機(jī)械控制原理數(shù)學(xué)模型

機(jī)械控制原理數(shù)學(xué)模型1第1頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五連續(xù)系統(tǒng)的微分方程的一般形式：分別為系統(tǒng)輸出和輸入;為微分方程系數(shù)若所有系數(shù)都不是輸入、輸出及其各階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則微分方程表示的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)；否則，系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。對(duì)線性系統(tǒng)，若系數(shù)為常數(shù)則為線性定常系統(tǒng)。線性定常系統(tǒng)線性時(shí)變系統(tǒng)非線性系統(tǒng)2第2頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五線性系統(tǒng)的疊加原理3第3頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五列寫微分方程的一般方法：確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量。注意：輸入量包括給定輸入量和擾動(dòng)量2.按信息傳遞順序，從系統(tǒng)輸入端出發(fā)，根據(jù)各變量所遵循的物理定律，列寫系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)微分方程。注意：負(fù)載效應(yīng)，非線性項(xiàng)的線性化。3.消除中間變量，得到只包含輸入量和輸出量的微分方程。4.整理微分方程。輸出有關(guān)項(xiàng)放在方程左側(cè)，輸入有關(guān)項(xiàng)放在方程右側(cè)，各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)降階排列。二、系統(tǒng)微分方程4第4頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五Fv2v1bFv2v1mv2v1Fk質(zhì)量彈簧阻尼一）機(jī)械系統(tǒng)電路元件兩端電位差U21二）電網(wǎng)絡(luò)電感電阻電容兩端相對(duì)速度v215第5頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五例1：圖示機(jī)械系統(tǒng)m-c-k，列寫微分方程。1.明確：2.牛頓第二定律列寫原始微分方程：3.整理：系統(tǒng)輸入f(t)

系統(tǒng)輸出x(t)6第6頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五例2：圖示電網(wǎng)絡(luò)，列寫微分方程。1.明確系統(tǒng)的輸入與輸出：輸入u(t)，輸出電量q2.列寫原始微分方程：3.消除中間變量，并整理(請同學(xué)們推導(dǎo)?。。?7第7頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五例3：列寫微分方程1.明確：輸入T，輸出x(t)2.微分方程：3.消除中間變量，并整理：q08第8頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五例4：圖示電網(wǎng)絡(luò)，列寫微分方程。1.明確系統(tǒng)的輸入與輸出：輸入u1，輸出u22.列寫微分方程：3.消除中間變量i1、i2，并整理：9第9頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五例5直流電動(dòng)機(jī)1.明確輸入與輸出：輸入ua

和ML，輸出w2.列寫原始微分方程：3.消除中間變量，并整理：電機(jī)的反電勢ed反電勢常數(shù)kd電磁力矩M電磁力矩常數(shù)km得10第10頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五設(shè)平衡點(diǎn)設(shè)電動(dòng)機(jī)處于平衡態(tài)，導(dǎo)數(shù)為零，靜態(tài)模型當(dāng)偏離平衡點(diǎn)時(shí)，有則增量化即有1.增量化方程與實(shí)際坐標(biāo)方程形式相同2.當(dāng)平衡點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，二者等價(jià)；否則，二者不等價(jià)。11第11頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五線性化的條件：1.非線性函數(shù)是連續(xù)函數(shù)(即不是本質(zhì)非線性)。2.系統(tǒng)在預(yù)定工作點(diǎn)附近作小偏差運(yùn)動(dòng)線性化的方法：1.確定預(yù)定工作點(diǎn)。2.在工作點(diǎn)附近將非線性方程展開成Taylor級(jí)數(shù)形式。3.忽略高階小項(xiàng)。4.表示成增量化方程的形式。非線性方程的線性化12第12頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五例6液壓伺服機(jī)構(gòu)1.明確輸入x，輸出y2.列寫原始微分方程液壓油流量設(shè)滑閥特性13第13頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五例6液壓伺服機(jī)構(gòu)3.非線性函數(shù)線性化：(1)確定系統(tǒng)預(yù)定工作點(diǎn)(2)二元泰勒公式展開(3)增量方程4.代入原方程整理得已略去高階小量14第14頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五1.非線性項(xiàng)線性化后微分方程是增量形式的微分方程。2.線性化的結(jié)果與系統(tǒng)的預(yù)定工作點(diǎn)有關(guān)。3.非線性項(xiàng)線性化必須滿足連續(xù)性和小偏差條件。線性化特點(diǎn)：如：本例中，不同預(yù)定點(diǎn)的kq、kc不同15第15頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五三、相似系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型形式相同組成系統(tǒng)的物理元件不同相似系統(tǒng)：具有相同形式數(shù)學(xué)模型的不同物理構(gòu)成的系統(tǒng)。相似量：質(zhì)量元件彈簧元件阻尼元件電感元件電阻元件電容元件16第16頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五課外作業(yè)p75-762.3；2.417第17頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(補(bǔ)充)復(fù)數(shù)的基本概念Laplace變換18第18頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五一、復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1.復(fù)數(shù)與復(fù)變數(shù)a、b為常數(shù)2.復(fù)變函數(shù)3.復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法4.復(fù)數(shù)的模與幅角19第19頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五20第20頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五21第21頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五設(shè)函數(shù)若滿足：（1）當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)時(shí)，實(shí)函數(shù)的積分在s的某一域內(nèi)收斂，則定義的的Laplace變換為并記作，二、Laplace變換1.拉普拉斯變換的定義：其中,s是一復(fù)數(shù).

稱為的像函數(shù)；稱為的原函數(shù).

22第22頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五2.Laplace反變換Laplace變換與Laplace反變換一一對(duì)應(yīng)A）階躍函數(shù)3.常用函數(shù)的拉氏變換式B）指數(shù)函數(shù)23第23頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五C）正弦函數(shù)和余弦函數(shù)D）t的冪函數(shù)當(dāng)n=1時(shí)，當(dāng)n=2時(shí)，24第24頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五A)疊加定理3.Laplace變換的主要運(yùn)算定理B)比例定理

25第25頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五C)微分定理一般情況下：初始條件=0時(shí)26第26頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五D)積分定理一般情況下：各重積分在t=0時(shí)的值均為0時(shí)27第27頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五E）延遲定理若，則

F）初值定理G）終值定理?xiàng)l件：sF(s)的所有極點(diǎn)都在[S]左半平面H）卷積定理28第28頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五A)F(s)只有不相同的極點(diǎn)4.Laplace反變換的部分分式法及其應(yīng)用其中而29第29頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五例1：求的拉氏變換。解：求30第30頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五B）F(s)有重極點(diǎn),假若F(s)有L重極點(diǎn),而其余極點(diǎn)均不相同。31第31頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五32第32頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五四、系統(tǒng)傳遞函數(shù)連續(xù)系統(tǒng)的微分方程的一般形式：在零初始條件下，對(duì)方程兩邊拉氏變換，得：系統(tǒng)固有特性系統(tǒng)與外界聯(lián)系傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)定義：

零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比。33第33頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五傳遞函數(shù)特點(diǎn)：1.傳遞函數(shù)是關(guān)于復(fù)變量s的復(fù)變函數(shù)，為復(fù)域數(shù)學(xué)模型；2.傳遞函數(shù)的分母反映系統(tǒng)本身與外界無關(guān)的固有特性，傳遞函數(shù)的分子反映系統(tǒng)與外界的聯(lián)系；3.在零初始條件下，當(dāng)輸入確定時(shí)，系統(tǒng)的輸出完全取決于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)4.物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以具有相同的傳遞函數(shù)(相似系統(tǒng))傳遞函數(shù)方框34第34頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五零點(diǎn)：影響瞬態(tài)響應(yīng)曲線的形狀，不影響穩(wěn)定性。極點(diǎn)：決定系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的收斂性，決定穩(wěn)定性。放大系數(shù)(增益)：設(shè)階躍信號(hào)輸入對(duì)系統(tǒng)的研究可以轉(zhuǎn)化為對(duì)系統(tǒng)傳遞函數(shù)零點(diǎn)、極點(diǎn)、放大系數(shù)的研究。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)模型微分方程的特征根35第35頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五例1：求圖示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)1.確定系統(tǒng)輸入與輸出：2.列寫原始微分方程：3.在零初始條件下，進(jìn)行拉氏變換：36第36頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五4.消除中間變量，并整理得：3.在零初始條件下，進(jìn)行拉氏變換：5.傳遞函數(shù)37第37頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五系統(tǒng)傳遞函數(shù)往往是高階的，高階傳遞函數(shù)可化為比例、慣性、積分、微分、振蕩等低階典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的組合1.比例環(huán)節(jié)

proportion動(dòng)力學(xué)方程：傳遞函數(shù)：特點(diǎn)：輸出量與輸入量成正比；不失真，不延遲。例：——輸出正比于輸入五、典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)38第38頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五存在儲(chǔ)能元件和耗能元件。階躍輸入時(shí)，輸出經(jīng)過一段時(shí)間才到穩(wěn)態(tài)值?！敵龅膶?dǎo)數(shù)與輸出之和正比于輸入動(dòng)力學(xué)方程：傳遞函數(shù)：特點(diǎn)：2.慣性環(huán)節(jié)例1：例2：39第39頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五3.微分環(huán)節(jié)differentiation動(dòng)力學(xué)方程：傳遞函數(shù)：特點(diǎn)：一般不能單獨(dú)存在使輸出提前；增加系統(tǒng)的阻尼；強(qiáng)化噪聲的作用?！敵稣扔谳斎氲淖兓世?：微分運(yùn)算電路40第40頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五機(jī)械液壓阻尼器——緩沖，減小偏移幅度油缸力平衡節(jié)流閥流量例2：若41第41頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五4.積分環(huán)節(jié)integration動(dòng)力學(xué)方程：傳遞函數(shù)：若輸入單位階躍信號(hào)

xi(t)=1,Xi(s)=1/s特點(diǎn)：—輸出正比于輸入的累積量則輸出為1)輸出反映輸入量的累積2)輸出滯后于輸入,

經(jīng)過時(shí)間T

，輸出才等于輸入3)輸出具有記憶功能經(jīng)過一段時(shí)間后，輸入變?yōu)?，輸出穩(wěn)定不變42第42頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五例1：例2：積分運(yùn)算電路式中，凡有儲(chǔ)存或積累特點(diǎn)的元件、環(huán)節(jié)、系統(tǒng)都有積分特性如：水庫、植物、水垢、黃土高原、海洋鹽分43第43頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五5.振蕩環(huán)節(jié)無阻尼固有頻率wn，時(shí)間常數(shù)T=1/wn,阻尼比x(1)0≤x<1時(shí)，輸出振蕩。(2)x

≥1時(shí)，輸出無振蕩,不是振蕩環(huán)節(jié)且x越小，振蕩越劇烈

(3)振蕩環(huán)節(jié)一般含有兩個(gè)儲(chǔ)能元件和一個(gè)耗能元件特點(diǎn):例1:44第44頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五例2旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的J-c-k系統(tǒng)例3L-R-C電路45第45頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五6.延時(shí)環(huán)節(jié)特點(diǎn)：輸出滯后于輸入，但不失真延時(shí)環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)和比例環(huán)節(jié)有區(qū)別慣性環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)延時(shí)環(huán)節(jié)動(dòng)力學(xué)方程：傳遞函數(shù)：例：軋鋼廠鋼板厚度檢測46第46頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五一個(gè)元件——幾種環(huán)節(jié)作用幾個(gè)元件——一個(gè)環(huán)節(jié)的作用2.物理框圖：說明物理過程和原理，框圖中，元器件或零部件典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)小結(jié)1.物理元件個(gè)數(shù)不一定等于系統(tǒng)的環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)3.同一物理元件在不同系統(tǒng)中，可能作用不同，其傳遞函數(shù)也不同,可能充當(dāng)不同典型環(huán)節(jié)。

傳函框圖：表示信息傳遞關(guān)系框圖中，各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)47第47頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五六、系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖傳遞函數(shù)方框圖將組成系統(tǒng)的各個(gè)環(huán)節(jié)用傳遞函數(shù)方框表示，并將相應(yīng)的變量按信息流動(dòng)的方向連接起來構(gòu)成的圖形。傳遞函數(shù)方框圖三要素傳遞函數(shù)方框相加點(diǎn)分支點(diǎn)建立傳遞函數(shù)方框圖的步驟(1)列寫各元件微分方程(2)在零初始條件下，對(duì)上述微分方程進(jìn)行拉氏變換(3)按因果關(guān)系，繪制各環(huán)節(jié)框圖(4)按信號(hào)流向，依次連接各環(huán)節(jié)框圖左邊輸入，右邊輸出，反饋則“倒流”48第48頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五例1：1.列寫微分方程：2.Laplace變換：3.局部傳遞函數(shù)框圖：4.系統(tǒng)傳遞函數(shù)框圖：49第49頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五1.列寫微分方程：2.Laplace變換：例2：50第50頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五3.局部傳遞函數(shù)框圖：4.系統(tǒng)傳遞函數(shù)框圖：51第51頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五變換前后輸入輸出間的數(shù)學(xué)關(guān)系保持不變1.串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效規(guī)則：七、傳遞函數(shù)方框圖的等效簡化2.并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效規(guī)則：52第52頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五3.反饋連接及其等效規(guī)則前向通道傳遞函數(shù)反饋通道傳遞函數(shù)以反饋量B(s)為輸出的開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)反饋回路閉合后53第53頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五3.反饋連接及其等效規(guī)則特別地，若H(s)=1，則為單位反饋?zhàn)⒁猓呵跋蛲ǖ纻鬟f函數(shù)、反饋通道傳遞函數(shù)、開環(huán)傳遞函數(shù)均為局部傳遞函數(shù)；閉環(huán)傳遞函數(shù)才是系統(tǒng)傳遞函數(shù)54第54頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五4.分支點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)則分支點(diǎn)前移分支點(diǎn)后移55第55頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五5.相加點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)則相加點(diǎn)后移相加點(diǎn)前移56第56頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五特別提醒！1、相加點(diǎn)和分支點(diǎn)規(guī)律相反。分支點(diǎn)相加點(diǎn)前移后移57第57頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五特別提醒！相加點(diǎn)和分支點(diǎn)不能互移。58第58頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五6.相鄰相加點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)則：7.相鄰分支點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)則：59第59頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五例1：簡化步驟：消除交叉回路，對(duì)嵌套回路，從里到外逐步化簡60第60頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五361第61頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五例2：62第62頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五

63第63頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五一條前向通道：各反饋回路有公共傳遞函數(shù)方框G2反饋回路

L1:

L2:

L3:64第64頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五各反饋回路有公共傳遞函數(shù)方框G2一條前向通道：反饋回路

L1:

L2:

L3:一般地，當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖滿足如下兩個(gè)條件：1)只有一條前向通道；2)各局部反饋回路中包含公共傳遞函數(shù)方框。則：系統(tǒng)傳遞函數(shù)可簡化成（梅遜公式）65第65頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五例3：66第66頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五課堂練習(xí)：

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示：

1、寫出閉環(huán)傳遞函數(shù)表達(dá)式；

2、要使系統(tǒng)滿足條件：,,試確定相應(yīng)的參數(shù)，67第67頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五68第68頁，共75頁，2023年，2月20日，星期五八、考慮擾動(dòng)的反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)只考慮給