初三數(shù)學(xué)上冊(cè)期末考點(diǎn)練習(xí)復(fù)習(xí)

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點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

知識(shí)點(diǎn)一點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定

點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓的外部d>ro點(diǎn)P在0。的外部.

點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓周上d=r=點(diǎn)P在O。的圓周上.

點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓的內(nèi)部d<r0點(diǎn)P在。。的內(nèi)部.

典例1（2018?滿(mǎn)城縣期中）如圖，在△ABC中，NC=90°,AB=4,以C點(diǎn)為圓心，2為半徑作。C,則AB

的中點(diǎn)0與。C的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)0在。C外B.點(diǎn)0在。C上C.點(diǎn)0在。C內(nèi)D.不能確定

【答案】B

【詳解】解：連接0C,由直角三角形斜邊上的中線為斜邊的一半，可得：

1

0C=-AB^r,故點(diǎn)0在。C上，

故選B.

【名師點(diǎn)睛】要確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，主要確定點(diǎn)與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系，本題可直角三角形

斜邊上的中線為斜邊的一半算出點(diǎn)與圓心的距離d,則d>r?時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=i"時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d〈r時(shí),

點(diǎn)在圓內(nèi).

典例2（2016?邯鄲市期末）Rt^ABC中，ZC=90°,AC=2,BC=4,如果以點(diǎn)A為圓心，AC為半徑作0A,

那么斜邊中點(diǎn)D與。A的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)D在0A外B.點(diǎn)D在。A上C.點(diǎn)D在。A內(nèi)D.無(wú)法確定

【答案】A

【解析】根據(jù)勾股定理求得斜邊4B=Rm=2k，

則力。=V5,

V5>2,

點(diǎn)在圓外.

故選A.

典例3（2019?雨花臺(tái)區(qū)期末）已知點(diǎn)A在半徑為r的。。內(nèi)，點(diǎn)A與點(diǎn)0的距離為6,則r的取值范圍是

（）

A.r<6B.r>6C.r26D.rW6

【答案】B

【詳解】?.?點(diǎn)4在半徑為r的。。內(nèi)，

04小于r,

而。4=6,

r>6.

故選:B.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過(guò)來(lái)已

知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

知識(shí)點(diǎn)二三點(diǎn)定圓的方法

1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)4的圓：以點(diǎn)A以外的任意一點(diǎn)。為圓心，以。4的長(zhǎng)為半徑，即可作出過(guò)點(diǎn)4的圓，這樣的圓有無(wú)

數(shù)個(gè).

）

2）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)4、8的圓：以線段4B中垂線上任意一點(diǎn)。作為圓心,以。4的長(zhǎng)為半徑，即可作出過(guò)點(diǎn)4、B的

圓，這樣的圓也有無(wú)數(shù)個(gè).

3）經(jīng)過(guò)三點(diǎn)時(shí):

情況一：過(guò)三點(diǎn)的圓：若這三點(diǎn)4、B、C共線時(shí)，過(guò)三點(diǎn)的圓不存在；

情況二：若4、B、C三點(diǎn)不共線時(shí)，圓心是線段4B與BC的中垂線的交點(diǎn)，而這個(gè)交點(diǎn)。是唯一存在的，這

樣的圓有唯---個(gè).

三點(diǎn)定圓的畫(huà)法：

1）連接線段AB,BC。

2）分別作線段AB,BC的垂直平分線。兩條垂直平分線交點(diǎn)為0,此時(shí)0A=0B=0C,于是點(diǎn)0為圓心，以0A為

半徑，便可作出經(jīng)過(guò)A、B、C的圓，這樣的圓只能是一個(gè)。

定理：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓.

典例1（2017?天橋區(qū)期末）小明不慎把家里的圓形玻璃打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為配到與原來(lái)大

小一樣的圓形玻璃，小明帶到商店去的一塊玻璃碎片應(yīng)該是（）

A.第①塊B.第②塊C.第③塊D.第④塊

【答案】B

【詳解】由圖可得小明帶到商店去的一塊玻璃碎片應(yīng)該是第②塊，故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題是確定圓的條件的基礎(chǔ)應(yīng)用題，在中考中比較常見(jiàn)，一般以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，

難度一般.

典例2（2019?慈溪市期末）數(shù)學(xué)課上，老師讓學(xué)生尺規(guī)作圖畫(huà)RtaABC,使其斜邊AB=c，一條直角邊BC=a.小

明的作法如圖所示，你認(rèn)為這種作法中判斷/ACB是直角的依據(jù)是（）

B.直徑所對(duì)的圓周角是直角

C.勾股定理的逆定理

D.90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑

【答案】B

【解析】由作圖痕跡可以看出0為AB的中點(diǎn)，以0為圓心，AB為直徑作圓，然后以B為圓心BC=a為半徑

花弧與圓0交于一點(diǎn)C,故NACB是直徑所對(duì)的圓周角，所以這種作法中判斷NACB是直角的依據(jù)是：直徑

所對(duì)的圓周角是直角.

故選：B.

【考點(diǎn)】作圖一復(fù)雜作圖；勾股定理的逆定理；圓周角定理.

知識(shí)點(diǎn)三三角形的外接圓

1）經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做

三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形.

2）三角形外心的性質(zhì)：

①三角形的外心是指外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形各頂點(diǎn)的距離相等；

②三角形的外接圓有且只有一個(gè)，即對(duì)于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無(wú)

數(shù)個(gè)，這些三角形的外心重合.

3）外接圓圓心和三角形位置關(guān)系：

1.銳角三角形外接圓的圓心在它的內(nèi)部（如圖1）；

2.直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點(diǎn)處（即直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半，如圖2）；

3.鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部（如圖3）.

AAA

典例1（2018?濱河新區(qū)期末）邊長(zhǎng)為1的正三角形的外接圓的半徑為（）

A.-B.—C.—D.更

2236

【答案】C

【詳解】如圖所示，連接OB,OC,過(guò)0作ODLBC；

VAABC是正三角形，

二/!?0€=唔=120°,

V0B=0C,

AZB0D-^=60°,

1l

“c八BD7V3

.../0BD=30。，OB=—=i=T,

2

故選c.

【名師點(diǎn)睛】解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造與外接圓半徑相關(guān)的直角三角形.

典例2有下列四個(gè)命題：①直徑是弦；②經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)一定可以作圓；③三角形的外心到三角形各頂點(diǎn)的距

離都相等；④半徑相等的兩個(gè)半圓是等弧.其中正確的有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】B

【解析】解答：解：①經(jīng)過(guò)圓心的弦是直徑，即直徑是弦，弦不一定是直徑，故正確;

②當(dāng)三點(diǎn)共線的時(shí)候，不能作圓，故錯(cuò)誤；

③三角形的外心是三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，所以三角形的外心到三角形各頂點(diǎn)的距離都相等，故

正確；

④在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧是等弧，所以半徑相等的兩個(gè)半圓是等弧，故正確.

故選B.

典例3（2019?重慶市期中）如圖，0是△ABC的外心，則41+42+43=（）

【答案】C

【詳解】如圖,

,:OA—OB,

z.3=Z.4,

同理，z.1=z.5,z.2=z.6,

???43+44+N1+45+42+46=180°,

41+42+43=90°,

故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握三角形的外接圓的概念，三角形內(nèi)角和定理是解

題的關(guān)鍵.

知識(shí)點(diǎn)四反證法

反證法：首先假設(shè)某命題結(jié)論不成立（即假設(shè)經(jīng)過(guò)同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以作一個(gè)圓），然后推理出與定

義、已有定理或已知條件明顯矛盾的結(jié)果，從而下結(jié)論說(shuō)原假設(shè)不成立，原命題得證。

典例1（2018?古田縣期中）已知：在AHBC中，AB^AC,求證：48力4c.若用反證法來(lái)證明這個(gè)結(jié)論，

可以假設(shè)（）

A.Z-A=Z-BB.AB=BCC.乙B=ZCD.Z-A—Z.C

【答案】c

【詳解】已知：在AABC中，AB^AC,求證：NBKNC.若用反證法來(lái)證明這個(gè)結(jié)論，可以假設(shè)48=NC,

由“等角對(duì)等邊“可得AB=AC,這與已知矛盾，所以NBKNC.

故選：C

【名師點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn)：反證法.解題關(guān)鍵點(diǎn)：理解反證法的一般步驟.

典例2（2019?乳山市期末）用反證法證明“a>b”，對(duì)于第一步的假設(shè)，下列正確的是（）

A.a<bB.aRbC.a<bD.a=b

【答案】C

【詳解】解：根據(jù)題意，判定與a?b相矛盾的判斷是a<b，故答案為C

【名師點(diǎn)睛】此題主要考查對(duì)反證法的概念的理解，熟練掌握內(nèi)涵，即可解題.

鞏固訓(xùn)練

一、單選題（共10小題）

1.（2019?臨清市期末）。。的半徑為5cm,1是線段冰的中點(diǎn)，當(dāng)好7cm時(shí)，點(diǎn)/與。。的位置關(guān)系是

（）

A.點(diǎn)4在。。內(nèi)B.點(diǎn)/在上C.點(diǎn)/在外D.不能確定

【答案】A

【詳解】V0P=7cm,A是線段OP的中點(diǎn)，

.,.0A=3.5cm,.小于圓的半徑5cm,

二點(diǎn)A在圓內(nèi).

故選A.

【名師點(diǎn)睛】本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)0P的長(zhǎng)和點(diǎn)A是0P的中點(diǎn)，得到0A=3.5cm,小于圓

的半徑相等，可以確定點(diǎn)A的位置.

2.（2019?合肥市期中）如圖，王大伯家屋后有一塊長(zhǎng)12m,寬8m的矩形空地，他在以長(zhǎng)邊BC為直徑的半

圓內(nèi)種菜，他家養(yǎng)的一只羊平時(shí)拴在A處的一棵樹(shù)上，為了不讓羊吃到菜，拴羊的繩長(zhǎng)最長(zhǎng)為（）

【詳解】解：連接0A,交半圓。于E點(diǎn),

在RtZ\OAB中,0B=6,AB=8,

所以0AROB2+4B2

=10；

又0E=0B=6,

所以AE=OA-OE=4.

因此選用的繩子應(yīng)該不大于4m,

故選：B.

【名師點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，確定點(diǎn)到半圓的最短距離是難點(diǎn).熟練運(yùn)用勾股定理.

3.(2018?海口市期末)設(shè)P為。。外一點(diǎn)，若點(diǎn)P到。0的最短距離為3,最長(zhǎng)距離為7,則。。的半徑為

()

A.3B.2C.4或10D.2或5

【答案】B

【詳解】解：:下為。。外一點(diǎn)，若點(diǎn)P到。0的最短距離為3,最長(zhǎng)距離為7,

二。0的直徑為：7-3=4,

的半徑為2,

故選：B.

【名師點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件.

4.（2019?重慶市期中）已知。。的直徑為10,點(diǎn)A在圓內(nèi)，若0A的長(zhǎng)為a,則a應(yīng)滿(mǎn)足（）

A.0<a<5B.a<5C.0<a<10D.a<10

【答案】A

【詳解】：。。的直徑為10,

二。。的半徑長(zhǎng)為5,

:點(diǎn)4在圓內(nèi)，

二。4的長(zhǎng)a的取值范圍為：0Wa<5,

故選A.

【名師點(diǎn)睛】本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟知點(diǎn)與圓的三種位置關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.

5.（2019?連云港市期末）如圖，在矩形中，AB=4,AD=3,若以4為圓心，4為半徑作。A下

列四個(gè)點(diǎn)中，在。4外的是（）

J-----------

A.點(diǎn)4B.點(diǎn)BC.點(diǎn)CD.點(diǎn)。

【答案】C

【詳解】解：如下圖，連接AC,

?.?圓A的半徑是4,AB=4,AD=3,

...由勾股定理可知對(duì)角線AC=5,

/.D在圓A內(nèi)，B在圓上,C在圓外，

故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)單題，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵.

6.（2018?降化縣期末）如圖，一圓弧過(guò)方格的格點(diǎn)A、B、C,在方格中建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)A的坐

標(biāo)為（-3,2）,則該圓瓠所在圓心坐標(biāo)是（）

A.(0,0)B.(-2,1)C.(-2,-1)D.(0,-1)

【答案】C

【解析】如圖：分別作AC與AB的垂直平分線，相交于點(diǎn)0,

?點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3,2）,

二點(diǎn)0的坐標(biāo)為（~2,-1）.

故選C.

7.（2019?湖州市期中）搶凳子是小時(shí)候常玩的游戲，人圍成圈將凳子放在中間，主持人開(kāi)始敲鼓，此時(shí)

人圍著凳子按同一方向轉(zhuǎn)圈.當(dāng)敲擊聲停止時(shí)，就要搶坐在凳子上，因?yàn)榈首訑?shù)量少于玩游戲的總?cè)藬?shù)，未

搶坐到凳子上的玩家淘汰下場(chǎng).現(xiàn)在甲、乙、丙3位同學(xué)準(zhǔn)備玩搶凳子的游戲，誰(shuí)先搶坐到凳子上誰(shuí)獲勝如

圖，三人已站定，主持人要在他們中間放一個(gè)凳子，為使游戲公平，凳子應(yīng)放在圖中三角形的（）

【答案】D

【詳解】要使游戲公平，那么凳子應(yīng)該到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以凳子應(yīng)該放在圖中三角形的外

心.

故選D.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了三角形外心的意義，三角形的外心是三角形三條垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的外

心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.

8.（2018?福州市期中）RtZ\4a'中，/右90°,AOZcm,除4c叩，則它的外接圓半徑為（）

A.5B.2.5C.8D.10

【答案】B

【詳解】VZC-900,AC^Zcm,BC=4cm,：.AB=ylAC2+BC2=5an.

?.,△/回是直角三角形，

.?.△/SC的斜邊為它的外接圓的直徑，

二它的外接圓的半徑為2.5cm.

故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的外接圓半徑，掌握理解直角三角形的外接圓是以斜邊中點(diǎn)為圓心，

斜邊長(zhǎng)的一半為半徑的圓是解題的關(guān)鍵.

9.（2018?福州市期末）若正方形的邊長(zhǎng)為a,其內(nèi)切圓的半徑為r,外接圓的半徑為凡則r：〃：a=-

（）

A.1：1：V2B.1：V2:2C.1：V2:1D.72:2:4

【答案】B

【詳解】

作出正方形的邊心距，連接正方形的一個(gè)頂點(diǎn)和中心可得到一直角三角形.

在中心的直角三角形的角為360。+4+2=45°,

..?內(nèi)切圓的半徑為p

外接圓的半徑為叵,

2

-'?r：R：a=1：V2；2.

故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是正多邊形和圓，解題關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，把半徑和邊心距用邊長(zhǎng)表

示出來(lái).

10.（2018?眉山市期中）如果一個(gè)三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)在三角形外部，那么這個(gè)三角形是（）

A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.不能確定

【答案】C

【詳解】一個(gè)三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)是這個(gè)三角形外接圓的圓心，

如果在外部，則這個(gè)三角形是鈍角三角形.

故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是線段垂直平分線的性質(zhì)（三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且

這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題關(guān)鍵是畫(huà)出圖形即可求解.

二、填空題（共5小題）

11.（2018?路北區(qū)期末）已知平面上點(diǎn)P到圓周上的點(diǎn)的最長(zhǎng)距離為8,最短距離為4,則此圓的半徑為

【答案】2或6

【詳解】①當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，

?..圓外一點(diǎn)和圓周的最短距離為4,最長(zhǎng)距離為8,

二圓的直徑為8-4=4,

二該圓的半徑是2；

②當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，

?.?點(diǎn)到圓周的最短距離為4,最長(zhǎng)距離為8,

圓的直徑=8+4=12,

二圓的半徑為6,

故答案為2或6.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，能根據(jù)已知條件求出圓的直徑是解此題的關(guān)鍵.

12.（2019?惠山區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,以頂點(diǎn)D為圓心作半徑為r的圓，若要求

另外三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C中至少有一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一個(gè)點(diǎn)在圓外，則r的取值范圍是.

【答案】3<r<5.

【解析】根據(jù)勾股定理可求得BD=5,三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C中至少有一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)A與點(diǎn)D的距離最近，點(diǎn)

A應(yīng)該在圓內(nèi)，所以r>3,三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C中至少有一個(gè)點(diǎn)在圓外，點(diǎn)B與點(diǎn)D的距離最遠(yuǎn)，點(diǎn)B應(yīng)該在

圓外，所以r〈5,所以r的取值范圍是3<r<5.

13.（2019?臺(tái)東市期中）若圓。的半徑是5,圓心的坐標(biāo)是（0,0）,點(diǎn)尸的坐標(biāo)是（一4,3）,則點(diǎn)一與

。。的位置關(guān)系是_______.

【答案】點(diǎn)P在圓上

【詳解】???點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-4,3）,

.?.OP"+42=5,

V0P等于圓0的半徑，

.,.點(diǎn)P在圓0上.

故答案為點(diǎn)P在圓0上.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過(guò)來(lái)已

知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

14.（2018?路北區(qū)期末）如圖，O。是2148c的外接圓，乙4=45。，BC=4,則。。的稟律為.

【答案】4夜

【解析】如圖，連接OB,0C.

上45°,二/6彼90°,；.△瞅是等腰直角三角形.

又：於4,二陟Q>50cos45°=2VL二。0的直徑為4&.

故答案為：4夜.

15.（2018?陽(yáng)谷縣期末）如圖，在AABC中，ZA=60°,。。為aABC的外接圓.如果BC=2/5,那么。0

的半徑為

【答案】2

【詳解】解：連接OC、0B,作ODJ_BC,

ZA=60°,

：.ZB0C=120°,

二ND0C=60°,N0DC=90°,

???℃學(xué)齡=2,

2

故答案為：2.

【名師點(diǎn)睛】此題考查三角形的外接圓與外心，關(guān)鍵是利用圓心角與圓周角的關(guān)系得出NBOC=120。.

三、解答題(共3小題)

16.(2018?路北區(qū)期末)如圖，A,P,B,C是半徑為8的。。上的四點(diǎn)，且滿(mǎn)足ZBAC=NAPC=60°,

(1)求證：AABC是等邊三角形;

(2)求圓心0到BC的距離OD.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)4

【解析】解：(1)證明：?；NAPC和NABC是同弧所對(duì)的圓周角，...NAPC=NABC。

又?.?在AABC中，ZBAC=ZAPC=60°,Z.ZABC=60",

AZACB=180°-ZBAC-ZABC=180°-60°-60°=60°。

」.△ABC是等邊三角形。

AO為4ABC的外心。

,

，B0平分NABC。AZ0BD=30°...0D=8xi=4(>

(1)根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等的性質(zhì)和已知NBAC=NAPC=60°可得△ABC的每一個(gè)內(nèi)角都等于60°,從而

得證。

(2)根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)，得含30度角直角三角形OBD,從而根據(jù)30度角所對(duì)邊是斜邊一半

的性質(zhì),得OD=8X：=4

17.(2018?惠山區(qū)期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(0,4)、B(4,4)、C(6,2).

(1)在圖中畫(huà)出經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓弧所在圓的圓心M的位置；

(2)點(diǎn)M的坐標(biāo)為

與。M的位置關(guān)系.

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)(2,0)；(3)點(diǎn)D在。M內(nèi);

【解析】解：(1)如圖1,點(diǎn)材就是要找的圓心；

(2)圓心"的坐標(biāo)為(2,0).故答案為：(2,0)；

(3)圓的半徑A括722+42=2隗.

名師點(diǎn)睛：本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及垂徑定理，利用網(wǎng)格結(jié)構(gòu)得到圓心材的

坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

18.（2019?陜西中考真題）如圖，在AABC中，AB=AC,AD是BC邊上的高。請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，求作AABC

的外接圓。（保留作圖痕跡，不寫(xiě)做法）

【答案】如圖所示見(jiàn)解析.

【詳解】如圖所示，。。即為AABC的外接圓.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖——三角形的外接圓，正確把握三角形外接圓的圓心是三角形三邊垂直

平分線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

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二次函數(shù)和一元二次方程

知識(shí)點(diǎn)一二次函數(shù)與一元二次方程之間的聯(lián)系

已知二次函數(shù)y的值為加，求相應(yīng)自變量x的值，就是求相應(yīng)一元二次方程的解.

例如：已知二次函數(shù)尸-y+4x的值為3,求自變量x的值.就是求方程3=-*+4立即

x2-4x+3=0）的解。反過(guò)來(lái)，解方程*-4戶(hù)3=0,就是已知二次函數(shù)尸*-4;什3的值為0,求自變

量x的值.

典例1如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象，由圖象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是（）

A.-l<x<5B.x>5C.x〈-l且x>5D.xV—1或x>5

【答案】D

【解析】由圖象得：對(duì)稱(chēng)軸是x=2,其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（5,0）,

二圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（一1,0）o

由圖象可知：ax2+bx+c<0的解集即是y<0的解集,

.,.xV—1或x>5。故選D。

典例2關(guān)于x的方程2加什4=0有兩個(gè)不同的實(shí)根，并且有一個(gè)根小于1,另一個(gè)根大于3,

則實(shí)數(shù)力的取值范圍為（）

55

A.ui>—B.m<---

22

13

C.m<-2或%>2D.ni>一

6

【答案】A

【詳解】-2mx+4=0有兩個(gè)不同的實(shí)根,

/.△=4m2-16>0,解得：m>2或ni<-2,

???二次函數(shù)開(kāi)口向上，有一個(gè)根小于1,另一個(gè)根大于3,即表明當(dāng)x=l和x=3是都出現(xiàn)在x軸

下方，

l-2m+4<0且9-6m+4<0,解得：m>—,

2

綜上，m>—

2

故選A

典例3根據(jù)下面表格中的對(duì)應(yīng)值：

X3.233.243.253.26

ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09

判斷方程ax2+bx+c=0（aW0,a,b,c為常數(shù)）的一個(gè)解x的范圍是（）

A.3<x<3.23B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.26

【答案】C

【解析】分析：根據(jù)函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)就是方程ax'+bx+cR的根，再根據(jù)

函數(shù)的增減性即可判斷方程ax2+bx+c=0一個(gè)解的范圍.

解答：解：函數(shù)y=ax''+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)就是方程ax^+bx+cuO的根，

函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0；

由表中數(shù)據(jù)可知：y=0在y=-0.02與y=0.03之間,

對(duì)應(yīng)的x的值在3.24與3.25之間即3.24<x<3.25.

故選C.

知識(shí)點(diǎn)二拋物線與龍軸的交點(diǎn)情況

2

二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)打、x2,是對(duì)應(yīng)一元二次方

程a/+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與X軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的

判別式判定：

①有兩個(gè)交點(diǎn)04>00拋物線與％軸相交；

②有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在％軸上）=d=0Q拋物線與X軸相切；

③沒(méi)有交點(diǎn)=4<0=拋物線與％軸相離.

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與一元二次方程ax2+bx+c=0的根關(guān)系：

拋物線y=ax2+bx+c(a^O)一元二次方程ax2+bx+c=0

與X軸的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)(aWO)的根的情況

毋-4ac>0有兩個(gè)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

有一個(gè)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

%4ac<0沒(méi)有公共點(diǎn)沒(méi)有實(shí)數(shù)根

典例1已知二次函數(shù)1一+3-1的圖象與x軸有交點(diǎn)，則m的取值范圍是()

A.mW5B.m22C.m<5D.m>2

【答案】A

【詳解】?：二次函數(shù)y=x2-x+；m-l的圖象與x軸有交點(diǎn),

4

?.△=(-1)-4X1X(-'-

解得:m<5,

故選A.

典例2二次函數(shù)y=*-6x+/的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，若其中一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0),

則另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(-1,0)B.(4,0)C.(5,0)D.(-6,0)

【答案】B

【詳解】解：由二次函數(shù)y=/一6x+m得到對(duì)稱(chēng)軸是直線％=3,則拋物線與％軸的兩個(gè)交

點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于直線％=3對(duì)稱(chēng)，

???其中一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0),則另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,0),

故選：C.

鞏固訓(xùn)練

一、單選題(共10小題)

1.函數(shù)y=ax2+2ax+m(aV0)的圖象過(guò)點(diǎn)(2,0),則使函數(shù)值yVO成立的x的取值范圍是()

A.xV-4或x>2B.-4<x<2C.x<0或x>2D.0<x<2

【答案】A

【詳解】拋物線y=ax2+2ax+m的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-|j=-l,

而拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),

...拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,0),

Va<0,

二拋物線開(kāi)口向下，

...當(dāng)x<-4或x>2時(shí)，y<0.

故選A.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax?+bx+c(a,b,c是常數(shù),

aWO)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).

2.二次函數(shù)y=x2-6x+m的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，若其中一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0),則另

一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(-1,0)B.(4,0)C.(5,0)D.(-6,0)

【答案】B

【詳解】解：由二次函數(shù)y=x2—6x+m得到對(duì)稱(chēng)軸是直線x=3,則拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)

坐標(biāo)關(guān)于直線x=3對(duì)稱(chēng)，

...其中一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0),則另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,0),

故選：C.

【名師點(diǎn)睛】考查拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，解題關(guān)鍵是掌握拋物線的對(duì)稱(chēng)性質(zhì).

3.二次函數(shù)y=ax?+bx的圖象如圖所示，若一元二次方程ax'+bx+m-kO有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

A.0B.-1C.1D.2

【答案】A

【詳解】一元二次方程ax'+bx+m—1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可以理解為y=ax?+bx和

y=l—m有交點(diǎn)，可見(jiàn)1—mV2,...ni〉一1,...m的最小值為0,故答案選A.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的基本性質(zhì)，解此題的要點(diǎn)在于理解“ax'+bx+m

—1=0有實(shí)數(shù)根，可以理解為y=ax2+bx和y=l—m有交點(diǎn)”這句話(huà)的意義.

4.已知m,n(m<n)是關(guān)于x的方程(x-a)(x-b)=2的兩根，若a<b,則下列判斷正確的

是一

A.a<m<b<nB.m<a<n<b

C.a<m<n<dD.m<a<b<n

【答案】D

【詳解】解：：(x-a)(x-b)=2,

，m、n可看作拋物線y=(x-a)(x-b)與直線y=2的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

?拋物線丫=(x-a)(x-b)與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為(a,0),(b,0),如圖，

.,.m<a<b<n.

故選：D.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、根與系數(shù)的關(guān)系；根據(jù)題意得出m、n可看作

拋物線y=(x-a)(x-b)與直線y=2的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

5.圖(1)是一個(gè)橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面在圖(1)位置時(shí)，拱頂(拱橋洞的最

高點(diǎn))離水面2m,水面寬4m.如圖(2)建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線的關(guān)系式是()

圖(1)

A.y=-2x2B.y=2x2C.y=-1x2D.y=[x2

【答案】C

【解析】拋物線頂點(diǎn)為(0.0),所以設(shè)拋物線方程為y=ax2(a<0);(2,-2)是圖像上的點(diǎn)，

所以一2=aX22,a=—故選C

6.已知一元二次方程1-(x-3)(x+2)=0,有兩個(gè)實(shí)數(shù)根%和9(xKxJ,則下列判斷正確

的是()

A.-2<X)<X2<3B.x,<-2<3<X2C.-2<X,<3<X2D.X)<-2<x2<3

【答案】B

【詳解】設(shè)y=-(x-3)(x+2),yj=l-(x-3)(x+2)

Vy=0時(shí)，x=-2或x=3,

.\y=-(x-3)(x+2)的圖像與x軸的交點(diǎn)為(-2,0)(3,0),

VI-(x-3)(x+2)=0,

，y尸1-(x-3)(x+2)的圖像可看做y=-(x-3)(x+2)的圖像向上平移1,與x軸的交點(diǎn)

的橫坐標(biāo)為X]、X2,

V-K0,

二兩個(gè)拋物線的開(kāi)口向下，

/.X1<-2<3<X2,

故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖像性質(zhì)及平移的特點(diǎn)，根據(jù)開(kāi)口方向確定函數(shù)的增減性是解

題關(guān)鍵.

7.如圖，拋物線y=ax2+bx+c(aH0)與x軸一個(gè)交點(diǎn)為(-2,0),對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1,則y<0

時(shí)x的范圍是()

A.x>4或x<—2B.—2<x<4

C.-2VxV3D.0<x<3

【答案】B

【解析】因?yàn)閽佄锞€與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(-2,0),對(duì)稱(chēng)軸為直線x=l,所以?huà)佄锞€另一個(gè)與

x軸的交點(diǎn)為(4,0),「.yVO時(shí)，一2VxV4.故選B.

8.已知函數(shù)y=(k-3)x?+2x+l的圖象與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是()

A.kW4且k#3B.kV4且k#3C.k<4D.kW4

【答案】D

【解析】(1)當(dāng)k=3時(shí)，函數(shù)y=2x+l是一次函數(shù)，

,：一次函數(shù)y=2x+l與x軸有一個(gè)交點(diǎn),

(2)當(dāng)k#3時(shí)，y=(k-3)x、2x+l是二次函數(shù)，

?二次函數(shù)y=(k-3)x2+2x+l的圖象與x軸有交點(diǎn)，

二b'-4ac^0,

Vb-4ac=2-4(k-3)=-4k+16,

，-4k+1620,；.kW4且kO3,

綜合(1)(2)可知，k的取值范圍是kW4,

故選D.

【名師點(diǎn)睛】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)及根的判別式，解答此題時(shí)要注意分類(lèi)討論,

不要漏解.

9.如圖，已知二次函數(shù)y=o?+bx+c的部分圖象，由圖象可估計(jì)關(guān)于n的一元二次方程

山^+加+。=0的兩個(gè)根分別是玉=1-6,x2=

A.-1.6B.3.2

C.4.4D.5.2

【答案】C

【詳解】由拋物線圖象可知其對(duì)稱(chēng)軸為x=3,

又拋物線是軸對(duì)稱(chēng)圖象，

:.拋物線與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于x=3對(duì)稱(chēng)，

2

而關(guān)于x的一元二次方程ax+bx+c=0的兩個(gè)根分別是X”x2,

那么兩根滿(mǎn)足2X3=X,+X2,

而Xt=l.6,

/.X2=4.4.

故選C.

【名師點(diǎn)睛】此題主要利用拋物線是軸對(duì)稱(chēng)圖象的性質(zhì)確定拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，是一道較

為簡(jiǎn)單的試題.

10.已知二次函數(shù)y=x，'一2x+m（m為常數(shù)）的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（-1,0）,則關(guān)于x的

一元二次方程（一2x+m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是（）

A.x,=l,X2=2B.XI=1,X2=3

C.Xi=-1,X2=2D.X1=-1,X2=3

【答案】D

【詳解】將（一1,0）代入y=x‘'-2x+m得，0=1+2+m,

解得m=-3,

則得方程為:X2—2x-3=0,

解得（x+l）（x-3）=0,

X]——1,x2=3.

所以D選項(xiàng)是正確的.

故選：D.

【名師點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，要知道，拋物線上的點(diǎn)符合函

數(shù)的解析式，同時(shí)要知道一元二次方程的解法.

二、填空題（共5小題）

11.已知二次函數(shù)y=x,-4x+k的圖象的頂點(diǎn)在x軸下方，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

【答案】k<4

【詳解】?..二次函數(shù)y=x?-4x+k中a=l>0,圖象的開(kāi)口向上，

又1?二次函數(shù)y=x2-4x+k的圖象的頂點(diǎn)在x軸下方，

:.拋物線y=x2-4x+k的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),

?.△>0,即(-4)2-4k>0,

.\k<4,

故答案為：k<4.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，由題意得出拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)是解

題的關(guān)鍵.

12.已知拋物線y=3x?-4x+c的頂點(diǎn)在x軸上方，則c應(yīng)滿(mǎn)足的條件.

【答案】c>g

【詳解】拋物線y=3x?-4x+c的開(kāi)口向上，

其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：牛M二鏟」個(gè)，

4a4X33

由于拋物線的頂點(diǎn)在X軸上方，

所以號(hào)>0,

解得：c河,

故答案為：c>:

【名師點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，本題中的拋物線開(kāi)口向上，因此也可以通過(guò)

根的判別式小于0來(lái)求解..

13.若函數(shù)y=(a—l)x2—4x+2a的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則a的值為.

【答案】一1或2或1

【解析】：函數(shù)y=(a-l)x2-4x+2a的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn),

當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，b2-4ac=16-4(a-l)X2a=0,

解得:a,=-l,a2=2,

當(dāng)函數(shù)為一次函數(shù)時(shí)，a-l=0,解得：a=l.

故答案為：T或2或L

14.二次函數(shù)丫=ax?+bx+c(a。0)的部分圖象如圖所示，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-l,與x軸的一

個(gè)交點(diǎn)為(1,0),與y軸的交點(diǎn)為(0,3),則方程ax?+bx+c=0(a。0)的解為

【答案】Xi=1,x2=—3

【詳解】解：...拋物線y=ax?+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是(1,0),對(duì)稱(chēng)軸為直線x=T,

二拋物線y=ax?+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是(-3,0),

.,?方程ax、+bx+c=0(aWO)的解為：Xi=l,x2=-3.

故答案為：Xt=l,X2=-3.

【名師點(diǎn)睛】此題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，正確得出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是解題

關(guān)鍵.

15.如圖為二次函數(shù)y=Gf2+bx+c圖象的一部分，其對(duì)稱(chēng)軸為直線x=l.若其與x軸一交點(diǎn)為

A(3,0)則由圖象可知，不等式以2+法+0<0的解集是_______.

【答案】-l<x<3

【解析】試題分析：由圖象得：對(duì)稱(chēng)軸是x=l,其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0)

，圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(T,0)

利用圖象可知：

ax2+bx+c<0的解集即是y<0的解集，

/.-l<x<3.

三、解答題(共2小題)

16.已知二次函數(shù)y=2(x—l)(x—m—3)(m為常數(shù)).

(1)求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點(diǎn)；

(2)當(dāng)m取什么值時(shí)，該函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方？

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）m>-3時(shí)，該函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方.

【解析】分析：（1）首先求出與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1=LX2=m+3,即可得出答案；

⑵求出二次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo).根據(jù)交點(diǎn)縱坐標(biāo)大于0即可求出.

詳解：

（1）證明：當(dāng)y=0時(shí)，2（x—l）（x—m—3）=0.

解得Xi=1,x2=m+3.

當(dāng)m+3=l,即m=—2時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)m+3Al,即m。一2時(shí)，方程有

兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

所以，不論m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點(diǎn).

（2）解：當(dāng)x=0時(shí)，y=2m+6,即該函數(shù)的圖像與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2m+6.

當(dāng)2m+6>0,即m>-3時(shí)，該函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，熟練掌握拋物線與x軸的交點(diǎn)的證明方法，

求出拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是解決問(wèn)題（2）的關(guān)鍵.

17.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aW（））的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問(wèn)題.

（1）寫(xiě)出方程ax'+bx+c=0的兩個(gè)根；

（2）寫(xiě)出不等式ax'+bx+cX）的解集;

⑶寫(xiě)出y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍；

⑷若方程ax2+bx+c=k有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍.

【答案】（1）x=l或x=3是方程ax2+bx+c=O的兩個(gè)根；（2）l<x<3；（3）當(dāng)x>2時(shí)，y

隨x的增大而減??；（4）k<2.

【解析】1）圖中可以看出拋物線與x軸交于（1,0）和（3,0）,

?■?方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根為x=l或x=3；

（2）不等式ax?+bx+c>時(shí)，通過(guò)圖中可以看出：當(dāng)l<x<3時(shí)，y的值〉0,

二不等式ax'+bx+cX）的解集為（1,3）；

(3)圖中可以看出對(duì)稱(chēng)軸為x=2,

...當(dāng)x>2時(shí)，y隨x的增大而減小;

(4)?..拋物線y=ax，bx+c經(jīng)過(guò)(1,0),(2,2),(3,0),

a+b+c=O

[4a+2b+c=2,

9a+3b+c=O

解得：a=—2,b—8,c=—6,

.,.-2x2+8x-6=k,移項(xiàng)得一2x?+8x-6—k=0,

△=64-4(-2)(-6-k)>0,

整理得：16-8k>0,

/.k<2時(shí)，方程ax2+bx+c=k有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。

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二次函數(shù)圖像和性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)一二次函數(shù)的概念

概念：一般地，形如y=aX2+bx+C（a,b,c是常數(shù)，aA0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。

注意：二次項(xiàng)系數(shù)aA0，而b,0可以為零.

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的結(jié)構(gòu)特征：

⑴等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2.

⑵a,b,c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)?

典例1下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（）

A.y=x（x+1）B.x2y=l

C.y=2x2-2（x-1）2D.y=x—0.5

【答案】A

【詳解】A、該函數(shù)符合二次函數(shù)的定義，故本選項(xiàng)正確；

B、整理后：y=±,不符合二次函數(shù)形式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

X2

C、整理后，該函數(shù)的自變量的最高次數(shù)是1,屬于一次函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、該函數(shù)屬于一次函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選A.

典例2二次函數(shù)y=3x-5x2+1的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為.

【答案】-5、3、1

【詳解】解：二次函數(shù)y=3x-5x?+l的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為-5、3、1.

故答案為：-5、3、1.

典例3（2018春門(mén)頭溝區(qū)）已知函數(shù)“+3x為二次函數(shù)，求m的值.

【答案】m=-l

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，列出一個(gè)式子即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：由題意：f周一1不°,解得小=一1，

Im24-1=2

m=時(shí)，函數(shù)y=（，"-Dx'""+3x為二次函數(shù).

知識(shí)點(diǎn)2：二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)（重點(diǎn)）

二次函數(shù)的基本表現(xiàn)形式：

①y=ax2；②y=ax2+k；③y=a（%—h）2；@y=a（%—h~）2+k；⑤y=ax2+bx+c.

第一種：二次函數(shù)y=a尤2的性質(zhì)（最基礎(chǔ)）

開(kāi)口方對(duì)稱(chēng)

a的符號(hào)頂點(diǎn)坐標(biāo)性質(zhì)

向軸

%>0時(shí)，y隨x的增大而增大；xV0時(shí)，y隨％的增

a>0向上（0，0）y軸

大而減?。唬?0時(shí)，y有最小值0.

%>0時(shí)，y隨工的增大而減小；工<0時(shí)，y隨工的增

a<0向下（0，0）y軸

大而增大；無(wú)=0時(shí)，y有最大值0.

第二種：二次函數(shù)丁=ax?+c的性質(zhì)

開(kāi)口方頂點(diǎn)坐對(duì)稱(chēng)

a的符號(hào)性質(zhì)

向標(biāo)軸

%>0時(shí)，y隨％的增大而增大；％V0時(shí)，y隨工的增

a>0向上（0，C）y軸

大而減??；x=0時(shí)，y有最小值c.

%>0時(shí)，y隨工的增大而減??；％<0時(shí)，y隨工的增

a<0向下（0，。y軸

大而增大；％=0時(shí)，y有最大值c.

第三種：二次函數(shù)y=a（x-1）2的性質(zhì)

開(kāi)口方對(duì)稱(chēng)

a的符號(hào)頂點(diǎn)坐標(biāo)性質(zhì)

向軸

%>/i時(shí)，y隨％的增大而增大；4<八時(shí)，y隨x的增

a>0向上s,0)X=h

大而減小；x=/i時(shí)，y有最小值0.

%>無(wú)時(shí)，y隨工的增大而減??；工<八時(shí)，y隨工的增

a<0向下0,o)X=h

大而增大；x=h時(shí)，y有最大值0.

第四種：二次函數(shù)丁=a（x-八）2+九的性質(zhì)

開(kāi)口方對(duì)稱(chēng)

a的符號(hào)頂點(diǎn)坐標(biāo)性質(zhì)

向軸

時(shí)，y隨匯的增大而增大；八時(shí)，y隨工的增

a>0向上(h,k)X=h

大而減??；%=八時(shí)，y有最小值攵.

%A時(shí)，y隨工的增大而減??；時(shí)，y隨工的增

a<0向下(/i,k)X=h

大而增大；X=九時(shí)，y有最大值k.

二次函數(shù)y=ax2+bx+c用配方法可化成：

-+k的形式，其中八=一/，人=笠盧?

典例1二次函數(shù)y=-2*-l圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(0,0)B.(0,-1)C.(-2,-1)D.(-2,1)

【答案】B

【詳解】解：,

其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，

...其頂點(diǎn)在y軸上，

當(dāng)％=0時(shí)，y=—15

所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-1),

故選擇：B.

典例2關(guān)于二次函數(shù)y=(x+2)2的圖像，下列說(shuō)法正確的是()

A.開(kāi)口向下B.最低點(diǎn)是(2,0)

C.對(duì)稱(chēng)軸是直線x=2D.對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)部分是上升的

【答案】D

【詳解】對(duì)于二次函數(shù)y=0+2)2的圖像，

Va=l>0,所以開(kāi)口向上，故A錯(cuò)誤；

最低點(diǎn)是(-2.0),故B錯(cuò)誤;

對(duì)稱(chēng)軸是直線％=-2,故C錯(cuò)誤；

對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)部分，y隨x的增大而增大，...是上升的，D正確；

故選D.

典例3拋物線y=-2(%-3)2頂點(diǎn)坐標(biāo)是

A.(2,-3)