廣東省陸豐市重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題及參考答案

陸豐市重點(diǎn)中學(xué)2021級(jí)高二3月階段考數(shù)學(xué)試題本試題共4頁(yè)，考試時(shí)間120分鐘，滿分150分第I卷（選擇題）一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知a＝(1，－2，1)，a?b＝(－1，2，－1)，則b＝（A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)2．設(shè)全集U=R，集合A=0,+∞，集合B=xx+2A．A∩B=0,1 B．C．A∪B=?1,+∞ D．3．設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，y=fA． B．C． D．4．已知直線l1:3x?4y+7=0與直線l2:6x?m+1y+1?m=0平行，則A．1 B．2 C．3 D．45．若將函數(shù)y=f(x)的圖象C1向左平移π2個(gè)單位后得到函數(shù)y=g(x)的圖像C2，再將C2上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍得到函數(shù)y=sinx的圖像A．?cos2x B．sin（12x6．已知數(shù)列an是等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1+a2+A．26 B．24 C．18 D．127．函數(shù)fx=eA．B．C．D．8．已知fx是定義在R上的偶函數(shù)，f′x是fx的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f′x?2x>0A．?1,0∪1,+∞C．?1,0∪0,1 二、多選題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．下列求導(dǎo)不正確的是（

）．A．(ln7)C．2sinx?3′10．對(duì)任意數(shù)列{an}A．若數(shù)列{an}B．若數(shù)列{an}C．若數(shù)列{an}D．若數(shù)列{an}11．已知點(diǎn)P在圓x?52+y?52=16上，點(diǎn)AA．點(diǎn)P到直線AB的距離小于10B．點(diǎn)P到直線AB的距離大于2C．當(dāng)∠PBA最小時(shí)，PBD．當(dāng)∠PBA最大時(shí)，PB12．在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲?布勞威爾(L.E.J.Brouwer)．對(duì)于連續(xù)函數(shù)f(x)，若存在一個(gè)數(shù)x0，使得f(x0)=xA．函數(shù)f(x)=sinB．函數(shù)f(x)=axC．若定義在R上的奇函數(shù)f(x)存在有限個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能是偶數(shù)D．函數(shù)f(x)=e第II卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13．若直線2x+y?2=0為圓(x?a)2+y14．已知雙曲線C:x2a2?y15．如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BCA=90°,M,N16．已知函數(shù)f(x)=ex?12四、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)fx(1)求fx在x=?2(2)求函數(shù)fx18．（本題滿分12分）在①sinA,sinB,sinC已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b，面積為S．若__________，且4S=3b219．（本題滿分12分）已知等差數(shù)列{an}滿足：a4=7，(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式a(2)若bn=1SnSn+120．（本題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E是PA的中點(diǎn).(1)求證：PC∥平面BDE.(2)若PA=2，線段PC上是否存在一點(diǎn)F，使AF⊥平面BDE？若存在，求出PF的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．（本題滿分12分）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓x24+y2=1的頂點(diǎn)分別為A1，A（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)點(diǎn)A1的直線l與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，且OM+ON（本題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=1（1）討論f(x)的單調(diào)性；（2）求f(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值；（3）若f(x)在區(qū)間(1,e)上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.參考答案1．A2．B3．D4．B5．D6．A7．C【分析】求導(dǎo)判斷出函數(shù)fx【詳解】∵fx=e令f′x=0則函數(shù)fx在區(qū)間?∞,0，0,選項(xiàng)A：違背函數(shù)fx在區(qū)間?選項(xiàng)B：違背函數(shù)fx在區(qū)間0,選項(xiàng)C：函數(shù)fx在區(qū)間?∞,0，0,選項(xiàng)D：違背函數(shù)fx在區(qū)間0,故選：C8．B【詳解】解：令gx=fx?x2，因?yàn)閯tg?x=f?x??x2=gx因?yàn)楫?dāng)x≥0時(shí)，f′x?2x>0，所以當(dāng)x≥0時(shí)，g′x不等式fx>x2+2即為不等式gx>2，所以x>1，解得x>1或x<?1，所以fx>故選：B.9．AB10．AD11．ACD【分析】計(jì)算出圓心到直線AB的距離，可得出點(diǎn)P到直線AB的距離的取值范圍，可判斷AB選項(xiàng)的正誤；分析可知，當(dāng)∠PBA最大或最小時(shí)，PB與圓M相切，利用勾股定理可判斷CD選項(xiàng)的正誤.【詳解】圓x?52+y?52=16直線AB的方程為x4+y圓心M到直線AB的距離為5+2×5?41所以，點(diǎn)P到直線AB的距離的最小值為1155?4<2如下圖所示：當(dāng)∠PBA最大或最小時(shí)，PB與圓M相切，連接MP、BM，可知PM⊥PB，BM=0?52+2?5故選：ACD.12．BD【詳解】對(duì)A，令g(x)=x?sinx，則所以g′(x)在R上單調(diào)遞增，又g(0)=0，所以g′(x)在R上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即f′(x)有且僅有一個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)B，因?yàn)閍x2+bx+c=x對(duì)C，因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù)，則y=f(x)?x為定義在R上的奇函數(shù)，所以x=0是y的一個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”，其它的“不動(dòng)點(diǎn)”都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)，所以f(x)一定有奇數(shù)個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)D，設(shè)gx=fx?x=ex?x?1，則g′x=ex?1，令g′x=0有x=0故選：BD13．1【詳解】由題可知圓心為a,0，因?yàn)橹本€是圓的對(duì)稱軸，所以圓心在直線上，即2a+0?2=0，解得a=1．14．10【詳解】直線l:x+3y+2022=0的斜率為?則與直線l:x+3y+2022=0垂直的雙曲線的漸近線的斜率為3，所以ba=3，所以e=ca15．30【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)BC=CA=CC1【詳解】由題意可知：CC不妨設(shè)BC=CA=CC1=2，因?yàn)镸,N則N(1，0，2)，A(2，則AN=(?1,0,2)，BM=(1,?1,2)，設(shè)直線BM與AN所成的角為所以cosα=所以BM與AN所成角的余弦值為3010故答案為：301016．e.【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性建立不等式，再分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)g(x)=exx【詳解】函數(shù)f(x)=ex?12ax則對(duì)任意的x∈(0,+∞)，f′x≥0?a≤由g′(x)>0，得x>1，由g′(x)<0，得0<x<1，從而g(x)在即g(x)min=g(1)=所以a的最大值是e.17．【詳解】(1)解：函數(shù)fx所以，f?2所以fx在x=?2處的切線方程為y+4=7x+2，即(2)解：由（1）知，令，即3x2+2x?1=0，解得x隨著x變化，和fxx??1?1,11＋0－0＋f單調(diào)遞增?1單調(diào)遞減?單調(diào)遞增所以x=?1時(shí)，函數(shù)fx有極大值為?1，x=13時(shí)，函數(shù)f18．【詳解】若選①由4S=3(b2+c2?a由余弦定理可得：a2=b2+即2b=a+c，即(c?2b)2=b2+c2?bc若選②由4S=3(b所以tanA=3，又0<A<π，所以A=π3；又sinB,sinA,sinC成等比數(shù)列，所以所以(b?c)2=0，所以b=c所以若選③由4S=3(b2+c2?a2)又2bcosC=2a?3c，所以可得：cosB=32，所以B=π6，所以19．【詳解】(1)解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則a∴an=1+2(n?1)=2n?1(2)解：由（1）可得bn∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為20．【詳解】（1）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD.因?yàn)锳BCD為正方形，所以CD⊥DA.又PA∩DA=A，且PA,DA?平面ADP，所以CD⊥平面ADP.如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz，設(shè)PA=aa>0則A0,2,0，B0,2,2，C0,0,2，D0,0,0，所以PC=?a,?2,2，DB=設(shè)平面BDE的法向量為n1則DB?n1令y0=1，則x0=?4由題意得PC?n1=4?2?2=0.因?yàn)镻C?平面BDE（2）存在，理由如下：因?yàn)镻A=a=2，所以P2,2,0令PF=λPC0≤λ≤1，所以F2?2λ,2?2λ,2λ，所以2?2λ?2=?2λ1，解得λ=121．【詳解】解：（1）由橢圓x24+y2=1所以a=2，b=1，則A2因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為A2，可設(shè)拋物線方程為y所以p2=2，即所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2（2）由橢圓x24+y2若直線l無(wú)斜率，則其方程為x=?2，經(jīng)檢驗(yàn)，不符合要求.所以直線l的斜率存在，設(shè)為k，直線l過(guò)點(diǎn)A1?2,0，則直線l的方程為y=kx+2，設(shè)點(diǎn)M聯(lián)立方程組y=k(x+2)y2=8x，消去y因?yàn)橹本€l與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以k2≠0Δ>0解得?1<k<1，且k≠0.由①可知x1所以y1則OM+因?yàn)镺M+ON//所以8?4k2k2?2×8k因?yàn)?1<k<1，且k≠0，所以k=?2?6所以直線l的方程為y=?2+6(x+2)，22．【詳解】（1）f′(x)=x?由f′(x)>0得x>a，由f函數(shù)在x∈(0,a)單調(diào)遞減，在（2）由（1）函數(shù)在x∈(0,a)單調(diào)遞減，在當(dāng)0<a≤1時(shí)，a≤1，函數(shù)在[1,e]單調(diào)遞