三角恒等變換-2020年高考數(shù)學(xué)（理）一遍過含解析

考點(diǎn)16三角恒等變換

。,考擁原文

i.和與差的三角函數(shù)公式

（1）會用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式.

（2）能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式.

（3）能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公

式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.

2.簡單的三角恒等變換

能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡單的恒等變換（包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但對這三組公式不要

求記憶）.

仁）知識整合

一、兩角和與差的三角函數(shù)公式

1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

(1)C(a”)：cos(a-/?)=cosacos/?-I-sinezsin/3

(2)Cg+0)：cos(6Z+/?)=cosacosf3-smasin/?

(3)Sg+尸)：sin(a+/?)=sinacos[3+cosasin(3

(4)Sg_￡)：sin(6Z-/?)=sinacos/?-cosasin/?

T/小tan(7+tan〃兀，77、

(5)[a+m：tan(cr+^)=-----------~^(a，B，a+0豐二+

“1-tantanp2

e,八、tana-tanB/八八兀，，

(6)1。_仍：tan(ci<-/?)=-----------}(a，B，a-/3手K+kji,ksZ)

1+tantanp2

2.二倍角公式

(1)S2a：sin2a=2sinacosa

*123456222

(2)C2a：cos26z=cosez-sin6z=l-2sinrz=2cos^z-l

/、ec2tana,兀口E兀，

(3)T：tan2a=--------—(zawku-\—日一aw----1—,kGZ)

?1-tan"a224

3.公式的常用變形

/、,.八、八八、citan(7+tan/?tana-tan/?1

(1)tanor±tan/?=tanz(6Z±Z?)(ltantanZ7)；tanatan/3=1-----------------=----------------1

tan(a+尸)tan(a-p)

(2)降幕公式：sin2a=--cos^a.cos2a=+C°S；sinacosa=—sin2a

222

(3)升幕公式：1+cos2a=2cos2a；l-cos26z=2sin2cr；1+sin2a=(sina+cosa)2；

1一sin2a=(sina-cosay

(4)輔助角公式：asinx+bcos犬=1+b2sin(x+夕),其中cos0=/〃=,sin0二/b二

yja2+/72\Ja2

b

tane=—

a

二、簡單的三角恒等變換

1.半角公式

/、afl-coscrsina1-cosez

(3)tan-=±----------=-----------=-----------

2V1+cosa1+COS6Zsina

【注】此公式不用死記硬背，可由二倍角公式推導(dǎo)而來，如下圖:

2.公式的常見變形(和差化積、積化和差公式)

(1)積化和差公式：

cosacos(3=—[cos(6z+/?)+cos(cr-/?)」；

sinasinP=——[cos(a+/7)-cos(a-J3)]；

sinacos0=g|sin(a+/?)+sin(a-/?)]；

cosasin(3=—[sin(a+^)-sin(￡z-/?)].

(2)和差化積公式：

sina+sinf3=2sincos—~~~；

22

,?々ooc+p.a—f3

sina-sinp-2cos—sin―不一；

a+/3a—P

coscr+cosp=2cos-----cos.......-；

22

cosa-cos尸=-2sin"十＞sin―—―.

22

漢武重點(diǎn)考向,

考向一三角函數(shù)式的化簡

1.化簡原則

(1)一看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，正確使用公式；

(2)二看函數(shù)名稱之間的差異，確定使用的公式，常見的有“切化弦”；

(3)三看結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幕”等.

2.化簡要求

(1)使三角函數(shù)式的項數(shù)最少、次數(shù)最低、角與函數(shù)名稱的種類最少；

(2)式子中的分母盡量不含根號.

3.化簡方法

(1)切化弦：

(2)異名化同名;

（3）異角化同角;

（4）降）或升嘉.

典例引領(lǐng)

典例1化簡：.

【解析】原式.

【方法技巧】（1）三角化簡的常用方法：異名三角函數(shù)化為同名三角函數(shù)，異角化為同角，異次化為同次,

切化弦，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化.

（2）三角化簡的標(biāo)準(zhǔn)：三角函數(shù)名稱盡量少，次數(shù)盡量低，最好不含分母，能求值的盡量求值.

（3）在化筒時要注意角的取值范圍.

變式拓展

1?化簡Jl-sin6-Jl+si+6=

A.2sin3B.2cos3

C.-2sin3D.-2cos3

考向二三角函數(shù)的求值問題

1.給角求值

給角求值中一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細(xì)觀察會發(fā)現(xiàn)非特殊角與特殊

角之間總有一定的關(guān)系.解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式將非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊

角的三角函數(shù)，從而得解.

2.給值求值

已知三角函數(shù)值，求其他三角函數(shù)式的值的一般思路：

（1）先化簡所求式子.

（2）觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系（從三角函數(shù)名及角入手）.

（3）將已知條件代入所求式子，化簡求值.

3.給值求角

通過求角的某種三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時，有以下原則：

(1)已知正切函數(shù)值，則選正切函數(shù).

(2)已知正、余弦函數(shù)值，則選正弦或余弦函數(shù).若角的范圍是(0,四)，則選正、余弦皆可；若角的范

2

圍是(0,n)，則選余弦較好；若角的范圍為(-四,四)，則選正弦較好.

22

4.常見的角的變換

(1)已知角表示未知角

例如：a=(a+(3)_(3=p_〈/3_ay2a=(a+4=,

八c,c、八c,八、a-\-Ba-Ba+Z?a-B

2a+/?=(a+/7)+a,2a一月=(a-/?)+a,a--^-+―,pn=------.

(2)互余與互補(bǔ)關(guān)系

TV3JTTT717c

例如：(—+a)+(;---a)=n,(—+?)+(——a).

44362

(3)非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角

例如：15°=45°-30°,75°=45°+30°.

典例引領(lǐng)

典例2求下列各式的值：

兀371兀兀

(1)cos—+cos--2sin—cos—;

8848

(2)sin1380-cos120+sin54°.

兀3兀Ti3K

,Tt37171Itoooo[—n7t71/T-7C

【加牛物】(1)cos—+cos--2sin-cos-=2cos-----cos-^——<2cos-=2cos-cos---7Zcos-=

8848228488

■J5cos-—V2cos-=0.

"88

(2)sin1380-cos120+sin54°=sin420-cos120+sin54°=sin42°-sin780+sin54°=-2cos60°sin180+sin54°=

2cos360sinl80cosl8。cos360sin36。_2cos360sin36。_sin72。_]_

sin540-sin18°=2cos360sin18°=

cosl8°cosl802cosl802cosl802

【名師點(diǎn)睛】“給角求值”，一般給出的角都是非特殊角，觀察發(fā)現(xiàn)題中的角與特殊角都有著一定的關(guān)系，如

和或差為特殊角，必要時運(yùn)用誘導(dǎo)公式.

變式拓展

y/s-tan20°

sin20°

A.1B.2

C.3D.4

典例引領(lǐng)

典例3已知tan(a-4)=；,tan%-；,且a,4G(0,兀)，則2a-￡=

兀兀

A.—B.---

44

3兀兀-3兀

C.----D.一或----

444

【答案】C

2tan(a-y0)4

【解析】因為tan2(a-Q)=-----------不=-------=-,

l-tan-(a-/7)「占3

tan2(a-/7)+tan/7

所以tan(2a-^)=tan[2(a-/?)+p\-

1一tan2(a-")tan〃

tan(a一夕)+tan夕

又tana=tan[(a-/?)+y?]=

l-tan(a-/?)tan^

乂?！?0,兀)，所以0<a<..

4

JI371

又—<p<n,所以-7c〈2a-A<0,所以2a-0=--.

故選C.

【名師點(diǎn)睛】在解決給值求角問題時，不僅要注意己經(jīng)明確給出的有關(guān)角的范圍，還要結(jié)合有關(guān)角的三角

函數(shù)值盡可能地縮小角的范圍.

變式拓展

3.己知a,/?￡[0,5),cos?4,cos(a)=-ll,

+/?則尸=

兀5兀

A.-B.

6V2

71兀

C.一D.

43

典例引領(lǐng)

典例4在平面直角坐標(biāo)系中，以軸為始邊作角，角的終邊經(jīng)過點(diǎn).

(1)求的值；

(2)求的值.

【解析】(1)由于角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，

所以，.

(2).

則，

故.

【名師點(diǎn)睛】解給值求值型問題的一般思路是：先看公式中的量,哪些是已知的，哪些是待求的,再利用己知條

件結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出待求值，注意根據(jù)角的象限確定符號.這類求值問題關(guān)鍵在于結(jié)合條件

和結(jié)論中的角，合理拆、配角.

變式拓展

4.已知aw(~，兀)，且sincc+coscc----—?，則cos2a—

23

A.正B.—立

33

「26n2>/5

33

考向三三角恒等變換的綜合應(yīng)用

1.與三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)相結(jié)合的綜合問題

(1)利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化成產(chǎn)4sin@x+3)+r或產(chǎn)Acos(ox+9)+f

的形式.

2兀

(2)利用公式T=—(口＞0)求周期.

co

(3)根據(jù)自變量的范圍確定3x+p的范圍，根據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值，另外求最

值時，根據(jù)所給關(guān)系式的特點(diǎn)，也可換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值.

(4)根據(jù)正、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間列不等式求函數(shù)產(chǎn)4sin(ox+9)+f或產(chǎn)43(5+0)+/的單調(diào)區(qū)間.

2.與向量相結(jié)合的綜合問題

三角恒等變換與向量的綜合問題是高考經(jīng)常出現(xiàn)的問題，一般以向量的坐標(biāo)形式給出與三角函數(shù)有關(guān)的

條件，并結(jié)合簡單的向量運(yùn)算，往往是兩向量平行或垂直的計算，即令a=(x“乃)，b=*2,丫2)，則a協(xié)=不檢

+%”，a//b^x\y2=X2y\,a±+yi,y2=0,把向量形式化為坐標(biāo)運(yùn)算后，接下來的運(yùn)算仍然是三角函

數(shù)的恒等變換以及三角函數(shù)、解三角形等知識的運(yùn)用.

3.與解三角形相結(jié)合的綜合問題

(1)利用正弦定理把邊的關(guān)系化成角，因為三個角之和等于兀，可以根據(jù)此關(guān)系把未知量減少，再用三

角恒等變換化簡求解：

(2)利用正、余弦定理把邊的關(guān)系化成角的關(guān)系再用三角恒等變換化簡求解.

【注】此類題中的角是在三角形中，每個角范圍限制在(0,兀)內(nèi)，如果是銳角三角形，則需要限制各個

角均在(0,5)內(nèi).角的范圍在解題中至關(guān)重要，做題時要特別注意.

典例引領(lǐng)

典例5已知函數(shù).

(1)求函數(shù)的對稱中心及最小正周期；

(2)的外接圓直徑為，角，，所對的邊分別為，，.若，且，求的值.

【解析】（1）/（x）=4Gsinxcofix+sin2x-3cos■+1=2Gsin2x-2cos2x=4sin-￡

由2三兀=九，得最小正周期為.

2

令2x—女=E（攵eZ）,得8=%+如GleZ）,

6122

故對稱中心為+如,01().

1122)

(2)V,

又；，二,

即，即，

變式拓展

5.已知a=(cosa,sina),Z>=(cos/?,-sin/?),a,分均為銳角，且,一耳=_1—.

(1)求cos(a+尸)的值；

3

(2)若sina=g,求cos6的值.

6.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a,b,c.0cosc(acosB+Z?cosA)+c=0.

(1)求角C的大??；

(2)若a=&,b=2,求sin(23-C)的值.

、聲點(diǎn)沖關(guān)充

A"B.2

22

2.化簡的結(jié)果是

A.B.

C.D.

（Tt、3

3.已知sin--2x=-,則sin4x的值為

14）5

18,18

A.

2525

77

C.—D.±t—

2525

（兀兀1

4.已知方程》2+3<2￥+3"+1=0（。>1）的兩根分別為tane、tan/?,且a、/?elI,則&+/7=

兀兀-3兀

A.—B.一或----

444

兀33兀3兀

C..或——D.——

884

5.己知，則

A.B.

C.D.

6.已知a力且5由2?85/7=2852&（1+5皿/?）,則下列結(jié)論正確的是

.八兀八兀

A.2a-°=3B.2a+/?=—

C兀c71

C.a+/?=萬D.?-/?=—

7.己知為銳角，為第二象限角，且，，則

11

A.----B.一

22

C.也D,顯

22

8.函數(shù)圖象的一條對稱軸為

7171

A.x=一B.x=一

48

兀71

C.x---D.x---

84

什七sina「,1+cosa

9.若角a滿足;-------=5,則M一；-----=

1-cosasina

15

A.-B.一

52

C.5或二D.5

10.已知平面直角坐標(biāo)系下，角a的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與X軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)尸(4,3),則

cos—k2ct

12

2424

A.—B.

2525

24-247

C.——或----D.

252525

11.=cos50°cos127°+cos4(Pcos37°,/?=--(sin560-cos56o)，c=--1一J9,貝九。，力，

2'71+tan239°

。的大小關(guān)系是

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.a>oh

12.已知sina-cosa=0,貝!Jcos(2a+微)=.

13.已知sinlO+mcosl0=2cosl40?則相=.

14.在斜三角形ABC中，tanA+tanB+tanAtanB=1,則NC=.

15.公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約

為0.618,這一數(shù)值也可以表示為加=2sinl8°.若加2+〃=4,則加+?=.

sin63°

2

16.已知函數(shù)/(x)=sinx+2>/3sinxcosx+sin(x+,若x=x()^0<x()為函數(shù)

/(x)的一個零點(diǎn)，則cos2%o=.

17.平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸(不),%)是單位圓在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，NxOP=a,若cosa+,

\3)1J

則%)+%=__________

18.己知tana=2.

(兀、

(1)求tana+一的值;

I4J

sin2a

(2)求的值.

sin2a+sinacosa-cos2a

19.在△ABC中，內(nèi)角A,3,C的對邊分別為a,dc,已知》=30,cosA=巫,8=A+工.

32

(1)求a的值；

(2)求cos2c的值.

20.在平面直角坐標(biāo)系中，銳角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊為軸的正半軸，終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為.已知

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.

(1)求的值；

(2)求的值.

21.設(shè)函數(shù)/(x)=cos(2x+。).

(1)若函數(shù)為奇函數(shù)，8e(o,兀)，求夕的值：

⑵若夕=*,/(y)=y,ae(0.y),求/⑹的值.

22.已知,(),函數(shù)，函數(shù)的最小正周期為.

(1)求函數(shù)的表達(dá)式;

⑵設(shè)，且，求的值.

23.已知函數(shù)/(x)=J^COSACOSx--+sin:x-———

k2JI6J2

⑴求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)若xe0,-，f(x)=—,求cos2x的值.

4v76

3通高考切

冗

1.（2019年高考全國n卷理數(shù)）已知a￡（0,-）,2sin2a=cos2a+l,則sina二

2

1R亞

A.-D.---------

55

C.—D,

35

2.（2018年高考全國III卷理數(shù)）若sina=l，則cos2a=

3

87

A.-B.-

99

8

c.二D.——

99

711

3.（2017年局考江蘇卷）若tan（a-一）=一，則tana=_A_.

46

4.（2017北京理科）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a與角￡均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若

sina=g,則cos（a-p）=.

5.（2018新課標(biāo)全國H理科）已知sina+cos4=l,cosot+sin/?=0,則sin（a+￡）=.

-1,則sin(2a+：J的值是▲.

6.（2019年高考江蘇卷）已知一即二

tan”力

7.（2019年高考浙江卷）設(shè)函數(shù)/（x）=sinx,xeR.

（1）已知8e[0,2兀），函數(shù)/（x+6）是偶函數(shù)，求）的值;

（2）求函數(shù)y="（x+自]2+"。+押的值域.

34

8.（2018浙江）已知角。的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)外-*-.

（I）求sin（a+兀）的值；

（II）若角B滿足sin（a+夕）=—,求cosy?的值.

4V5

9.(2018江力、)已知a,[3為銳角，tan6Z=",cos(a+/3)=—.

(1)求cos2a的值；

(2)求tan(a-6)的值.

3

10.（2017天津理科）在△A3C中，內(nèi)角43,。所對的邊分別為々力,（?.已知〃,〃=5,c=6,sinB=-

⑴求匕和sinA的值;

71

(2)求sin(2A+一)的值.

4

2■參考答案

變式拓展

1.【答案】A

【解析】因為Jl-sin6-Jl+sin6=J(sin3—cos3『-J(sin3+cos3『，-^<3<7t,

所以原式=sin3-cos3+sin3+cos3=2sin3.

故選A.

2.【答案】D

nrsin20°?,3-1.?、c、

73-tan20^320。=6cos20-sin20?=2(彳8$26，sin20.)

【解析】

sin20鞍sin20sin20鞍os20sin20?cos20?

=2sin(60-20)=2sin40=4sin20cos20=4

sin20cos20sin20cos20sin20cos20

故選D.

3.【答案】D

【解析】由于依尸所以。+/?￡(0,九)，

所以sina=71-cos2a=，sin(a+,)=Jl-cos」(a+-

所以cos/=cos[(a+/?)-a]=cos(a+^)cosa+sin(a+A)sina=g,

7T

所以夕=H.

故選D.

4.【答案】A

【解析】因為sin2+cosa=.....—，

3

12

所以1+sin2a=一，則sin2a=——.

33

因為?！?=,兀)，且sina+cosa=一3，

23

37r3兀

所以2￡([，兀)，2?！?F-,2兀),

故選A.

5.【解析】⑴由題意得：同=1,例=1,

二|。一〃『=(a-Z>)2=a2-2a-b+b2=2-2(cosacosJ3-sinasin4)=2—2cos(a+￡)=：,

3

解得：cos(a+p)=j.

(2)a,pefo,—,,,.a+4w(0,7i),

\2)

344

由sina=二cos(a+/?)=g可得：cos=—,sin(tz+/?)=—,

cosp=cos[(a+,)—cr]=cos(a+/7)c°sa+sin("M，阜x32

\)555525

6.【解析】(1)由已知及正弦定理得J5cosC(sinAcos3+sin3cosA)+sinC=(),

&cosCsinC+sinC=0，

/.cosC=--1

2

371

0<C<7i,/.C=—.

4

l-3兀

(2)---a=42,0=2，C=—

4

由余弦定理得/=a2+/?2-2tz/?cosC=2+4-2x72x2x=10,

c-VTo

由於熹”日冬

,.?8為銳角，，?058=述

5

則sin25=2x@x^^=±cos28=cos?8-sin?B=-

5555

/、4‘夜)3V2772

故5皿23-。)=5111238$。-852屈11C=~x------X--------=------------

2J5210

考點(diǎn)沖關(guān)

1.【答案】B

【解析】.

故選B.

2.【答案】B

【解析】由題得原式,

,,則.

故選B.

3.【答案】C

、

兀7

【解析】山題意得：cos(^-4xl-2sin2l--2x=l-2x—=

(2)4；2525

7

sin4x=cos4x

1225

故選C.

4.【答案】D

【解析】由根與系數(shù)的關(guān)系可知：tana+tan/7=-3a,tana。tan/?=3a+l

tana+tan，—3a

tan(a+/7)=

1-tana-tan(3l-3a-l

又tana+tan(3--3。<0,tana-tan4=3。+1>0,

/.tan<0,tan/?<0,

a，Bwa,/?w[-/,0),

故選D.

5.【答案】D

I7171

tana+一-tan—

(目717CI631-6

【解析】tana——=tana+一—2+行

I6j63兀)兀

1,+tania-\~—tan1+6

63

故選D.

6.【答案】A

【解析】由sin2acos/?=2cos2a(l+siny9),得2sinacosacos/7=2cos2a(l+sin/?),即

sinecos萬一coscsin/7=cosa,HPsin(<z->9)=cosa=sin—a

由于a所以a_￡=|■-a,2a_￡=5.

故選A.

7.【答案】B

【解析】因為為銳角，為第二象限角，，,

所以為第二象限角，

因此sin,cos,

所以，

因為為銳角，所以，2)=cos.

故選B.

8.【答案】C

【解析】由題意得，

令，得，

7T

故彳=一二是函數(shù)圖象的一條對稱軸.故選C.

8

9.【答案】D

【解析】----------=----------------=-------=5

1-cosal.-l+1,2si.n2—a.tan—a

22

I1+2cos2——1

1+cosa_21

5.

a

sine2si.n—acos.a—tan—

222

故選D.

10.【答案】B

334

【解析】因為角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)。(4,3),所以sina一廠一,cosa

7^7755

則cos|—+2?=-sin2?=-2sinacos?=-2x—x—=-----,

[2)5525

故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)求三角函數(shù)值，以及誘導(dǎo)公式、二倍角公式

y**

的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.已知角a終邊上一點(diǎn)P(x,y),則sma=/,,cosa=1,,,tana=

2(xw0).

X

11.【答案】D

【解析】a=cos50°cosl270+cos40°cos37°=cos(50°-1270)=cos(—77°)=cos77°=sin13°,

b=弓(sin56。-cos56。)=等sin56°-當(dāng)cos56°=sin(56°-45°)=sinl1°.

2

tsin39°

c=1-tan：39°=_cos：39。=cos239°—si/39°=cos78°=sin12°,

1+tan239°,sin239°

1+—5——

cos239°

兀

因為函數(shù)y=sinx,xe[0,-]為單調(diào)遞增函數(shù)，所以sin13°>sin12°>sin11°,

所以a>c>h.

故選D.

12.【答案】一1

【解析】因為sina-cosa=0,所以1一sin2a=0,BPsin2a=1,

Tl.

所以cos(2a+m)=-sin26z=-l,

故答案是-1.

13.【答案】—G

2cos140—sin10一2cos40-sinlO-2cos(30+10j-sinlO

【解析】由題可得相

coslOcoslOcoslO

-gcoslO

=—\/3?

coslO

4【答案】T

【解析】在AA3C中，tanA+tanB+tanA-tanB=1,則tanA+tani3=l-tanA,tan民

—/A/tanA+tanB1-tanA-tanB.

tanC=tan(7i-A-B)=-tan(A+B)=-------------------------=—1

'7v1-tanAtanB1-tanA-tanB

3兀

0<C<K,.\zc=—

4

故答案為—.

4

15.【答案】2&

【解析】因為m=2sinl8°,/+〃=4,所以九二4一加2=4-4sin"8°=4cos?18°，

TNm+G2sinl80+2cosl802&sin(18°+45°)_rr

m以---------=-------------------------=------------------------=272

sin63°sin63°sin63°

故答案為2痣.

16.【答案】竺士!■

8

【解析】由/(^)=sin2x+2j^sinxcosx+sin[x+：卜,化簡可得/(x)=2sin(2x-￡)

+；,由f(Xo)=2sin(2%-e)+；=O,得sin(2x0-2)=一;<0.

又04%吟-^<2x0-^<y,所以一看42%一看40,

故85(2/一3)=±5，

64

+

此時：cos2/=cos[(2%0——)+—]=COS(2J^))cos--sin(2x0-—)sin—=

6666668

17.【答案】15、+1

26

【解析】由題意知：aeO,5

71

由COS。+一

<3

.(兀、兀(兀、.兀

.兀兀

則％=sina=sina+---=--s-ina+—cos——cosa+—sin—

、33I3j3I3)3

迪」+“=成

13213226

(兀兀)(KAn.(兀、.兀

=cosa=cosa+------=cosa+—cos—+sina+—sin—

(33)L3j3(313

1114G出1

=--------X------1-----------X-------=-------

13213226

15G11573+1

則%+為----1--=-----

262626

故答案為"，丑1

26

71

。

tana+tan4—t.ana+,1.2+11

18.【解析】(1)tan[a+：---------------^―=-=-3.

兀(

1-tanvcctan一1-tan7---1-2

4

sin2a_2sinacosa

sin?a+sinacosa-cos2a—1sin2?+sin?costz-(2cos2cr-1)-1

2sinacosa_2tana_2x2

sin2a+sinacosa-2cos2atan2a+tana-22?+2-2

?r?./A兀)AV6

B=A+.\sinB=sinAd"—=cosA

rI2j~T

..43五x立

由正弦定理，得。=分?=——廣口一=3.

sinBV6

(2)B=A+=，cosB=-sinA=--

23

sinAcosfi+cosAsinfi=旦]一回+鳥巫」

sinC=sin(A+3)=

3(3)333

27

/.cos2C=1-2sin2C=1——=—.

99

20.【解析】(1)因為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，P在單位圓上，a為銳角，所以cosa=,

所以cos2a=2cos——I=.

(2)因為點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為，所以sin"=.

又因為尸為銳角，所以cos/?=.

因為cosa=,且a為銳角，所以sina=,

因止匕sin2a=2sinacosa=,

所以sin(2a—y?)=.

因為a為銳角，所以0<2a<￡.

又cos2a>0,所以0<2a<,

又0為銳角，所以一<2a一少<,

所以2a-/3=.

21?【解析】(1)/(X)為奇函數(shù)，.../(())=COS0=0,

兀

又0￡(0,兀)，：.(p=-9

當(dāng)0=]時，/(x)=cos(2x+]]=-sin2x是奇函數(shù)，滿足題意，

71

：?(p=一.

2

COS2f?+^2（兀\.2/兀7

=cosa+--sina+—9

I3JI3jI39

-兀J冗Tt.J兀、.兀

y（6z）=cos2aH—=cos2a+一—Fsin21CLH—sin—