(3)構(gòu)造函數(shù)，借用函數(shù)圖象探討方程的解.利用代數(shù)法解幾何題，往往是以較少的量的字母表示相關(guān)的幾何量，根據(jù)幾何圖形性質(zhì)列出代數(shù)式或方程(組)，再進行計算或證明.特別地，證明幾何存在性的問題可構(gòu)造方程，利用一元二次方程必定有解的的的代數(shù)模型求證；應用為韋達定理，討論幾何圖形位置的可能性.有些問題可通過改變形式或換個說法，構(gòu)造等價命題或輔助命題，使問題清晰且易于把握.對于存在性問題，可根據(jù)問題要求構(gòu)造出一個滿足條件的結(jié)論對象，即所謂的存在性問題的“構(gòu)造性證明”.學歷訓練.若關(guān)于1的方程(1-m2)%2+2m-1=0的所有根都是比1小的正實數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是..已知a、b、c、d是四個不同的有理數(shù),且(a+c)(a+d)=1，(b+c)(b+d)=1,那么(a+c)(b+c)的值是..代數(shù)式+、.(12-%)2+9的最小值為..A、B、C、D、E、F六個足球隊單循環(huán)賽，已知A、B、C、D、E五個隊已經(jīng)分別比賽 了5、4、3、2、1場，則還未與B隊比賽的球隊是.

5.若實數(shù)a、b滿足a2+ab+b2=1，且t=ab-a2-b5.若實數(shù)a、b滿足a2+ab+b2=1，且t=ab-a2-b2，則t的取值范圍是6.設實數(shù)分別s、t分別滿足19s2+9號1=0，12+99t+19=0，并且st豐1，求st+4s+1的值.7.已知實數(shù)a、bcc滿足(a+c)(a+b+c)<0，求證：(b-c)2>4a(a+b+c).8.寫出10個不同的自然數(shù)，使得它們中的每個是這10個數(shù)和的一個約數(shù)，并說明寫出的10個自然數(shù)符合題設條件的理由.9.求所有的實數(shù)x，使得x『口+Qx\x10.若是不全為零且絕對值都小于106的整數(shù).求證:a+6b+6c> 102111.12.13.從自然數(shù)1,2,3,-354中任取178個數(shù)，試證:其中必有兩個數(shù)，它們的差為177.14.已知a、b、ccd、e是滿足12.13.從自然數(shù)1,2,3,-354中任取178個數(shù)，試證:其中必有兩個數(shù)，它們的差為177.14.已知a、b、ccd、e是滿足a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e=16的實數(shù)，試確定e的最大值.15.如圖，已知15.如圖，已知腰梯形，其底為a和b，高為h.(1)在梯形的對稱軸上求作點P,使從點P看兩腰的視角為直角;⑵求點P到兩底邊的距離;⑶在什么條件下可作出P點?參考答案a從創(chuàng)新構(gòu)造入手r例題求解】例1—1,%是方用：《工十岳）（工十也:了一】=。的前報.工Cx+6|JCj-+ij＞一]=（耳一曲）?Q一m3個工?一日…福（皿+di）（.+?）=—I.當五=一鼻1緡加|+?。?*+一1f-LM25作出9點美于±■軸的對耕點歲稔.一第?連4&交1軸于C,期月回=A（；+CB'為所夔求的最小值，例3根提函的了一5二工▼山『+『的圖象和題設條件知當工4。時i5h'■右才+1＞口.■*■e＞0當上二一1時，3/十必+。＞九*\Y5-觸物強頂點的橫室標一聲上滿足一IV—去〈口A0＜K10又由40博田（0/32臟，得上〈弓，分犯就。=],2.3,4,5,時鑿神*=§,『戶1.恒設在AH邊上存在點E,但Rt凸ADEsRtABECS耿△￡￡?》,刖旦一史H，即將/_打+，5笆力上=&-&/工3'1■加》“一編｝.所以有C1）若加一就（口.副當0工￡江時也工?！阜匠虩o解上.不存在,以》若6+副＞。,當&=之品時*&=0,方程有等相，隔足條件的E點有且只有一個,門）若白+用＞＜1.&-2a30,則當&＞如時2＞3方理有兩個不相善的正朝.滿足條件的E點再廝個一例占考慮其中一型.改力川，隊八點連出的5條段段染了兩種券罵.則必有三條強囪同色，世片H.14c'.HD同為紅包,若，熨,LD,BD三線程中有一條紅色.則必出現(xiàn).三邊都是紅色的三京形[若gC.UCrBD三線股中役有一條紅色，周這三版相均為藍色.這時△白白？就是一個三曲都是藍也的三角形，因而知出現(xiàn)三通都是同色的=的用【學力訓躋】1■=11■=11或m>2L-］卷見概】X13 4.E—3出《一/4的代故式表求注+包叫何譜一元二次方程.&（+）丁99仁）+12。用仃金1,故此一無二次方程J■工十鳴工十1目.0的兩個不同實根國上+,=_gg,_L7.3 5】9,即Jj+I=_q町尸回.原式.一曲+,_+1―一常7'-丁L令》一+貼一心￡-3十"乩”&斗心S十…y,,,,Her與開立+r均非莘且非負，因為當了__（"&+"時，y：￡3*&十門5十門工5所以國物堆'=箝-6_-1+/僦+&工/可,.柏有葩個不同的交意"",△'=（&-「）、4a（flT6+f）＞Q,BPCi-*p3個自然數(shù)人23它捫中的每一個酢是速3nt利的一個的數(shù)，若匕有心的個自就戴“二…一它們中的M個是這*個數(shù)和（記為P'的-4'約他.喈”1）個自然數(shù)—川卬P,它捫中的每一個也是這“1件自然敷和的一個弊數(shù).按照這個想法，可得]+2.3擴展到下列10個自然數(shù)】2九節(jié)/2.34,4邛6/%猶打它們中的可一個是它打村的一個的效9.讀川工二士飛'1-工盛工十產(chǎn)①由②得Z-三代人①由理蹲工-上-皿-工+]=□.117—1 ② 工 X即戶F,解得門一氣巡■，但工＞口出工-與巨JM若&=0=0，依㈱或㈠|＞1＞1＜]-始,不等式戚立.若居「中重夕有一個不為事,相建對冏式*=口+隱&+版,Bh」十圖—再■「￡="—臨&十誨一口=好—商—信,于是A-B-C-0=[&+短白產(chǎn)_次叮豆&_盤知4_而叮.《砂+￡必—m/y—g/y.丫&、如,是整#t，.*,月,B*匚?口也蜓帙整且不安事.JiABCD|＞]=＞|.4 _I 3 1 f1■ 切＞而應—”，1泮＞而,IL令用工+1、美手工的方程廳一*西工4]=上有四個不同的實根.即函敷用?姬_?原十：|與岫敷的

配象有四個不同交點.如圖柞出居r+】l的圖象，再作出尸=?的里象，從四象呼以看出當。M&VZ時.宜線*=*號、=|/一2痣工+11的圖象才有四個不回交,點.也即原方程宥四個不同的近根一.如圖?構(gòu)氈邊長為1的正?FQ?.分別在邊上取點L、M.N.使LR=j,MF=1,NQ=r,則QL=l一了，門河=1一右尸闖=11土,:縱皿+S&m+SsPi/M蘭鼠網(wǎng),J.-^（1—+ —xX^XlXl.即 z）4-t（]—tXL.兩數(shù)善為177的敷必成附出VM1.178）*（Z.179JJ3J8。）…，1177.354）,從12*754中任取17g個數(shù)，即是從這177個強宏《抽?。┲腥稳?評十數(shù)，由抽屜原理有*必有兩敦同數(shù)姐t抽展），這兩散之裁梏.為177.U.令/3=。一/+"7產(chǎn)+。-￡一』產(chǎn)，則/（?-4f|i2（w+]+c+d”+C3+-+，+ji）2即/門）=?。產(chǎn)-21&一.）1+（16?，）住0*丫產(chǎn)的系數(shù)4>0 jl=4{8一》一163LfX0W30?￥^j?515.O）以CD為宜桂作半圓交M