數(shù)理統(tǒng)計(jì) 假設(shè)檢驗(yàn)

數(shù)理統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)第1頁/共55頁二、單個(gè)正態(tài)總體均值和方差一、參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)第四章假設(shè)檢驗(yàn)的假設(shè)檢驗(yàn)三、兩個(gè)正態(tài)總體均值相等和方差相等的假設(shè)檢驗(yàn)第2頁/共55頁例怎么知道這批罐裝可樂的容量是否合格呢？罐裝可樂的容量按標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)是355毫升.通常的辦法是進(jìn)行抽樣檢查.

每隔一定時(shí)間，抽查若干罐.

如每隔1小時(shí)，抽查5罐，得5個(gè)容量的值X1，…，X5，根據(jù)這些值來判斷生產(chǎn)是否正常.

很明顯，不能由5罐容量的數(shù)據(jù)，在把握不大的情況下就判斷生產(chǎn)

不正常，也不能總認(rèn)為正常，有了問題不能及時(shí)發(fā)現(xiàn)，這也要造成損失.第3頁/共55頁

如何處理這兩者的關(guān)系，假設(shè)檢驗(yàn)面對的就是這種矛盾.

在正常生產(chǎn)條件下，由于種種隨機(jī)因素的影響，每罐可樂的容量應(yīng)在355毫升上下波動.這些因素中沒有哪一個(gè)占有特殊重要的地位.因此，根據(jù)中心極限定理，假定每罐容量服從正態(tài)分布是合理的.現(xiàn)在我們就來討論這個(gè)問題.第4頁/共55頁稱H0為原假設(shè)（或零假設(shè)）；H1為備選假設(shè)（或?qū)α⒓僭O(shè)）.在實(shí)際工作中，往往把不輕易否定的命題作為原假設(shè).H0：（=355）H1：X1,…,X5是取自正態(tài)總體的樣本，是一個(gè)常數(shù).當(dāng)生產(chǎn)比較穩(wěn)定時(shí)，檢驗(yàn)假設(shè)：可從歷史資料獲得的值.那么，如何判斷原假設(shè)H0

是否成立呢？第5頁/共55頁較小時(shí)，可以認(rèn)為H0是成立的；當(dāng)-

||生產(chǎn)已不正常.當(dāng)較大時(shí)，應(yīng)認(rèn)為H0不成立，即-

||問題歸結(jié)為對差異作定量的分析，以確定其性質(zhì).差異可能是由抽樣的隨機(jī)性引起的，稱為“抽樣誤差”或隨機(jī)誤差這種誤差反映偶然、非本質(zhì)的因素所引起的隨機(jī)波動.然而，這種隨機(jī)性的波動是有一定限度的，第6頁/共55頁如果差異超過了這個(gè)限度，則我們就不能用抽樣的隨機(jī)性來解釋了.必須認(rèn)為這個(gè)差異反映了事物的本質(zhì)差別，即反映了生產(chǎn)已不正常.這種差異稱作“系統(tǒng)誤差”是“抽樣誤差”還是“系統(tǒng)誤差”所引起的？根據(jù)所觀察到的差異，這里用到人們在實(shí)踐中普遍采用的一個(gè)原則：小概率事件在一次試驗(yàn)中基本上不會發(fā)生.第7頁/共55頁實(shí)際推斷原理（小概率原理）通過大量實(shí)踐，人們對小概率事件（即在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率很小的事件）總結(jié)出一條原理：小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不會發(fā)生并稱此為實(shí)際推斷原理，其為判斷假設(shè)的根據(jù)。在假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，若一次試驗(yàn)中小概率事件發(fā)生了，就認(rèn)為是不合理的。小概率事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率記為α，一般取在假設(shè)檢驗(yàn)中，稱小概率α為顯著水平、檢驗(yàn)水平。一、假設(shè)檢驗(yàn)的思想方法第8頁/共55頁信息看在H0成立下會不會發(fā)生矛盾。最后對H0成立與否作出判斷：中居然發(fā)生，若小概率事件發(fā)生了，則否定H0。若不發(fā)生，則接受H0，并稱H0相容。概率反證法的邏輯是：如果小概率事件在一次試驗(yàn)我們就以很大的把握否定原假設(shè).假設(shè)檢驗(yàn)使用的方法是概率論的反證法：即先對所關(guān)心的問題提出原假設(shè)H0,然后運(yùn)用樣本第9頁/共55頁

不否定H0并不是肯定H0一定對，而只是說差異還不夠顯著，還沒有達(dá)到足以否定H0的程度.所以假設(shè)檢驗(yàn)又叫“顯著性檢驗(yàn)”第10頁/共55頁由于作出結(jié)論的依據(jù)是下述小概率原理小概率事件在一次試驗(yàn)中基本上不會發(fā)生.不是一定不發(fā)生

如果H0成立，但統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測值落入否定域，從而作出否定H0的結(jié)論，那就犯了“以真為假”的錯(cuò)誤.

如果H0不成立，但統(tǒng)計(jì)量的實(shí)測值未落入否定域，從而沒有作出否定H0的結(jié)論，即接受了錯(cuò)誤的H0，那就犯了“以假為真”的錯(cuò)誤.兩類錯(cuò)誤：假設(shè)檢驗(yàn)會不會犯錯(cuò)誤呢第11頁/共55頁

假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤H0為真實(shí)際情況決定拒絕H0接受H0H0不真棄真正確正確取偽P{拒絕H0|H0真}=,P{接受H0|H0不真}=.

犯兩類錯(cuò)誤的概率:顯著性水平為犯第一類錯(cuò)誤的概率.P{第一類錯(cuò)誤}=P{第二類錯(cuò)誤}=第12頁/共55頁對給定的顯著性水平α，H0關(guān)于的接受域：H0關(guān)于的拒絕域：第13頁/共55頁把本來正確的東西給丟棄了這就范了“棄真”的錯(cuò)誤，其概率是P{拒絕H0|

真}=而結(jié)論是：若落在H0的接受域內(nèi)，就接受H0，但結(jié)論是：若落在H0的拒絕域內(nèi)，就拒絕H0，（1）在H0正確的情況下，落在R上的每一點(diǎn)都是可能的范了“取偽”的錯(cuò)誤，第14頁/共55頁

注意：積分區(qū)間長度不變：

但積分區(qū)間的中心第15頁/共55頁（2）要同時(shí)降低兩類錯(cuò)誤的概率或者要在不變的條件下降低，需要增加樣本容量.（1）當(dāng)樣本容量固定時(shí)，一類錯(cuò)誤概率的減少導(dǎo)致另一類錯(cuò)誤概率的增加.因α減少，積分區(qū)間長度：第16頁/共55頁

實(shí)際問題中，我們希望兩類錯(cuò)誤都能得到控制。一般多是控制第I類錯(cuò)誤的概率到適當(dāng)程度而不管第II類錯(cuò)誤的大小，這種檢驗(yàn)叫顯著性檢驗(yàn)。第17頁/共55頁4.2單個(gè)正態(tài)總體均值與方差的假設(shè)檢驗(yàn)設(shè)總體為X的樣本。我們對μ,σ2作顯著性檢驗(yàn)一、總體均值μ的假設(shè)檢驗(yàn)1、已知σ2，檢驗(yàn)（H1可以不寫）其中μ0是已知常數(shù)，在實(shí)際工作中，往往把不輕易否定的命題作為原假設(shè).第18頁/共55頁提出原假設(shè)和備擇假設(shè)第一步：1.已知已知，第二步：取統(tǒng)計(jì)量，在H0成立下求出它的分布第三步：查表確定臨界值,使對給定的顯著性水平檢驗(yàn)假設(shè)的過程分為五個(gè)步驟：或得H0否定域第四步：將樣本值代入算出統(tǒng)計(jì)量第19頁/共55頁選擇假設(shè)H1

表示Z可能大于μ0，也可能小于μ0。這稱為雙邊假設(shè)檢驗(yàn)。由于取用的統(tǒng)計(jì)量服從Z(U)分布，第五步：判斷則否定H0，接受H1則H0相容，接受H0故稱其為Z(U)檢驗(yàn)法。0第20頁/共55頁例1某車間生產(chǎn)銅絲，X的大小。銅絲的主要質(zhì)量指標(biāo)是折斷力由資料可認(rèn)為今換了一批原料，從性能上看，估計(jì)折斷力的方差不會有變換，但不知折斷力的大小有無差別。解方差已知抽出10個(gè)樣品，測得其折斷力（斤）為進(jìn)行檢驗(yàn)。提出假設(shè)（=0.05）第一步：第21頁/共55頁第二步：取統(tǒng)計(jì)量，在H0成立下求出它的分布第三步：查表確定臨界值,使對給定的顯著性水平得H0否定域第四步：將樣本值代入算出統(tǒng)計(jì)量第22頁/共55頁第五步：判斷說明小概率事件竟在一次試驗(yàn)中發(fā)生了，故否定H0.可以接受H1。第23頁/共55頁2、未知σ2，檢驗(yàn)（H1可以不寫）未知σ2，可用樣本方差代替σ2檢驗(yàn)步驟提出原假設(shè)和備擇假設(shè)第一步：第二步：取一檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，在H0成立下求出它的分布第三步：查表確定臨界值,使對給定的顯著性水平確定H0的否定域。第24頁/共55頁即“”是一個(gè)小概率事件.或由于取用的統(tǒng)計(jì)量服從t分布，第四步：得H0否定域?qū)颖局荡胨愠鼋y(tǒng)計(jì)量第五步：判斷則否定H0，接受H1則H0相容，接受H0故稱其為t檢驗(yàn)法。第25頁/共55頁抽取6件,得尺寸數(shù)據(jù)如下:32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03問這批產(chǎn)品是否合格?…某工廠生產(chǎn)的一種螺釘，標(biāo)準(zhǔn)要求長度是32.5毫米.實(shí)際生產(chǎn)的產(chǎn)品其長度X假定服從正態(tài)分布，未知，現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中例2（=0.01）提出假設(shè)解已知未知.第26頁/共55頁取一檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，在H0成立下求出它的分布得否定域?qū)o定的顯著性水平查表確定故不能拒絕H0.將樣本值代入算出T0的值,沒有落入拒絕域第27頁/共55頁正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)小結(jié)H0接受域第28頁/共55頁H0接受域0第29頁/共55頁測量值X服從正態(tài)分布,取=0.05)?解:提出假設(shè)H0：=112.6；H1：112.6用熱敏電阻測溫儀間接測量地?zé)峥碧骄诇囟?重復(fù)測量7次，測得溫度(℃):112.0113.4111.2112.0114.5112.9113.6而用某種精確辦法測得溫度為112.6(可看作真值),試問用熱敏電阻測溫儀間接測溫有無系統(tǒng)偏差(設(shè)溫度因?yàn)槲粗讲瞀?，故采用t檢驗(yàn)法。取統(tǒng)計(jì)量例3查表第30頁/共55頁由樣本算得這里H0相容，接受H0。即用熱敏電阻測溫儀間接測溫?zé)o系統(tǒng)偏差。第31頁/共55頁由于S2為σ2的無偏估計(jì)，自然想用S2與σ2進(jìn)行比較若過大或過于接近0，則說明σ2

偏離σ02較大。因此有理由否定H0。三、關(guān)于σ2假設(shè)檢驗(yàn)在顯著性水平條件下檢驗(yàn)假設(shè)其中σ0是已知常數(shù)，取統(tǒng)計(jì)量第32頁/共55頁提出原假設(shè)和備擇假設(shè)第一步：第二步：取一檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，第三步：查表確定臨界值對給定的顯著性水平確定H0的否定域?；騂0否定域第33頁/共55頁第四步：在樣本值下計(jì)算第五步：判斷若或則否定H0。若則接受H0。第34頁/共55頁例1已知某種延期藥靜止燃燒時(shí)間T,今從一批延期藥中任取10副測得靜止燃燒時(shí)間（單位秒）數(shù)據(jù)為問：是否可信這批延期藥的靜止燃燒時(shí)間T的方差為我們的任務(wù)是根據(jù)所得的樣本值檢驗(yàn)第35頁/共55頁提出假設(shè)第一步：第二步：取統(tǒng)計(jì)量，第三步：查表確定臨界值對給定的顯著性水平或得H0否定域解第36頁/共55頁根據(jù)樣本值算得則H0相容，接受H0

?？尚胚@批延期藥的靜止燃燒時(shí)間T的方差為顯然第四步：第五步：判斷第37頁/共55頁（=0.05）解:提出假設(shè)某次統(tǒng)考后隨機(jī)抽查26份試卷,測得平均成績:試分析該次考試成績標(biāo)準(zhǔn)差是否為已知該次考試成績?nèi)〗y(tǒng)計(jì)量例2查表第38頁/共55頁根據(jù)樣本值算得則H0相容，故接受H0

。顯然表明考試成績標(biāo)準(zhǔn)差與12無顯著差異。第39頁/共55頁關(guān)于σ2假設(shè)檢驗(yàn)μ已知，其中σ0是已知常數(shù)，取統(tǒng)計(jì)量或H0否定域第40頁/共55頁分別是且X與Y獨(dú)立,X1,X2,…,是取自X的樣本,取自Y的樣本,分別是樣本方差,均值,1.Y1,Y2,…,是樣本提出假設(shè)H0：1=2

；H1：1≠2

四.檢驗(yàn)兩正態(tài)總體均值相等第41頁/共55頁取統(tǒng)計(jì)量，拒絕域的形式對給定查表確定1.提出假設(shè)H0：1=2

；H1：1≠2

第42頁/共55頁則否定H0，接受H1則接受H0即認(rèn)為兩個(gè)正態(tài)母體均值無顯著差異即認(rèn)為兩個(gè)正態(tài)母體均值有顯著差異，顯著性水平為由樣本值代入算出統(tǒng)計(jì)量第43頁/共55頁H0：1=2

；H1：1≠2

取統(tǒng)計(jì)量提出假設(shè)拒絕域的形式給定顯著性水平第44頁/共55頁且X與Y獨(dú)立,1.提出假設(shè)

檢驗(yàn)兩正態(tài)總體均值之差取統(tǒng)計(jì)量拒絕域的形式給定第45頁/共55頁算出統(tǒng)計(jì)量則否定H0，接受H1則接受H0即認(rèn)為兩個(gè)正態(tài)母體均值無顯著差異注意在關(guān)于的假設(shè)檢驗(yàn)中,通常遇到的情況是，即檢驗(yàn)與是否相等.第46頁/共55頁例3某苗圃用兩種育苗方案對楊樹進(jìn)行育苗試驗(yàn),

已知在兩組育苗試驗(yàn)中苗高的標(biāo)準(zhǔn)差分別為cm,cm.cm,設(shè)楊樹苗高服從正態(tài)分布,試在顯著性水平下,判斷兩種試驗(yàn)方案對平均苗高有無顯著影響？現(xiàn)各抽取80株樹苗作為樣本,算得苗高的樣本均值分別為cm.第47頁/共55頁解