高中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教學(xué)案13：統(tǒng)計

高中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)題組法教學(xué)案編寫體例第十三單元統(tǒng)計本章知識結(jié)構(gòu)收集數(shù)據(jù)（隨機抽樣）簡收集數(shù)據(jù)（隨機抽樣）簡單隨機抽樣系統(tǒng)抽樣分層抽樣整理、分析數(shù)據(jù)，估計推斷抽簽法隨機數(shù)法用樣本估計總體變量間的相互關(guān)系用樣本的頻率分布來估計總體的分布用樣本數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征線性回歸方程本章的重點難點聚焦重點：1、能夠正確理解簡單隨機抽樣的基本方法——抽簽法、隨機數(shù)法，系統(tǒng)抽樣和分層抽樣，結(jié)合實際問題能夠準確選擇恰當?shù)某闃臃椒◤目傮w中抽取樣本。2、能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標準差)并能作出合理的解釋。3、能夠通過收集現(xiàn)實問題中兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)做出散點圖，并能夠利用散點圖直觀認識變量間的相關(guān)關(guān)系。4、能夠根據(jù)給出的線性回歸方程的系數(shù)公式建立線性回歸方程。難點：1、領(lǐng)會用樣本估計總體的思想，回歸的思想。2、最小二乘法的應(yīng)用。3、對回歸直線與觀測數(shù)據(jù)的關(guān)系的正確理解。本章學(xué)習(xí)中應(yīng)當著重注意的問題1、在參與解決統(tǒng)計問題的過程中，注意理解抽樣問題的必要性和重要性，加深對不同抽樣方法的理解。2、在解決問題的過程中，注意體會用樣本估計總體的思想，用樣本的頻率分布估計總體分布，用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，領(lǐng)會樣本頻率分布和數(shù)字特征的隨機性。3、注意最小二乘法的數(shù)學(xué)思想和回歸方程的建立，正確理解變量之間的相關(guān)關(guān)系，特別是線性相關(guān)關(guān)系。本章高考分析及預(yù)測本章是高考必考內(nèi)容，是考察考生數(shù)據(jù)處理能力的主要依據(jù)，高考中主要依據(jù)統(tǒng)計或統(tǒng)計案例中的方法對數(shù)據(jù)進行處理、分析、并解決給定的實際問題；利用頻率分布直方圖考察學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，利用平均數(shù)、標準差等數(shù)字特征評價樣本數(shù)據(jù)；對兩個變量的相關(guān)關(guān)系主要體現(xiàn)在散點圖、變量間的相關(guān)關(guān)系的判斷以及線性回歸方程的思想方法上。命題形式一般為選擇題或填空題，在高考中也可出現(xiàn)結(jié)合概率、給定實際應(yīng)用問題考察學(xué)生構(gòu)造抽樣模型、識別模型、收集數(shù)據(jù)等研究性學(xué)習(xí)的應(yīng)用題。在高考中，本章分值一般在10——15分?！祀S機抽樣課標要求⒈理解隨機抽樣的必要性和重要性．⒉學(xué)會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法．重點難點聚焦重點：1.能從現(xiàn)實生活或其他學(xué)科中提出具有一定價值的統(tǒng)計問題．2.理解隨機抽樣的必要性和重要性.3.學(xué)會簡單隨機抽樣方法,了解分層和系統(tǒng)抽樣方法.4.對隨機性樣本的隨機性的正確理解.難點：1.對樣本隨機性的理解.2.三種抽樣方法的步驟.高考分析及預(yù)策本節(jié)是高考必考內(nèi)容,主要用于考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力.考試大綱中在關(guān)于能力的要求中指出:數(shù)據(jù)處理能力主要依據(jù)統(tǒng)計或統(tǒng)計案例中的方法對數(shù)據(jù)進行整理、分析，并解決給定的實際問題。高考中常結(jié)合應(yīng)用問題考查學(xué)生構(gòu)造抽樣模型、識別模型、收集數(shù)據(jù)等研究性學(xué)習(xí)的能力，命題形式大都為選擇題或填空題。題組設(shè)計再現(xiàn)型題組1.(2022全國卷Ⅱ)一個總體中含有100個個體，以簡單隨機抽樣方式從該總體中抽取一個容量為5的樣本，則指定的某個個體被抽到的概率是_______。2.某車間工人加工一種軸100件，為了了解這種軸的直徑，要從中抽取10件軸在同一條件下測量，如何采用簡單隨機抽樣的方法抽取樣本？3.某校高中三年級的295名學(xué)生已經(jīng)編號為1,2,…,295，為了了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，要按1:5的比例抽取一個樣本，用系統(tǒng)抽樣的方法進行抽取，并寫出過程。4.某公司生產(chǎn)三種型號的轎車，產(chǎn)量分別為1200輛，6000輛和2000輛，為檢驗該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取46輛進行檢驗，這三種型號的轎車依次應(yīng)該抽取_______輛，_______輛，_______輛。鞏固型題組5．一個單位有職工160人，其中有業(yè)務(wù)人員112人，管理人員16人，后勤服務(wù)人員32人，為了了解職工的某種情況，要從中抽取一個容量為20的樣本，用分層抽樣的方法抽取樣本，并寫出過程。6.(2022年湖北)某高級中學(xué)有學(xué)生270人，其中一年級108人，二、三年級各81人，現(xiàn)要利用抽樣方法抽取10人參加某項調(diào)查，考慮選用簡單隨機抽樣和分層抽樣時，將學(xué)生按一、二、三年級依次統(tǒng)一編號為1,2,…,270；使用系統(tǒng)抽樣時，將學(xué)生統(tǒng)一隨機編號為1,2,…,270，并將整個編號依次分為10段。如果抽得號碼有下列四種情況：①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270關(guān)于上述樣本的下列結(jié)論中，正確的是A.②③都不能為系統(tǒng)抽樣B.②④都不能為分層抽樣C.①④都可能為系統(tǒng)抽樣D.①③都可能為分層抽樣提高型題組7．經(jīng)問卷調(diào)查，某班學(xué)生對攝影分別執(zhí)“喜歡”、“不喜歡”和“一般”三種態(tài)度，其中執(zhí)“一般”態(tài)度的比“不喜歡”態(tài)度的多12人，按分層抽樣方法從全班選出部分學(xué)生座談攝影，如果選出了5位“喜歡”攝影的同學(xué)、1位“不喜歡”攝影的同學(xué)和3位執(zhí)“一般”態(tài)度的同學(xué)，那么全班學(xué)生中“喜歡”攝影的比全班人數(shù)的一半還多_____人。8.(2022年高考湖北卷)某單位最近組織了一次健身活動，活動分為登山組和游泳組，且每個職工至多參加了其中一組。在參加活動的職工中，青年人占%，中年人占%，老年人占10%。登山組的職工占參加活動總?cè)藬?shù)的，且該組中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%。為了了解各組不同的年齡層次的職工對本次活動的滿意程度，現(xiàn)用分層抽樣的方法從參加活動的全體職工中抽取一個容量為200的樣本。(1)在游泳組中，試確定青年人、中年人、老年人分別所占的比例；(2)在游泳組中，試確定青年人、中年人、老年人分別應(yīng)抽取的人數(shù)。反饋型題組9.(2022浙江)某校有學(xué)生2000人，其中高三學(xué)生500人，為了解學(xué)生的身體素質(zhì)情況，采用按年級分層抽樣的方法，從該學(xué)校學(xué)生中抽取一個200人的樣本，則樣本中高三學(xué)生的人數(shù)為__________。10.要從已經(jīng)編號(1～60)的60枚最新研制的某種導(dǎo)彈中隨機抽取6枚來進行發(fā)射試驗，用每部分選取的號碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法確定所選取的6枚導(dǎo)彈的編號可能是（）,10,15,20,25,30,13,23,33,43,53,2,3,4,5,6,4,8,16,32,4811.從2022名學(xué)生中選取50人參加全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽，若采用下面的方法選?。合扔煤唵坞S機抽樣從2022人中剔除8人，剩下的2000人再按系統(tǒng)抽樣的方法抽取，則每人入選的概率（）A.不全相等B.均不相等C.都相等，且為D.都相等，且為12．(2022天津文)一個單位共有職工200人，其中不超過45歲的有120人，超過45歲的有80人，為了調(diào)查職工的健康狀況，用分層抽樣的方法從全體職工中抽取一個容量為25的樣本，應(yīng)抽取超過45歲的職工_______人。13.用系統(tǒng)抽樣法從160名學(xué)生中抽以容量為20的樣本，將160名學(xué)生隨機地從1～60編號，按編號順序平均分成20組（1～8號，9～16號，…，153～160號），若第16組抽出的號碼為126，則第1組中用抽簽的方法確定的號碼是_______。作者：郭亮§總體估計新課標要求1、通過實例體會分布的意義和作用，學(xué)會列頻率分布表、畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖；2、能根據(jù)實際問題的需求合理選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征；3、在解決統(tǒng)計問題的過程中，進一步體會用樣本估計總體的思想。重點難點聚焦本節(jié)的重點是頻率分布表、頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、標準差，用樣本估計總體的思想方法；難點是頻率分布表、頻率分布直方圖的畫法、基本數(shù)字特征的求法。高考分析及預(yù)測本節(jié)內(nèi)容是收集、整理、分析數(shù)據(jù)等研究性學(xué)習(xí)的理論依據(jù)，是高考的必考內(nèi)容，并且是考查考生數(shù)據(jù)處理能力的主要依據(jù)。在高考中常結(jié)合應(yīng)用問題考查頻率分布情況，利用平均數(shù)、標準差等數(shù)字特征評價樣本，估計總體等問題。命題形式一般為選擇題或填空題，將來有可能結(jié)合研究性學(xué)習(xí)考察學(xué)生的實踐能力。題組設(shè)計再現(xiàn)型題組⒈一個容量為35的樣本數(shù)據(jù)，分組后，組距與頻數(shù)如下：（5，10]:5個，（10，15]：12個，（15，20]：7個，（20，25]：5個，（25，30]：4個，（30，35]：2個，則樣本在區(qū)間（20，+∞）上的頻率約為（）A、20%B、69%C、31%D、27%2、在用樣本頻率估計總體分布的過程中，下列說法中正確的是（）A、總體容量越大，估計越精確B、總體容量越小，估計越精確C、樣本容量越大，估計越精確D、樣本容量越小，估計越精確3、某工廠有10名工人，他們某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12。設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有（）A、a>b>cB、b>c>aC、c>a>bD、c>b>a4、在統(tǒng)計中，樣本數(shù)據(jù)的方差可以近似的反應(yīng)數(shù)據(jù)總體的（）A、平均狀態(tài)B、分布規(guī)律C、最大值和最小值D、波動大小5、作頻率分布直方圖：用橫軸表示，用縱軸表示，在橫軸上以為底，以為高作矩形。6、某人射擊10次，得環(huán)數(shù)如下：18，20，19，22，20，21，19，19，20，21，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差是。鞏固型題組7、在一小時內(nèi)統(tǒng)計一傳呼臺接收到用戶的呼喚次數(shù)，按每分鐘統(tǒng)計如下：012122341125312224431132346202313141202342502103213120列出一分鐘內(nèi)傳呼臺接收呼喚次數(shù)的頻率分布表。8、要從甲、乙兩名工人中選出一名參加機床技術(shù)表演，先對甲、乙兩人進行測試，使用同一臺機床，甲、乙兩人在10天內(nèi)每天出的次品數(shù)分別是：甲：2，1，0，2，3，1，0，4，2，0；乙：1，2，0，3，1，1，2，1，0，1。分別計算這兩個樣本的平均數(shù)與方差，從計算結(jié)果看，應(yīng)選哪一名工人參加技術(shù)表演？提高型題組9、（2022年廣東文，11）為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機抽查了20位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量。產(chǎn)品數(shù)量的分組區(qū)間為的頻率為（+）×10=+=,因此人數(shù)為×20=13.【點評】頻率分布直方圖中矩形以組距作底，頻率/組距作高，要仔細觀察所給直方圖找出所求區(qū)間上的頻率/組距和區(qū)間長度。10、【解法】B.這100人成績的平均數(shù)為，方差為，因此標準差為?！军c評】方差：，標準差：s.11、【解法】B。由莖葉圖可知1997年人口數(shù)為291，1998年291，1999年295，2000年298，2022年302，2022年306，2022年310，2022年312，2022年314，2022年317，故平均數(shù)為（291+291+295+298+302+306+310+312+314+317）/10=。課堂小結(jié)知識小結(jié)：1、用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布：頻率分布表、頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖；2、用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標準差。思想方法小結(jié)：1、用樣本估計總體的思想；2、會用樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題。反饋型題組12、答案：D。13、答案：A。14、答案：A。15、答案：1。提示：M=（）/40,N=（+M）/41=[+（）/40]/41=/41=（）/40=M，因此M=N.16、答案：C。提示：身高在160180cm之間的人數(shù)應(yīng)為，因此當算法流程中的判斷框內(nèi)填i<8時，S=?！熳兞康南嚓P(guān)性（解答部分）再現(xiàn)型題組⒈【提示或答案】D【基礎(chǔ)知識聚焦】A、B、C都是函數(shù)關(guān)系，它們的關(guān)系是分別是故選D⒉【提示或答案】C【基礎(chǔ)知識聚焦】本題要注意區(qū)分函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系則是一種不確定的關(guān)系，題中A、B為函數(shù)關(guān)系，C為相關(guān)關(guān)系，D無相關(guān)關(guān)系3.【提示或答案】A【基礎(chǔ)知識聚焦】因為A、B、C、D四點共線，都在直線上故選A4.【提示或答案】【基礎(chǔ)知識聚焦】回歸直線是數(shù)據(jù)點最貼近的直線，反映最貼近程度的數(shù)據(jù)是偏差的平方和，即這種使“偏差平方和最小”的方法叫最小二乘法5.【提示或答案】解：以年齡為x軸，y軸表示脂肪含量，可得相應(yīng)散點圖1020102030405060X年齡y1020300........由散點圖可見，兩者之間具有相關(guān)關(guān)系。鞏固型題組6.解：（1）作出的散點圖如下圖所示0101234x(萬元）Y(萬元）102030405060....（2）觀測散點圖可知各點大致分布在一條直線附近，列出下表：序號xyX2xy11121122228456334291264456162241013830418易得所以故y對x的回歸直線方程為當x=9時,故當廣告費為9萬元時，銷售收入約為萬元.點評：（1）只有散點圖大致表現(xiàn)為線性相關(guān)時，求回歸直線方程才有意義；（2）求回歸直線應(yīng)給出線性回歸系數(shù)公式，在求解時為了計算更方便準確不妨列出上表；(3)回歸直線過點7.思路分析：如果散點圖中各點大致分布在一條直線附近，那么說明兩變量具有線性相關(guān)關(guān)系。解：（1）畫出散點圖（圖略），由圖可知y與x具有線性相關(guān)關(guān)系（2）列表，計算：i1234567891010203040506070809010062687581899510210811512262013602250324044505700714086401035012200①設(shè)所求回歸直線方程為即所求回歸直線方程為②設(shè)所求回歸直線方程為 則即所求回歸直線方程為提高型題組8解：（1）數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖如圖所示x房屋面積（x房屋面積（m2）70901101301501015202530.....Y銷售價格（萬元）(2)設(shè)所求回歸直線方程為則所求回歸直線方程為(3)據(jù)（2）知，當x=150m(萬元)9.解：（1）以x軸表示溫度，以y軸表示熱飲杯數(shù)，可作散點圖：-50-5051015202530354020406080100120140160..........xy（2）從圖中可以看出，各點散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間是負相關(guān)關(guān)系，即氣溫越高，賣出的熱飲杯數(shù)越少。（3）從散點圖可以看出，這些點大致分布在一條直線的附近，因此，可用公式求出回歸方程的系數(shù)，利用計算器求得回歸方程為（4）當x=2時因此，某天的氣溫為20C點評：計算出錯或公式出錯，求錯回歸直線方程。課堂小結(jié)對相關(guān)關(guān)系的理解應(yīng)當注意以下兩點:相關(guān)關(guān)系是非隨機變量與隨機變量之間的關(guān)系，而函數(shù)關(guān)系可以看成是兩個非隨機變量之間的關(guān)系，因此，不能把相關(guān)關(guān)系等同于函數(shù)關(guān)系。函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系。在分析兩個變量的相關(guān)關(guān)系時，可根據(jù)樣本散點圖確定兩個變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系，然后利用最小二乘法求出回歸直線方程。反饋型題組10、答案C思路解析：根據(jù)在回歸分析中因變量在自變量中的定義知，自變量是確定性的變量，因變量是隨機變量。故選C11、答案D思路分析：回歸直線方程一定過樣本點的中心，故選D12、答案個單位思路分析：根據(jù)相關(guān)系數(shù)定義即可得出答案。13、解：以X軸為年平均氣溫，軸為年降水量，可得相應(yīng)散點圖：X年平均氣溫X年平均氣溫012134005006007008000Y年降水量mm........因為圖中各點并不在一條直線的附近，所以兩者不具有相關(guān)關(guān)系，沒有必要用回歸直線進行擬合，如果用公式求得回歸直線方程也是沒有意義的。14解：因為學(xué)習(xí)時間與學(xué)習(xí)成績之間具有相關(guān)關(guān)系，可以列出下表，進行計算可得：i12345678910241523191611201617139279978964478368715922081185223116911024517166010881207767于是可得：因此可求得回歸直線方程為當x=18時，故該同學(xué)預(yù)計可得77分左右。§統(tǒng)計案例（解答部分）【再現(xiàn)性題組】【基礎(chǔ)知識聚焦】回歸方程模型及相關(guān)檢驗回歸方程中其中稱為樣本點的中心.r具有如下性質(zhì)：,并且越接近1，線性相關(guān)程度越強，越接近0，線性相關(guān)程度越弱.檢驗步驟：①作統(tǒng)計假設(shè).②根據(jù)小概率與n-2在附表中找出r的一個臨界值.③根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)計算公式算出r的值.④作出統(tǒng)計判斷.為了衡量預(yù)報的精確度,我們要進行殘差分析,通常越小,預(yù)報精度越高.×2列聯(lián)表的獨立性檢驗(1)分類變量:變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別,這類變量稱為分類變量.(2)列聯(lián)表:有兩個或兩個以上的分類變量的頻數(shù)表稱為列聯(lián)表.有兩個分類變量的樣本頻數(shù)列聯(lián)表稱為2×2列聯(lián)表.(3)獨立性檢驗①獨立性檢驗一般采用列聯(lián)表的形式,每個因素可以分為兩個或兩個以上的類別.當列聯(lián)表是2×2列聯(lián)表的形式時,獨立性檢驗的公式如下:這里的字母如下表總計aba+bcdc+d總計a+cb+da+b+c+d②用K2的大小可以決定是否拒絕原來的統(tǒng)計假設(shè)H0,若K2值較大,就拒絕H0,即拒絕事件A與B無關(guān).③當K2>時,則有95%的把握說事件A與B有關(guān);當K2≥時,則有99%的把握說事件A與B有關(guān);當K2≤時,則認為事件A與B無關(guān).【鞏固型題組】6.解（1）列出下表1234567891010203040506070809010062687581899510210811512262013602250324044505700714086401035012200,因此由于=＞，因此之間有很強的線性相關(guān)關(guān)系，因而可求回歸直線方程。設(shè)所求的回歸直線方程為則有（3）這個回歸直線方程的意義是當x每增大1時，y的值約增加，而是y不隨x增加而變化的部分，因此，當x=200時，y的估計值為因此，加工200個零件所用的工時約為189分?！军c評】有時為了方便常制表對應(yīng)求出獲得線性回歸方程后，取x=10，即得所求。本題應(yīng)借用計算器計算，并列出表格，再按解題步驟進行?！咀兪脚c拓展】假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費用y（萬元），有如下的統(tǒng)計資料：使用年限x23456維修費用y若有資料知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系。試求：（1）回歸直線方程（2）估計使用年限為10年時，維修費用約是多少？解（1）制表如下：12345合計2345620254916253690（2）回歸直線方程是：），即估計使用10年時，維修費用是萬元。7.解假設(shè)做過心臟搭橋手術(shù)與又發(fā)作心臟病沒有關(guān)系。所以我們沒有理由說心臟搭橋手術(shù)與又發(fā)作心臟病有關(guān)系。【點評】在判斷兩個非類變量關(guān)系的可靠性時一般利用隨機變量來確定；把計算出的的值與有關(guān)的臨界值作比較，確定出“X與Y有關(guān)系的把握?！咀兪脚c拓展】為考察性別與是否喜歡飲酒之間的關(guān)系，在某地區(qū)隨機抽取290人，得到如下列聯(lián)表：喜歡飲酒不喜歡飲酒總計女10145146男12420144總計22565290利用列聯(lián)表的獨立性檢驗判斷性別與喜歡飲酒是否有關(guān)系？解由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)得：所以我們有%的把握認為“性別與是否喜歡飲酒有關(guān)”?！咎岣咝皖}組】8.解（1）作統(tǒng)計假設(shè)：x與y不具有線性相關(guān)關(guān)系。（2）有顯著性水平=8在附表中查的?；貧w系數(shù)所以對的回歸直線方程是回歸系數(shù)反映出當母親身高每增加1cm時女兒身高平均增加0.78cm，a=可以解釋為女兒身高不受母親身高變化影響的部分。當x=161時，這就是說當母親身高為161cm時女兒的身高大致也接近161cm?！军c評】先對作相關(guān)性檢驗，確定模型，當有線性相關(guān)關(guān)系時，求線性回歸方程，再預(yù)測?！咀兪脚c拓展】在10年期間，一城市居民的年收入與某種商品的銷售額之間的關(guān)系有如下數(shù)據(jù)：第幾年12345678910城市居民年收入x（億元）某商品銷售額y(萬元)畫出散點圖；如果散點圖中的各點大致分布在一條直線的附近，求與之間的回歸直線方程。解（1）散點圖如圖所示。（2）123456789108059331558163818922346查得因，說明該城市居民的年收入與該商品的銷售額之間存在著顯著的線性相關(guān)關(guān)系。9.解由已知數(shù)據(jù)制成下表。暈機不暈機合計男性243155女性82634合計325789由公