空間距離求解轉(zhuǎn)化策略 - 職業(yè)教育

空間距離求解轉(zhuǎn)化策略-職業(yè)教育導(dǎo)讀：其求解的根本思想辦法是轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn)間的距離。空間距離，空間距離求解轉(zhuǎn)化策略。關(guān)鍵詞：空間距離，轉(zhuǎn)化空間中的距離包括點(diǎn)點(diǎn)，點(diǎn)面，線線，線面，面面六種。其求法是教材的重要內(nèi)容，也是歷年高考考查的重點(diǎn)，其求解的根本思想辦法是轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn)間的距離。特別是異面直線間的距離和點(diǎn)到平面的距離計(jì)算是立體幾何中的一個(gè)非常重要內(nèi)容，學(xué)生在遇到此類距離計(jì)算時(shí)，由于空間想象力等自身原因無(wú)法構(gòu)造出距離，或者無(wú)法尋找到與距離相關(guān)的一些聯(lián)系和轉(zhuǎn)化。結(jié)果往往是無(wú)從下筆嚴(yán)重影響考試成績(jī)。事實(shí)上，一般距離都可轉(zhuǎn)化成點(diǎn)線距離，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)間的距離，最后都把它們放在平面三角形中來(lái)解決。因此距離的轉(zhuǎn)化就成了師生共同的難點(diǎn)。

為此，筆者將多年來(lái)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)此文，以其拋磚引玉。

事實(shí)上，距離轉(zhuǎn)化一般有如下形式：

其中比擬困難的是最后一步。本文通過(guò)舉例來(lái)表明距離計(jì)算中的一些轉(zhuǎn)化策略。

〈1〉異面直線距離的轉(zhuǎn)化

例1如圖1所示：已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E、F分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求異面直線BD與GE的距離。

解連結(jié)BD，由E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，知EFBD，EF面GEF，

BD∥平面GEF。

故BD與GE的距離為線BD到平面GEF的距離，連接AC交BD于O，交EF于H。

因GC⊥平面ABCD，EF平面ABCD，故GC⊥EF。又EF⊥HC，且GCHC=C那么EF⊥平面GHC，而EF平面GEF,故平面GEF⊥平面GHC,.且平面GEF平面GHC=HG所以過(guò)點(diǎn)O作OK⊥GH，那么OK⊥面GEF，

BD到面GEF的距離即為點(diǎn)O到線GH的距離OK，在Rt△HKO中，

因正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4故AC=4,OH=,HC=3,又GC=2且

HG=(3)+2=22

故HG=,

即異面直線BD與CE的距離為

總結(jié):

圖1圖2

例2已知異面線段AB=a，CD=b，所成角為θ，4點(diǎn)A、B、C、D構(gòu)成四面體的體積為V，求異面線段AB到CD的距離。

解如圖2，過(guò)B作BECD，連AE，那么∠ABE=θ或π－θ。

由CD∥BE，那么CD∥面ABE。

CD到AB的距離轉(zhuǎn)化為CD到面ABE的距離。大全，空間距離。

設(shè)點(diǎn)C到面ABE的距離為d，那么d為CD到AB的距離。

由等積性:V=V=V=V注意到V==ab.d=V

那么d=

總結(jié)CD到AB的距離CD到面ABE的距離點(diǎn)C到面ABE的距離。大全，空間距離。

2點(diǎn)面距離的構(gòu)造與轉(zhuǎn)化

面面距離，線面距離，異面直線距離都轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離。因此點(diǎn)面距離如何構(gòu)造、計(jì)算，轉(zhuǎn)化就成為問(wèn)題求解的關(guān)鍵。點(diǎn)面距離通常有三種求法：利用兩平面垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線距離計(jì)算。當(dāng)垂足位置不容易確定時(shí)，可考慮利用等體積法來(lái)求解。大全，空間距離。還可用坐標(biāo)向量法

利用兩平面垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線距離計(jì)算。

例3已知正三棱錐ABC-A1B1C1的每條棱長(zhǎng)為a，過(guò)AB1的作平行于BC1的平面M，求點(diǎn)A1到平面M的距離。

解如圖3，延長(zhǎng)CB到D，使BD=BC，連結(jié)AD，由BDB1C1，那么BC1∥DB1，從而B(niǎo)C1∥面ADB1，即M為面ADB1。

圖3

設(shè)F、H分別為A1C1、AC的中點(diǎn)，B1FBHAD，

B1F∥AD。

連AF，那么面M即為ADB1F。

故A1到面M的距離即為A1到面ADB1F的距離。

∵B1F⊥面ACC1A1，

面M⊥面ACC1A1。

過(guò)A1作A1G⊥AF交AF于G，那么A1G為點(diǎn)A1到面M的距離。

在Rt△AFA1中，AF=a,AA=a,∠FAA=90°再由AAAF=AFAG不難計(jì)算出

A1G=。

總結(jié)利用B1DBC1作平面M，并再利用B1FAD，得到平面M與平面ACC1A1的交線AF，再注意到面M⊥面ACC1A1，點(diǎn)A1到面M的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A1到線AF的距離。

用等體積法求點(diǎn)到平面的距離

例4：如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，

點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)．

求：當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)E到面ACD1的距離；

解：設(shè)點(diǎn)Ｅ到平面ＡＣD1的距離為h，在ΔＡＣD1中，ＡD1＝，

ＡＣ＝ＣD1＝，故＝＝，而＝＝．∵h(yuǎn)=．

這里點(diǎn)E到面ACD1的距離不好找故用等體積法解更方便

坐標(biāo)向量法求點(diǎn)到平面的距離

所謂坐標(biāo)向量法，就是建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系(本文所建立的都是右手直角坐標(biāo)系)，把向量用坐標(biāo)來(lái)表示，用向量的坐標(biāo)形式進(jìn)行向量的運(yùn)算，運(yùn)用坐標(biāo)法時(shí)，必須首先找出三個(gè)基向量，并且這三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪?由此建立空間直角坐標(biāo)系.進(jìn)而可出求點(diǎn)到面的距離。這是新教材的一大特色。更是近年來(lái)高考的熱點(diǎn)之一。

例5：如圖已知正三棱柱的棱長(zhǎng)為2，底面邊長(zhǎng)為1，是的中點(diǎn).CN=求：當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離.

解：以，分別為軸、軸，垂直于

，的為軸建立空間直角坐標(biāo)系，那么有：

、，那么，

設(shè)向量與平面垂直，那么有

取

向量在上的射影長(zhǎng)即為到平面的距離，設(shè)為，于是

從以上可以看出，在構(gòu)造點(diǎn)到平面的距離時(shí)須結(jié)合具體的空間圖形特征，選擇恰當(dāng)?shù)霓k法，充沛發(fā)揮空間圖形的想象力，就一定能克服此類空間距離求解的思維障礙。特別是用坐標(biāo)向量法求點(diǎn)到平面的距離時(shí)不但須要建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，以便簡(jiǎn)化運(yùn)算。還須具備很