數(shù)控技術(shù)數(shù)控插補(bǔ)原理

數(shù)控技術(shù)數(shù)控插補(bǔ)原理1第1頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.1概述3.1.1插補(bǔ)的基本概念

數(shù)控設(shè)備中，刀具的移動(dòng)軌跡是折線，因此刀具不能嚴(yán)格沿著要求的曲線運(yùn)動(dòng)，只能用折線軌跡逼近所要求的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線。數(shù)控系統(tǒng)根據(jù)一定方法確定刀具實(shí)時(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡的過程稱為插補(bǔ)。數(shù)控系統(tǒng)中完成插補(bǔ)工作的裝置稱為插補(bǔ)器，可以分為硬件插補(bǔ)器和軟件插補(bǔ)器兩類。2第2頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.1概述3.1.2插補(bǔ)方法的分類

從產(chǎn)生的數(shù)學(xué)模型來(lái)分，有一次插補(bǔ)器，二次插補(bǔ)器，高次曲線插補(bǔ)器等。也可以從插補(bǔ)器的基本原理來(lái)分類。從插補(bǔ)的計(jì)算方法來(lái)分，可以主要分為兩類：脈沖增量插補(bǔ)數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)3第3頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五脈沖增量插補(bǔ)脈沖增量插補(bǔ)又稱為基準(zhǔn)脈沖插補(bǔ)或行程標(biāo)量插補(bǔ)，這類插補(bǔ)算法是以脈沖形式輸出，每插補(bǔ)運(yùn)算一次，最多給每一軸一個(gè)進(jìn)給脈沖。把每次插補(bǔ)運(yùn)算產(chǎn)生的指令脈沖輸出到伺服系統(tǒng)，以驅(qū)動(dòng)工作臺(tái)運(yùn)動(dòng)，每發(fā)出一個(gè)脈沖，工作臺(tái)移動(dòng)一個(gè)基本長(zhǎng)度單位，即脈沖當(dāng)量，脈沖當(dāng)量是脈沖分配的基本單位。這種插補(bǔ)算法的特點(diǎn)是每次插補(bǔ)結(jié)束，數(shù)控裝置向每個(gè)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)輸出基準(zhǔn)脈沖序列，每個(gè)脈沖插補(bǔ)的實(shí)現(xiàn)方法較簡(jiǎn)單（只有加法和移位）可以用硬件實(shí)現(xiàn)。目前，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展，多采用軟件完成這類算法。脈沖的累積值代表運(yùn)動(dòng)軸的位置，脈沖產(chǎn)生的速度與運(yùn)動(dòng)軸的速度成比例。由于脈沖增量插補(bǔ)的轉(zhuǎn)軸的最大速度受插補(bǔ)算法執(zhí)行時(shí)間限制，所以它僅適用于一些中等精度和中等速度要求的經(jīng)濟(jì)型計(jì)算機(jī)數(shù)控系統(tǒng)。4第4頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五基準(zhǔn)脈沖插補(bǔ)方法有以下幾種：

1、數(shù)字脈沖乘法器插補(bǔ)法；

2、逐點(diǎn)比較法；

3、數(shù)字積分法；

4、矢量判別法；

5、比較積分法；

6、最小偏差法；

7、目標(biāo)點(diǎn)跟蹤法；

8、直接函數(shù)法；

9、單步跟蹤法；

10、加密判別和雙判別插補(bǔ)法；

11、Bresenham算法5第5頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

早期常用的脈沖增量式插補(bǔ)算法有逐點(diǎn)比較法、單步跟蹤法、DDA法等。插補(bǔ)精度常為一個(gè)脈沖當(dāng)量，DDA法還伴有運(yùn)算誤差。

80年代后期插補(bǔ)算法有改進(jìn)逐點(diǎn)比較法、直接函數(shù)法、最小偏差法等，使插補(bǔ)精度提高到半個(gè)脈沖當(dāng)量，但執(zhí)行速度不很理想，在插補(bǔ)精度和運(yùn)動(dòng)速度均高的CNC系統(tǒng)中應(yīng)用不廣。近年來(lái)的插補(bǔ)算法有改進(jìn)的最小偏差法，映射法。兼有插補(bǔ)精度高和插補(bǔ)速度快的特點(diǎn)?？偟恼f(shuō)來(lái)，最小偏差法插補(bǔ)精度較高，且有利于電機(jī)的連續(xù)運(yùn)動(dòng)。6第6頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)

數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)又稱為時(shí)間分割插補(bǔ)或數(shù)字增量插補(bǔ)，這類算法插補(bǔ)結(jié)果輸出的不是脈沖，而是標(biāo)準(zhǔn)二進(jìn)制數(shù)。根據(jù)程編進(jìn)給速度，把輪廓曲線按插補(bǔ)周期將其分割為一系列微小的直線段，然后將這些微小直線段對(duì)應(yīng)的位置增量數(shù)據(jù)進(jìn)行輸出，以控制伺服系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)軸的進(jìn)給。插補(bǔ)計(jì)算是計(jì)算機(jī)數(shù)控系統(tǒng)中實(shí)時(shí)性很強(qiáng)的一項(xiàng)工作，為了提高計(jì)算速度，縮短計(jì)算時(shí)間，按以下三種結(jié)構(gòu)方式進(jìn)行改進(jìn)。

1.采用軟/硬件結(jié)合的兩級(jí)插補(bǔ)方案。

2.

采用多CPU的分布式處理方案。

3.采用單臺(tái)高性能微型計(jì)算機(jī)方案。7第7頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)方法很多，常用方法如下：1、直接函數(shù)法；2、擴(kuò)展數(shù)字積分法；3、二階遞歸擴(kuò)展數(shù)字積分圓弧插補(bǔ)法；4、圓弧雙數(shù)字積分插補(bǔ)法；5、角度逼近圓弧插補(bǔ)法；6、“改進(jìn)吐斯丁”（ImprovedTustinMethod，ITM）法。近年來(lái)，眾多學(xué)者又研究了更多的插補(bǔ)類型及改進(jìn)方法。改進(jìn)DDA圓弧插補(bǔ)算法，空間圓弧的插補(bǔ)時(shí)間分割法，拋物線的時(shí)間分割插補(bǔ)方法，橢圓弧插補(bǔ)法，Bezier、B樣條等參數(shù)曲線的插補(bǔ)方法，任意空間參數(shù)曲線的插補(bǔ)方法。

8第8頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.2逐點(diǎn)比較法3.2.1概述

逐點(diǎn)比較法又稱代數(shù)演算法，是經(jīng)濟(jì)型數(shù)控系統(tǒng)應(yīng)用較多的一種插補(bǔ)算法。所謂逐點(diǎn)比較法，就是每走一步都要和給定軌跡比較一次，根據(jù)比較結(jié)果來(lái)決定下一步的進(jìn)給方向，使刀具向減小偏差的方向并趨向終點(diǎn)移動(dòng)，刀具所走的軌跡應(yīng)該和給定軌跡非常相“象”，并且最大偏差不超過一個(gè)脈沖當(dāng)量。

9第9頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

逐點(diǎn)比較法的四個(gè)工作節(jié)拍：（1）偏差判別：判別加工點(diǎn)對(duì)規(guī)定幾何軌跡的偏離位置；（2）進(jìn)給控制：根據(jù)判別結(jié)果控制某坐標(biāo)工作臺(tái)進(jìn)給一步；（3）偏差計(jì)算：計(jì)算新的加工點(diǎn)對(duì)規(guī)定軌跡的偏差；（4）終點(diǎn)判別：判別是否到達(dá)規(guī)定軌跡的終點(diǎn)，到達(dá)則停止插補(bǔ)，否則返回第一步。10第10頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.2.2逐點(diǎn)比較法第一象限的直線插補(bǔ)計(jì)算方法

1偏差判別：

Fi=YiXe-XiYe

（Fi為偏差函數(shù)）

Fi=0，插補(bǔ)點(diǎn)P1在直線上；（見圖3-1）

Fi>0，插補(bǔ)點(diǎn)P2在直線上方；

Fi<0，插補(bǔ)點(diǎn)P3在直線下方；2進(jìn)給控制：

Fi>=0，向X正向進(jìn)給一步；Fi<0,向Y正向進(jìn)給一步；3偏差計(jì)算：若向X正向進(jìn)給一步，則：Fi+1=YiXe-(Xi+1)Ye=Fi-Ye

若向Y正向進(jìn)給一步，則：Fi+1=（Yi+1）Xe-XiYe=Fi+Xe4終點(diǎn)判別：

N=|Xe-Xs|+|Ye-Xs|11第11頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五P1P2P3XY圖3－1插補(bǔ)點(diǎn)與直線的位置關(guān)系（Xe，Ye）12第12頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例：脈沖當(dāng)量為1，起點(diǎn)（0，0），終點(diǎn)（5，3）序號(hào)偏差判別進(jìn)給控制偏差計(jì)算終點(diǎn)判別1F0=0+△xF1=F0-Ye=0-3=-3N=8-1=72F1<0+△YF2=F1+Xe=-3+5=263F2>0+△XF3=F2-Ye=2-3=-154F3<0+△YF4=F3+Xe=-1+5=445F4>0+△XF5=F4-Ye=4-3=136F5>0+△XF6=F5-Ye=1-3=-227F6<0+△YF7=F6+Xe=-2+5=318F7>0+△XF8=F-Ye=3-3=00YX(5,3)O13第13頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

例3-1加工第一象限直線OE，如圖3-5所示，起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，終點(diǎn)坐標(biāo)為E（4，3）。試用逐點(diǎn)比較法對(duì)該段直線進(jìn)行插補(bǔ)，并畫出插補(bǔ)軌跡。

圖3-2直線插補(bǔ)軌跡過程實(shí)例

Y

X

2

E(4,3)

O

1

3

4

1

2

3

14第14頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

表3-1直線插補(bǔ)運(yùn)算過程序號(hào)

偏差判別

坐標(biāo)進(jìn)給

偏差計(jì)算

終點(diǎn)判別

起點(diǎn)

00=F

∑=7

1

F0=0

+X

301-=-=eYFF

∑=6

2

F1<0

+Y

112=+=eXFF

∑=5

3

F2>0

+X

223-=-=eYFF

∑=4

4

F3<0

+Y

234=+=eXFF

∑=3

5

F3>0

+X

145-=-=eYFF

∑=2

6

F5<0

+Y

356=+=eXFF

∑=1

7

F6>0

+X

067=-=eYFF

∑=0

15第15頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五圖3-3四象限直線偏差符號(hào)和進(jìn)給方向16第16頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

在圓弧加工過程中，可用動(dòng)點(diǎn)到圓心的距離來(lái)描述刀具位置與被加工圓弧之間關(guān)系。設(shè)圓弧圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，已知圓弧起點(diǎn)A（Xs，Ys），終點(diǎn)B（Xe，Ye），圓弧半徑為R，加工點(diǎn)可能在三種情況出現(xiàn)，即圓弧上、圓弧外、圓弧內(nèi)。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P（Xi，Yi）位于圓弧上時(shí)有

Xi2＋Yi2－R2=0

當(dāng)P點(diǎn)在圓弧外側(cè)時(shí)，則OP大于圓弧半徑R，即

Xi2＋Yi2－R2>0

當(dāng)P點(diǎn)在圓弧內(nèi)側(cè)時(shí)，則OP小于圓弧半徑R，即

Xi2＋Yi2－R2<0用Fi表示P點(diǎn)的偏差值，定義圓弧偏差函數(shù)判別式為:3.2.3逐點(diǎn)比較法第一象限的逆圓弧插補(bǔ)算法

17第17頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五1偏差判別：

Fi=Xi2＋Yi2－R2Fi=0，插補(bǔ)點(diǎn)P1恰在圓弧上（on）；（如圖3－4所示）

Fi>0，插補(bǔ)點(diǎn)P2在圓弧上方（up）；

Fi=0，插補(bǔ)點(diǎn)P3在圓弧下方（down）；2進(jìn)給控制：當(dāng)Fi>＝0時(shí)，向X負(fù)向進(jìn)給一步；當(dāng)Fi<0時(shí)，向Y正向進(jìn)給一步；3新偏差計(jì)算：如果向Y正向進(jìn)給一步，則

Fi＋1=（Xi＋1）2

＋（Yi＋1）2－R2=Xi2＋（Yi＋1）2－R2＝Fi＋2Yi＋1同理，如果向X負(fù)向進(jìn)給一步，則

Fi＋1=（Xi＋1）2

＋（Yi＋1）2－R2=（Xi-1）2＋Yi2－R2＝Fi-2Xi＋14終點(diǎn)判別：

N=|Xe-Xs|+|Ye-Ys|四個(gè)工作節(jié)拍18第18頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五圖3-4第一象限逆圓弧插補(bǔ)PP19第19頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例3-2設(shè)第一象限有一逆圓弧AB，起點(diǎn)A的坐標(biāo)（6，0），終點(diǎn)B的坐標(biāo)（0，6）。試用逐點(diǎn)比較法插補(bǔ)。圖3-5逆圓弧插補(bǔ)20第20頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五序號(hào)偏差判別坐標(biāo)進(jìn)給偏差及坐標(biāo)計(jì)算終點(diǎn)判別偏差計(jì)算坐標(biāo)計(jì)算1F0=0-XF1=0-12+1=-11X1=6-1=5Y1=0N=112F1<0+YF2=-11+1=-10X2=5Y2=0+1=1N=103F2<0+YF3=-10+2+1=-7X3=5Y3=1+1=2N=94F3<0+YF4=-7+4+1=-2X4=5Y4=2+1=3N=85F4<0+YF5=-2+6+1=5X5=5Y5=3+1=4N=76F5>0-XF6=5-10+1=-4X6=5-1=4Y6=4N=621第21頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五序號(hào)偏差判別坐標(biāo)進(jìn)給偏差及坐標(biāo)計(jì)算終點(diǎn)判別偏差計(jì)算坐標(biāo)計(jì)算7F6<0+YF7=-4+8+1=5X7=4Y7=4+1=5N=58F7>0-XF8=5-8+1=-2X8=4-1=3Y8=5N=49F8<0+YF9=-2+10+1=9X9=3Y9=5+1=6N=310F9>0-XF10=9-6+1=4X10=3-1=2Y10=6N=211F10>0-XF11=-4-4+1=1X11=2-1=1Y11=6N=112F11>0-XF12=1-2+1=-0X12=1-1=0Y12=6N=022第22頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五圓弧插補(bǔ)進(jìn)給方向和偏差計(jì)算23第23頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例3-3現(xiàn)欲加工第一象限順圓弧AB，如圖3-6所示，起點(diǎn)A（0，4），終點(diǎn)B（4，0），試用逐點(diǎn)比較法進(jìn)行插補(bǔ)。

圖3-6圓弧插補(bǔ)實(shí)例24第24頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

圓弧插補(bǔ)過程25第25頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.3數(shù)字積分法插補(bǔ)

數(shù)字積分法又稱數(shù)字微分分析器（DigitalDifferentialAnalyzer,簡(jiǎn)稱DDA)。采用該方法進(jìn)行插補(bǔ)，具有運(yùn)算速度快，邏輯功能強(qiáng)，脈沖分配均勻等特點(diǎn)，且只輸入很少的數(shù)據(jù)，就能加工出直線、圓弧等較復(fù)雜的曲線軌跡，精度也能滿足要求，而且易于實(shí)現(xiàn)多軸聯(lián)動(dòng)。因此，該方法在數(shù)控系統(tǒng)中得到廣泛的應(yīng)用。3.3.1概述26第26頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五數(shù)字積分的基本原理如圖：從時(shí)刻t=0到t，函數(shù)Y=f(t)曲線所包圍的面積可表示為：S=∫f(t)dt若將0～t的時(shí)間劃分成時(shí)間間隔為Δt的有限區(qū)間，當(dāng)Δt足夠小時(shí)，可得公式：S=∫f(t)dt=∑YiΔt即積分運(yùn)算可用一系列微小矩形面積累加求和來(lái)近似。TOYY=f(t)ΔtYott00ti=0n-127第27頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五若Δt取最小基本單位“1”，則上式可簡(jiǎn)化為：

S=∑Yi(累加求和公式或矩形公式）這種累加求和運(yùn)算，即積分運(yùn)算可用數(shù)字積分器來(lái)實(shí)現(xiàn)。n-1i=0被積函數(shù)寄存器+

累加器（余數(shù)寄存器）ΔtΔY存放Y值28第28頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五若取的脈沖當(dāng)量足夠小，求和運(yùn)算代替積分運(yùn)算所引起的誤差可以不超過允許的數(shù)值。數(shù)字積分器具有兩個(gè)寄存器和一個(gè)全加器Σ構(gòu)成。被積函數(shù)寄存器JV，和累加寄存器或稱余數(shù)寄存器

JR如取寄存器的容量為一個(gè)單位面積值，則累加過程中JR的溢出一個(gè)脈沖就表示獲得一個(gè)單位的面積值。JR總溢出脈沖數(shù)即為所求得積分值。29第29頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五被積函數(shù)寄存器與累加器相加的計(jì)算方法：例：被積函數(shù)寄存器與累加器均為3位寄存器，被積函數(shù)為5，求累加過程。

101101101101+）000

+）101

+）010

+）111101010111100101101101101+）100

+）001

+）110

+）011001110011000經(jīng)過2=8次累加完成積分運(yùn)算，因?yàn)橛?次溢出，所以積分值等于5。①①①①①330第30頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.3.2數(shù)字積分直線插補(bǔ)定義：可得直線參數(shù)方程：在O～A點(diǎn)區(qū)間內(nèi)積分：積分值為從當(dāng)前點(diǎn)經(jīng)過（tn-t0）時(shí)間后的坐標(biāo)增量，因?yàn)槠瘘c(diǎn)是原點(diǎn)，這里積分值即為終點(diǎn)坐標(biāo)。31第31頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.3.2數(shù)字積分直線插補(bǔ)用累加代替積分得：若取Δt為1，得：由上式可知，k×n=1，或者k=1/n令：則在X，Y方向分別經(jīng)過n步后，可移動(dòng)到終點(diǎn)。32第32頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.3.2數(shù)字積分直線插補(bǔ)

選擇k時(shí)，應(yīng)使每次的增量ΔX、ΔY不大于1，這樣保證各坐標(biāo)軸每次分配進(jìn)給脈沖是不會(huì)超過一個(gè)。

其中Xe、Ye的最大允許值受被積函數(shù)寄存器容量的限制。假定寄存器有n位，則Xe、Ye的最大允許值為：若?。哼@樣可以選定k值滿足要求，且累加次數(shù)為：取Δt為1時(shí)的累加為：（*）將（*）式代入上式：33第33頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

例：插補(bǔ)第一象限直線OA，起點(diǎn)為O(0,0)，終點(diǎn)為

A(5,3)。取被積函數(shù)寄存器分別為JVx，JVy，余數(shù)寄存器分別為JRx、JRy，終點(diǎn)計(jì)數(shù)器為

JE，且都是三位二進(jìn)制寄存器。試寫出插補(bǔ)計(jì)算過程并繪制軌跡。XOY12345123A(5,3)34第34頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五插補(bǔ)計(jì)算過程如下累加次數(shù)(Δt）X積分器JVxJRx溢出ΔXY積分器JVyJRy溢出ΔY終點(diǎn)計(jì)數(shù)器

JE備注012345678101000011000初始狀態(tài)101101000101101101101101101101011011011011011011011011011111第一次累加0101110JRx有進(jìn)位，ΔX溢出1101110011101JRy有進(jìn)位，ΔY溢出1001100100ΔX溢出0011111011ΔX溢出1100101010ΔY溢出0111101001ΔX溢出00010001000ΔX,ΔY同時(shí)溢出JE=0，插補(bǔ)結(jié)束35第35頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五加工軌跡如下：XOY12345123A(5,3)36第36頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.3.3數(shù)字積分圓弧插補(bǔ)如圖所示，設(shè)加工半徑為R的第一象限逆時(shí)針圓弧AB，坐標(biāo)原點(diǎn)定在圓心上，A(Xo,Yo)為圓弧起點(diǎn)，B(Xe,Ye)為圓弧終點(diǎn)，Pi(Xi,Yi)為加工動(dòng)點(diǎn)。XOYA(Xo,Yo)B(Xe,Ye)Pi(Xi,Yi)37第37頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

如圖所示，可以得到：V

Vx

VyRYiXi即Vx=KYi，Vy=KXi因而可以得到坐標(biāo)微小位移增量為：

ΔX=VxΔt=KYiΔtΔY=VyΔt=KXiΔt

設(shè)Δt=1，K=1/2則有：

XOYA(Xo,Yo)B(Xe,Ye)Pi(Xi,Yi)RVVxVy===KnX=1/2i=1m∑YiY=1/2i=1m∑Xinn38第38頁(yè)，共43頁(yè)，2023年，2月20日，星期五由

可看出，用DDA法進(jìn)行圓弧插補(bǔ)時(shí)，是對(duì)加工動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)Xi和Yi的值分別進(jìn)行累加，若積分累加器有溢出，則相應(yīng)坐標(biāo)軸進(jìn)給一步，則圓弧積分插補(bǔ)器如圖所示：X=1/2i=1m∑YiY=1/2