量子物理基礎(chǔ)

第42次課日期周次星期學(xué)時(shí)：2內(nèi)容提要：第十一章量子物理基礎(chǔ)§11.1實(shí)物粒子的波粒二象性一.德布羅意假設(shè).德布羅意假設(shè)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.德布羅意假設(shè)的意義.電子顯微鏡目的與要求：1.理解德布羅意的物質(zhì)波假設(shè)及其正確性的實(shí)驗(yàn)證實(shí)。理解實(shí)物粒子波粒二象性。2.理解物質(zhì)波動(dòng)性的物理量（波長(zhǎng)、頻率）和粒子性的物理量（動(dòng)量、能量）間的關(guān)系。重點(diǎn)與難點(diǎn)：德布羅意假設(shè)；物質(zhì)波動(dòng)性的物理量（波長(zhǎng)、頻率）和粒子性的物理量（動(dòng)量、能量）間的關(guān)系。教學(xué)思路及實(shí)施方案：本次課應(yīng)強(qiáng)調(diào)：類比法是科學(xué)研究中的一種重要方法?？茖W(xué)理論的發(fā)展總是在前人已有的理論基礎(chǔ)上發(fā)展和創(chuàng)新的，學(xué)生既要善于繼承前人已有的知識(shí)，又要有所創(chuàng)新。電子通過(guò)不均勻電場(chǎng)和磁場(chǎng)時(shí)要發(fā)生偏轉(zhuǎn)是電子顯微鏡成像原理的主要部分。教學(xué)內(nèi)容：物粒子的波粒二象性一.德布羅意假設(shè)1.德布羅意假設(shè)1924年德布羅意大膽地提出假設(shè)：實(shí)物粒子也具有波動(dòng)性。他并且把光子的能量一頻率和動(dòng)量一波長(zhǎng)的關(guān)系式借來(lái)，認(rèn)為一個(gè)實(shí)物粒子的能量E和動(dòng)量P跟和它相聯(lián)系的波的頻率v和波長(zhǎng)人的定量關(guān)系與光子一樣，為E=me2=h\Jhp=mv=—A這些公式稱為德布羅意公式或德布羅意假設(shè)。和實(shí)物粒子相聯(lián)系的波稱為物質(zhì)波或德布羅意波。德布羅意波長(zhǎng)mvmv011—mvmv011—V2.■C2hce22+2EEkk0k其中Ek=m2-m0c2是粒子的相對(duì)論動(dòng)能。如果v<<c，因而粒子的動(dòng)能Ek也就遠(yuǎn)小于粒子的靜能E0。在這種情況下，可用非相對(duì)論公式計(jì)算德布羅意波長(zhǎng)mv、；2mE以電子為例式?jīng)Q定0 \ 0k以電子為例式?jīng)Q定1 12.2— —.—-...■12em'vU力1 12.2— —.—-...■12em'vU力0 0一一=—mv2=eU0應(yīng)強(qiáng)調(diào)指出的是：.實(shí)物粒子的德布羅意波長(zhǎng)一般是很短的，在通常實(shí)驗(yàn)條件下顯露不出來(lái)。.德布羅意是采用類比法提出他的假設(shè)的，當(dāng)時(shí)并沒(méi)有任何直接的證據(jù)，但是很快就在實(shí)驗(yàn)上得到了證實(shí)。此處應(yīng)重點(diǎn)說(shuō)明：類比法是科學(xué)研究中的一種重要方法。二.德布羅意假設(shè)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證1927年，戴維遜和革末做了平行電子射線在銀單晶體上的衍射實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果有力地證明了德布羅意的物質(zhì)波假說(shuō)是正確的。例1.比較動(dòng)能均為1MeV的電子、中子、光子的德布羅意波長(zhǎng)。解：（1）對(duì)于電子，其靜能￡o=V2=0,51MeV由于1MeV的電子動(dòng)能已經(jīng)大于電子的靜能，因此需要用相對(duì)論公式計(jì)算德布羅k==-= _=8.75x10-3A★、杜上 P+2EE息波長(zhǎng) 、kk0（2）對(duì)于中子，其靜能E0=m0c2=939MeV由于1MeV的中子動(dòng)能遠(yuǎn)小于中子的靜能，因此可以用非相對(duì)論公式計(jì)算德布羅意九=.h =2.87x10-4A波長(zhǎng) \：'2m0Ek（3）對(duì)于光子，其動(dòng)量P=mc，能量E=mc2，由此可以計(jì)算德布羅意波長(zhǎng)入=h_=hc_=idx10_2APE通過(guò)此例具體說(shuō)明：計(jì)算德布羅意波長(zhǎng)時(shí)，在v?c時(shí)用非相對(duì)論公式；否則要用相對(duì)論公式。在同一個(gè)題中既要用非相對(duì)論公式，又要用相對(duì)論公式，又要用相對(duì)論公式?？梢酝黄频虏剂_意波長(zhǎng)計(jì)算的難點(diǎn)。例2.計(jì)算質(zhì)量m=0.01kg,速率v=300m/s的子彈的德布羅意波長(zhǎng)。九二—=2.21x10_34A解：由德布羅意公式： m0v通過(guò)此例具體說(shuō)明：宏觀物體的德布羅意波長(zhǎng)非常短，因此宏觀物體的波動(dòng)性非常不顯著。三.德布羅意假設(shè)的意義.一切微觀粒子都有波粒二象性德布羅意假設(shè)說(shuō)明一切微觀粒子都有波粒二象性，不管這個(gè)粒子的靜質(zhì)量m0為零（如光子，原來(lái)以為是純粹的波）或者不為零（如電子，原以為是純粹的粒子）。如果我們把一個(gè)粒子的能量E和動(dòng)量P看作是它的粒子性的表征，而把與該粒子相聯(lián)系的德布羅意波的頻率V和波長(zhǎng)人作為波性的表征，則波粒二象性這句話可用愛(ài)因斯坦公式E=mc2=h0和德布hp=mv=—羅意公式 九表達(dá)。.波粒二象性絕不能用經(jīng)典觀念來(lái)把握波和粒子的這種二象性絕不能用經(jīng)典觀念來(lái)把握。例如，波是由粒子在空間的位移所形成和電子是一個(gè)有一定形狀的波包兩種想法都遇到很大困難。.德布羅意波的統(tǒng)計(jì)解釋微觀粒子的空間分布表現(xiàn)為具有連續(xù)特征的波動(dòng)性。正因?yàn)槿绱?，德布羅意波與機(jī)械波、電磁波不同，它是一種沒(méi)有能量轉(zhuǎn)移的概率波。此處應(yīng)再次重點(diǎn)說(shuō)明：類比法是科學(xué)研究中的一種重要方法。hp=mv=—4。德布羅意關(guān)系式 九是德布羅意對(duì)科學(xué)的貢獻(xiàn)對(duì)于光子，由于入丫=口所以從光子的能量、動(dòng)量求光子的頻率v和波長(zhǎng)人只需愛(ài)因斯坦關(guān)系E=hv。對(duì)于靜止質(zhì)量不為零的實(shí)物粒子，由于入vWv,所以由實(shí)物粒子的能量、hp-mv--動(dòng)量求德布羅意波長(zhǎng)人和頻率V時(shí)需德布羅意關(guān)系式 九和￡=加。2=hu這兩個(gè)獨(dú)立的關(guān)系式。此處應(yīng)重點(diǎn)說(shuō)明：科學(xué)理論的發(fā)展總是在前人已有的理論基礎(chǔ)上發(fā)展的，學(xué)生既要善于繼承前人已有的知識(shí)，又要有所創(chuàng)新。四.電子顯微鏡.由于微觀粒子的波動(dòng)性，人們利用電子的波動(dòng)性和短波長(zhǎng)，可使顯微鏡的分辨率大大提高。用電子波代替光波制成的顯微鏡稱為電子顯微鏡。.電子顯微鏡比光學(xué)顯微鏡的分辨率要高得多。.光學(xué)顯微鏡與電子顯微鏡的成像原理對(duì)照。光學(xué)顯微鏡是利用光經(jīng)過(guò)不均勻媒質(zhì)時(shí)的折射現(xiàn)象，使從一點(diǎn)向各方向發(fā)出的光束，通過(guò)由玻璃制成的透鏡組重新會(huì)聚在一點(diǎn)上,達(dá)到成像和放大的目的。由電磁學(xué)的知識(shí)可知，電子通過(guò)不均勻電場(chǎng)和磁場(chǎng)時(shí)也要發(fā)生偏轉(zhuǎn),如同光線的折射一樣。電子顯微鏡就是利用電子波通過(guò)軸對(duì)稱的非均勻電場(chǎng)和磁場(chǎng)組成的靜電透鏡、磁透鏡使電子波折射后重新聚焦成像并達(dá)到放大的目的。第43次課日期周次星期學(xué)時(shí)：2一內(nèi)容提要：確定關(guān)系一.不確定關(guān)系二.用不確定關(guān)系討論幾個(gè)具體例子定諤方程.波函數(shù).薛定諤方程目的與要求：理解一維坐標(biāo)動(dòng)量不確定關(guān)系。了解波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋；了解一維定態(tài)薛定諤方程。重點(diǎn)與難點(diǎn)：一維坐標(biāo)動(dòng)量的不確定關(guān)系波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋；薛定諤方程的建立。教學(xué)思路及實(shí)施方案：本次課應(yīng)強(qiáng)調(diào)：由光學(xué)單縫衍射公式可推出電子的單縫衍射公式，進(jìn)而得到不確定關(guān)系。這也說(shuō)明電子等實(shí)物粒子和光一樣具有波動(dòng)性。因此不確定關(guān)系也是因?yàn)閷?shí)物粒子具有波動(dòng)性的必然結(jié)果。通過(guò)不確定關(guān)系在具體問(wèn)題中的應(yīng)用強(qiáng)調(diào)：數(shù)量級(jí)的估計(jì)也是科學(xué)研究中的重要方法。數(shù)量級(jí)的估計(jì)能對(duì)該體系作定性的分析，其結(jié)果在量級(jí)上是可靠的。普朗克常量是量子力學(xué)的特征參量。經(jīng)典物理的的適用范圍是：普朗克常量在所討論的問(wèn)題中可看作為零。既然微觀粒子具有波粒二象性，其運(yùn)動(dòng)不能用經(jīng)典的坐標(biāo)、動(dòng)量、軌道等概念來(lái)精確描B述。在量子力學(xué)中，微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用波函數(shù)甲(Jt)描述，反映微觀粒子運(yùn)動(dòng)的基本方程稱為薛定諤方程，它是有關(guān)波函數(shù)的偏微分方程。薛定諤方程和關(guān)于波函數(shù)的解釋，其實(shí)是量子力學(xué)的基本假設(shè)。我們接受這些假設(shè)，是因?yàn)橛纱送瞥龅慕Y(jié)論能反映微觀粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，能解釋實(shí)驗(yàn)結(jié)果。通過(guò)與光的類比可以得到波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋。可以讓學(xué)生較容易理解波函數(shù)的物理意義。通過(guò)對(duì)比說(shuō)明：物質(zhì)波的波函數(shù)中與電磁波的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量有不同之處。教學(xué)內(nèi)容：確定關(guān)系一.不確定關(guān)系設(shè)一束德布羅意波長(zhǎng)為人的電子束(或光子束)，經(jīng)縫s衍射后到達(dá)屏幕。

由于衍射，光子或電子的速度方向發(fā)生改變，其動(dòng)量在X方向的分量1不確定量為P氏Psin8=P九AxX ,用德布羅意公式入=h/P,可得AP一式中Ax是電子的x坐標(biāo)的不確定量，AP是電子的動(dòng)量的x分量的不確定量?？紤]到衍射條紋的次極大，可得AxAP>hx這就是不確定關(guān)系。不確定關(guān)系說(shuō)明：位置不確定量越小，則同方向上的動(dòng)量不確定量越大。這就是說(shuō)，粒子的位置限制的越準(zhǔn)確，則動(dòng)量值越不能準(zhǔn)確地確定。這個(gè)結(jié)論和實(shí)際衍射實(shí)驗(yàn)結(jié)果完全相符。能量和時(shí)間這一組量之間的不確定關(guān)系：AEAt>h二.用不確定關(guān)系討論幾個(gè)具體例子我們經(jīng)常用不確定關(guān)系來(lái)估算微觀體系的基態(tài)能量，以求得數(shù)量級(jí)的知識(shí)，對(duì)該體系作定性的分析。其結(jié)果在量級(jí)上是可靠的。1.05義10一34=1.15*106m/s1.原子線度的數(shù)量級(jí)為10T°米，所以氫原子核外的電子位置的不準(zhǔn)確量Ax也為10T1.05義10一34=1.15*106m/smAx 9.1義10-31x10-10若按經(jīng)典理論，氫原子中電子在軌道上的速度為106m/s,即AVx與Vx同數(shù)量級(jí)。因此電子在原子中的運(yùn)動(dòng)用軌道來(lái)描述是不恰當(dāng)?shù)摹?.若在威爾遜云室中做徑跡實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)中可測(cè)得電子位置的不準(zhǔn)確量。由不確定關(guān)系可得速度的不準(zhǔn)確量AVx為Ah 1.05x10-34Av= = 氏12x mAx 9.11x10-31x10-5 m/s實(shí)際上，在上述徑跡實(shí)驗(yàn)中，電子速度Vx可接近光速。因此AVx和Vx相比，可認(rèn)為AVxT0。這就意味著我們能非常準(zhǔn)確地確定電子的速度，所以在威爾遜云室中做徑跡實(shí)驗(yàn)，可按經(jīng)典物理的概念處理問(wèn)題。通過(guò)這兩例題應(yīng)重點(diǎn)說(shuō)明經(jīng)典物理的適用范圍。定諤方程一.波函數(shù)我們從自由粒子入手，介紹波函數(shù)的物理意義。甲2=￥乎*、就表示粒子在t時(shí)刻在(x,y,z)處單位體積內(nèi)出現(xiàn)的概率，稱為概率密度。玻恩的統(tǒng)計(jì)解釋與實(shí)驗(yàn)一致并為物理學(xué)界所公認(rèn)。波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件是：?jiǎn)沃怠⒂邢?、連續(xù)函數(shù)。波函數(shù)中的歸一化條件：J乎2dV=1凡滿足這條件的函數(shù)都稱為歸一化函數(shù)。應(yīng)該注意，物質(zhì)波的波函數(shù)中與電磁波的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量有一基本不同之處。即，電磁波的自身是有物理意義的物理量，它說(shuō)明電磁場(chǎng)的強(qiáng)弱；而物質(zhì)波的中本身卻沒(méi)有什么直觀的才反映著粒子出現(xiàn)的概率密度。物理內(nèi)容，只有乎2

才反映著粒子出現(xiàn)的概率密度。物理內(nèi)容，只有二.薛定譚方程薛定譚方程是量子力學(xué)中的基本方程，象經(jīng)典力學(xué)中的牛頓方程一樣，它是不能由其它基本原理推導(dǎo)出來(lái)的。量子力學(xué)中的一個(gè)基本假定是將力學(xué)可觀察量變成相應(yīng)的算符并作用在波函數(shù)上。一戶X一戶y,hd一戶X一戶y=I 2kdx,hd——l 2kdy,hd--i 2kdz.hdi 2兀dt由非相對(duì)論的動(dòng)量一能量關(guān)系E /P、 P2E-T+U(r)=——+UXxyy,z)= (P2+P2+P2)+U(x,y^Z)2m 2mxyz式中T和U分別是粒子的動(dòng)能和勢(shì)能。由此可得h。甲 (h2兀)2d2 d2d2」—-[-(——-(―+—+—)+U(x,y,z心2兀dt 2m dx2dy2dz2這就是非相對(duì)論量子力學(xué)的基本方程一薛定諤方程。若令甲(x,y,z,t)=2(x,y,z)T(t),即所謂分離變量法。由上式可得定態(tài)薛定諤方程+ dy2d2 2m+ dy2+—)V+—(E—U)v-0dz2 h2這個(gè)方程的每一個(gè)解巾(x,y,z)表示粒子運(yùn)動(dòng)的某一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)，與這個(gè)解相應(yīng)的常數(shù)E,就是粒子在穩(wěn)定狀態(tài)的能量求解時(shí)，要求巾(x,y,z)是連續(xù)、單值、有限且歸一化的函數(shù)。因?yàn)檫@些條件的限制，只有當(dāng)薛定諤方程中總能量E具有某些特定值時(shí)才有解。這些特定的能量值稱為本征值，而相應(yīng)的波函數(shù)則稱為本征解或本征函數(shù)。因此，量子力學(xué)能自然地得出量子化法則。第44次課 日期 周次 星期 學(xué)時(shí)：2內(nèi)容提要：和勢(shì)壘中的粒子.一維無(wú)限深勢(shì)阱.隧道效應(yīng)原子.氫原子光譜的實(shí)驗(yàn)規(guī)律.經(jīng)典理論處理氫原子問(wèn)題遇到的困難目的與要求：了解一維無(wú)限勢(shì)阱中粒子的波函數(shù)及其能級(jí)公式；了解隧道效應(yīng)。理解氫原子光譜的實(shí)驗(yàn)規(guī)律。重點(diǎn)與難點(diǎn)：一維無(wú)限勢(shì)阱中粒子的波函數(shù)及其能級(jí)公式氫原子光譜的實(shí)驗(yàn)規(guī)律及玻爾的氫原子理論；描述原子中電子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的四個(gè)量子數(shù)。教學(xué)思路及實(shí)施方案：自由電子在一塊金屬內(nèi)的運(yùn)動(dòng)就相當(dāng)于粒子在勢(shì)阱中的運(yùn)動(dòng)。通過(guò)一維無(wú)限深勢(shì)阱問(wèn)題的求解，讓學(xué)生明白在量子力學(xué)中求解薛定諤方程的步驟。重點(diǎn)說(shuō)明：無(wú)限深勢(shì)阱問(wèn)題中的微分方程和簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)方程形式相同。因此，盡管這兩個(gè)問(wèn)題在物理上是很不同的，但數(shù)學(xué)上是用同樣的方法求解。經(jīng)典理論和量子力學(xué)給出粒子出現(xiàn)在勢(shì)阱內(nèi)各點(diǎn)的概率密度不同。

量子力學(xué)中，粒子能量只能取離散的值，即無(wú)限深勢(shì)阱中粒子的能量E是量子化。按現(xiàn)代宇宙學(xué)的結(jié)論，以地球的壽命為例說(shuō)明：按經(jīng)典理論，盧瑟福的核型結(jié)構(gòu)就不可能是穩(wěn)定的系統(tǒng)?？蓭椭鷮W(xué)生理解盧瑟福模型的困難。教學(xué)內(nèi)容：§11.4勢(shì)阱和勢(shì)壘中的粒子一.一維無(wú)限深勢(shì)阱設(shè)有一勢(shì)場(chǎng)，粒子m在其間勢(shì)能為U=Q Q<x<aU=oo,x<0或x>a——+^21|;——+^21|;二odxz在勢(shì)阱內(nèi)，u=o,可得一維定態(tài)薛定你方程的形式為苴中k2=2mE；h2這一方程和簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)方程形式相同，它的通解為V(x)=Asin(3t+5)要確定A,k,3,只能借助于波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。無(wú)限深方勢(shì)阱中粒子運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)為V(x)=22aasin量子力學(xué)給出粒子出現(xiàn)在勢(shì)阱內(nèi)各點(diǎn)的概率密度為2.一小冗x、二—sin2( )aa這一概率密度是隨x改變的，粒子在有的地方出現(xiàn)的概率大，在有的地方出現(xiàn)的概率小，而且概率分布還和整數(shù)n有關(guān)系。無(wú)限深勢(shì)阱中粒子的能量E：L h2n2E=~n8ma2 n—1,2,3A，由于n是整數(shù)，所以無(wú)限深勢(shì)阱中粒子的能量E是量子化的。相鄰兩能級(jí)之差為h2AE=E—E= (2n+1)n+1 n8ma2對(duì)于微觀粒子，由于m和a2均很小，因此能級(jí)間距AE很大，量子效應(yīng)很顯著。對(duì)于宏觀物體，由于m和a2均很大，因此能級(jí)間距AE很小，完全可以將其能量分布當(dāng)作連續(xù)的。.隧道效應(yīng)若勢(shì)能分布為勢(shì)壘時(shí)，對(duì)于總能量E低于勢(shì)壘U0的粒子，按照經(jīng)典的觀念，不可能穿透到區(qū)域n和m。但是在量子力學(xué)中，薛定諤方程給出的解力在x>0的區(qū)域仍有一定的值，雖然是逐漸衰減的。這說(shuō)明在量子力學(xué)中，一個(gè)粒子能穿越按經(jīng)典觀點(diǎn)看來(lái)是絕對(duì)不透明的勢(shì)壘，這是量子力學(xué)的顯著特點(diǎn)之一。這現(xiàn)象被形象地稱為隧道效應(yīng)。這一現(xiàn)象已為許多實(shí)驗(yàn)證實(shí)。例如a粒子從放射性核中釋放出來(lái)就是隧道效應(yīng)的結(jié)果。.掃描隧道顯微鏡盡管電子顯微鏡已成為近代用于研究材料結(jié)構(gòu)的有力工具，但由于高速電子會(huì)穿進(jìn)樣品深處，樣品表面信息與深層次信息混在一起，不能精確反映樣品表面的性質(zhì)，所以并不十分適用于研究材料的表面結(jié)構(gòu)。掃描隧道顯微鏡可以很精確地觀察材料的表面結(jié)構(gòu)，因而成了研究表面物理和其它實(shí)驗(yàn)研究的重要顯微工具。掃描隧道顯微鏡的特點(diǎn)是不用光源也不用透鏡。它的顯微部件是一枚細(xì)而尖的金屬(如鎢)探針。探針可以尖到針尖處僅有一個(gè)原子，因此這種顯微鏡有很高的精度。它的工作原理是量子隧道效應(yīng)。四.氫原子光譜的實(shí)驗(yàn)規(guī)律由于光譜儀器的精確性，原子光譜的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)就成為檢驗(yàn)原子理論的有力武器。1885年巴爾末將組成氫原子可見(jiàn)光譜的各條譜線湊成一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式來(lái)表示：111▽=_=R(--—)X ,2n n=1,2,3A其中人是波長(zhǎng)，▽是單位長(zhǎng)度內(nèi)所含有的波數(shù)，R稱為里德堡常數(shù)。根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果得到的里德堡常數(shù)R的值為 R=1996776x1。7/m五.經(jīng)典理論處理氫原子問(wèn)題遇到的困難1911年盧瑟福在a粒子散射實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上提出了原子的核型結(jié)構(gòu)。按盧瑟福原子模型,因質(zhì)子質(zhì)量約為電子質(zhì)量的1837倍，可近似看作核不動(dòng)而電子繞核在庫(kù)侖場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。其向心力由氫原子核與核外電子的庫(kù)侖吸引力所提供V262m—二 r4犯r20氫原子系統(tǒng)的總能量TOC\o"1-5"\h\z1ce2 e2E=E+E=—mv2— 二— kp2 4的r2 8的r0 0其中已取了「一8處為零勢(shì)面。根據(jù)經(jīng)典電磁理論，繞核運(yùn)動(dòng)的電子既是在作變速運(yùn)動(dòng)，必將不斷地以電磁波的形式輻射能量，輻射出的電磁波頻率應(yīng)等于繞核轉(zhuǎn)動(dòng)的頻率\o"CurrentDocument"1 e2[ ]122兀r4兀smr0按經(jīng)典理論，盧瑟福的核型結(jié)構(gòu)不可能是穩(wěn)定的系統(tǒng):按照能量轉(zhuǎn)換與守恒定律，氫原子向外輻射能量必將導(dǎo)致整個(gè)原子系統(tǒng)總能量E的不斷減少，電子繞核作圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑也將減小。由于經(jīng)典理論對(duì)電子繞核作圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑?jīng)]有任何限制，因此電子繞核轉(zhuǎn)動(dòng)頻率將逐漸改變，即所發(fā)射的光譜應(yīng)是連續(xù)的。這與原子線狀光譜的實(shí)驗(yàn)事實(shí)不符。同時(shí)由于輻射的緣故，電子的能量會(huì)逐漸減少，它將沿螺線逐漸接近原子核，最后落在核上。因此按經(jīng)典理論，盧瑟福的核型結(jié)構(gòu)就不可能是穩(wěn)定的系統(tǒng)。例如地球的壽命按現(xiàn)代宇宙學(xué)的結(jié)論大約為100億年，在這期間可繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)1010圈。如果讓電子也繞原子核轉(zhuǎn)1010圈，按經(jīng)典理論可計(jì)算其壽命只有10—6秒。這就和原子一直是穩(wěn)定的實(shí)驗(yàn)事實(shí)水火不相容。第45次課日期 周次 星期 學(xué)時(shí)：2內(nèi)容提要：原子.玻爾的氫原子理論.氫原子的量子力學(xué)處理.電子自旋子殼層結(jié)構(gòu)一.原子殼層結(jié)構(gòu)目的與要求：理解玻爾的氫原子理論;了解氫原子電子的能量量子化、角動(dòng)量量子化和角動(dòng)量的空間量子化的意義;了解施特恩―蓋拉赫實(shí)驗(yàn)及電子的自旋;了解描述原子中電子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的四個(gè)量子數(shù)。了解了解泡利不相容原埋和原子的電子殼層結(jié)構(gòu)。重點(diǎn)與難點(diǎn)：玻爾的氫原子理論；描述原子中電子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的四個(gè)量子數(shù)。教學(xué)思路及實(shí)施方案：本節(jié)先從實(shí)驗(yàn)上研究氫原子線狀光譜的分布規(guī)律，然后再研究玻爾的氫原子理論和氫原子的量子力學(xué)處理方法。有利于學(xué)生理解人類認(rèn)識(shí)物質(zhì)世界是如何由淺入深的。讓學(xué)生明白：如果舊理論中的常數(shù)能在新理論中用更基本的常數(shù)表示，則理論就向前進(jìn)了一大步。玻爾理論做到了這一點(diǎn)。它不僅解釋了氫原子光譜的實(shí)驗(yàn)規(guī)律，而且能用更基本的常數(shù)來(lái)表示Ro玻爾的角動(dòng)量量子化條件可以通過(guò)德布羅意駐波來(lái)理解。教學(xué)內(nèi)容：§11.5氫原子三.玻爾的氫原子理論玻爾把氫原子核外的電子看作經(jīng)典粒子，因此電子繞核的運(yùn)動(dòng)仍服從經(jīng)典力學(xué)規(guī)律。由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，電子繞核作圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為V262m—二 r4犯r2o玻爾假定電子繞核作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)只能在一些穩(wěn)定軌道上，這些穩(wěn)定軌道滿足角動(dòng)量量子化條件，即L=mvr=nh n=1,2,3Ann，穩(wěn)定軌道的半徑為4兀8h2r=一「n2nme2 n—1,2,3A,此式表明，穩(wěn)定軌道的半徑只能取離散的值，它的半徑是不可能連續(xù)改變的。因此原子內(nèi)部粒子運(yùn)動(dòng)的圖象和經(jīng)典物理描述的圖象完全不同。電子在以核為心，半徑為rn的軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)的能量為：1 e2 me4 1 1E=mv2- =- ■—=—13.6—n2n4犯r （4犯）22h2n2n2”0n 0 eV這就是說(shuō)，氫原子能量也只能取離散的值，即能量也是量子化的，而且能級(jí)間隔隨量子數(shù)n的增大而迅速減小。當(dāng)n很大時(shí)，能級(jí)間隔非常小，以致能量可看作是連續(xù)變化的。若令n=1,可得基態(tài)能級(jí)的能量。此外，玻爾還假定只有當(dāng)電子從一個(gè)具有較高能量的穩(wěn)定狀態(tài)En躍遷到另一個(gè)較低能量Ek的穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，原子才發(fā)射單色光，頻率Vkn為E—ETOC\o"1-5"\h\zV=—n k-knh由上式，可得其波數(shù)為\o"CurrentDocument"Vme4/1 1、V=-kn-= (———)knc 882h3ck2n20\o"CurrentDocument"1 1 1▽=二R(———)與式入2n比較，可得里德堡恒量me4R= =1.097373x107882h3c0 /m這個(gè)理論值與經(jīng)驗(yàn)公式中R的實(shí)驗(yàn)值十分符合，而且是用電子電量e，電子質(zhì)量m，普朗克常數(shù)h，光速c等更基本的常量表示出了R。玻爾理論對(duì)于氫原子和似氫離子光譜的說(shuō)明得到很大的成功。玻爾關(guān)于穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和光譜線頻率的假設(shè)，在原子結(jié)構(gòu)和分子結(jié)構(gòu)的現(xiàn)代理論中，也仍然是有用的概念。玻爾理論是經(jīng)典理論加上量子化條件的混合物，不是一個(gè)內(nèi)洽的理論系統(tǒng)。例1.計(jì)算氫原子中的電子從量子數(shù)n的狀態(tài)躍遷到量子數(shù)k=n-l的狀態(tài)時(shí)所發(fā)射的譜線頻率。并證明當(dāng)n很大時(shí)，這頻率即等于電子在量子數(shù)為n的軌道上繞轉(zhuǎn)的頻率。解:由玻爾理論：電子在半徑rme4解:由玻爾理論：電子在半徑rme4r1 1v- [ ——]—nn-1 8s2h3(n—1)2n0 2me4(2n-1)8s2h3n2(n-1)2o的圓形軌道上繞轉(zhuǎn)的頻率為vmvrnh；s2h2n22 me4V———n——n-n-- /(―0 )- 2兀r 2兀mr24兀2m.兀me2 4s2h3n2n n 0V二V所以當(dāng)n很大時(shí)， n,n—1通過(guò)此例的講解還可介紹玻爾的對(duì)應(yīng)原理：當(dāng)量子數(shù)很大時(shí)，量子物理方程就會(huì)過(guò)渡到經(jīng)典物理方程，量子圖象就與經(jīng)典圖象相同。所以，可以把經(jīng)典物理看作是量子數(shù)很大時(shí)的極限情況。例2.氫原子由基態(tài)被激發(fā)到n-4的激發(fā)態(tài)，請(qǐng)問(wèn)：（1）原子吸收的能量；（2）原子回到基態(tài)時(shí)，其可能發(fā)射的光子的波長(zhǎng)，并標(biāo)明所屬的譜系。―1 …E——13.6 ——0.85eV解：（1） 4 42所以原子吸收的能量：E4-E1-12.75eV（2）從n-4回到基態(tài)，可能發(fā)射的光子的波長(zhǎng)為n-4fnn-4fn-1,n=4fn—2,n—2fn—1,n—4fn—3,n—3fn—1,n—3fn—2,所以共發(fā)射6條譜線，九———————97.4nmE—E4 1九———————487nm

E—E4 2九———————121.7nmE—E2 1九———————1910.7nmE—E4 3九———————102.6nmE—E3 1九———————653.6nmE—E3 2（賴曼系）（巴爾末系）（賴曼系）（帕邢系）（賴曼系）（巴爾末系）三條屬于賴曼系，兩條屬于巴爾末系，一條屬于帕邢系。四.氫原子的量子力學(xué)處理由于氫原子的薛定諤方程的數(shù)學(xué)求解比較繁雜，這里只扼要說(shuō)明其求解的步驟并介紹所得到的一些重要結(jié)果。e2U—— 氫原子的核外電子在核庫(kù)侖場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)。其勢(shì)能態(tài)波函數(shù)滿足如下的球坐標(biāo)系中的定態(tài)薛定諤方程:4垢0r,因而描述電子狀態(tài)的定氫原子的核外電子在核庫(kù)侖場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)。其勢(shì)能態(tài)波函數(shù)滿足如下的球坐標(biāo)系中的定態(tài)薛定諤方程:1S/加、1d加、1 d2^ 2m e2 (r2-L)+ -(sin9—L)+ — 十一(E+ 用r2dr dr r2sinSSS SS r2sin2S。巾2 h2 4后r0式中巾=2（r,。，@）?？捎梅蛛x變量法求解上式，設(shè)

如r,如r,。，4))=R(r)@(0)①(@)其中R只是r的函數(shù)，。只是。的函數(shù)，而①則只是少的函數(shù)。經(jīng)過(guò)一系列的換算、整理,可依次得出分別只含R（r）,@（。）和①（@）的三個(gè)常微分方程□①次 +租2①加2I1d/.Qd&. r7/7八m2——次(sm3--)+[1(1+1)-——/—]0=0sin3d9d9 sin231dz dR、 2m「口 62h2Z（/+1）1D nr?dr dr h2 4后 r2mr20對(duì)氫原子的定態(tài)薛定你方程的求解，就簡(jiǎn)化為對(duì)上面三個(gè)常微分方程的求解。求解時(shí),若要求波函數(shù)必須滿足標(biāo)準(zhǔn)條件和歸一化條件，就可自然地得到〃和/只能取不同的整數(shù)值。波函數(shù)勺就用這三個(gè)量子數(shù)〃」'勺來(lái)表征，也就是說(shuō)，核外電子的狀態(tài)是用這三個(gè)量子數(shù)來(lái)表征的。下面，我們分別說(shuō)明這幾個(gè)量子數(shù)的意義。n叫主量子數(shù)，它表示電子能量的主要部分；其取值為n=1,2,3，…表示能量的量子化特性。對(duì)于氫原子，上述能量是與玻爾能量一致的：TOC\o"1-5"\h\zm me4 1 1E= ?——=—13.6——n （4兀s）22h2n2 n20 eVl叫角動(dòng)量量子數(shù)，簡(jiǎn)稱角量子數(shù)，它描述電子相對(duì)于核運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量（即玻爾所說(shuō)的“軌道”角動(dòng)量），L的大小為：l=0,1,2,3A因電子帶負(fù)電，其軌道運(yùn)動(dòng)必產(chǎn)生“軌道”磁矩：e- he- N=---L=\l（l+1）,--=、.l（l+1）N2m 2m BheN=——=0.927義10-27A.m2其中B2m 叫玻爾磁矩。mt稱為磁量子數(shù)。電子“軌道”磁矩N在外磁場(chǎng)作用下有一定取向，若取外磁場(chǎng)方向?yàn)閆軸正方向，薛定諤方程的解指出電子“軌道”角動(dòng)量L在Z軸方向的投影只取以下分離的值L=mhm=0,±1,±2,±3ANl,l“軌道”磁矩在Z方向的投影只能取以下分離值目=m目m=0,±1,±2,±3ANlB,l顯然，對(duì)于確定的角量子數(shù)l，磁量子數(shù)mi可取2l+1個(gè)值，這表明“軌道”角動(dòng)量（軌道磁矩）在空間的取向只有2l+1種可能。這個(gè)理論結(jié)果叫做角動(dòng)量的空間（取向）量子化。由上所述，既然氫原子核外電子狀態(tài)用量子數(shù)n'l'mi來(lái)表示，氫原子核外電子定態(tài)波函數(shù)即V （r,9,。）=R（r）? （9）0（。）為 n,l,mi n,l l/m ,其絕對(duì)值平方V2給出電子處于由（n，l，ml,）決定的定態(tài)時(shí)在空間（r,。，e）各點(diǎn)出現(xiàn)的概率密度。r,。，很不同，MI2就不一樣。為