專題34 與圓有關(guān)的位置關(guān)系【考點(diǎn)精講】-【中考高分導(dǎo)航】備戰(zhàn)【2022年】中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總復(fù)習(xí)（全國(guó)通用）【有答案】

考點(diǎn)34與圓有關(guān)的位置關(guān)系考點(diǎn)34與圓有關(guān)的位置關(guān)系知識(shí)導(dǎo)航知識(shí)導(dǎo)航知識(shí)精講知識(shí)精講考點(diǎn)1：點(diǎn)、直線和圓的位置關(guān)系1．如果圓的半徑為r，某一點(diǎn)到圓心的距離為d，那么：（1）點(diǎn)在圓外?d>r；（2）點(diǎn)在圓上?d=r；（3）點(diǎn)在圓內(nèi)?d<r。2．直線與圓的位置關(guān)系有三種:相離、相切和相交位置關(guān)系相離相切相交圖形公共點(diǎn)個(gè)數(shù)012數(shù)量關(guān)系d>rd=rd<r【例1】（2021·浙江嘉興市）已知平面內(nèi)有和點(diǎn)，，若半徑為，線段，，則直線與的位置關(guān)系為（）A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵⊙O的半徑為2cm，線段OA=3cm，線段OB=2cm，即點(diǎn)A到圓心O的距離大于圓的半徑，點(diǎn)B到圓心O的距離等于圓的半徑，∴點(diǎn)A在⊙O外．點(diǎn)B在⊙O上，∴直線AB與⊙O的位置關(guān)系為相交或相切，故選：D．【例2】（2021·上海）如圖，已知長(zhǎng)方形中，，圓B的半徑為1，圓A與圓B內(nèi)切，則點(diǎn)與圓A的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)C在圓A外，點(diǎn)D在圓A內(nèi) B．點(diǎn)C在圓A外，點(diǎn)D在圓A外C．點(diǎn)C在圓A上，點(diǎn)D在圓A內(nèi) D．點(diǎn)C在圓A內(nèi)，點(diǎn)D在圓A外【答案】C【分析】根據(jù)內(nèi)切得出圓A的半徑，再判斷點(diǎn)D、點(diǎn)E到圓心的距離即可【詳解】∵圓A與圓B內(nèi)切，，圓B的半徑為1∴圓A的半徑為5∵<5∴點(diǎn)D在圓A內(nèi)在Rt△ABC中，∴點(diǎn)C在圓A上故選：C方法技巧方法技巧針對(duì)訓(xùn)練掌握已知點(diǎn)的位置，可以確定該點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系，可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.針對(duì)訓(xùn)練1．矩形ABCD中，AB＝10，BC＝42，點(diǎn)P在邊AB上，且BP：AP＝4：1，如果⊙P是以點(diǎn)P為圓心，PD長(zhǎng)為半徑的圓，那么下列結(jié)論正確的是（）A．點(diǎn)B、C均在⊙P外 B．點(diǎn)B在⊙P外，點(diǎn)C在⊙P內(nèi) C．點(diǎn)B在⊙P內(nèi)，點(diǎn)C在⊙P外 D．點(diǎn)B、C均在⊙P內(nèi)【分析】先求出AP的長(zhǎng)，然后利用勾股定理求得圓P的半徑PD的長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn)B、C到P點(diǎn)的距離判斷點(diǎn)P與圓的位置關(guān)系即可．【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD為矩形，∴AD＝BC＝42，∵AB＝10，BP：AP＝4：1，∴AP＝2，BP＝8，在Rt△ADP中，∵AP＝2，AD＝42，∴DP=AD2在Rt△PBC中，CP=BP2+BC∵8＞6，46＞6∴點(diǎn)B，點(diǎn)C均在⊙P外，故選：A．2．如圖，已知∠BOA＝30°，M為OB邊上一點(diǎn)，以M為圓心、2cm為半徑作⊙M．點(diǎn)M在射線OB上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)OM＝5cm時(shí)，⊙M與直線OA的位置關(guān)系是（）A．相切 B．相離 C．相交 D．不能確定【分析】作MH⊥OA于H，如圖，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到MH=12OM=52，則MH【解答】解：作MH⊥OA于H，如圖，在Rt△OMH中，∵∠HOM＝30°，∴MH=12OM∵⊙M的半徑為2，∴MH＞2，∴⊙M與直線OA的位置關(guān)系是相離．故選：B．3．（2021·青海中考真題）點(diǎn)是非圓上一點(diǎn)，若點(diǎn)到上的點(diǎn)的最小距離是，最大距離是，則的半徑是______．【答案】或【分析】分點(diǎn)在外和內(nèi)兩種情況分析；設(shè)的半徑為，根據(jù)圓的性質(zhì)列一元一次方程并求解，即可得到答案．【詳解】設(shè)的半徑為當(dāng)點(diǎn)在外時(shí)，根據(jù)題意得：∴當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)時(shí)，根據(jù)題意得：∴故答案為：或．考點(diǎn)2：切線的性質(zhì)與判定1．切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.2．切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

3．*切線長(zhǎng)定理（1）切線長(zhǎng)：經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上,這點(diǎn)和切點(diǎn)之間線段的長(zhǎng),叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng).（2）定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng)相等,這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.【例3】（2021·山東臨沂市）如圖，、分別與相切于、，，為上一點(diǎn)，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由切線的性質(zhì)得出∠OAP=∠OBP=90°，利用四邊形內(nèi)角和可求∠AOB=110°，再利用圓周角定理可求∠ADB=55°，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)可求∠ACB．【詳解】解：如圖所示，連接OA，OB，在優(yōu)弧AB上取點(diǎn)D，連接AD，BD，∵AP、BP是切線，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°，∴∠ADB=55°，又∵圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，∴∠ACB=180°-∠ADB=180°-55°=125°．故選：C．【例4】（2021·貴州貴陽市）如圖，與正五邊形的兩邊相切于兩點(diǎn)，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)，可得∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，結(jié)合正五邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為108°，即可求解．【詳解】解：∵AE、CD切⊙O于點(diǎn)A、C，∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，∴正五邊形ABCDE的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：，∴∠AOC＝540°?90°?90°?108°?108°＝144°，故選：A．方法技巧方法技巧與切線有關(guān)問題常作的輔助線和解題思路（1）連接圓心和直線與圓的公共點(diǎn)——證明該半徑與已知直線垂直，則該直線為切線.（2）過圓心作這條直線的垂線段——證明這條垂線段和半徑相等，則該直線為切線.（3）當(dāng)題中已有切線時(shí)，常連接圓心和切點(diǎn)得到半徑或90°角，由此可展開其他問題的計(jì)算或證明.針對(duì)訓(xùn)練針對(duì)訓(xùn)練1．（2021·吉林長(zhǎng)春市）如圖，AB是的直徑，BC是的切線，若，則的大小為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)，得∠ABC=90°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵AB是的直徑，BC是的切線，∴AB⊥BC，即∠ABC=90°，∵，∴=90°-35°=55°，故選C．2．（2021·湖南）如圖，是的內(nèi)接三角形，是的直徑，點(diǎn)是的中點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：直線與相切；（2）若的直徑是10，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）連接OD，由點(diǎn)D是的中點(diǎn)得OD⊥BC，由DE//BC得OD⊥DE，由OD是半徑可得DE是切線；（2）證明△ODE是等腰直角三角形，可求出OE的長(zhǎng)，從而可求得結(jié)論．【詳解】解：（1）連接OD交BC于點(diǎn)F，如圖，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴OD⊥BC，∵DE//BC∴OD⊥DE∵OD是的半徑∴直線與相切；（2）∵AC是的直徑，且AB=10,∴∠ABC=90°，∵OD⊥BC∴∠OFC=90°∴OD//AB∴∵∴∴由勾股定理得，∴．3．（2021·甘肅武威市）如圖，內(nèi)接于是的直徑的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，．過圓心作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，求的半徑及的值；【答案】（1）見解析；（2）半徑為3，【分析】（1）證明是的半徑，即證明，結(jié)合直徑所對(duì)圓周角是、等腰△OAC和已知即可求解；（2）由（1）中結(jié)論和可知，，再由CD、CE和平行線分線段成比例，即可找到BD、OB、BC、OE的關(guān)系，最后利用三邊的勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，，，，是的直徑，，，，即，，又是的半徑，是的切線．（2），即，∴設(shè)，則，，解得，，．即的半徑為3，，在中，，．考點(diǎn)3：三角形的內(nèi)心和外心（1）三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離都相等；（2）三角形的外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等.【例5】（2021·浙江中考真題）如圖，已知點(diǎn)是的外心，∠，連結(jié)，，則的度數(shù)是（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合題意，根據(jù)三角形外接圓的性質(zhì)，作；再根據(jù)圓周角和圓心角的性質(zhì)分析，即可得到答案．【詳解】的外接圓如下圖∵∠∴故選：C．【例6】如圖，在△ABC中，∠BOC＝140°，I是內(nèi)心，O是外心，則∠BIC等于（）A．130° B．125° C．120° D．115°【分析】根據(jù)圓周角定理求出∠BOC＝2∠A，求出∠A度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB，根據(jù)三角形的內(nèi)心得出∠IBC=12∠ABC，∠ICB=12∠ACB【解答】解：∵在△ABC中，∠BOC＝140°，O是外心，∴∠BOC＝2∠A，∴∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，∵I為△ABC的內(nèi)心，∴∠IBC=12∠ABC，∠ICB∴∠IBC+∠ICB=12∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝125°，故選：B．針對(duì)訓(xùn)練針對(duì)訓(xùn)練1．（2021·山東濱州）如圖，是的外接圓，CD是的直徑．若，弦，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接AD，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的長(zhǎng)，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，從而可以得到cos∠ABC的值．【詳解】解：連接AD，如右圖所示，∵CD是⊙O的直徑，CD=10，弦AC=6，∴∠DAC=90°，∴AD==8，∴cos∠ADC==，∵∠ABC=∠ADC，∴cos∠ABC的值為，故選：A．2．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∠AIC＝124°，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，則∠CDE的度數(shù)為（）A．56° B．62° C．68° D．78°【分析】由點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心知∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，從而求得∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角可得答案．【解答】解：∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∴∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，∵∠AIC＝124°，∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2（∠IAC+∠ICA）＝180°﹣2（180°﹣∠AIC）＝68°，又四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠CDE＝∠B＝68°，故選：C．3．如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，BC＝5，點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心，將∠BAC平移，使其頂點(diǎn)與點(diǎn)I重合，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】連接BI、CI，由點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心，得出BI平分∠ABC，則∠ABI＝∠CBI，由平移得AB∥