考研流體力學第2章

2023/4/111第二章流體運動學基礎2023/4/112第二章流體運動學基礎流體運動學是運用幾何的方法來研究流體的運動，通常不考慮力和質(zhì)量等因素的影響。流體運動學是用幾何學的觀點來研究流體的運動規(guī)律，是流體力學的一個組成部分。本章的學習目標：掌握描述流動的兩種方法（拉格朗日法及歐拉法），結合跡線，流線，流管，流體線等顯示流動特性的曲線研究流動特性。2023/4/113了解流體微元的運動分解機理，即微團運動可分解為平移，整體轉(zhuǎn)動，線變形運動及角變形運動。掌握有旋運動與無旋運動的特點。無旋運動可引入速度勢。不可壓無旋運動是一個純粹運動學問題，正確給出邊界條件，是求解的關鍵。2023/4/114本章學習的內(nèi)容描述流體運動的兩種方法運動的幾何描述連續(xù)流體線的保持性流體微團的運動分析有旋運動的一般性質(zhì)無旋運動的一般性質(zhì)不可壓無旋流動的基本方程不可壓無旋流的動能2023/4/1152.1描述流體運動的兩種方法2023/4/1162.1.1拉格朗日方法拉格朗日方法是著眼于流體質(zhì)點來描述流體的運動狀態(tài).如何區(qū)別流體的質(zhì)點呢?質(zhì)點標識----通常是用某時刻各質(zhì)點的空間坐標（a,b,c）來表征它們。某時刻一般取運動剛開始的時間.以初始時刻流體質(zhì)點的坐標作為區(qū)分不同流體質(zhì)點的標志.拉格朗日方法的一般表達:a,b,c,t稱為拉格朗日變數(shù)—是流體質(zhì)點的標志。2023/4/117拉格朗日方法表示的速度，則有同樣，質(zhì)點的加速度可表示為

其中2023/4/118它在直角坐標系中的分量為

流體的密度、壓力、溫度也可以寫成a,b,c,t的函數(shù)

2023/4/119已知用拉格朗日變數(shù)表示的速度場為式中，a,b是t=0時刻流體質(zhì)點的直角坐標值。求：t=2時刻流場中質(zhì)點的分布規(guī)律；a=1,b=2這個質(zhì)點的運動規(guī)律；質(zhì)點的加速度。例題2023/4/1110代入條件：在t=0時刻，x=a，y=b，求得積分常數(shù)，

解：積分得：2023/4/1111得各流體質(zhì)點的一般分布規(guī)律所以:(1)在t=2時刻流場中質(zhì)點分布規(guī)律2023/4/1112（2）a=1,b=2流體質(zhì)點的運動規(guī)律

（3）加速度場2023/4/11132.1.2歐拉方法歐拉方法也稱空間描述，它著眼于空間點，認為流體的物理量隨空間點及時間而變化，也就是說，它把流體物理量表示成空間坐標及時間的函數(shù)。歐拉方法研究的是流體的場，相比較于拉格朗日方法，它更適合于研究流體的運動。拉格朗日方法著眼于流動過程中流體質(zhì)點的運動，它比較適合于研究剛體的運動。根據(jù)歐拉的觀點，任何物理量Φ（V,P,ρ）都是坐標和時間的函數(shù),在直角坐標系中，該物理量可以表示為x,y,z,t:歐拉變數(shù)－空間位置的標志速度場壓力場密度場溫度場2023/4/1114x,y,z固定，t改變，表示空間固定點上速度隨著時間的變化規(guī)律；t固定，x,y,z改變，表示某一時刻中速度在空間中的分布規(guī)律。若場內(nèi)函數(shù)不依賴于矢徑r(x,y,z)，則稱為均勻場，否則稱為非均勻場；若場內(nèi)函數(shù)不依賴于時間t，則稱為定常場，否則稱為非定常場。歐拉法的應用：氣象站、海洋觀測站等。2023/4/11152023/4/1116注意事項:不要把空間點和流體質(zhì)點混淆。流體運動時，同一個空間點在不同的時刻由不同的流體質(zhì)點所占據(jù)。所謂空間點上的物理量是指占據(jù)該點的各個流體質(zhì)點的物理量。在歐拉方法中，各物理量將是時間和空間點的函數(shù)。歐拉方法研究的是場。最后指出，歐拉法和拉格朗日法只不過是描述流體運動的兩種不同方法。對于同一問題，既可用拉格朗日法也可用歐拉法來描述。采用何種方法視具體問題而定。2023/4/11172.1.3隨體導數(shù)、加速度隨體導數(shù)（又稱質(zhì)點導數(shù)、實質(zhì)微商）：質(zhì)點的物理量隨時間的變化率。隨體導數(shù)在拉格朗日方法中的表達隨體導數(shù)在歐拉方法中的表達，物理量是空間和時間的函數(shù)，以速度為例思考：在歐拉方法中，表示什么？2023/4/1118歐拉描述的流體的隨體導數(shù)隨體導數(shù)在歐拉方法中的表達。設物理量是空間和時間的函數(shù)，以速度為例2023/4/1119第一項是指由于場的不定常性引起的速度變化，稱為局地導數(shù)；第二項是指由于場的不均勻性引起的速度變化，稱為位變導數(shù)或?qū)α鲗?shù)。推導22023/4/1120設與軌跡相對應的運動方程為質(zhì)點運動的速度為則加速度為2023/4/1121隨體導數(shù)（實質(zhì)微商、質(zhì)點加速度）亦可寫為：某流體質(zhì)點的速度對于時間的變化率就是該流體質(zhì)點的加速度。按定義式中2023/4/1122隨體導數(shù)（實質(zhì)微商、質(zhì)點加速度）寫成分量形式為另一方面，于不同時刻通過某一固定點的不同流點之速度一般也是不同的，但這種表示為局地加速度localacceleration對流加速度convectiveacceleration2023/4/1123都可以表示成實質(zhì)微商，隨體（物質(zhì)、全）導數(shù)隨體導數(shù)（實質(zhì)微商）類似的，與流體有關的所有的物理量Φ

如：不可壓縮流體的數(shù)學表示2023/4/1124質(zhì)點的密度在運動過程中不變的流體稱為不可壓縮流體。對于不可壓縮流體，密度的隨體導數(shù)為0，即思考：不可壓縮流體可以用表示式來表示嗎？既要不可壓縮，又要均質(zhì)，才有密度處處為一個常數(shù)。2023/4/1125求質(zhì)點的加速度。例題：已知解：2023/4/1126課堂例題一個流場，由u=2x,v=y來定義，試著求點（3，2）處的速度和加速度大小。一個流場，由u=2y,v=xy來定義，試著求點（3，1）處的速度和加速度大小。一個二維流場，由u=2+xy+3t2,v=2xy2+t來定義，試著求t=4時刻，點（2，3）處的速度和加速度大小。2023/4/1127定常流、流量、平均流速定常流：在流場中任何一點，所有的狀態(tài)參數(shù)都不隨時間而變，但不同點處的參數(shù)可以不同。單位時間內(nèi)流過任何截面的流體數(shù)量稱為流量。流量可以表示為：體積流量(m3/s)、質(zhì)量流量(kg/s)、重量流量(N/s)。VθdA’dA體積流量：2023/4/1128對于密度為常數(shù)的質(zhì)量流量：對一維流動，常采用平均速度的方法求流量：例題:某種液體在直徑為150mm的管路內(nèi)流速為0.8m/s試求流量（體積流量，質(zhì)量流量）。在研究向量的實質(zhì)微商時，考慮坐標（單位矢量）的變化與否具有重要的意義。

設有某一向量

其微商當單位向量（或坐標軸的方向）不變化時，則2.1.4絕對微商和相對微商當單位向量（或坐標軸的方向）改變的時候[補充材料]絕對速度=相對速度+牽連速度(用于各種具有相對運動的坐標系)絕對加速度=相對加速度+牽連加速度(用于平移坐標系)絕對加速度=相對加速度+牽連加速度+科氏加速度(用于平移并有旋轉(zhuǎn)的坐標系)在剛體力學定軸轉(zhuǎn)動時剛體上任一點的速度為所以

因此，在一般情況下：2023/4/11322.1.5球坐標系和柱坐標系中的加速度取球坐標系中三個正交的微小位移令三個方向上的速度分量則如令其角速度在三個方向上的分量為則2023/4/1138同理可以導出加速度在柱坐標中的表達式：

可得平面極坐標中加速度的表達式

我們常常要尋求拉格朗日位移場

和歐拉速度場

之間的關系。

2.1.6兩種方法的相互轉(zhuǎn)變在此我們?nèi)=0為拉格朗日參考時間，因此拉格朗日的速度場用下式給出

顯然，應有如下等式：如果給定拉格朗日表達式,則拉格朗日速度場確定為了得到歐拉速度場，我們必須根據(jù)三個表達式反解，以求得并將其代入拉格朗日速度場,即得以歐拉變數(shù)表示的速度場。一、拉格朗日變數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)闅W拉變數(shù)已知以拉格朗日變數(shù)表示的位移場為：試求以歐拉變數(shù)表示的速度場。解：我們對式（1）取時間導數(shù)得

例題用式（1）的2代入（2）式的1，則得以歐拉變數(shù)表示的速度場為：

如果給定歐拉速度場表達式則拉格朗日位移場不能直接從上式反解得到.但是根據(jù)可以對速度場在特定的初始條件和邊界條件下積分得到拉格朗日變數(shù)。二、歐拉變數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)槔窭嗜兆償?shù)給定二維歐拉流場求以拉格朗日變數(shù)表示的流體運動。

例題由已知條件得積分得式中f和g是待定的a和b的函數(shù)。解：求出上式中的積分，我們有

給定初始條件：t=0時，x=a和y=b，我們得f(a,b)=a和