數(shù)形結合在解題中的應用(畢業(yè)論文)

數(shù)形結合在解題中的應用摘要：數(shù)形結合思想是一種非常重要的數(shù)學解題方法，是數(shù)學學習普遍適用的方法，把知識的學習、能力的提升和智力的發(fā)展有效結合.形與數(shù)常常結合在一起，在內容上相互聯(lián)系，在方法上互相滲透，在一定條件下互相轉化.本文在概述數(shù)形結合思想的基礎上，分析了數(shù)形結合在中學數(shù)學解題中的應用，主要體現(xiàn)在處理集合問題、方程根的存在性問題、不等式問題、三角函數(shù)問題、求極值問題、線性規(guī)劃問題和復數(shù)問題等，并針對解決不同類型的數(shù)學題目給出了詳細的例題分析，最終給出了在培養(yǎng)學生利用數(shù)形結合思想時需注意的問題，以激發(fā)學生的學習興趣，提高學生的解題能力和思維能力.關鍵詞：數(shù)形結合；集合；方程；極值Thecombinationofnumberandshapeintheproblemsolvingapplication（MathematicsandstatisticsofJishouUniversityCollege，JishouHunan416000）Abstract:Thenumbershapeunionthinkingisaveryimportantmathematicalmethodofsolvingproblems,isagenerallyapplicablemethodofmathematicslearning,toenhancethedevelopmentofeffectivecombinationofintelligenceandknowledgelearning,ability.Formandnumberoftentogether,communicatewitheachotherinthecontent,permeateeachotherinmethod,transformeachotherundercertainconditions.Inthispaper,basedonthenumberandshapeofthought,analysisthenumbershapeunionapplicationinmiddleschoolmathematics,mainlysetproblem,indealingwiththeexistenceofrootofanequation,inequality,trianglefunctionextremumproblems,problems,linearprogrammingproblemsandcomplexproblems,andtosolvedifferenttypesofmathematicsthetitlegivesadetailedanalysisoftheexample,theneedtopayattentiontocombineideasintrainingstudentstousenumbershapewhentheproblemisgiven,tostimulatestudents'interestinlearning,improvestudent'sproblemsolvingabilityandthinkingability.Keywords:Thecombinationofnumberandshape,set,equation,extreme1引言我們學習數(shù)學，不僅僅是數(shù)的計算和形的研究，還有著數(shù)學思想和數(shù)學方法.好的數(shù)學思想能夠引導學生使用正確的數(shù)學方法，從而準確、快速地解決數(shù)學問題，增強學生學習數(shù)學的興趣.數(shù)形結合既是一種思想，也是一種方法.它的本質就是抽象思維與形象思維的結合，以“形”助“數(shù)”，或以“數(shù)”助“形”，使復雜問題簡單化，使抽象問題直觀化.所以，本文在概況數(shù)形結合思想方法的基礎上，詳細分析了數(shù)形結合在中學數(shù)學解題中的應用，并主要從下面幾個方面進行了討論：集合問題、方程根的存在性問題、不等式問題、三角函數(shù)問題、求極值問題、線性規(guī)劃問題和復數(shù)問題等，而且還給出了各種類型對應的實際例題及其詳細的求解過程.2數(shù)形結合思想方法概述主要概述數(shù)形結合的思想方法，并在此的基礎上介紹數(shù)形結合思想的價值，為后面的內容“數(shù)形結合在中學數(shù)學解題中的應用”做鋪墊.2.1

數(shù)形結合的思想方法中學數(shù)學研究的對象是現(xiàn)實世界的數(shù)量關系（數(shù)）和空間形式（形），數(shù)是數(shù)量關系的體現(xiàn)，而形則是空間形式的體現(xiàn).數(shù)形結合思想就是通過“數(shù)”與”形”相結合來解決題目，在中學解題中有著廣泛的應用，通過這個方法，我們常常能很容易的解決問題.2.2

數(shù)形結合思想的價值數(shù)形結合這種思維方法的運用，有助于我們解決中學許多數(shù)學問題，同時加深我們對數(shù)學問題本質的認識，使數(shù)學更具有創(chuàng)造性.數(shù)形結合在中學數(shù)學解題的整個過程中發(fā)揮著重要的作用.它有下面這些優(yōu)點：第一，在解決相關的題目時，數(shù)形結合方法在思路上比較靈活，過程上很簡便，方法上多樣化；第二，數(shù)形結合思想方法為我們提供了很多種解決問題的道路，使我們解決問題更加靈活，也具有創(chuàng)造性；第三，數(shù)形結合豐富的思想內涵，能是引起大家的聯(lián)想，啟迪同學們的思維，拓寬解題的思路；第四，數(shù)形結合思想能提高學生數(shù)形轉化能力，提高學生遷移思維的能力.3數(shù)形結合在中學數(shù)學解題中的應用接來下我主要講述數(shù)形結合在解決集合、不等式、方程、三角函數(shù)、極值、線性規(guī)劃和復數(shù)問題中的應用，并且給出了例題及詳細解答過程，說明了數(shù)形結合在中學數(shù)學解題中應用非常廣泛，是一種重要的解題方法.3.1

利用數(shù)形結合解決集合問題在中學數(shù)學中，集合問題是一類比較簡單的題目，我們常常可以借助韋恩圖或者數(shù)軸來解決這些問題，它的關鍵是怎么樣準確將集合問題轉化為圖形.3.1．1利用韋恩圖解決集合題目例1有48名學生，每人至少參加一個活動小組，參加數(shù)理化小組的人數(shù)分別為28，25，15，同時參加數(shù)理小組的8人，同時參加數(shù)化小組的6人，同時參加理化小組的7人，問同時參加數(shù)理化小組的有多少人？分析我們可用圓、、分別表示參加數(shù)理化小組的人數(shù)（如圖1），則三圓的公共部分正好表示同時參加數(shù)理化小組的人數(shù).解用表示集合的元素，則有：即:所以：答：即同時參加數(shù)理化小組的有1人.圖1例2例若集合且,,試求與.分析

利用韋恩圖把元素放入相應位置，從而寫出所求集合.解如圖2，我們可得：.圖23.1.2

利用數(shù)軸來解決集合問題例3已知，.（1）若,求的取值范圍；（2）若,求的取值范圍.分析在數(shù)軸上標出集合、所含的元素的范圍，利用、的位置關系確定參數(shù)的取值范圍.解（1），利用數(shù)軸得到滿足的不等式組，如圖三，所以實數(shù)的取值范圍是.圖3（2）由知，利用數(shù)軸得到滿足的不等式，，或，所以實數(shù)的取值范圍是.圖4

從上面三個實際的例題可以看出，合理、靈活、巧妙地運用數(shù)形結合來解題，可以將復雜問題簡單化，化難為易，有事半功倍之效.所以，平時應該注意培養(yǎng)數(shù)形結合思想.3.2利用數(shù)形結合解決方程問題數(shù)形集合思想在方程的題目中經(jīng)常用到，尤其是含有一次式、二次式、對數(shù)式和指數(shù)式方程，下面就是幾種常見的題型中用到了數(shù)形結合.3.2.1數(shù)形結合在含有一次、二次式的方程中的應用下面兩個例題將把方程進行變換再求解，再根據(jù)相對應圖形的性質來解答，這樣可以加深我們對基本概念的理解，加強對基本知識與基本技能的靈活運用.例4[5]當時，關于的方程的解的個數(shù)是多少？圖5函數(shù)圖像分析這道題原方程中包含有絕對值運算符號，我們直接求解比較困難，所以，我們能想到求方程解的個數(shù)等價于就其相對應函數(shù)圖形的交點.解

由于則令和如圖5示我們把函數(shù)和的圖像畫出來其交點個數(shù)就是我們方程所以求得的解的個數(shù)即原方程解的個數(shù)是三個例5當取何值時，方程有唯一解？有兩解？無解？分析用換元法，令，再轉化為求解二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點的個數(shù)問題.O圖6解

原方程即

令.則有,再令及.則方程解的個數(shù)等于直線與拋物線的交點的個數(shù)由圖6可知當或時，原方程有唯一解；當時，原方程有兩個不同的實數(shù)解；當或時，原方程無解.3.2.2數(shù)形結合在含對數(shù)、指數(shù)的方程的應用由于對數(shù)式、指數(shù)式形式比較特殊，所以在解決一些含對數(shù)、指數(shù)方程時，我們時?？梢愿鶕?jù)它們性質畫圖來解.例6..1個

.2個

.3個

.1個或2個或3個解出兩個函數(shù)圖象，由圖7易知兩圖象只有兩個交點，故方程有2個實根,選（）.圖7例7方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為（

）．(0，1)

．(1，2)．(2，3)

．(3，+∞)分析我們可以把原方程拆分成函數(shù)與，求原方程解所在的區(qū)間也就是求這2個函數(shù)的交點所在區(qū)間.y=-x+3y=lgx圖8解如圖8所示，函數(shù)y=lgx與y=-x+3它們圖像交點的橫坐標顯然在區(qū)間(1，3)內，由此可排除，至于選還是選，由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了．實際上這是要比較與2的大?。攛=2時

lgx=lg2

3-x=1．由于lg2＜1因此＞2

從而判定∈(2，3)，故本題應選在上面四個例題中，我們可以知道利用數(shù)和形的各自優(yōu)勢，往往能使我們盡快地找到解題途徑或簡化解題過程，給解題帶來極大的方便.3.3

數(shù)形結合在求不等式問題中的應用不等式在中學數(shù)學有著重要地位，而不等式的證明又是個難題，它的題型廣泛、靈活.下面我將從運用代數(shù)式的幾何意義或借助函數(shù)的圖象構造幾何圖形入手，利用數(shù)形結合的思想來巧妙地求解不等式問題.3.3．1構造適當?shù)钠矫鎴D形，利用三角形三邊的關系來證明不等式我將舉常見的兩個證明題，并且給出詳細解答步驟，來說明不等式和數(shù)形結合思想的巧妙結合.例8已知實數(shù)，請證明如下不等式成立.分析：我們可以構造一個四邊形，在利用勾股定理來解.證明：如圖9所示，作以,