高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識手冊第五編：解析幾何

第五編解析幾何(1)在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形掌握確定直線位置的幾何要素. (2)理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式. (3)能根據(jù)兩條直線的斜率之間的關(guān)系判定這兩條直線平行或垂直. (4)掌握確定直線的幾何要素，掌握直線方程的三種形式(點斜式、兩點式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.(5)能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標(biāo). (6)掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.方程(1)掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.(2)能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系.(3)會曬直線和圓的方程解決一些簡單的問題.(4)初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.3.空間直角坐標(biāo)系(1)了解空間直角坐標(biāo)系，會用空間直角坐標(biāo)表示點的位置.(2)會簡單應(yīng)用空間兩點間的距離公式.4.圓錐曲線與方程 (1)了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作甩 (2)掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率). (3)了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它的簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心、率、漸近線).(4)了解圓錐曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系.(5)理解數(shù)形結(jié)合的思想.(6)了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用.第一講直線的方程知識能力解讀知能解讀：(一)直線的傾斜角和斜率規(guī)定當(dāng)直線和x軸平行或重合時，其傾斜角為0，所以直線的傾斜角的范圍是0<180(或0<).122122122而的正切值不存在，所以直線的斜率不存在.2其斜率不存在)，這就決定了我們在研究直線的有關(guān)問題時，應(yīng)考慮斜率存在與不存在這兩種情況，否則會產(chǎn)生漏解.(3)傾斜角和斜率都是反映直線相對于x軸正方向的傾斜程度.知能解讀：(二)直線方程的幾種形式過已知點(x,y)，且斜率為k的直線方程可以寫成點斜式：yy=k(xx).0000 xx0000yy=k(xx)才是整條直線的方程.000(2)當(dāng)直線斜率不存在時，不能用點斜式表示，此時直線方程為x=x0.說明：對于過(0，b)且垂直于x軸的直線，即y軸，可以不用斜截式，而直接寫成x=0.若已知直線經(jīng)過(x,y)和(x,y)兩點，且xx，yy，則直線的方程可以寫成兩點11221212 (1)兩點式方程的條件是xx，yy，即不包括平行于x軸(或與x軸重合)和平1212行于y軸(或與y軸重合)的直線. (2)當(dāng)兩點式方程寫成的(xx)(yy)=(yy)(xx)形式時，方程可以表示任何211211一條直線.(1)直線的截距式就是直線過(a，0)，(0，b)(a0，b0)兩點的兩點式. (2)對于平行于坐標(biāo)軸或過原點的直線方程，不能用截距式. (3)“截距”并非指“距離”，而是直線(或曲線)與坐標(biāo)軸交點的橫(縱)坐標(biāo)，“截距”5特殊位置的直線方程xyxaax任何一條直線的方程均可寫成一般式Ax+By+C=0(A，B不同時為零)的形式.反之，任何一個二元一次方程都表示一條直線.直線方程的四種特殊形式系可以化為直線方程的一般式，但一般式不一定都能化為四種特殊知能解讀：(三)兩條直線的位置關(guān)系斜截式斜截式111222122122AB11)AB22121212AA2=1)BB12l1:A()222222kk=1kk一般式相交直程2((AB-AB=0,(AB-AB=0,ABC (當(dāng)ABC士0，記為1=1士1)222ABC222121212ABC (當(dāng)ABC士0，記為1=1士1)222ABC2221212k=k且b=b1212平行合提示：(1)若兩條直線的斜率都不存在，則兩條直線平行(或重合)；若一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0，則兩條直線垂直.(2)對于AA+BB=0來說，無論兩條垂直直線的斜率存在與否，該式都成立.因此，1212此公式使用起來更方便.知能解讀：(四)兩條直線的交點11112222(Ax+By+C=0,點坐標(biāo)就是方程組〈lAx+B12y+2=0的解，若方程組有唯一解，則兩條直線相交，此解就是交點坐標(biāo)；若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行.反之，亦成立.知能解讀：(五)三個距離公式1122d(A,B)=AB=(x-x)2+(y-y)2.12122點到直線的距離點P(x,y)到直線l:Ax+By+C=0的距離d=Ax1+By1+C11A2+B2.3兩條平行線間的距離C-C兩條平行線Ax+By+C=0與Ax+By+C=0間的距離d=1212A2+B2.點撥：在使用點到直線的距離公式或兩條平行線間的距離公式時，直錢方程必須先化為知能解讀：(六)直線系方程具有某一個共同性質(zhì)的一簇直線稱為直線系，它的方程稱為直線系方程.直線系方程通常只1111112222.解題方法薈萃直線l:Ax+By+C=0和直線l:Ax+By+C=0交點的直線系方程：1112222.解題方法薈萃思想方法：11思想方法：(三)參數(shù)法AD題引入的比值為參數(shù)，簡化了求解過程.在用參數(shù)法解決問題時，一般有以下第一步，設(shè)參.即引入?yún)?shù)，這個參數(shù)可能是點、斜率或截距等.第二步，用參.即用引入的參數(shù)找等量關(guān)系.第三步，消參.一般地，如果只含有一個參數(shù)，通過加減消參、代入消參，都可達(dá)到目的；如果含有兩個參數(shù)，往往反解代入消參.規(guī)律技巧：(一)求解直線的傾斜角和斜率說明：求斜率一般有兩種方法：其一，已知直線上兩點，根據(jù)k=y-y21(當(dāng)x豐x時)x-x1221求斜率；其二，已知傾斜角a或a的三角函數(shù)值，根據(jù)k=tana求斜率(|(a豐))|.此類問題常與三角函數(shù)知識聯(lián)系在一起.規(guī)律技巧：(二)求直線方程的方法求出直線方程.規(guī)律技巧：(三)含參直線過定點問題的解法說明：不論m為何實數(shù)，直線恒過定點，因此，這個定點一定是直線系中任意兩直線的交點.規(guī)律技巧：(四)對稱問題的解法00002點關(guān)于直線的對稱(y,-y拓展：點關(guān)于幾條特殊直線的對稱點坐標(biāo)：對面軸對面軸x軸y對稱點坐標(biāo)點3直線關(guān)于直線的對稱(1)若已知直線l與對稱軸l相交，則交點必在與l對稱的直線l上，然后再求出l上任意1121一個已知點P1關(guān)于對稱軸l的對稱點P2，那么經(jīng)過交點及點P2的直線就是l2.(2)若已知直線l與對稱軸l平行，則與l對稱的直線到直線l的距離和l到直線l的距離11相等，由平行直線系和兩條平行線間的距離即可求出l的對稱直線.1規(guī)律技巧：(五)定直線上的點到兩定點距離和(差)最值問題的解法(1)在直線l上求一點P，使P到兩定點的距離之和最小.①當(dāng)兩定點A，B在直線l的異側(cè)時，由兩點之間線段最短及三角形中任意兩邊之和大于第PAP,BAB+PB，當(dāng)且僅當(dāng)點P,與點P重合時等號成立.yyAPBP'Oxl(2)在直線l上求一點P，使點P到兩定點的距離之差的絕對值最大.①當(dāng)兩定點A，B在直線l的同側(cè)時(AB連線與l不平行)，連接BA并延長，交直線l于ylP'BPAOxABlAl對稱點A,，連接BA,并延長，yyP'AA'OlBxP規(guī)律技巧：(六)妙用直線系求直線方程運用直線系方程，有時會給解題帶來方便，常見的直線系方程有：(1)與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程是Ax+By+m=0(m=R且mC)；(2)與直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程是BxAy+m=0(m=R)；(3)過直線l:Ax+By+C=0與l:Ax+By+C=0的交點的直線系方程是1112222.出所求的直線系方程，再根據(jù)另一個條件確定其中的參數(shù).Ⅲ易混易錯辨析易混易錯：(一)忽視直線斜率不存在的情況而致誤說明：在用點斜式設(shè)直線方程時，必須考慮斜率是否存在，否則容易漏解.易混易錯：(二)對直線域中的定義理解有誤致錯說明：求與截距有關(guān)的直線方程時易忽視截距為零的情形.如本例中的截距互為相反數(shù)，當(dāng)是另一截距的幾倍”等條件時，首先考慮截距為零的情形，注意分類討論思想的運用.高考命題研究直線的方程是解析幾何的基礎(chǔ)內(nèi)容，是高考的必考內(nèi)容之一.在高考的試題內(nèi)容中有如下兩與圓錐曲線的位置關(guān)系問題.高考熱點：(一)直線的傾斜角與斜率高考熱點：(二)直線的方程與兩直線的位置關(guān)系字母取值是近年來高考命題的熱點，也是重點.高考熱點：(三)距離公式的應(yīng)用高考熱點：(四)對稱問題高考熱點：(五)與圓錐曲線結(jié)合考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系附錄：常用公式定理 (1)傾斜角當(dāng)直線與x軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為0，因此，直線的傾斜角a的取值范(2)斜率常用斜率表示傾斜角不等于90的直線相對于x軸的傾斜程度. 公式 (1)斜率公式①若P(x,y)，P(x,y)，則k=y-y12(x豐x).111222P1P2x-x12(2)點到直線的距離公式點點P(x,y)到直線l:Ax+By+C=0的距離d=Ax0+By0+C00A2+B2.(3)兩平行線間的距離公式C-C兩條平行線Ax+By+C=0與Ax+By+C=0間的距離d=1212A2+B2.兩直線位置關(guān)系的判定與性質(zhì)定理列表如下：111122221122C2ABAC且1豐1ABAC2222(或AB=BA且121221直線方程位置關(guān)系平行112221212一AABAC1=1且1=1ABAC2222(或AB=BA且12AC=AC)12211221AA+BB=01212k=k且b=b1212合相交直一一一第二講圓知識能力解讀知能解讀(一)曲線和方程曲線的方程和方程的曲線一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看做適合某種條件的點的集合或軌跡)上的點與fxy了如下關(guān)系：(1)曲線上點的坐標(biāo)都是這個方程的解；(2)以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點.那么這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線.說明：(1)曲線的方程和方程的曲線是同一關(guān)系下的兩種不同表現(xiàn)形式.曲線的性質(zhì)完全反映在它的方程上，方程的性質(zhì)完全反映在它的曲線上.因此，我們可以利用方程研究曲線. (2)曲線與方程應(yīng)滿足的兩個條件，前者是說曲線上沒有坐標(biāo)不滿足方程的點，即曲線上的點都適合這個條件而無例外，這也就是曲線的純粹性.后者是說適合條件的所有點都在曲線上，毫無遺漏，也就是說曲線具有完備性.(3)當(dāng)曲線與方程滿足上述兩個關(guān)系時，我們就說曲線C上的點的集合與二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解的集合建立了元素間的一一對應(yīng)關(guān)系.知能解讀：(二)圓圓的定義及其方程 (1)圓的定義：平面內(nèi)與定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)叫做圓.定點叫做圓心，定長就是半徑. (2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，圓心C(a，b)，半徑為r.xy心是圓的定位條件，半徑是圓的定形條件.(2)D2+E2-4F>0在使用標(biāo)準(zhǔn)式和一般式求圓的方程時，若已知圓心或圓的半徑，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)式較好；若已知圓經(jīng)：過三定點，設(shè)一般式較簡單.xyDxEyFD+E2-4F>0時，方程方程不表示任何圖形.起足夠重視.2點與圓的位置關(guān)系(僅以標(biāo)準(zhǔn)方程為例)00(1)若P到圓心的距離為d，則有0000003直線與圓的位置關(guān)系lCx(或y)后，所得一元二次方程的判別式為編，則它們的定稱為代數(shù)法，對討論直線和二次曲線的位置關(guān)系都適用.說明：當(dāng)直線與圓相離時，圓上的點到直線的最大矩離為d+r，最小距離為d-r；當(dāng)直線和圓相交時，圓上的點到直線的最大距離為d+r，最小距離為0(d為圓心到直線的距離).4兩圓的位置關(guān)系(1)代數(shù)法：解兩個圓的方程所組成的二元二次方程組.若方程組有兩組不同的實數(shù)解，則兩圓相交；若方程組有且只有一組實數(shù)解，則兩圓相切；若方程組無實數(shù)解，則兩圓相離. (2)幾何法：設(shè)圓O的半徑為r，圓O的半徑為r，11221212.121212.1212.一OO=r+r121212.5圓的切線的求法(1)若點P(x,y)在圓x2+y2=r2上，則過點P的切線方程為xx+yy=r2；00000000000022(2)當(dāng)點P(x,y)在圓外時，可設(shè)切線方程為y-y=k(x-x)，利用圓心到直線的距0000斜率不存在的直線x=x，此時應(yīng)補(bǔ)上.06圓的弦長的求法AABBABAB=AB=1+.y-yk2AB.其中x-x，y-y的求法是將直線和圓的方程聯(lián)立消去y或x，利用一元二次方程根ABAB與系數(shù)的關(guān)系求解.7圓系方程經(jīng)過兩個定點A，B的圓有無數(shù)個，那么表示這無數(shù)個圓的方程稱為圓系方程.1111222入豐-1，同時不包括圓C當(dāng)入=-1時，方程變?yōu)?x+(E-E)y+F-F=0，若兩圓相交，則其表示兩121212圓的公共弦所在直線方程.解題方法薈萃思想方法：(一)數(shù)形結(jié)合思想思想方法：(二)轉(zhuǎn)化與化歸思想思想方法：(三)函數(shù)與方程思想說明：本題巧用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，列出xx+yy=0，進(jìn)而求得方程.另外，在設(shè)方程時，設(shè)過(3，0)的直線方程為x+ay-3=0(a豐0)可避免討論.思想方法：(四)待定系數(shù)法求解圓的方程時可根據(jù)條件設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程，再用待定系數(shù)法確定其中字母的說明：已知三個獨立條件求圓的方程，一般是用待定系數(shù)法，解法1是求出a，b，r；解法思想方法：(五)對稱法運用鏡面反射的特點來轉(zhuǎn)化圓的切線的求法往往利于尋求思路和簡化運算.反射光線的關(guān)系、設(shè)點坐標(biāo)、求斜率、點到直線的距離以及有關(guān)的平面幾何知識等.規(guī)律技巧：(一)圓的方程的求解求標(biāo)準(zhǔn)式，但不知圓心和半徑時也應(yīng)先設(shè)一般式，最后化為標(biāo)準(zhǔn)式.規(guī)律技巧：(二)求曲線方程的步驟(1)建系設(shè)點：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x,y)表示曲線上任意一點M的坐標(biāo)；(2)列式：寫出適合條件p的點M的集合Mp(M)}，(3)代入：用坐標(biāo)表示出條件p(M)，列出方程f(x,y)=0；(4)化簡：化方程f(x,y)=0為最簡形式；(5)證明：證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點.上述求曲線方程的方法常稱為直接法(或一般法).說明：(1)在化簡的過程中，若能保證化簡過程都是同解變形，則步驟(5)可以省略不寫，如有特殊情況(如特殊點不滿足條件等)，可適當(dāng)給予說明.另外，根據(jù)情況，也可以省略步驟(2)，直接列出曲線的方程. (2)由于建的坐標(biāo)系不同，同一曲線的方程一般也不相同.因此，在建立坐標(biāo)系時，應(yīng)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.坐標(biāo)系適當(dāng)，可使運算簡化，求得方程的形式也較簡單.如果坐標(biāo)系的建立不當(dāng)，則會大大增加運算的繁瑣程度. (3)一般地，求哪個點的軌跡方程，就設(shè)哪個點的坐標(biāo)為(x,y)，而不要設(shè)成(x,y)或(x,,y,)等.(4)在根據(jù)條件列方程時，應(yīng)先認(rèn)真分析題設(shè)的條件，綜合利用平面幾何的知識，列出幾 (5)求軌跡方程與求軌跡是有區(qū)別的，求軌跡方程得出方程即可，而求軌跡在得出方程后還要指出方程的曲線是什么形狀.下結(jié)論時要注意滿足方程的解是否都在曲線上，以免多解或漏解.說明：求動點軌跡方程常用方法有：①直接法：直接由題目條件列出方程；②定義法：根據(jù)某特殊曲線的定義求方程；③代入法(相關(guān)點法)：找到所求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式求解.規(guī)律技巧：I(三)兩圓公共弦長的求解方法點撥：當(dāng)兩圓相交求其公共弦所在的直線方程或公共弦長時，把兩圓方程相減消去二次項，所得方程就是公共弦所在的直線方程，再根據(jù)其中一個圓的方程和這條直線方程就可以求出公共弦長.規(guī)律技巧：(四)圓的中點弦問題的解法利用弦端點坐標(biāo)滿足曲線方程得到兩個關(guān)系式，把兩個等式相減直接得出弦的中點坐標(biāo)和斜簡化解題過程.規(guī)律技巧：(五)與圓有關(guān)的最值問題的解題策略點撥：與圓上點(x,y)有關(guān)的最值問題的常見類型及解法：(1)形如t=ybxa的最值轉(zhuǎn)化為過點(a,b)和(x,y)的直線的斜率的最值.(2)形如t=ax+by的最值，轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值.(3)形如t=(xa)2+(yb)2的最值，轉(zhuǎn)化為點(x,y)與(a,b)的距離的平方的最值.Ⅲ易混易錯辨析易混易錯：(二)求圓的切線方程時漏解說明：過已知點求圓的切線方程首先判斷點與圓的位置關(guān)系，再判斷切線條數(shù)，以免漏解.求與直線斜率有關(guān)的問題時，要注意判斷斜率是否存在.易混易錯：(三)兩圓相切時，漏掉內(nèi)切的情況而致誤高考命題研究與應(yīng)用等，題目難度中等，數(shù)形結(jié)合思想在此類題目中體現(xiàn)比較多.高考熱點：(一)圓的方程的確定結(jié)合題目條件，確定圓的圓心和半徑，或者設(shè)出圓的方程利用待定系數(shù)法求解.高考熱點：(二)直線與圓的位置關(guān)系及應(yīng)用d=<d=<5對任意實數(shù)m均成立；對于(2)可求高考熱點：(三)圓與圓的位置關(guān)系及應(yīng)用例高考熱點：(四)與直線和圓有關(guān)的軌跡問題節(jié)中我們還要更加詳盡地討論.求軌跡方程的基本方法有：直接法、定義法、代入法.高考熱點：(五)與圓有關(guān)的綜合題結(jié)合圓的性質(zhì)考查圓的方程，并與其它圓錐曲線相結(jié)合，是圓的綜合題考查的主要方向.附錄：常用公式定理常用結(jié)論(1)曲線的方程、方程的曲線①曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解；②以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點.那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線. (2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程方程(x-a)2+(y-b)2=r2就是圓心為(a,b)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(3)圓的一般方程F(4)圓的參數(shù)方程 (5)直線與圓的位置關(guān)系brAB與圓C相切；d<r一l與圓C相交. (6)圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2，圓C:(x-a)2+(y-b)2=R2.111222時，兩圓相交；當(dāng)d=R-r時，兩圓內(nèi)切；當(dāng)d<R-r時，兩圓內(nèi)含.第三講橢圓知識能力解讀知能解讀：(一)橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點F，F(xiàn)的距離的和等于常數(shù)(大于FF)的點的軌跡叫做橢圓，這兩1212個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點之間的距離叫做橢圓的焦距.說明：(1)橢圓的定義反映了橢圓的特征，解題時要靈活運用. 12122a=FF，則點P的軌跡為線段FF；若2a<FF，則點P沒有軌跡.121212知能解讀：(二)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形及幾何性質(zhì)xx2y2a2b2上yBA'F1OF2AxB'2FF=2c(c>0)12e=c(0<e<1)a上yBFP2A'OAxF1B'2FF=2c(c>0)12e=c(0<e<1)a準(zhǔn)程頂點對稱軸焦點焦距離心率a2b2y2x2P說明：(1)長軸與短軸的交點叫做橢圓的中心，表中所列橢圓的中心均在原點，且均以坐標(biāo)軸為對稱軸.(2)橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，如果x2的分母大，則焦點就在x軸上；如果y2的分母大，焦點始終在長軸上.(3)離心率表示橢圓的扁平程度，當(dāng)e越接近于1時，c越接近于a，從而b=a2-c2越(4)表中的參數(shù)特征：a(長半軸長)，b(短半軸長)，c=a2-b2(半焦距)，e(離心知能解讀：(三)橢圓的焦半徑、焦點三角形和通徑1.焦半徑：橢圓上的任一點和焦點的連線段稱為橢圓的焦半徑.焦半徑公式：當(dāng)橢圓的焦點在x軸上時，設(shè)F，F(xiàn)分別是橢圓的左、右焦點，P(x,y)是12001020當(dāng)橢圓的焦點在y軸上時，設(shè)F，F(xiàn)分別是它的下、上焦點，P(x,y)是橢圓上任一點，1200102012就構(gòu)成了一個三角形——焦點三角形.ca2-b2(b)ca2-b2(b)2(3)Ssin三(3)Ssin三3.通徑：過橢圓的焦點與橢圓的長軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其長2b2為HH=.12a解題方法薈萃思想方法：(一)數(shù)形結(jié)合思想思想方法：(二)設(shè)而不求法和方程思想點評：當(dāng)直線與橢圓相交涉及弦長問題時，常用“根與系數(shù)的關(guān)系”、設(shè)而不求的方法計算或弦長.弦長公式為AB=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2或思想方法：(三)定義法求橢圓方程思想方法(四)待定系數(shù)法求橢圓方程說明：(1)用待定系數(shù)法求橢圓方程，要先定形(確定焦點位置，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程的形式)，再定量(由題設(shè)條件，列出待定系數(shù)的方程組，解方程組求得)；若焦點位置不確定，要考n思想方法(五)點差法標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化.規(guī)律技巧：(一)橢圓定義的應(yīng)用點評：涉及橢圓上點到焦點的距離問題(可能是到一個焦點的距離)，常常利用橢圓的定義求解.規(guī)律技巧：(二)橢圓方程的求解求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法.具體過程是：先定形，再定量.即首先確定焦點所即“定位置，設(shè)方程，尋關(guān)系，得方程”.如何，立即將交換得第二種情形的方程的錯誤.為防止這類錯誤的發(fā)生，要仔細(xì)分析題目的條件，弄清在焦點不同的情況下，橢圓的形狀是否改變，即a，b，c的值是否有變化.規(guī)律技巧：(三)橢圓的離心率說明：求橢圓離心率或其范圍的方法：(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2=a2-c2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解.(3)通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.規(guī)律技巧：(四)設(shè)而不求法的應(yīng)用點評：涉及直線與橢圓相交的問題，往往采用“設(shè)而不求”的策略，即設(shè)出交點坐標(biāo)，用根表示出x+x，xx，從而可表示出弦的中點坐標(biāo)，也可將向量的數(shù)量積運算轉(zhuǎn)化為x+x，xx的關(guān)系，整體代入即可.1212規(guī)律技巧：(五)對稱問題說明：在涉及圓錐曲線上兩點之間的線段的中點問題時，將圓雄曲線上的點設(shè)為x的斜率，可以簡化計算.規(guī)律技巧：(六)最值問題在圓錐曲線中除利用定義求最值外，關(guān)于直線與圓錐曲線的最值常用平移法求解.Ⅲ易混易錯辨析易混易錯：(二)求橢圓方程時，忽視橢圓焦點的位置而致誤高考命題研究程來解決有關(guān)焦點、離心率、頂點的問題，也要會根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的方程.高考中常出現(xiàn)的題型是：(1)根據(jù)橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓的焦點、頂點、離心率；(2)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3)以橢圓為載體，與直線、向量、函數(shù)、不等式相結(jié)合的綜合性較強(qiáng)的解答題.高考熱點：(一)橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程圓錐曲線是高考考查的重要內(nèi)容，而橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程更是高考的熱點內(nèi)容之一.一般答題中綜合考查.高考熱點：(二)楠圓的幾何性質(zhì)橢圓的幾何性質(zhì)是高考考查的重點，常涉及橢圓的焦點坐標(biāo)和離心率等問題，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，解答題中常考查橢圓方程的求解、直線與橢圓的位置關(guān)系等綜合題.9說明：在橢圓中，S=b2tan，其中9為三FPF9焦點三角形F2212.高考熱點：(三)直線與橢圓的位置關(guān)系現(xiàn)，綜合考查橢圓的方程、幾何性質(zhì)以及學(xué)生的運算求解能力和探究問題的能力.高考熱點：(四)橢圓中面積的最值問題最值問題在近幾年高考中頻頻出現(xiàn)，以解答題為主.這類題常與面積問題相結(jié)合，綜合性較不等式或求函數(shù)值域問題，利用函數(shù)的單調(diào)性、平面幾何中相關(guān)知識來解決.高考熱點：(五)橢圓中的存在性問題需要找出來；若不存在，需要說明理由.解答這類問題，一般先對結(jié)論作存在的假設(shè)，然后由此假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理論證，根據(jù)推論結(jié)果是否出現(xiàn)矛盾作判斷.高考熱點：(六)橢圓中的范圍問題附錄：常用公式定理常用結(jié)論a2b21212(P為橢圓上任一點).F為其左、右F為其左、右x2y2a2b2 (2)如圖所示，橢圓+=a2b2(a>b>0)的離心率有如下形式：yydPB2baFOF12xl1l2aa22d.00a2b21(3)如圖所示，設(shè)P(x,y)為橢圓x2+y2=100a2b2112yyCOF2BxDMA'FNPl1l210201max1min③(.)max=a2(此時P與C或D重合)；(.)=b2(此時P與A或B重合).maxmin2b2129④通徑長MN=(其中MN是通過焦點F(或F129⑤焦點三角形的面積為S=b2tanF1PF22.第四講雙曲線與拋物線知識能力解讀知能解讀(一)雙曲線平面內(nèi)與兩定點F，F(xiàn)的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于FF)的點的軌跡叫做1212雙曲線，這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點之間的距離叫做雙曲線的焦距11212122112支.支(2)定義中“小于FF”這一限制條件十分重要，其根據(jù)是“三角形兩邊之差小于第三12邊”.若2a=FF，此時動點軌跡是以F，F(xiàn)為端點的兩條射線；若2a>FF，動點軌121212跡不存在.2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形及幾何性質(zhì)xx2y2y2x2=1(a>0，b>0)=1(a>0，b>0)上yBPF1A'OAF2xB'l1l2FcFc,0)2FF=2c(c>0)12e=c(e>1)a2a上yPF2Bl2OA'AxB'l1F12FF=2c(c>0)12e=c(e>1)a2b準(zhǔn)程頂點對稱軸焦點焦距離心率準(zhǔn)線方程漸近線方程a2b2a2b2b說明：(1)雙曲線的方程與選擇的坐標(biāo)系有關(guān)，選擇的坐標(biāo)系不同，方程形式也不同，當(dāng)且僅當(dāng)以雙曲線的兩條對稱軸為坐標(biāo)釭時的方程才稱為標(biāo)準(zhǔn)方程，即表中的兩種形式. (2)雙曲線的實軸和虛軸的交點叫做雙曲線的中心，表中所列雙曲線的中心均在原點，且以坐標(biāo)軸為對稱軸.(3)當(dāng)焦點在x軸上時，方程中的x2項的系數(shù)為正；當(dāng)焦點在y軸上時，方程中的y2項xy雙曲線的焦點在x軸上還是在y軸上.注意：雙曲線的焦點永遠(yuǎn)在實軸上.(4)雙曲線方程中的a，b的大小關(guān)系是不確定的，可以a>b，a<b，也可以a=b，但必有(5)離心率e表示雙曲線開口的大小，e越大，雙曲線的開口越大.3雙曲線的漸近線x2y2ba2b2ax2y2ba2b2a線的漸近線.當(dāng)x，y無限增大時，直線與雙曲線無限接近，但不能相交.x2y2a2b2漸近線的求法：以雙曲線=1(a>0，b>0)為例，將等號右邊的“1”改為“a2b2x2y2b即得-=0，整理可得漸近線y=x2y2ba2b2a我們將有共同漸近線的雙曲線叫做共漸近線的雙曲線系，若共漸近線為y=土x，則以它a為漸近線的雙曲線系方程可以寫成x2-y2=入(入豐0)，用這一形式求解雙曲線方程可以a2b2簡化解題過程.4共軛雙曲線x2y2y2x2a2b2b2a2雙曲線-=1(a>0，b>0)與-=1(aa2b2b2a2軸與虛軸互換的雙曲線.其性質(zhì)如下：(1)互為共軛的雙曲線有相同的漸近線，有相同的焦距(焦點不同)；(2)它們的四個焦點在同一個圓上；(3)兩個雙曲線的離心率的倒數(shù)的平方和為1，即兩個雙曲線的離心率分別為e，e，則212過雙曲線的焦點與雙曲線實軸所在直線垂直的直線被雙曲線截得的線段，稱為雙曲線的通2b2徑，其長為.知能解讀：(二)拋物線平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.其線的焦點；一條定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線；一個定值，即點M到點F的距離和它到定直2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形及幾何性質(zhì)上yFOl下ylOxFPyyFxPx軸焦點在x軸上，開口向右ylOFxx軸xPPlpp表示焦點到準(zhǔn)線的距離py=2p表示焦點到準(zhǔn)線的距離p2p表示焦點到準(zhǔn)線p2p表示焦點到準(zhǔn)線的距離p2說明：(1)焦參數(shù)p恒為正值，當(dāng)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的一次項系數(shù)為負(fù)時，要特別注意. (2)只有頂點在坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上的拋物線的方程才有標(biāo)準(zhǔn)形式. (3)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程共有四種不同形式，根據(jù)拋物線的開口方向，可以確定標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，表中所列拋物線的頂點均在原點，且以一條坐標(biāo)軸為對稱軸.焦半徑公式設(shè)F是拋物線y2=2px(p>0)的焦點，M(x,y)是拋物線上任一點，則MF=x+p.00024焦點弦的性質(zhì)(2)若點A(x,y)，B(x,y)，12212 (3)若點A(x,y)，B(x,y)，22p2p (4)若AF=m，BF=n(F為焦點)，則+=(定值).mnp(5)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.知能解讀(三)圓錐曲線的統(tǒng)一定義動點M的軌跡為圓錐曲線(F茫l).解題方法薈萃思想方法：(一)數(shù)形結(jié)合思想到焦點的距離.說明：本題利用雙曲線的定義將問題轉(zhuǎn)化為求AP+AF一25的最小值，問題迎刃而解.1思想方法：(二)函數(shù)與方程思想曲線的切線的斜率的求法有兩種：(1)聯(lián)立切線與曲線的方程，利用求得；(2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通過切點的坐標(biāo)來求.思想方法：(三)待定系數(shù)法定a2，b2的值，即“先定型，再定量”；如果焦點位置不好確定，可將雙曲線方程設(shè)為m2n2常見雙曲線的設(shè)法：(1)已知過兩點的雙曲線方程可設(shè)為Ax2By2=1(AB>0)；(2)等軸雙曲線方程可設(shè)為x2y2=入(入0)；(3)與雙曲線x2y2=1(a>0，b>0)有共同a2b2漸近線的雙曲線方程可設(shè)為x2y2=入(入0)；(4)有共同焦點的雙曲線方程可設(shè)為a2b2 yxya2b2a2b2a2b2 程、共焦點的雙曲線系方程解題簡捷明了，省去了分類討論的過程，提高了解題質(zhì)量，要善于選擇恰當(dāng)?shù)姆匠棠Ｐ?思想方法：(四)點差法說明：弦中點問題利用點差法解決計算量小，但要注意檢驗與雙曲線是否有交點.如果做小題，可先判斷點所在區(qū)域直接求解.規(guī)律技巧：(一)雙曲線定義的應(yīng)用說明：在運用雙曲線的定義時，應(yīng)特別注意定義中的條件“差的絕對值”，弄清軌跡是整個雙曲線，還是雙曲線的一支，若是一支，是哪一支，從而用x或y的范圍進(jìn)行限制.規(guī)律技巧：(二)拋物線定義的應(yīng)用說明：本題運用了拋物線的定義，要注意挖掘題目：中隱含的幾何條件，使解題過程簡明快捷.規(guī)律技巧：(三)雙曲線的離心率c求雙曲線的離心率有如下兩種情況：(l)a，c易求出，代入e=即可得離心率；(2)a，ca不易單獨求出，可依據(jù)已知條件建立a，b，c的關(guān)系式，再結(jié)合c2=a2+b2，建立關(guān)于a，cc的齊次方程，整體求出的值，即得離心率e.a規(guī)律技巧：(四)最值問題說明：本題亦可將直線方程設(shè)出后，求出弦AB的長，再求原點O到直線的距離，但是這種方法過于繁瑣.Ⅲ易混易錯辨析易混易錯：忽視拋物線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式而致誤高考命題研究考查基礎(chǔ)知識，在解答題中，以雙曲線和拋物線為載體，常與直線、函數(shù)、不等式、向量等知識相結(jié)合，綜合性較強(qiáng)，有一定難度.高考熱點:(一)雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程是研究雙曲線幾何性質(zhì)以及其它綜合問題的基礎(chǔ)，所以高考中經(jīng)常涉及，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，以中、低檔題目為主.高考熱點：(二)雙曲線的幾何性質(zhì)雙曲線與橢圓相比，考試要求低一些，重點考查雙曲線的一些基本問題，例如，雙曲線的離本問題的常用方法.高考熱點：(三)拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程目，但?？汲Ｐ?，所以應(yīng)熟練掌握，靈活運用.高考熱點：(四)拋物線的幾何性質(zhì)拋物線的幾何性質(zhì)主要涉及對稱性、頂點、開口方向、焦點弦、通徑、準(zhǔn)線等知識，是高考的重點內(nèi)容，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).高考熱點：(五)軌跡方程的求法的生在這些方面的能力.由于軌跡就是平面上所有滿足條件的點的集合，而求動點的運動軌跡問題所給出的條件千差萬別，因此求軌跡的方法也多種多樣，下面介紹幾種常用的方法.動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系，或這些幾何條件簡單明了且易于表達(dá)，我們只需把這種關(guān)系“翻譯”成含x，y的等式就能得到動點的軌跡方程.由于這種求軌跡方程的過程不需要其他步驟，也不需要特殊的技巧，所以稱之為直接法.若動點的軌跡符合某一基本軌跡的定義，則可根據(jù)定義直接求出動點的軌跡方程.3代入法(相關(guān)點法)若所求軌跡上的動點P(x,y)與另一個已知曲線C：F(x,y)=0上的動點Q(x,y)存在著11某種聯(lián)系，可把點Q的坐標(biāo)用點P的坐標(biāo)表示出來，然后代入已知曲線C的方程F(x,y)=0，化簡即得所求軌跡方程，這種求軌跡的方法叫做代入法(又稱相關(guān)點法).將未知轉(zhuǎn)化為已知).高考熱點：(六)拋物線與圓握拋物線與圓的相關(guān)知識和基本技能，進(jìn)行綜合、分析并探究的能力.點評：知識：直線與拋物線及直線與圓的位置關(guān)系.能力：利用代數(shù)法解決解析幾何問題的能力，特別注重運算求解與邏輯推理能力的考查.試題難度：難.附錄：常用公式定理常用性質(zhì)(1)雙曲線的性質(zhì)a2b21212(P為雙曲線上任一點).a2b2致致dPF1ycbA2OO2axaa2d00a2b21200a2b212MMFB1NyOPAFx0010200010202b2. (其中.122b2a過焦點F作直線l，若l僅與右支相交，則當(dāng)所得弦長等于時，這樣的直線a2b22b2aa當(dāng)所得弦長大于時，這樣的直線l有兩條；當(dāng)所得的弦長小于aa不存在.若l與左、右兩支都相交，則當(dāng)所得弦長等于2a時，這樣的直線l僅有一條；當(dāng)所b2be.焦點三角形的面積為S=.F1PF2tan92④等軸雙曲線：實軸和虛軸等長的雙曲線，即a=b的雙曲線.雙曲線是等軸雙曲線的充要條件是兩條漸近線垂直(或離心率e=2).x2y2a2b2a2b211ee2.11ee2.12(2)拋物線的性質(zhì)2ppp幾2ppp幾002B(x,y)，AB所在直線的傾斜角為9，則22yyAFxBlC12sin291222212sin2912222cS=p2.AOB2sin9AFBFpAFBFp第五講直線與圓錐曲線的位置關(guān)系知識能力解讀知能解讀：(一)直線與橢圓的位置關(guān)系關(guān)系相交、相切、相離.方法二次方程，再對解的個數(shù)進(jìn)行討論. 知能解讀：(二)直線與雙曲線的位置關(guān)系到一個一元方程，然后對其解的個數(shù)進(jìn)行討論.說明：當(dāng)直線與雙曲線只有一個公共點時，直線與雙曲線相切或相交.知能解讀：(三)直線與拋物線的位置關(guān)系1直線與拋物線的位置關(guān)系直線與拋物線有三種位置關(guān)系：相交、相切、相離.相交：直線與拋物線交于兩個不同點，或直線與拋物線的對稱軸平行.相切：直線與拋物線有且只有一個公共點，且直線不平行于拋物線的對稱軸.相離：直線與拋物線無公共點.切，也可能相交.2直線與拋物線的位置關(guān)系的判斷把