教育學(xué)夜大高數(shù)D專升本無窮級數(shù)

教育學(xué)夜大高數(shù)D專升本無窮級數(shù)第1頁/共134頁2本課程教學(xué)內(nèi)容第七章無窮級數(shù)

(第六節(jié)不要求)第八章微分方程

(第七節(jié)不要求)第十章多元函數(shù)微分學(xué)

(第六、七節(jié)不要求)第十一章重積分(第三節(jié)不要求)本課程考核方式1.期末考試(半開卷，占總評成績70%)

2.平時(shí)考勤記錄(占總評成績30%)

第2頁/共134頁3第七章無窮級數(shù)第3頁/共134頁4

無窮級數(shù)是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分,是表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種有力工具.(常)數(shù)項(xiàng)級數(shù)級數(shù)冪級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)正項(xiàng)級數(shù)任意項(xiàng)級數(shù)傅里葉級數(shù)(交錯級數(shù))第4頁/共134頁5第一節(jié)無窮級數(shù)的基本概念和性質(zhì)一、無窮級數(shù)的基本概念定義:

稱為常數(shù)項(xiàng)無窮級數(shù),簡稱常數(shù)項(xiàng)級數(shù),設(shè)給定一個(gè)數(shù)列問題:

(即有沒有和數(shù))其中

un

稱為級數(shù)的一般項(xiàng)(或通項(xiàng)).或無窮級數(shù),或級數(shù).第5頁/共134頁62.部分和數(shù)列一數(shù)列中有限項(xiàng)相加總是有和數(shù)的,無限項(xiàng)相加是否有和數(shù)?可能有,也可能沒有.如何研究它?通過有限項(xiàng)之和去認(rèn)識和研究無限項(xiàng)之和.定義:級數(shù)前n項(xiàng)之和:組成的數(shù)列稱為級數(shù)的部分和數(shù)列.第6頁/共134頁7部分和數(shù)列{Sn}：顯然,

第7頁/共134頁8

發(fā)散的級數(shù)沒有和.

極限值

S

稱為級數(shù)的和.3.

級數(shù)的收斂和發(fā)散定義：(C)(D

)第8頁/共134頁9其差值

rn=稱為級數(shù)的余項(xiàng).第9頁/共134頁10討論等比級數(shù)

(幾何級數(shù))

的斂散性：

例1.解:第10頁/共134頁11第11頁/共134頁12解:∴原級數(shù)

(D)例2.第12頁/共134頁13例3.

解:

∴原級數(shù)

(C)第13頁/共134頁14二、級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1.

k

是常數(shù),證:證畢第14頁/共134頁15推論:性質(zhì)1.

k

是常數(shù),第15頁/共134頁16性質(zhì)2.

收斂級數(shù)可逐項(xiàng)相加減.設(shè)有兩個(gè)收斂級數(shù)推論:

第16頁/共134頁17由性質(zhì)2：

矛盾！推論:

(C)+(D)=>(D)

證:(C)+(C)=>(C)第17頁/共134頁18兩個(gè)發(fā)散級數(shù)逐項(xiàng)相加減后的情況不定.如:第18頁/共134頁19

在級數(shù)前加上或去掉或改變有限項(xiàng),不影響級數(shù)的斂散性,

但收斂時(shí)其和會改變.∴(C),例:性質(zhì)3.(C)(C)第19頁/共134頁20

收斂級數(shù)對其項(xiàng)任意加括號后所組成的級數(shù)仍然收斂,

且其和不變.證:

部分和為

Sn,性質(zhì)4.按某一規(guī)律加括號后的級數(shù):證畢該性質(zhì)可理解為收斂的級數(shù)滿足加法結(jié)合律.第20頁/共134頁21

發(fā)散級數(shù)加括號后所成級數(shù)不一定發(fā)散.注1.

例:

(D)(C)加括號后所成的級數(shù)發(fā)散,3.

則原級數(shù)也發(fā)散.

甚至,對一個(gè)發(fā)散的級數(shù),若按不同的方式加括號,所得的級數(shù)可能收斂于不同的和.發(fā)散的級數(shù)不滿足加法結(jié)合律.收斂于0,加括號后所得的級數(shù)(D)

添加了括號后所得的級數(shù)收斂并不能保證原來的級2.例:數(shù)收斂.而原來的級數(shù)第21頁/共134頁22

性質(zhì)5.

證:

(級數(shù)收斂的必要條件)說明第22頁/共134頁23∴級數(shù)發(fā)散.例2:證明調(diào)和級數(shù)發(fā)散.證:(反證)此時(shí)

解:

第23頁/共134頁24但矛盾!第24頁/共134頁25課外作業(yè)

習(xí)題

7–1(第173頁)4(1,2,3)第25頁/共134頁26習(xí)題7-1(第173頁)4.判斷下列級數(shù)的斂散性:級數(shù)為等比級數(shù),公比為級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.第26頁/共134頁274.判斷下列級數(shù)的斂散性:等比級數(shù)的公比為則由性質(zhì)1知原級數(shù)收斂.等比級數(shù)的公比為第27頁/共134頁284.判斷下列級數(shù)的斂散性:則由級數(shù)收斂的必要條件知原級數(shù)發(fā)散.第28頁/共134頁291.定義:

許多級數(shù)斂散性的判斷都可以歸結(jié)為正項(xiàng)級數(shù)的斂散性的判斷.第二節(jié)正項(xiàng)級數(shù)第29頁/共134頁302.正項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件

證:

收斂數(shù)列必有界,定理:(C)證畢第30頁/共134頁31如:

有界無界則其必發(fā)散.第31頁/共134頁323.

審斂法（判別法）比較審斂法:設(shè)有兩個(gè)正項(xiàng)級數(shù)(C),(C).(1)(2)(D),(D).則（大的收斂則小的也收斂）（小的發(fā)散則大的也發(fā)散）第32頁/共134頁33

證:

(1)(2)第33頁/共134頁34

推論.

即正項(xiàng)級數(shù)若從某項(xiàng)后滿足比較審斂法的條件，仍得同樣結(jié)果.結(jié)論同樣成立;

甚至上式只要在某個(gè)自然數(shù)后開始成立即可.第34頁/共134頁35(重要級數(shù))證:第35頁/共134頁36證畢第36頁/共134頁37

因?yàn)橐c已知斂散的級數(shù)的一般項(xiàng)進(jìn)行比較,等比級數(shù)

P--級數(shù)所以必須掌握一些已知斂散的級數(shù).常用:調(diào)和級數(shù)(D)第37頁/共134頁38

例1.

判別下列正項(xiàng)級數(shù)的斂散性:(1)解:第38頁/共134頁39(2)解:第39頁/共134頁40(3)解:第40頁/共134頁41

比較審斂法的極限形式:

設(shè)正項(xiàng)級數(shù)第41頁/共134頁42

例2：判別前例中級數(shù)(1),(2)的斂散性：∴原級數(shù)收斂.解:第42頁/共134頁43∴原級數(shù)發(fā)散.解:第43頁/共134頁44解:例3:判別級數(shù)的斂散性:∴原級數(shù)發(fā)散.第44頁/共134頁45

解:∴原級數(shù)收斂.第45頁/共134頁46

解：∴原級數(shù)收斂.第46頁/共134頁47比值審斂法（達(dá)朗貝爾判別法）設(shè)正項(xiàng)級數(shù)則當(dāng)斂散性不定第47頁/共134頁48解:∴原級數(shù)收斂.例1:判別下列正項(xiàng)級數(shù)的斂散性:第48頁/共134頁49解:

∴原級數(shù)收斂.=第49頁/共134頁50(3)解:由此題結(jié)論還可得:第50頁/共134頁51

前面介紹的判別正項(xiàng)級數(shù)斂散性的比較、比值審斂方法，它們都是充分條件。如果用它們無法判斷該正項(xiàng)級數(shù)斂散性，那么就要嘗試用級數(shù)收斂的定義、收斂級數(shù)的性質(zhì)等去判別。第51頁/共134頁52課外作業(yè)

習(xí)題

7–2(第177頁)1(4,5),2(1)第52頁/共134頁53第三節(jié)交錯級數(shù)與任意項(xiàng)級數(shù)

各項(xiàng)正負(fù)交錯的級數(shù)稱為交錯級數(shù).定義:如:其中

一、交錯級數(shù)及其審斂法第53頁/共134頁54交錯級數(shù)審斂法（萊布尼茲定理）若交錯級數(shù)滿足條件:則此級數(shù)收斂,

第54頁/共134頁55判別下列級數(shù)的斂散性:(1)解:例:萊布尼茲級數(shù)第55頁/共134頁56(2)解:第56頁/共134頁57

二、任意項(xiàng)級數(shù)

任意項(xiàng)級數(shù)的斂散情況有下列三種:

對任意項(xiàng)級數(shù),一般有無窮多正項(xiàng),無窮多負(fù)項(xiàng),但其各項(xiàng)的絕對值組成了正項(xiàng)級數(shù):1.絕對收斂;2.條件收斂;3.發(fā)散.第57頁/共134頁58定義:(A.C)(C.C)第58頁/共134頁59定理:絕對收斂的級數(shù)必收斂。第59頁/共134頁60證:第60頁/共134頁61說明:

絕對收斂級數(shù)都是收斂級數(shù),反之不成立,即收斂級數(shù)未必是絕對收斂級數(shù).例:第61頁/共134頁62

判別下列級數(shù)的斂散性,若收斂則說明是絕對收斂還是條件收斂:例:第62頁/共134頁63(2)第63頁/共134頁64(3)用比值法第64頁/共134頁65(4)第65頁/共134頁66

為什么要討論級數(shù)的絕對收斂與條件收斂?

絕對收斂級數(shù)可以任意交換項(xiàng)的位置而不因?yàn)橛泻芏嘈再|(zhì)是絕對收斂級數(shù)所具備的,而條件收斂的級數(shù)不具備.如:性質(zhì).改變它的收斂性及和數(shù).注:條件收斂的級數(shù)不具有這一性質(zhì).如:條件收斂,其和記為S可以證明重新排序后的級數(shù)收斂于第66頁/共134頁67條件收斂,其和記為S證明重新排序后的級數(shù)收斂于它收斂于再將它與原級數(shù)逐項(xiàng)相加,得重新排序后的級數(shù)顯然收斂于第67頁/共134頁68

黎曼于1854年證明了:可以把任何一個(gè)條件收斂的級數(shù)的項(xiàng)適當(dāng)重排,使新級數(shù)收斂于任何事先指定的數(shù);也可以使重排后的級數(shù)發(fā)散于正無窮大或負(fù)無窮大.第68頁/共134頁69課外作業(yè)

習(xí)題

7–3(第181頁)1(2,4,6,9)第69頁/共134頁70習(xí)題7-2(第177頁)1.用比較判別法或其極限形式判別下列正項(xiàng)級數(shù)的斂散性:則由正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法知原級數(shù)收斂.第70頁/共134頁71則由正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法極限形式知原級數(shù)收斂.1.用比較判別法或其極限形式判別下列正項(xiàng)級數(shù)的斂散性:第71頁/共134頁72則由正項(xiàng)級數(shù)的比值判別法知原級數(shù)發(fā)散.2.用比值判別法或其極限形式判別下列正項(xiàng)級數(shù)的斂散性:第72頁/共134頁73四、冪級數(shù)第73頁/共134頁74（一）函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念定義:簡稱

(函數(shù)項(xiàng))級數(shù).稱為定義在區(qū)間

I

上的函數(shù)項(xiàng)無窮級數(shù),第74頁/共134頁75收斂點(diǎn)全體稱為它的收斂域.發(fā)散點(diǎn)全體稱為它的發(fā)散域.第75頁/共134頁76

對于I

中的每一點(diǎn),不是收斂點(diǎn)就是發(fā)散點(diǎn).

對收斂域內(nèi)任一點(diǎn)

x,函數(shù)項(xiàng)級數(shù)退化為一收斂的常數(shù)項(xiàng)級數(shù),所以有一確定的和

S,顯然

S與

x

有關(guān),由x

惟一確定.所以收斂域上函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是點(diǎn)

x

的函數(shù),記為

S(x),稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù),其定義域就是(注意,與一般項(xiàng)

un(x)的定義域不同)第76頁/共134頁77同樣,第77頁/共134頁78解：所以

的收斂域?yàn)?/p>

(?1,1).由前面的討論可知當(dāng)時(shí),這級數(shù)收斂于和當(dāng)時(shí),這級數(shù)發(fā)散發(fā)散域?yàn)楹秃瘮?shù)為注意:和函數(shù)的定義域小于級數(shù)的定義域.第78頁/共134頁79習(xí)題7—3(第181頁)1.判斷下列級數(shù)是否收斂.如果是收斂級數(shù),指出是絕對收斂?還是條件收斂?則原級數(shù)絕對收斂.第79頁/共134頁80則原級數(shù)絕對收斂.1.判斷下列級數(shù)是否收斂.如果是收斂級數(shù),指出是絕對收斂?還是條件收斂?第80頁/共134頁81則原級數(shù)絕對收斂.1.判斷下列級數(shù)是否收斂.如果是收斂級數(shù),指出是絕對收斂?還是條件收斂?第81頁/共134頁82則原級數(shù)發(fā)散.1.判斷下列級數(shù)是否收斂.如果是收斂級數(shù),指出是絕對收斂?還是條件收斂?第82頁/共134頁83

(二)冪級數(shù)及其收斂域定義:

的級數(shù)稱為冪級數(shù).其中常數(shù)稱為冪級數(shù)的系數(shù),形如顯然,冪級數(shù)的定義域?yàn)轱@然是冪級數(shù)的收斂點(diǎn).第83頁/共134頁84

冪級數(shù)是函數(shù)項(xiàng)級數(shù)中最常見最簡單的一種,

定理1（阿貝爾定理）其收斂域如何?在收斂域內(nèi),和函數(shù)如何求?

第84頁/共134頁85即冪級數(shù)的收斂點(diǎn)與發(fā)散點(diǎn)不可能互相混雜.(1)說明：發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散第85頁/共134頁86收斂半徑,記為

R.(2)在收斂域與發(fā)散域之間的分界點(diǎn)上,冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散,發(fā)散發(fā)散收斂第86頁/共134頁87推論:也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂,則必有一個(gè)完全確定的正數(shù)

R

存在,使得：第87頁/共134頁88則

R=0,收斂區(qū)間,收斂域?yàn)樗姆N情況之一.第88頁/共134頁89如果冪級數(shù)在處條件收斂,那么該冪級數(shù)的收斂半徑為多少?思考：第89頁/共134頁90若:第90頁/共134頁91求下列冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間.解:由定理

2：例:1.第91頁/共134頁92解:第92頁/共134頁93解:第93頁/共134頁94解:所以R=1,收斂區(qū)間為第94頁/共134頁95（三）冪級數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)

1)加減法1.代數(shù)運(yùn)算第95頁/共134頁96柯西乘積第96頁/共134頁972)乘法(柯西乘積)第97頁/共134頁982.分析運(yùn)算

逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑,但在端點(diǎn)處斂散性可能會改變.第98頁/共134頁99(反復(fù)用上述結(jié)論,可知

S(x)在收斂域內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù))

逐項(xiàng)積分后所得的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑,但在端點(diǎn)處斂散性可能會改變.第99頁/共134頁100

用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分的方法,可求得一些級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù).第100頁/共134頁101求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù):解:

不必先求收斂區(qū)間,在求和函數(shù)的過程中可求得收斂區(qū)間.先逐項(xiàng)求導(dǎo):第101頁/共134頁102第102頁/共134頁103先逐項(xiàng)積分:解:第103頁/共134頁104

可見,關(guān)鍵在于求導(dǎo)或積分后所得的冪級數(shù)能寫出和函數(shù).第104頁/共134頁105課外作業(yè)

習(xí)題

7–4(第186頁)1(1,2,5),3(1,2)第105頁/共134頁106習(xí)題7—4(第186頁)1.求下列級數(shù)的收斂域:第106頁/共134頁1073.求下列級數(shù)的收斂區(qū)間及和函數(shù):第107頁/共134頁108五、函數(shù)展開為冪級數(shù)第108頁/共134頁109

（一）泰勒(Taylor)級數(shù)第109頁/共134頁110展開到n

階拉格朗日型余項(xiàng).第110頁/共134頁111

定義:若

在

處有任意階導(dǎo)數(shù),則稱：問題：1)上述級數(shù)的收斂域是什么

?2)在收斂域上,其和函數(shù)是否為

f(x)?3)把

f(x)展開成冪級數(shù)是否就是上述形式?或者說把

f(x)展開成冪級數(shù)形式是否唯一?第111頁/共134頁112定理1:證明:第112頁/共134頁113