剛體力學(xué)基礎(chǔ)

剛體力學(xué)基礎(chǔ)大家好，這周三就要進(jìn)行大物期中考試了。不知道大家準(zhǔn)備得怎么樣。俗話說，春困、夏乏，恐怕大家平時(shí)上大物也沒少打過盹，作物理怕是牽著夢的手，跟著感迸走。今天我們—、剛體槪念前一節(jié)課，于卓群同學(xué)已經(jīng)帶大家復(fù)習(xí)了這本書的一二章，也就是質(zhì)點(diǎn)力學(xué)部分，相信這一部分大家還是相當(dāng)熟悉的，畢竟高中三年都誰沒被該死的小滑塊折磨得不要不要的。質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的硏究是建立在質(zhì)點(diǎn)這個(gè)經(jīng)典的理想模型之上的，對(duì)質(zhì)點(diǎn)的硏究大概可以追溯到伽利略，質(zhì)點(diǎn)的定義大家都知道吧？（質(zhì)點(diǎn)是有質(zhì)量但不存在體積的理想化模型，在物體大小形狀不起作用的時(shí)候，我們就可以將物體看成質(zhì)點(diǎn)）＞但是我們但是我們都清楚，很多情況下物體本身在運(yùn)動(dòng)中并不能忽略。所以今天，我們引入一個(gè)新的模型一一剛體。剛體模型的引入要比質(zhì)點(diǎn)晚得多，要到17世紀(jì)。（有歐拉、拉格朗日、科瓦列夫斯卡婭?？仆吡蟹蛩箍▼I：歷史上第一位女?dāng)?shù)學(xué)博士）這幾個(gè)人都是數(shù)學(xué)家，所以剛體力學(xué)不難才怪。剛體的定義：是指在運(yùn)動(dòng)中和受力后個(gè)發(fā)生形變的物體。大家知道，有沒有不發(fā)生形變的物體呀？所以剛體是一個(gè)不存在的理想化模型。這里提醍大家一句，學(xué)習(xí)這部分的時(shí)候大家一定要認(rèn)真。大家知道下學(xué)期要學(xué)《理論力學(xué)》。這門課的掛科率大家都憧的。里面會(huì)少不了涉及剛體動(dòng)力學(xué)的知識(shí)。所以，大家這節(jié)課要認(rèn)真聽。爭取把平時(shí)上課睡覺落下的東西補(bǔ)回來。二、剛體動(dòng)力學(xué)的硏究在動(dòng)力學(xué)的框架下只有兩種理想模型那就是—質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系，質(zhì)點(diǎn)大家都熟悉，其他而不能看作質(zhì)點(diǎn)的物體，我們可以將其看成質(zhì)點(diǎn)系，包括彈性體呀、流體、還有這節(jié)課要講的剛體。質(zhì)點(diǎn)系有三大性質(zhì)質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量的改變與內(nèi)力無關(guān)；質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量的改變與內(nèi)力無關(guān)；質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械能的改變與保守力無關(guān)。由于剛體的特點(diǎn)是不能發(fā)生形變，所以剛體還可以定義作一個(gè)質(zhì)量連續(xù)分布、質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的特殊質(zhì)點(diǎn)系。在后面的推導(dǎo)中這是一個(gè)最基本思路。三、剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)說實(shí)話，剛體的運(yùn)動(dòng)其實(shí)是一個(gè)很復(fù)雜的問題，一方面是因?yàn)樗倪\(yùn)動(dòng)形式多：平動(dòng)、定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)等等。還有各種運(yùn)動(dòng)形式的疊加，就算是最簡單的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平動(dòng)放在一起，都?jí)蚰阏垓v的了。但是這一章我們只學(xué)習(xí)其中最最簡單的部分，那就是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。我們先來看一下定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述首先我們研究轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)候一般是采用什么座標(biāo)系啊？(極座標(biāo)系)而后由于剛體是質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，所以我們研究剛體運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，只要硏究其中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，因?yàn)槠渌|(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)情況和這個(gè)質(zhì)點(diǎn)是一樣的，所以前面質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律我們都可以用上對(duì)于整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系：w=de/dt對(duì)于這個(gè)角加速度，有人問我為什么方向?yàn)槭裁聪蛏希抑荒芨嬖V你，這是王八的屁股——龜月定。我去翻了相關(guān)書籍，這種矢量叫軸矢量，也叫偽矢量。P=du)/dt=d20/dt2對(duì)于某個(gè)質(zhì)點(diǎn)：an=(juv=ujr2

其他的一些運(yùn)動(dòng)規(guī)律也都一樣，這里就不在贅述了。四、力矩與質(zhì)點(diǎn)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)一樣，對(duì)于定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)而言。M=Fd=FrsmaM=rxF但是對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物體，由于轉(zhuǎn)軸已經(jīng)確定了所以將力逬行分解，如圖。由于平行與軸方向的力不產(chǎn)生沿軸方向的力矩必=FxF=FxF丄所以有兩點(diǎn)要注意⑵一般規(guī)定，使剛體逆時(shí)針繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)M>0⑵一般規(guī)定，使剛體逆時(shí)針繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)M>0,使剛體順時(shí)針繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)M<0。其中3是質(zhì)元△m繞軸作圓運(yùn)動(dòng)的加速度.寫為分量式:-F外力cos?+F內(nèi)力cos%=卜叫％f外力sine+F內(nèi)力sin?=由于法向力不產(chǎn)生力矩,所以只看切向，將心二0仃帶入得。

外力cosy+F內(nèi)力cos%=Am川切向:F外力sina；+F內(nèi)力sin%=Am"兩邊同時(shí)乘以n得。F外力碼sin[,+F內(nèi)力x紈叫=貳p

內(nèi)力矩為零剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理M=J0六、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體作轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)對(duì)慣性的量度描述。對(duì)于質(zhì)點(diǎn)和離散的質(zhì)點(diǎn)系J=YMFI對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體J=jr2dm單位,kg*m2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的推導(dǎo)，我們要知道關(guān)于繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的兩大定理1）平行軸定理2）垂直軸定理由于老師說不作為考點(diǎn)，我這里就不多說了，我在課下曾經(jīng)幫一位同學(xué)整理過，如果有誰想要的話，請(qǐng)課下單獨(dú)聯(lián)系我。但要知道，關(guān)于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小與下列因素有關(guān)：1）形狀大小分別相同的剛體質(zhì)量大的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大；（質(zhì)量）

2） 總質(zhì)量相同的剛體，質(zhì)量分布離軸越遠(yuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大；（形狀）3） 對(duì)同一剛體而言，轉(zhuǎn)軸不同，質(zhì)量對(duì)軸的分布就不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小就不同。（軸的位置）最后，關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,在多說幾句，其實(shí)這個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,是個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的東西，他不是標(biāo)量也不是矢量而是一種二階張量，如果要表示要用3x3的矩陣表式，但是由于我們硏究的是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，相當(dāng)于只是硏究了其中的一個(gè)分量，所以我們?cè)谶@里把它當(dāng)標(biāo)量處理。式中人=2>叫（才?人二為皿:兀兒：~r/?=ZA/wa；s：?I人嚴(yán)》MU+f）:?iI+，：）??七、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體的動(dòng)能對(duì)于動(dòng)能的定義，我們應(yīng)該很清楚了-mv22對(duì)于旋轉(zhuǎn)的剛體，我們?nèi)园凑?，剛體是質(zhì)點(diǎn)系這一思路先選擇質(zhì)點(diǎn)系中的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)Ek<=扣“屏又因?yàn)?v=wr

Eki=舟伽/F討“3對(duì)于整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系有Ek=壬豔曲乍壯2力矩的功與動(dòng)能一樣，還是從質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中功的定義出發(fā)dW=F?亦我們假設(shè)一個(gè)剛體在一個(gè)力的作用下作圓周運(yùn)動(dòng)=F?麻Fggyis由s=0r所以ds=rdO原式等于=（F『sina）d8所以dW=MdSf0W=IMdedw deN= =M—=Mg)/it fit剛體的動(dòng)能定理在質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中，我們知道有動(dòng)能定理W.^+W^=AEk=Ek-Ekn通過一二的推導(dǎo)我們知道W外力=J&M鶴=-Jg>2?又因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能的改變與內(nèi)力無關(guān)，即W內(nèi)力"這樣我們就得到了我們熟知的動(dòng)能定理微分形式：Mde=積分形式：Mde=-Jar--JfijfJ&o 2 2

P=mvrsina'r"八、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理P=mvrsina'r"剛體角動(dòng)量還是從質(zhì)點(diǎn)開始，對(duì)于定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)而言，上一章我們已經(jīng)給過了角動(dòng)量的定義L=rxP=fx(mv)單位為kg-m2-s_1方向遵循右手定則。而對(duì)于繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體