根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型

根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型第1頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五目錄(1/1)目錄概述2.1狀態(tài)和狀態(tài)空間模型2.2根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間模型2.3根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型2.4狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范型2.5傳遞函數(shù)陣2.6線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述2.7Matlab問(wèn)題本章小結(jié)第2頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型(1/2)2.3根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型本節(jié)討論由描述線性定常系統(tǒng)輸入輸出間動(dòng)態(tài)特性的高階常微分方程與傳遞函數(shù),通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量分別建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。這樣的問(wèn)題稱(chēng)為系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)問(wèn)題。這種變換過(guò)程的原則是,不管狀態(tài)變量如何選擇,應(yīng)保持系統(tǒng)輸入輸出間的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)關(guān)系不變。第3頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型(2/2)本節(jié)的內(nèi)容為：由高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型多輸入多輸出線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)第4頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五由高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型(1/1)2.3.1由高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型本節(jié)主要討論由描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的常微分方程建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型,分別討論由不含輸入量導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和由含輸入量導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的微分方程建立狀態(tài)空間模型。本節(jié)關(guān)鍵問(wèn)題:如何選擇狀態(tài)變量保持系統(tǒng)的輸入輸出間的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)關(guān)系不變關(guān)鍵喔!第5頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(1/9)1.微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)描述單輸入單輸出線性系統(tǒng)的輸入輸出間動(dòng)態(tài)行為,不包含有輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí)的線性定系數(shù)常微分方程為y(n)+a1y(n-1)+…+any=bu其中y和u分別為系統(tǒng)的輸出和輸入;n為系統(tǒng)的階次。這里所要研究的是建立上述常微分方程描述的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的如下?tīng)顟B(tài)空間數(shù)學(xué)模型--狀態(tài)空間模型本節(jié)問(wèn)題的關(guān)鍵是如何選擇狀態(tài)變量。第6頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(2/9)由微分方程理論知,若初始時(shí)刻t0的初值y(t0),y’(t0),…,y(n-1)(t0)已知,則對(duì)給定的輸入u(t),微分方程(2-6)有唯一解,也即系統(tǒng)在tt0的任何瞬時(shí)的動(dòng)態(tài)都被唯一確定。因此,選擇狀態(tài)變量為如下相變量x1(t)=y(t),x2(t)=y’(t),…,xn(t)=y(n-1)(t)可完全刻劃系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。取輸出y和y的各階導(dǎo)數(shù)(也稱(chēng)相變量)為狀態(tài)變量,物理意義明確,易于接受。第7頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(3/9)將上述選擇的狀態(tài)變量代入輸入輸出的常微分方程,有如下?tīng)顟B(tài)方程和輸出方程y=x1第8頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(4/9)將上述狀態(tài)方程和輸出方程寫(xiě)成矩陣形式有第9頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(5/9)該狀態(tài)空間模型可簡(jiǎn)記為:其中第10頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(6/9)上述式子清楚說(shuō)明了狀態(tài)空間模型中系統(tǒng)矩陣A與微分方程(2-6)中的系數(shù)a1,a2,…,an之間,輸入矩陣B與方程(2-6)中系數(shù)b之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。通常將上述取輸出y和y的各階導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)變量稱(chēng)為相變量。上述狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣具有特別形式,該矩陣的最后一行與其矩陣特征多項(xiàng)式的系數(shù)有對(duì)應(yīng)關(guān)系,前n-1行為1個(gè)n-1維的零向量與(n-1)(n-1)的單位矩陣。該類(lèi)矩陣稱(chēng)為友矩陣。友矩陣在線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析方法中是一類(lèi)重要的矩陣,這在后面的章節(jié)中可以看到。第11頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(7/9)上述實(shí)現(xiàn)狀態(tài)空間模型的模擬結(jié)構(gòu)圖如下圖所示第12頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(8/9)-例2-1例2-1

將以下系統(tǒng)輸入輸出方程變換為狀態(tài)空間模型y”’+6y”+11y’+6y=6u解本例中a1=6a2=11a3=6b=6因此,當(dāng)選擇輸出y及其1階與2階導(dǎo)數(shù)等相變量為狀態(tài)變量時(shí),由式(2-11)和(2-12)可得狀態(tài)空間模型如下第13頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(9/9)-例2-1其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下所示第14頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(1/11)2.

微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)描述單輸入單輸出線性系統(tǒng)的輸入輸出間動(dòng)態(tài)行為的微分方程的一般表達(dá)式為y(n)+a1y(n-1)+…+any=b0u(n)+…+bnu本小節(jié)所要研究的是建立上述常微分方程描述的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的如下?tīng)顟B(tài)空間數(shù)學(xué)模型--狀態(tài)空間模型建立該狀態(tài)空間模型的關(guān)鍵是如何選擇狀態(tài)變量?第15頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(2/11)若按照前面的方法那樣選取相變量為狀態(tài)變量,即x1(t)=y(t),x2(t)=y’(t),…,xn(t)=y(n-1)(t)則可得如下?tīng)顟B(tài)方程根據(jù)微分方程解的存在性和唯一性條件,要求輸入u(t)為分段連續(xù),而上述狀態(tài)方程中輸入u的各階導(dǎo)數(shù)可能不連續(xù),從而使微分方程解的存在性和唯一性的條件不成立。因此,狀態(tài)方程中不應(yīng)有輸入u的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)出現(xiàn),即不能直接將輸出y的各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)取作狀態(tài)變量。第16頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(3/11)為避免狀態(tài)方程中顯示地出現(xiàn)輸入的導(dǎo)數(shù),通常,可利用輸出y和輸入u以及其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合來(lái)組成狀態(tài)變量,其原則是:使?fàn)顟B(tài)方程中不顯含輸出u的各階導(dǎo)數(shù)。基于這種思路選擇狀態(tài)變量的方法很多,下面先介紹一種,其他的方法將在后續(xù)章節(jié)中陸續(xù)介紹。第17頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(4/11)根據(jù)上述原則,選擇狀態(tài)變量如下其中i(i=0,1,…,n)為待定系數(shù)。第18頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(5/11)因此,有第19頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(6/11)若待定系數(shù)i(i=0,1,…,n)滿足如下關(guān)系式0=b01=b1-a102=b2-a11-a20……n

=bn-a1n-1-…-an0即i(i=0,1,…,n)滿足如下方程組第20頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(7/11)則該高階微分方程可轉(zhuǎn)化描述為如下不含有輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的狀態(tài)空間模型第21頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(8/11)上述實(shí)現(xiàn)狀態(tài)空間模型的模擬結(jié)構(gòu)圖如下圖所示第22頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(9/11)-例2-2例2-2

將以下系統(tǒng)輸入輸出方程變換為狀態(tài)空間模型y”’+5y”+8y’+4y=2u”+14u’+24u解本例中a1=5a2=8a3=4b0=0b1=2b2=14b3=24因此,有0=b0=01=b1-a10=22=b2-a11-a20=43=b3-a12-a21-a30=-12第23頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(10/11)-例2-2因此,當(dāng)選擇狀態(tài)變量如下時(shí)即得系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為第24頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(11/11)-例2-2其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下所示第25頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型(1/6)2.3.2由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型下面討論由描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的傳遞函數(shù)建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。關(guān)鍵問(wèn)題:1.如何選擇狀態(tài)變量2.保持系統(tǒng)的輸入輸出間的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)關(guān)系不變喔,關(guān)鍵!第26頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五線性定常微分方程由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型(2/6)由于傳遞函數(shù)與線性定系數(shù)常微分方程有直接的對(duì)應(yīng)關(guān)系,故前面討論的由高階線性微分方程建立狀態(tài)空間模型的方法同樣適用于將傳遞函數(shù)建立變換為狀態(tài)空間模型。類(lèi)似地,本節(jié)討論的由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型的方法亦適用于對(duì)微分方程建立狀態(tài)空間模型。傳遞函數(shù)機(jī)理方法流程圖、公式建立狀態(tài)空間模型方法對(duì)線性定常系統(tǒng)拉氏變換第27頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型(3/6)實(shí)際物理系統(tǒng)傳遞函數(shù)中分子多項(xiàng)式階次小于或等于其分母多項(xiàng)式階次,此時(shí)稱(chēng)該傳遞函數(shù)為真有理傳遞函數(shù)。而分子多項(xiàng)式階次小于分母多項(xiàng)式階次時(shí),則稱(chēng)為嚴(yán)格真有理傳遞函數(shù)。本節(jié)討論描述單輸入單輸出(SISO)線性系統(tǒng)的輸入輸出間動(dòng)態(tài)行為的如下傳遞函數(shù)第28頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型(4/6)對(duì)上述傳遞函數(shù),由長(zhǎng)除法,有其中第29頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型(5/6)本節(jié)所要研究的是建立該傳遞函數(shù)所描述的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(A,B,C,D)。上述常數(shù)項(xiàng)d即為狀態(tài)空間模型(A,B,C,D)中的直聯(lián)矩陣D;嚴(yán)格真有理傳遞函數(shù)G(s)對(duì)應(yīng)可建立(A,B,C,D)中的(A,B,C)。即第30頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型(6/6)下面分傳遞函數(shù)極點(diǎn)互異和有重極點(diǎn)兩種情況討論如何建立狀態(tài)空間模型。第31頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換(1/8)1.

傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換對(duì)于傳遞函數(shù)G(s),其特征方程為sn+a1sn-1+…+an=0若其特征方程的n個(gè)特征根s1,s2,…,sn互異,則用部分分式法可將G(s)表示為如下并聯(lián)分解其中k1,k2,…,kn為待定系數(shù),其計(jì)算公式為自己推導(dǎo)一下,行嗎?第32頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換(2/8)下面以k1計(jì)算式的推導(dǎo)過(guò)程為例說(shuō)明的ki的計(jì)算式。將G(s)的乘以s-s1,有因此,由于特征根s1,s2,…,sn互異，有下面討論通過(guò)選擇狀態(tài)變量求得相應(yīng)的狀態(tài)空間模型。第2項(xiàng)將s1代入為0。第33頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換(3/8)考慮到,輸出y(t)和輸入u(t)的拉氏變換滿足因此,若選擇狀態(tài)變量xi(t)使其拉氏變換滿足則,經(jīng)反變換可得系統(tǒng)狀態(tài)方程為第34頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換(4/8)相應(yīng)地,系統(tǒng)輸出y(t)的拉氏變換為Y(s)=k1X1(s)+k2X2(s)+…+knXn(s)因此,經(jīng)拉氏反變換可得如下輸出方程y=k1x1+k2x2+…+knxn整理上述狀態(tài)方程和輸出方程可得如下?tīng)顟B(tài)空間模型第35頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換(5/8)上述用部分分式法建立的狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣有一個(gè)重要特征,即A為對(duì)角線矩陣。系統(tǒng)矩陣A具有上述對(duì)角線形式的狀態(tài)空間模型即為下一節(jié)將詳細(xì)討論的所謂對(duì)角線規(guī)范形。事實(shí)上,由推導(dǎo)可知,對(duì)角線規(guī)范形其實(shí)是將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為n個(gè)一階子系統(tǒng)(慣性環(huán)節(jié))的并聯(lián),如右圖所示。圖2-11對(duì)角線規(guī)范形的結(jié)構(gòu)圖第36頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換(6/8)-例2-3例2-3

用部分分式法將例2-1中微分方程對(duì)應(yīng)的下述傳遞函數(shù)變換為狀態(tài)空間模型第37頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換(7/8)解由系統(tǒng)特征多項(xiàng)式s3+6s2+11s+6可求得系統(tǒng)極點(diǎn)為s1=-1s2=-2s3=-3于是有其中第38頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換(8/8)故當(dāng)選擇狀態(tài)變量為G(s)分式并聯(lián)分解的各個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)的輸出,可得如下?tīng)顟B(tài)空間模型將上述結(jié)果與例2-1的結(jié)果相比較可知,即使對(duì)同一個(gè)系統(tǒng),采用不同的建立狀態(tài)空間模型的方法,將得到不同的狀態(tài)空間模型。即,狀態(tài)空間模型不具有唯一性。第39頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(1/13)2.傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換當(dāng)系統(tǒng)特征方程有重根時(shí),傳遞函數(shù)不能分解成如式的情況,亦得不到如式(2-26)所示的狀態(tài)方程。不失一般性,為清楚地?cái)⑹鲎儞Q方法,以下設(shè)系統(tǒng)特征方程有6個(gè)根,其值分別為s1,s1,s1,s4,s5,s5,即s1為3重極點(diǎn),s5為2重極點(diǎn)。相應(yīng)地,用部分分式法可將所對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)表示為第40頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(2/13)其中kij為待定系數(shù),其計(jì)算公式為會(huì)推導(dǎo)嗎?嘗試一下其中l(wèi)為極點(diǎn)si的重?cái)?shù)。第41頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(3/13)下面以系數(shù)k13的計(jì)算公式的推導(dǎo)為例來(lái)說(shuō)明kij的計(jì)算式將G(s)的乘以(s-s1)3,有第2項(xiàng)將s1代入為0。對(duì)等式兩邊求2次導(dǎo)數(shù)后因此，有第42頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(4/13)下面討論通過(guò)選擇狀態(tài)變量求得相應(yīng)的狀態(tài)空間模型。如何選擇狀態(tài)變量?考慮到,輸出y(t)和輸入u(t)的拉氏變換滿足第43頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(5/13)選擇狀態(tài)變量xi(t)使其拉氏變換滿足則有第44頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(6/13)即有則經(jīng)反變換可得系統(tǒng)狀態(tài)方程為第45頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(7/13)相應(yīng)地,系統(tǒng)輸出y(t)的拉氏變換為Y(s)=k11X1(s)+k12X2(s)+k13X3(s)+k41X4(s)+k51X5(s)+k52X6(s)經(jīng)拉氏反變換可得如下輸出方程y=k11x1+k12x2+k13x3+k41x4+k51x5+k52x6第46頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(8/13)因此,整理可得如下矩陣描述的狀態(tài)空間模型第47頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(9/13)上述用部分分式法建立的狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣有一個(gè)重要特征,即A為塊對(duì)角矩陣,且每個(gè)矩陣方塊為只有一個(gè)重特征值的特定矩陣塊(約旦塊)。系統(tǒng)矩陣A具有上述特定塊對(duì)角形式的狀態(tài)空間模型即為下一節(jié)將詳細(xì)討論的所謂約旦規(guī)范形。事實(shí)上,約旦規(guī)范形是將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為多個(gè)子系統(tǒng)(慣性環(huán)節(jié))的串-并聯(lián)。如下圖所示。第48頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(10/13)第49頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(11/13)-例2-4例2-4用部分分式法將例2-2中微分方程對(duì)應(yīng)的下述傳遞函數(shù)變換為狀態(tài)空間模型第50頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(12/13)解

由系統(tǒng)特征多項(xiàng)式s3+5s2+8s+4可求得系統(tǒng)有二重極點(diǎn)s1=-2和單極點(diǎn)s2=-1,于是有其中第51頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(13/13)故當(dāng)選擇狀態(tài)變量為G(s)分式串-并聯(lián)分解的各個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)的輸出,可得如下?tīng)顟B(tài)空間模型將上述結(jié)果與例2-2的結(jié)果相比較可知,可再次驗(yàn)證“狀態(tài)空間模型不具有唯一性”。第52頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五多輸入多輸出線性系統(tǒng)(1/5)2.3.3多輸入多輸出線性系統(tǒng)下面,以雙輸入雙輸出的三階系統(tǒng)為例介紹由描述MIMO系統(tǒng)的高階微分方程組如何建立狀態(tài)空間模型。設(shè)描述系統(tǒng)的微分方程為同SISO系統(tǒng)一樣,該系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)也是非唯一的。下面采用模擬結(jié)構(gòu)圖的方法,按高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)求解方法來(lái)建立狀態(tài)空間模型。第53頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五多輸入多輸出線性系統(tǒng)(2/5)因此,該系統(tǒng)的方程也可表示為對(duì)每一個(gè)方程積分,直至消除導(dǎo)數(shù)符號(hào)為止。為此,有第54頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五多輸入多輸出線性系統(tǒng)(3/5)故可得模擬結(jié)構(gòu)圖,如圖2-13所示。圖2-13系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖第55頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五多輸入多輸出線性系統(tǒng)(4/5)取每個(gè)積分器的輸出為一個(gè)狀態(tài)變量,如圖2-13所示。則式(2-33)的一種狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)為相應(yīng)地輸出方程為第56頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五多輸入多輸出線性系統(tǒng)(5/5)因此,該雙輸入雙輸出系統(tǒng)的矩陣形式狀態(tài)空間模型為第57頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五非線性系統(tǒng)(1/10)2.3.4非線性系統(tǒng)倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)多變量、存在嚴(yán)重非線性的非自治不穩(wěn)定性系統(tǒng),經(jīng)常被用來(lái)研究和比較各種控制方法的性能。其結(jié)構(gòu)和飛機(jī)著陸、火箭飛行及機(jī)器人的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)等有很多相似之處,因而對(duì)倒立擺系統(tǒng)平衡的控制方法在航空及機(jī)器人等領(lǐng)域有著廣泛的用途,人們對(duì)倒立擺控制的研究也越來(lái)越感興趣。下面通過(guò)一個(gè)一級(jí)倒立擺的例子,來(lái)簡(jiǎn)述對(duì)非線性系統(tǒng)來(lái)說(shuō),如何通過(guò)描述其動(dòng)力學(xué)模型的常微分方程建立狀態(tài)空間模型。第58頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五非線性系統(tǒng)(2/10)圖2-14為某一級(jí)倒立擺結(jié)構(gòu)示意圖。圖2-14一級(jí)倒立擺示意圖第59頁(yè)，共67頁(yè)，2023年，2月20日，星期五非線性系統(tǒng)(3/10)圖中所示的帶輪小車(chē)可以前后移動(dòng)來(lái)平衡一根桿,此桿由其底部的一個(gè)支點(diǎn)來(lái)支撐。該系統(tǒng)中還有一個(gè)電機(jī),一根連接電機(jī)與小車(chē)的皮帶和一些滑輪。還有一些傳感器,用來(lái)測(cè)量小車(chē)的速度、位置、桿底部與鉛垂線所成的角度及其微分。其控制任務(wù)是由電機(jī)通過(guò)皮帶施加合適的力f給小車(chē)從而使桿不倒,并使小車(chē)不超過(guò)左右邊界。一級(jí)倒立擺