2015年浙江省湖州市中考數(shù)學試題及解析

2015年浙江省湖州市中考數(shù)學試卷

一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）

1．（3分）（2015?湖州）﹣5的絕對值為（）

A．﹣5B．5C．D．

﹣

2．（3分）（2015?湖州）當x=1時，代數(shù)式4﹣3x的值是（）

A．1B．2C．3D．4

3．（3分）（2015?湖州）4的算術(shù)平方根是（）

A．±2B．2C．﹣2D．

4．（3分）（2015?湖州）若一個圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為18cm，圓心角為240°的扇形，

則這個圓錐的底面半徑長是（）

A．6cmB．9cmC．12cmD．18cm

5．（3分）（2015?湖州）已知一組數(shù)據(jù)的方差是3，則這組數(shù)據(jù)的標準差是（）

A．9B．3C．D．

6．（3分）（2015?湖州）如圖，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，

交CD于點E，BC=5，DE=2，則△BCE的面積等于（）

A．10B．7C．5D．4

7．（3分）（2015?湖州）一個布袋內(nèi)只裝有1個黑球和2個白球，這些球除顏色外其余都相

同，隨機摸出一個球后放回并攪勻，再隨機摸出一個球，則兩次摸出的球都是黑球的概率是

（）

A．B．C．D．

8．（3分）（2015?湖州）如圖，以點O為圓心的兩個圓中，大圓的弦AB切小圓于點C，OA

交小圓于點D，若OD=2，tan∠OAB=，則AB的長是（）

第1頁（共28頁）

A．4B．2C．8D．4

9．（3分）（2015?湖州）如圖，AC是矩形ABCD的對角線，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，現(xiàn)將

矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點D與點O重合，折痕為FG．點F，G分別在邊

AD，BC上，連結(jié)OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半徑長為1，則下列結(jié)論不成立的是（）

A．CD+DF=4B．CD﹣DF=2﹣3C．BC+AB=2+4D．BC﹣AB=2

10．（3分）（2015?湖州）如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，O是坐標原點，點A是函

數(shù)y=（x＜0）圖象上一點，AO的延長線交函數(shù)y=（x＞0，k是不等于0的常數(shù)）的

圖象于點C，點A關(guān)于y軸的對稱點為A′，點C關(guān)于x軸的對稱點為C′，交于x軸于點B，

連結(jié)AB，AA′，A′C′．若△ABC的面積等于6，則由線段AC，CC′，C′A′，A′A所圍成的

圖形的面積等于（）

A．8B．10C．3D．4

二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）

11．（4分）（2015?湖州）計算：23×（）2=．

12．（4分）（2015?湖州）放學后，小明騎車回家，他經(jīng)過的路程s（千米）與所用時間t（分

鐘）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則小明的騎車速度是千米/分鐘．

第2頁（共28頁）

13．（4分）（2015?湖州）在“爭創(chuàng)美麗校園，爭做文明學生”示范校評比活動中，10位評委

給某校的評分情況下表所示：

評分（分）80859095

評委人數(shù)1252

則這10位評委評分的平均數(shù)是分．

14．（4分）（2015?湖州）如圖，已知C，D是以AB為直徑的半圓周上的兩點，O是圓心，

半徑OA=2，∠COD=120°，則圖中陰影部分的面積等于．

22

15．（4分）（2015?湖州）如圖，已知拋物線C1：y=a1x+b1x+c1和C2：y=a2x+b2x+c2都經(jīng)

過原點，頂點分別為A，B，與x軸的另一交點分別為M，N，如果點A與點B，點M與點

N都關(guān)于原點O成中心對稱，則稱拋物線C1和C2為姐妹拋物線，請你寫出一對姐妹拋物

線C1和C2，使四邊形ANBM恰好是矩形，你所寫的一對拋物線解析式是

和．

16．（4分）（2015?湖州）已知正方形ABC1D1的邊長為1，延長C1D1到A1，以A1C1為邊

向右作正方形A1C1C2D2，延長C2D2到A2，以A2C2為邊向右作正方形A2C2C3D3（如圖所

示），以此類推…．若A1C1=2，且點A，D2，D3，…，D10都在同一直線上，則正方形A9C9C10D10

的邊長是．

第3頁（共28頁）

三、解答題（本題有8個小題，共66分）

17．（6分）（2015?湖州）計算：．

18．（6分）（2015?湖州）解不等式組．

19．（6分）（2015?湖州）已知y是x的一次函數(shù)，當x=3時，y=1；當x=﹣2時，y=﹣4，

求這個一次函數(shù)的解析式．

20．（8分）（2015?湖州）如圖，已知BC是⊙O的直徑，AC切⊙O于點C，AB交⊙O于

點D，E為AC的中點，連結(jié)DE．

（1）若AD=DB，OC=5，求切線AC的長；

（2）求證：ED是⊙O的切線．

21．（8分）（2015?湖州）為了深化課程改革，某校積極開展校本課程建設(shè)，計劃成立“文學

鑒賞”、“科學實驗”、“音樂舞蹈”和“手工編織”等多個社團，要求每位學生都自主選擇其中一

個社團．為此，隨機調(diào)查了本校各年級部分學生選擇社團的意向，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下

統(tǒng)計圖表（不完整）：

選擇意向所占百分

比

文學鑒賞a

科學實驗35%

音樂舞蹈b

手工編織10%

其他c

第4頁（共28頁）

根據(jù)統(tǒng)計圖表中的信息，解答下列問題：

（1）求本次調(diào)查的學生總?cè)藬?shù)及a，b，c的值；

（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整；

（3）若該校共有1200名學生，試估計全校選擇“科學實驗”社團的學生人數(shù)．

22．（10分）（2015?湖州）某工廠計劃在規(guī)定時間內(nèi)生產(chǎn)24000個零件．若每天比原計劃多

生產(chǎn)30個零件，則在規(guī)定時間內(nèi)可以多生產(chǎn)300個零件．

（1）求原計劃每天生產(chǎn)的零件個數(shù)和規(guī)定的天數(shù)；

（2）為了提前完成生產(chǎn)任務(wù)，工廠在安排原有工人按原計劃正常生產(chǎn)的同時，引進5組機

器人生產(chǎn)流水線共同參與零件生產(chǎn)，已知每組機器人生產(chǎn)流水線每天生產(chǎn)零件的個數(shù)比20

個工人原計劃每天生產(chǎn)的零件總數(shù)還多20%．按此測算，恰好提前兩天完成24000個零件

的生產(chǎn)任務(wù)，求原計劃安排的工人人數(shù)．

23．（10分）（2015?湖州）問題背景

已知在△ABC中，AB邊上的動點D由A向B運動（與A，B不重合），點E與點D同時

出發(fā)，由點C沿BC的延長線方向運動（E不與C重合），邊結(jié)DE交AC于點F，點H是

線段AF上一點．

（1）初步嘗試

如圖1，若△ABC是等邊三角形，DH⊥AC，且點D，E的運動速度相等．

求證：HF=AH+CF．

小五同學發(fā)現(xiàn)可以由以下兩種思路解決此問題：

思路一：過點D作DG∥BC，交AC于點G，先證DH=AH，再證GF=CF，從而證得結(jié)論

成立；

思路二：過點E作EM⊥AC，交AC的延長線于點M，先證CM=AH，再證HF=MF，從而

證得結(jié)論成立．

請你任選一種思路，完整地書寫本小題的證明過程（如用兩種方法作答，則以第一種方法評

分）；

（2）類比探究

如圖2，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，且D，E的運動速度之比是：1，

求的值；

（3）延伸拓展

第5頁（共28頁）

如圖3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，記=m，且點D，E運動速度相

等，試用含m的代數(shù)式表示（直接寫出結(jié)果，不必寫解答過程）．

24．（12分）（2015?湖州）已知在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，線段AB的兩個

端點A（0，2），B（1，0）分別在y軸和x軸的正半軸上，點C為線段AB的中點，現(xiàn)將

線段BA繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點D．

（1）如圖1，若該拋物線經(jīng)過原點O，且a=﹣．

①求點D的坐標及該拋物線的解析式；

②連結(jié)CD，問：在拋物線上是否存在點P，使得∠POB與∠BCD互余？若存在，請

求出所有滿足條件的點P的坐標，若不存在，請說明理由；

（2）如圖2，若該拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點E（1，1），點Q在拋物線上，且滿足

∠QOB與∠BCD互余．若符合條件的Q點的個數(shù)是4個，請直接寫出a的取值范圍．

第6頁（共28頁）

2015年浙江省湖州市中考數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）

1．（3分）（2015?湖州）﹣5的絕對值為（）

A．﹣5B．5C．D．

﹣

考點：絕對值．

分析：根據(jù)絕對值的概念：數(shù)軸上某個數(shù)與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值可直接得到答

案．

解答：解：﹣5的絕對值為5，

故選：B．

點評：此題主要考查了絕對值，關(guān)鍵是掌握絕對值規(guī)律總結(jié)：一個正數(shù)的絕對值是它本身；

一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0．

2．（3分）（2015?湖州）當x=1時，代數(shù)式4﹣3x的值是（）

A．1B．2C．3D．4

考點：代數(shù)式求值．

專題：計算題．

分析：把x的值代入原式計算即可得到結(jié)果．

解答：解：當x=1時，原式=4﹣3=1，

故選A．

點評：此題考查了代數(shù)式求值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．

3．（3分）（2015?湖州）4的算術(shù)平方根是（）

A．±2B．2C．﹣2D．

考點：算術(shù)平方根．

分析：根據(jù)開方運算，可得一個數(shù)的算術(shù)平方根．

解答：解：4的算術(shù)平方根是2，

故選：B．

點評：本題考查了算術(shù)平方根，注意一個正數(shù)只有一個算術(shù)平方根．

4．（3分）（2015?湖州）若一個圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為18cm，圓心角為240°的扇形，

則這個圓錐的底面半徑長是（）

A．6cmB．9cmC．12cmD．18cm

考點：圓錐的計算．

分析：利用弧長公式可得圓錐的側(cè)面展開圖的弧長，除以2π即為圓錐的底面半徑．

第7頁（共28頁）

解答：

解：圓錐的弧長為：=24π，

∴圓錐的底面半徑為24π÷2π=12，

故選C．

點評：考查了圓錐的計算，用到的知識點為：圓錐的側(cè)面展開圖的弧長等于圓錐的底面周長；

5．（3分）（2015?湖州）已知一組數(shù)據(jù)的方差是3，則這組數(shù)據(jù)的標準差是（）

A．9B．3C．D．

考點：標準差；方差．

分析：根據(jù)標準差是方差的算術(shù)平方根，即可得出答案．

解答：解：∵數(shù)據(jù)的方差是S2=3，

∴這組數(shù)據(jù)的標準差是；

故選D．

點評：本題考查了標準差，關(guān)鍵是掌握標準差和方差的關(guān)系，標準差即方差的算術(shù)平方根；

注意標準差和方差一樣都是非負數(shù)．

6．（3分）（2015?湖州）如圖，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，

交CD于點E，BC=5，DE=2，則△BCE的面積等于（）

A．10B．7C．5D．4

考點：角平分線的性質(zhì)．

分析：作EF⊥BC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得EF=DE=2，然后根據(jù)三角形面積公式求得

即可．

解答：解：作EF⊥BC于F，

∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，

∴EF=DE=2，

∴S△BCE=BC?EF=×5×2=5，

故選C．

點評：本題考查了角的平分線的性質(zhì)以及三角形的面積，作出輔助線求得三角形的高是解題

的關(guān)鍵．

7．（3分）（2015?湖州）一個布袋內(nèi)只裝有1個黑球和2個白球，這些球除顏色外其余都相

同，隨機摸出一個球后放回并攪勻，再隨機摸出一個球，則兩次摸出的球都是黑球的概率是

（）

A．B．C．D．

第8頁（共28頁）

考點：列表法與樹狀圖法．

分析：列表將所有等可能的結(jié)果列舉出來，利用概率公式求解即可．

解答：解：列表得：

黑白白

黑（黑，黑）（黑，白）（黑，白）

白（黑，白）（白，白）（白，白）

白（黑，白）（白，白）（白，白）

∵共9種等可能的結(jié)果，兩次都是黑色的情況有1種，

∴兩次摸出的球都是黑球的概率為，

故選D．

點評：本題考查了列表法與樹狀圖法的知識，解決本題時采用了兩個獨立事件同時發(fā)生的概

率等于兩個獨立事件單獨發(fā)生的概率的積，難度不大．

8．（3分）（2015湖州）如圖，以點O為圓心的兩個圓中，大圓的弦AB切小圓于點C，OA

交小圓于點D，若OD=2，tan∠OAB=，則AB的長是（）

A．4B．2C．8D．4

考點：切線的性質(zhì)．

分析：

連接OC，利用切線的性質(zhì)知OC⊥AB，由垂徑定理得AB=2AC，因為tan∠OAB=，

易得=，代入得結(jié)果．

解答：解：連接OC，

∵大圓的弦AB切小圓于點C，

∴OC⊥AB，

∴AB=2AC，

∵OD=2，

∴OC=2，

∵tan∠OAB=，

∴AC=4，

∴AB=8，

故選C．

第9頁（共28頁）

點評：本題主要考查了切線的性質(zhì)和垂徑定理，連接過切點的半徑是解答此題的關(guān)鍵．

9．（3分）（2015湖州）如圖，AC是矩形ABCD的對角線，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，現(xiàn)將

矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點D與點O重合，折痕為FG．點F，G分別在邊

AD，BC上，連結(jié)OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半徑長為1，則下列結(jié)論不成立的是（）

A．CD+DF=4B．CD﹣DF=2﹣3C．BC+AB=2+4D．BC﹣AB=2

考點：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；翻折變換（折疊問題）．

分析：設(shè)⊙O與BC的切點為M，連接MO并延長MO交AD于點N，證明△OMG≌△GCD，

得到OM=GC=1，CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2．設(shè)AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的

半徑為r，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓可得r=（a+b﹣c），所以c=a+b﹣2．在Rt△ABC

中，利用勾股定理求得（舍去），從而求出a，b的值，所以

BC+AB=2+4．再設(shè)DF=x，在Rt△ONF中，F(xiàn)N=，OF=x，

ON=，由勾股定理可得，解得

x=4，從而得到CD﹣DF=，

CD+DF=．即可解答．

解答：解：如圖，

設(shè)⊙O與BC的切點為M，連接MO并延長MO交AD于點N，

∵將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點D與點O重合，折痕為FG，

∴OG=DG，

∵OG⊥DG，

∴∠MGO+∠DGC=90°，

∵∠MOG+∠MGO=90°，

第10頁（共28頁）

∴∠MOG=∠DGC，

在△OMG和△GCD中，

∴△OMG≌△GCD，

∴OM=GC=1，CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2．

∵AB=CD，

∴BC﹣AB=2．

設(shè)AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半徑為r，

⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓可得r=（a+b﹣c），

∴c=a+b﹣2．

在Rt△ABC中，由勾股定理可得a2+b2=（a+b﹣2）2，

整理得2ab﹣4a﹣4b+4=0，

又∵BC﹣AB=2即b=2+a，代入可得2a（2+a）﹣4a﹣4（2+a）+4=0，

解得（舍去），

∴，

∴BC+AB=2+4．

再設(shè)DF=x，在Rt△ONF中，F(xiàn)N=，OF=x，ON=，

由勾股定理可得，

解得x=4，

∴CD﹣DF=，CD+DF=．

綜上只有選項A錯誤，

故選A．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，切線的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)等知識點的

綜合應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)．

10．（3分）（2015?湖州）如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，O是坐標原點，點A是函

數(shù)y=（x＜0）圖象上一點，AO的延長線交函數(shù)y=（x＞0，k是不等于0的常數(shù)）的

圖象于點C，點A關(guān)于y軸的對稱點為A′，點C關(guān)于x軸的對稱點為C′，交于x軸于點B，

連結(jié)AB，AA′，A′C′．若△ABC的面積等于6，則由線段AC，CC′，C′A′，A′A所圍成的

圖形的面積等于（）

第11頁（共28頁）

A．8B．10C．3D．4

考點：反比例函數(shù)綜合題．

分析：

過A作AD⊥x軸于D，連接OA′，設(shè)A（a，），C（b，），由△OAD∽△BCO，

得到==，根據(jù)反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義得到S△ADO=，

2

S△BOC=，求出k=，得到k=﹣，根據(jù)S△ABC=S△AOB+S△BOC=（﹣）

?b+=6，列出關(guān)于k的方程k2+k﹣12=0，求得k=3，由于點A關(guān)于y軸的對稱點為

A′，點C關(guān)于x軸的對稱點為C′，得到OA′，OC′在同一條直線上，于是得到由線段

AC，CC′，C′A′，A′A所圍成的圖形的面積=S△OBC+S△OBC′+S△OAA′=10．

解答：解：過A作AD⊥x軸于D，連接OA′，

∵點A是函數(shù)y=（x＜0）圖象上一點，

∴設(shè)A（a，），

∵點C在函數(shù)y=（x＞0，k是不等于0的常數(shù)）的圖象上，

∴設(shè)C（b，），

∵AD⊥BD，BC⊥BD，

∴△OAD∽△BCO，

∴==，

∵S△ADO=，S△BOC=，

∴k2=，

∴k=﹣，

第12頁（共28頁）

∵S△ABC=S△AOB+S△BOC=（﹣）?b+=6，

∴k2﹣=12，

∴k2+k﹣12=0，

解得：k=3，k=﹣4（不合題意舍去），

∵點A關(guān)于y軸的對稱點為A′，點C關(guān)于x軸的對稱點為C′，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠1+∠4=∠2+∠3=90°，

∴OA′，OC′在同一條直線上，

∴S△OBC′=S△OBC==，

∵S△OAA′=2S△OAD=1，

∴由線段AC，CC′，C′A′，A′A所圍成的圖形的面積=S△OBC+S△OBC′+S△OAA′=10．

故選B．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)，系數(shù)k的幾何意義，相似三角形的判定和性質(zhì)，

軸對稱的性質(zhì)，正確的理解軸對稱圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）

11．（4分）（2015?湖州）計算：23×（）2=2．

考點：有理數(shù)的乘方；有理數(shù)的乘法．

分析：根據(jù)有理數(shù)的乘方，即可解答．

解答：

解：23×（）2=8×=2，

故答案為：2．

點評：本題考查了有理數(shù)的乘方，解決本題的關(guān)鍵是熟記有理數(shù)乘方的定義．

12．（4分）（2015?湖州）放學后，小明騎車回家，他經(jīng)過的路程s（千米）與所用時間t（分

鐘）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則小明的騎車速度是0.2千米/分鐘．

第13頁（共28頁）

考點：函數(shù)的圖象．

分析：根據(jù)函數(shù)圖象的縱坐標，可得路程，根據(jù)函數(shù)圖象的橫坐標，可得時間，根據(jù)路程與

時間的關(guān)系，可得答案．

解答：解：由縱坐標看出路程是2千米，

由橫坐標看出時間是10分鐘，

小明的騎車速度是2÷10=0.2（千米/分鐘），

故答案為：0.2．

點評：本題考查了函數(shù)圖象，觀察函數(shù)圖象的縱坐標得出路程，觀察函數(shù)圖象的橫坐標得出

時間，利用了路程與時間的關(guān)系．

13．（4分）（2015?湖州）在“爭創(chuàng)美麗校園，爭做文明學生”示范校評比活動中，10位評委

給某校的評分情況下表所示：

評分（分）80859095

評委人數(shù)1252

則這10位評委評分的平均數(shù)是89分．

考點：加權(quán)平均數(shù)．

分析：平均數(shù)的計算方法是求出所有數(shù)據(jù)的和，然后除以數(shù)據(jù)的總個數(shù)．

解答：解：這10位評委評分的平均數(shù)是：

（80+85×2+90×5+95×2）÷10=89（分）．

故答案為89．

點評：本題考查的是加權(quán)平均數(shù)的求法．本題易出現(xiàn)的錯誤是求80，85，90，95這四個數(shù)

的平均數(shù)，對平均數(shù)的理解不正確．

14．（4分）（2015?湖州）如圖，已知C，D是以AB為直徑的半圓周上的兩點，O是圓心，

半徑OA=2，∠COD=120°，則圖中陰影部分的面積等于π．

考點：扇形面積的計算．

分析：圖中陰影部分的面積=半圓的面積﹣圓心角是120°的扇形的面積，根據(jù)扇形面積的計

算公式計算即可求解．

第14頁（共28頁）

解答：

解：圖中陰影部分的面積=π×22﹣

=2π﹣π

=π．

答：圖中陰影部分的面積等于π．

故答案為：π．

點評：考查了扇形面積的計算，求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形

的面積．

22

15．（4分）（2015?湖州）如圖，已知拋物線C1：y=a1x+b1x+c1和C2：y=a2x+b2x+c2都經(jīng)

過原點，頂點分別為A，B，與x軸的另一交點分別為M，N，如果點A與點B，點M與點

N都關(guān)于原點O成中心對稱，則稱拋物線C1和C2為姐妹拋物線，請你寫出一對姐妹拋物

2

線C1和C2，使四邊形ANBM恰好是矩形，你所寫的一對拋物線解析式是y=﹣x+2x

和y=x2+2x．

考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換．

專題：新定義．

分析：連接AB，根據(jù)姐妹拋物線的二次項的系數(shù)互為相反數(shù)，一次項系數(shù)相等且不等于零，

2

常數(shù)項都是零，設(shè)拋物線C1的解析式為y=ax+bx，

根據(jù)四邊形ANBM恰好是矩形可得△AOM是等邊三角形，設(shè)OM=2，則點A的坐標

是（1，），求出拋物線C1的解析式，從而求出拋物線C2的解析式．

解答：解：連接AB，

根據(jù)姐妹拋物線的定義，可得姐妹拋物線的二次項的系數(shù)互為相反數(shù)，一次項系數(shù)相

等且不等于零，常數(shù)項都是零，

2

設(shè)拋物線C1的解析式為y=ax+bx，

根據(jù)四邊形ANBM恰好是矩形可得：OA=OM，

∵OA=MA，

∴△AOM是等邊三角形，

設(shè)OM=2，則點A的坐標是（1，），

則，

第15頁（共28頁）

解得：

2

則拋物線C1的解析式為y=﹣x+2x，

2

拋物線C2的解析式為y=x+2x，

故答案為：y=﹣x2+2x，y=x2+2x．

點評：此題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，用到的知識點是姐妹拋物線的定義、二次函

數(shù)的圖象與性質(zhì)、矩形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)姐妹拋物線的定義得出姐妹拋物線的二次

項的系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項之間的關(guān)系．

16．（4分）（2015?湖州）已知正方形ABC1D1的邊長為1，延長C1D1到A1，以A1C1為邊

向右作正方形A1C1C2D2，延長C2D2到A2，以A2C2為邊向右作正方形A2C2C3D3（如圖所

示），以此類推…．若A1C1=2，且點A，D2，D3，…，D10都在同一直線上，則正方形A9C9C10D10

的邊長是．

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．

專題：規(guī)律型．

分析：

延長D4A和C1B交于O，根據(jù)正方形的性質(zhì)和三角形相似的性質(zhì)即可求得各個正方

形的邊長，從而得出規(guī)律，即可求得正方形A9C9C10D10的邊長．

解答：

解：延長D4A和C1B交于O，

∵AB∥A2C1，

∴△AOB∽△D2OC2，

∴=，

第16頁（共28頁）

∵AB=BC1=1，DC2=C1C2=2，

∴==

∴OC2=2OB，

∴OB=BC2=3，

∴OC2=6，

設(shè)正方形A2C2C3D3的邊長為x1，

同理證得：△D2OC2∽△D3OC3，

∴=，解得，x1=3，

∴正方形A2C2C3D3的邊長為3，

設(shè)正方形A3C3C4D4的邊長為x2，

同理證得：△D3OC3∽△D4OC4，

∴=，解得x2=，

∴正方形A3C3C4D4的邊長為；

設(shè)正方形A4C4C5D5的邊長為x3，

同理證得：△D4OC4∽△D5OC5，

∴=，解得x=，

∴正方形A4C4C5D5的邊長為；

以此類推…．

正方形ACCD的邊長為；

n﹣1n﹣1nn

∴正方形A9C9C10D10的邊長為．

故答案為．

第17頁（共28頁）

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，求得前五個正方形的邊長得出

規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

三、解答題（本題有8個小題，共66分）

17．（6分）（2015?湖州）計算：．

考點：分式的加減法．

專題：計算題．

分析：原式利用同分母分式的減法法則計算，約分即可得到結(jié)果．

解答：

解：原式===a+b．

點評：此題考查了分式的加減法，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．

18．（6分）（2015?湖州）解不等式組．

考點：解一元一次不等式組．

分析：先求出每個不等式的解集，再根據(jù)找不等式組解集的規(guī)律找出不等式組的解集即可．

解答：

解：

∵解不等式①得：x＜6，

解不等式②得：x＞1，

∴不等式組的解集為1＜x＜6．

點評：本題考查了解一元一次不等式組的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)不等式的解集求出不

等式組的解集，難度適中．

19．（6分）（2015?湖州）已知y是x的一次函數(shù)，當x=3時，y=1；當x=﹣2時，y=﹣4，

求這個一次函數(shù)的解析式．

考點：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．

分析：一次函數(shù)解析式為y=kx+b，將x與y的兩對值代入求出k與b的值，即可確定出一

次函數(shù)解析式．

解答：解：設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b，

將x=3，y=1；x=﹣2，y=﹣4代入得：，

解得：k=1，b=﹣2．

則一次函數(shù)解析式為y=x﹣2．

點評：此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．

第18頁（共28頁）

20．（8分）（2015湖州）如圖，已知BC是⊙O的直徑，AC切⊙O于點C，AB交⊙O于

點D，E為AC的中點，連結(jié)DE．

（1）若AD=DB，OC=5，求切線AC的長；

（2）求證：ED是⊙O的切線．

考點：切線的判定與性質(zhì)．

分析：（1）連接CD，由直徑所對的圓周角為直角可得：∠BDC=90°，即可得：CD⊥AB，

然后根據(jù)AD=DB，進而可得CD是AB的垂直平分線，進而可得AC=BC=2OC=10；

（2）連接OD，先由直角三角形中線的性質(zhì)可得DE=EC，然后根據(jù)等邊對等角可得

∠1=∠2，由OD=OC，根據(jù)等邊對等角可得∠3=∠4，然后根據(jù)切線的性質(zhì)可得

∠2+∠4=90°，進而可得：∠1+∠3=90°，進而可得：DE⊥OD，從而可得：ED是⊙O

的切線．

解答：（1）解：連接CD，

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BDC=90°，

即CD⊥AB，

∵AD=DB，OC=5，

∴CD是AB的垂直平分線，

∴AC=BC=2OC=10；

（2）證明：連接OD，如圖所示，

∵∠ADC=90°，E為AC的中點，

∴DE=EC=AC，

第19頁（共28頁）

∴∠1=∠2，

∵OD=OC，

∴∠3=∠4，

∵AC切⊙O于點C，

∴AC⊥OC，

∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，

即DE⊥OD，

∴ED是⊙O的切線．

點評：此題考查了切線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：熟記切線的判定定理與性質(zhì)定理，經(jīng)

過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線垂直于過切點的直

徑．

21．（8分）（2015?湖州）為了深化課程改革，某校積極開展校本課程建設(shè)，計劃成立“文學

鑒賞”、“科學實驗”、“音樂舞蹈”和“手工編織”等多個社團，要求每位學生都自主選擇其中一

個社團．為此，隨機調(diào)查了本校各年級部分學生選擇社團的意向，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下

統(tǒng)計圖表（不完整）：

選擇意向所占百分

比

文學鑒賞a

科學實驗35%

音樂舞蹈b

手工編織10%

其他c

根據(jù)統(tǒng)計圖表中的信息，解答下列問題：

（1）求本次調(diào)查的學生總?cè)藬?shù)及a，b，c的值；

（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整；

（3）若該校共有1200名學生，試估計全校選擇“科學實驗”社團的學生人數(shù)．

考點：條形統(tǒng)計圖；用樣本估計總體；統(tǒng)計表．

分析：（1）先計算出本次調(diào)查的學生總?cè)藬?shù)，再分別計算出百分比，即可解答；

（2）根據(jù)百分比，計算出文學鑒賞和手工編織的人數(shù)，即可補全條形統(tǒng)計圖；

（3）用總?cè)藬?shù)乘以“科學實驗”社團的百分比，即可解答．

解答：解：（1）本次調(diào)查的學生總?cè)藬?shù)是：70÷35%=200（人），

b=40÷200=20%，

c=10÷200=5%，

第20頁（共28頁）

a=1﹣（35%+20%+10%+5%）=30%．

（2）文學鑒賞的人數(shù)：30%×200=60（人），

手工編織的人數(shù)：10%×200=20（人），

如圖所示，

（3）全校選擇“科學實驗”社團的學生人數(shù)：1200×35%=420（人）．

點評：本題考查條形統(tǒng)計圖，解決本題的關(guān)鍵是讀懂圖形，獲取相關(guān)信息．

22．（10分）（2015?湖州）某工廠計劃在規(guī)定時間內(nèi)生產(chǎn)24000個零件．若每天比原計劃多

生產(chǎn)30個零件，則在規(guī)定時間內(nèi)可以多生產(chǎn)300個零件．

（1）求原計劃每天生產(chǎn)的零件個數(shù)和規(guī)定的天數(shù)；

（2）為了提前完成生產(chǎn)任務(wù)，工廠在安排原有工人按原計劃正常生產(chǎn)的同時，引進5組機

器人生產(chǎn)流水線共同參與零件生產(chǎn)，已知每組機器人生產(chǎn)流水線每天生產(chǎn)零件的個數(shù)比20

個工人原計劃每天生產(chǎn)的零件總數(shù)還多20%．按此測算，恰好提前兩天完成24000個零件

的生產(chǎn)任務(wù)，求原計劃安排的工人人數(shù)．

考點：分式方程的應(yīng)用；一元一次方程的應(yīng)用．

分析：（1）可設(shè)原計劃每天生產(chǎn)的零件x個，根據(jù)時間是一定的，列出方程求得原計劃每

天生產(chǎn)的零件個數(shù)，再根據(jù)工作時間=工作總量÷工作效率，即可求得規(guī)定的天數(shù)；

（2）可設(shè)原計劃安排的工人人數(shù)為y人，根據(jù)等量關(guān)系：恰好提前兩天完成24000

個零件的生產(chǎn)任務(wù)，列出方程求解即可．

解答：解：（1）設(shè)原計劃每天生產(chǎn)的零件x個，依題意有

=，

解得x=2400，

經(jīng)檢驗，x=2400是原方程的根，且符合題意．

∴規(guī)定的天數(shù)為24000÷2400=10（天）．

答：原計劃每天生產(chǎn)的零件2400個，規(guī)定的天數(shù)是10天；

（2）設(shè)原計劃安排的工人人數(shù)為y人，依題意有

[5×20×（1+20%）×+2400]×（10﹣2）=24000，

解得y=480，

經(jīng)檢驗，y=480是原方程的根，且符合題意．

答：原計劃安排的工人人數(shù)為480人．

點評：考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，分析題意，找到關(guān)鍵描述語，找到合

適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．此題等量關(guān)系比較多，主要用到公式：工作總量=

第21頁（共28頁）

工作效率×工作時間．

23．（10分）（2015湖州）問題背景

已知在△ABC中，AB邊上的動點D由A向B運動（與A，B不重合），點E與點D同時

出發(fā)，由點C沿BC的延長線方向運動（E不與C重合），邊結(jié)DE交AC于點F，點H是

線段AF上一點．

（1）初步嘗試

如圖1，若△ABC是等邊三角形，DH⊥AC，且點D，E的運動速度相等．

求證：HF=AH+CF．

小五同學發(fā)現(xiàn)可以由以下兩種思路解決此問題：

思路一：過點D作DG∥BC，交AC于點G，先證DH=AH，再證GF=CF，從而證得結(jié)論

成立；

思路二：過點E作EM⊥AC，交AC的延長線于點M，先證CM=AH，再證HF=MF，從而

證得結(jié)論成立．

請你任選一種思路，完整地書寫本小題的證明過程（如用兩種方法作答，則以第一種方法評

分）；

（2）類比探究

如圖2，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，且D，E的運動速度之比是：1，

求的值；

（3）延伸拓展

如圖3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，記=m，且點D，E運動速度相

等，試用含m的代數(shù)式表示（直接寫出結(jié)果，不必寫解答過程）．

考點：相似形綜合題．

分析：（1）過點D作DG∥BC，交AC于點G，先證明△ADG是等邊三角形，得出

GD=AD=CE，再證明GH=AH，由ASA證明△GDF≌△CEF，得出GF=CF，即可得

出結(jié)論；

（2）過點D作DG∥BC，交AC于點G，先證出AH=GH=GD，AD=GD，由題意

AD=CE，得出GD=CE，再證明△GDF≌△CEF，得出GF=CF，即可得出結(jié)論；

（3）過點D作DG∥BC，交AC于點G，先證出DG=DH=AH，再證明△ADG∽△ABC，

△ADG∽△DGH，△DGH∽△ABC，得出=m，=m，

第22頁（共28頁）

△DGH∽△ABC，得出=m，=m，證明△DFG∽△EFC，得出=m，

=m，=，即可得出結(jié)果．

解答：（1）證明（選擇思路一）：過點D作DG∥BC，交AC于點G，如圖1所示：

則∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠B=∠ACB=60°，

∴∠ADG=∠AGD=∠A，

∴△ADG是等邊三角形，

∴GD=AD=CE，

∵DH⊥AC，

∴GH=AH，

∵DG∥BC，

∴∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF，

在△GDF和△CEF中，

，

∴△GDF≌△CEF（ASA），

∴GF=CF，

∴GH+GF=AH+CF，

即HF=AH+CF；

（2）解：過點D作DG∥BC，交AC于點G，如圖2所示：

則∠ADG=∠B=90°，

∵∠BAC=∠ADH=30°，

∴∠HGD=∠HDG=60°，

∴AH=GH=GD，AD=GD，

根據(jù)題意得：AD=CE，

∴GD=CE，

∵DG∥BC，

∴∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF，

在△GDF和△CEF中，

，

∴△GDF≌△CEF（ASA），

∴GF=CF，

∴GH+GF=AH+CF，

即HF=AH+CF，

∴=2；

（3）解：，理由如下：

第23頁（共28頁）

過點D作DG∥BC，交AC于點G，如圖3所示：

則∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，

∵AB=AC，∠BAC=36°，

∴∠ACB=∠B=∠ADG=∠AGD=72°，

∵∠ADH=∠BAC=36°，

∴AH=DH，∠DHG=72°=∠AGD，

∴DG=DH=AH，△ADG∽△ABC，△ADG∽△DGH，

∴=m，=m，

∴△DGH∽△ABC，

∴=m，

∴=m，

∵DG∥BC，

∴△DFG∽△EFC，

∴=m，

∴=m，

即=m，

∴=，

∴===．

第24頁（共28頁）

點評：本題是相似形綜合題目，考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、

全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題難度較大，綜合性

強，特別是（2）（3）中，需要通過作輔助線證明三角形全等或三角形相似才能得出

結(jié)果．

24．（12分）（2015?湖州）已知在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，線段AB的兩個

端點A（0，2），B（1，0）分別在y軸和x軸的正半軸上，點C為線段AB的中點，現(xiàn)將

線段BA繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點D．

（1）如圖1，若該拋物線經(jīng)過原點O，且a=﹣．

①求點D的坐標及該拋物線的解析式；

②連結(jié)CD，問：在拋物線上是否存在點P，使得∠POB與∠BCD互余？若存在，請

求出所有滿足條件的點P的坐標，若不存在，請說明理由；

（2）如圖2，若該拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點E（1，1），點