流體力學(xué)六章課件

流體力學(xué)六章課件1第1頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)

若，即ωx=ωy=ωz

=0，則流體的運(yùn)動(dòng)稱為無旋運(yùn)動(dòng)或勢(shì)流，若ω≠0。(至少有一個(gè)分量不為零)，則稱為旋渦運(yùn)動(dòng)或有旋運(yùn)動(dòng)。判斷流體運(yùn)動(dòng)是無旋還是有旋，不能從流體質(zhì)點(diǎn)的軌跡來判別，而是要看流體微團(tuán)本身是否旋轉(zhuǎn)。

旋渦運(yùn)動(dòng)是流體運(yùn)動(dòng)的一種基本形式。它存在于小到肉眼看不到的物體邊壁附近極薄的邊界層內(nèi)及物體后面的尾流中，大到太陽系與宇宙星系中，它們都可利用渦系的生成與發(fā)展解釋。

本章首先介紹描述旋渦運(yùn)動(dòng)的一些基本概念——渦線、渦管、渦束、渦強(qiáng)與速度環(huán)量及其關(guān)系，然后敘述關(guān)于理想流體旋渦運(yùn)動(dòng)規(guī)律的幾個(gè)定理——有關(guān)旋渦運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性之亥姆霍茲(Helmholtz)第一定理(旋渦運(yùn)動(dòng)在空間的變化規(guī)律)，有關(guān)旋渦運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特性之湯姆生(Thomson)定理、拉格朗日(Lagrange)定理、亥姆霍茲第二定理及第三定理(旋渦運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間的變化規(guī)律)，最后闡述關(guān)于旋渦在流體中誘導(dǎo)速度的畢奧—薩伐爾(Bion-Savart)定律。希望由此對(duì)流體旋渦運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有個(gè)基本的了解，以便用于分析有關(guān)的理論與實(shí)際問題。

2第2頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)§6-1渦線、渦管、渦束與渦強(qiáng)(渦通量)

渦量場(chǎng)中渦線、渦管、渦束與渦強(qiáng)(渦通量)這些運(yùn)動(dòng)學(xué)概念最早是1843年由亥姆霍茲首先引入的，它們分別類似于速度場(chǎng)中的流線、流管、流速與流量。一、渦線

渦線是渦量場(chǎng)中某瞬時(shí)作出的這樣一條空間曲線，在該瞬時(shí)曲線上所有各點(diǎn)流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度矢量與該曲線相切(如圖)。因?yàn)槊奎c(diǎn)處角速度矢量方向是流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)軸方向(按右手定則)，所以渦線也就是一群流體微團(tuán)在給定瞬時(shí)圍繞旋轉(zhuǎn)的公共軸線。顯然，渦線方程為3第3頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)式中是渦線上的微元矢量。在直角坐標(biāo)中展開后可得到渦線方程，即其中旋轉(zhuǎn)角速度分量ωx

、ωy、ωz是以時(shí)間變量t為參變量。對(duì)于不同的t，就構(gòu)成了渦線族方程組。渦線與流線類似，有如下性質(zhì):(1)定常流動(dòng)時(shí)渦線的形狀與位置不隨時(shí)間改變;(2)一般情況下，任一瞬時(shí)過一點(diǎn)只能作一條渦線;(3)可以證明:理想流體定常流動(dòng)時(shí)沿流線的伯努利積分亦適用于沿渦線的情形。4第4頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)但是，一般情況下渦線與流線不重合，而是相交。在流體作平面流動(dòng)時(shí)，渦線流線處處正交，即同一點(diǎn)。

渦量場(chǎng)與不可壓縮流體的速度場(chǎng)一樣，都是無源場(chǎng)(無散場(chǎng))，這是因?yàn)?不可壓縮流體的速度場(chǎng)中相應(yīng)的渦量場(chǎng)中一、渦管、渦束與旋渦強(qiáng)度(渦通量)1.渦管在渦量場(chǎng)中任取一條非渦線的封閉曲線，過曲線上每一點(diǎn)作渦線，這些渦線構(gòu)成的管狀表面稱為渦管(如圖)。若該封閉曲線所圍面積無限小，則稱為微元渦管。微元渦管中同一截面的流體微團(tuán)以同一角速度旋轉(zhuǎn)，但與剛體不同的是沿渦管方向不同截面的角速度是不相同的。5第5頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)※.渦面給定瞬間，通過某一曲線（本身不是渦線）的所有渦線構(gòu)成的曲面稱為渦面。

渦線渦面渦管2.渦束渦管內(nèi)所包含的旋轉(zhuǎn)流體(或者說所有渦線的總和)稱為渦束。3.旋渦強(qiáng)度(渦通量)旋渦的變化及其對(duì)周圍流場(chǎng)的影響決定于旋渦旋轉(zhuǎn)角速度及渦束內(nèi)所含流體的多少(可用其截面積A來表示)。由此來定義通過微元渦管的旋渦強(qiáng)度(簡(jiǎn)稱為渦強(qiáng)，又叫作渦通量)，6第6頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)式中，為微元面積dA的外法線單位矢量；ωn的是角速度矢量在方向的投影量。通過整個(gè)渦管之任一曲面A的旋渦強(qiáng)度(渦通量)為式中A不一定是某平面截面面積，也可是某曲面面積。旋渦強(qiáng)度的單位通常是m2/s?？臻g問題的渦通量平面問題的渦通量7第7頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)§6-2速度環(huán)量，斯托克斯定理

一、速度環(huán)量

1869年湯姆生(Thomson)引進(jìn)一個(gè)與旋渦強(qiáng)度密切相關(guān)的速度環(huán)量的概念。利用斯托克斯定理，可通過對(duì)速度環(huán)量的計(jì)算或量測(cè)較簡(jiǎn)便地確定旋渦強(qiáng)度。速度環(huán)量在流體力學(xué)與空氣動(dòng)力學(xué)中十分重要。

某瞬時(shí)在流場(chǎng)中有任一曲線AB(如圖)，它上面各點(diǎn)的速度沿該曲線的線積分沿曲線AB作速度的線積分沿閉曲線速度的線積分

稱為速度(線)積分。其中為曲線AB上的微元矢量，α為該曲線上某點(diǎn)速度與當(dāng)?shù)貖A角。8第8頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)

若曲線AB是一條封閉曲線L，則速度沿該封閉曲線的線積分稱為某瞬時(shí)沿該封閉曲線的速度環(huán)量(簡(jiǎn)稱為環(huán)量)?？梢?，速度(線)積分或速度環(huán)量的概念在形式上類似于力沿曲線或封閉曲線的作功。

速度環(huán)量的正負(fù)號(hào)取決于流場(chǎng)中速度的方向以及線積分所取環(huán)繞方向。為統(tǒng)一起見，通常規(guī)定線積分繞逆時(shí)針方向?yàn)槠湔较颉?/p>

速度環(huán)量的概念不僅適用于不可壓縮流體與理想流體，而且也適用于可壓縮流體與粘性流體。9第9頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)二、斯托克斯定理

旋渦強(qiáng)度(面積分)與速度環(huán)量(線積分)的關(guān)系可直接根據(jù)高等數(shù)學(xué)中的斯托克斯定理來確定:式中，L是包圍單連通區(qū)域的任一有限大封閉曲線；A是以封閉曲線L為周界的任意開口曲面。斯托克斯定理說明了：繞任一封閉曲線L的速度環(huán)量等于穿過以該曲線為界的任意開口曲面A的旋渦強(qiáng)度(渦通量)的2倍。10第10頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)

斯托克斯定理只適用于單連通區(qū)域。所謂單連通區(qū)域就是在連通域中的任一閉合曲線，其連續(xù)地收縮成一點(diǎn)時(shí)不與邊界線相交，這種連通域就稱為單連通區(qū)域(如圖)。例如，球表面內(nèi)部的空間區(qū)域，或兩個(gè)同心球之間的空間區(qū)域等都是單連通區(qū)域。否則，就稱為多連通區(qū)域。例如，由內(nèi)外柱形邊界圍成的空間就是一雙連通區(qū)域(如圖)。若封閉曲線內(nèi)有平面點(diǎn)渦等奇點(diǎn)(§7-4)，則亦是多連通區(qū)域。雙連通區(qū)域單連通區(qū)域11第11頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)

對(duì)于多連通區(qū)域，在運(yùn)用斯托克斯定理時(shí)首先必須把它化成單連通區(qū)域。這只要做適當(dāng)數(shù)目的隔面。例如，對(duì)于平面機(jī)翼翼型繞流的雙連通區(qū)域，只要做一個(gè)無限薄的隔面，就可將它化成一個(gè)單連通區(qū)域(如圖)。此時(shí)可利用斯托克斯定理其中

因?yàn)?/p>

所以

12第12頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)斯托克斯定理的證明1.L為微小矩形封閉曲線ABCD:若是平面曲線(如圖)，對(duì)于微元長(zhǎng)度的速度可按始、終端點(diǎn)速度的平均值計(jì)算，由此13第13頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)上述結(jié)論可推廣應(yīng)用于L為空間微小矩形封閉曲線條件下，因?yàn)樗娜齻€(gè)相互垂直的投影面中具有上述關(guān)系。2.L為平面有限大區(qū)域的封閉曲線

用一系列平行x軸與y軸的相互垂直的直線將它分成無數(shù)多個(gè)微小的矩形(如圖)。對(duì)于每個(gè)微小矩形都有關(guān)系式dΓ=2ωndA，然后對(duì)速度環(huán)量求和，注意到此時(shí)沿相鄰矩形的公共邊上的速度積分方向相反，故符號(hào)相反而相互抵消，因而對(duì)于單連通區(qū)域求和后，剩下的只是外周線L的環(huán)量。則14第14頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)3.L為任意空間有限大區(qū)域的封閉曲線設(shè)A為以L為界的任意曲面，可把曲面A分成無數(shù)個(gè)微小曲面，對(duì)于每一微小曲面都有關(guān)系式dΓ=2ωndA

，對(duì)于單連通區(qū)域，若對(duì)總面積的速度環(huán)量求和，得由此可見，斯托克斯定理亦適用于空間的三元流動(dòng)。例.已知不可壓縮流體流動(dòng)的速度分布試求渦線方程及沿封閉曲線的速度環(huán)量。其中a、b為常數(shù)。15第15頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)解：旋轉(zhuǎn)角速度代入渦線方程，化簡(jiǎn)得積分得16第16頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)對(duì)于在z=0平面上的圓周則由斯托克斯定理故17第17頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)例.一個(gè)以角速度ω按逆時(shí)針方向作像剛體一樣的旋轉(zhuǎn)的流動(dòng)，如圖所示。試求在這個(gè)流場(chǎng)中沿封閉曲線的速度環(huán)量，并證明它是有旋流動(dòng)。有旋流動(dòng)中速度環(huán)量的計(jì)算解：在流場(chǎng)中對(duì)應(yīng)于任意兩個(gè)半徑r1和r2的圓周速度各為V1=ωr1和V2=ωr2

，沿圖中畫斜線扇形部分的周界ABCDA的速度環(huán)量18第18頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)可見，在這個(gè)區(qū)域內(nèi)是有旋流動(dòng)。又由于扇形面積于是上式正是斯托克斯定理的一個(gè)例證。以上結(jié)論可推廣適用于圓內(nèi)任意區(qū)域內(nèi)。19第19頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)例.一個(gè)流體繞O點(diǎn)作同心圓的平面流動(dòng)，流場(chǎng)中各點(diǎn)的圓周速度的大小與該點(diǎn)半徑成反比，即V=C/r，其中C為常數(shù)，如圖所示。試求在流場(chǎng)中沿封閉曲線的速度環(huán)量，并分析它的流動(dòng)情況。無旋流動(dòng)中速度環(huán)量的計(jì)算解：沿圖中畫斜線扇形部分的周界ABCDA的速度環(huán)量20第20頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)可見，在這區(qū)域內(nèi)是無旋流動(dòng)。這結(jié)論可推廣適用于任何不包圍圓心O的區(qū)域內(nèi)，例如。若包有圓心（r=0），該處速度等于無限大，應(yīng)作例外來處理?，F(xiàn)在求沿半徑的圓周封閉曲線的速度環(huán)量

上式說明，繞任何一個(gè)圓周的流場(chǎng)中，速度環(huán)量都不等于零，并保持一個(gè)常數(shù)，所以是有旋流動(dòng)。但凡是繞不包括圓心在內(nèi)的任何圓周的速度環(huán)量必等于零，故在圓心O點(diǎn)處必有旋渦存在，圓心是一個(gè)孤立渦點(diǎn)，稱為奇點(diǎn)。21第21頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)§6-3湯姆生定理與拉格朗日定理湯姆生定理又稱為開爾文(Kelvin)定理，后者是前者的封號(hào)。

湯姆生定理：對(duì)于理想、正壓流體，質(zhì)量力單值有勢(shì)時(shí)，沿任一封閉流體線(由一些給定的流體微團(tuán)構(gòu)成的曲線)的速度環(huán)量，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中不隨時(shí)間改變。這只要證明dΓ/dt=0即可。一、湯姆生定理現(xiàn)證明如下:設(shè)t瞬時(shí)的封閉流體線L，在t+dt瞬時(shí)變形運(yùn)動(dòng)為，由定義，22第22頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)于是

從圖可見

所以

注意到

故

說明了封閉流體線的速度環(huán)量對(duì)時(shí)間的變化率等于此流體線的加速度環(huán)量。23第23頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)再利用理想流體的歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程若質(zhì)量力單值有勢(shì)，可引入質(zhì)量力勢(shì)Π，，對(duì)于密度ρ僅是壓強(qiáng)p的單值函數(shù)之正壓流體，存在壓強(qiáng)函數(shù)PF，代入得

則

得證。由上述證明可知，湯姆生定理顯示了旋渦運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特性。其中，為哈密頓算子：24第24頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)二、拉格朗日定理在理想、正壓流體中，質(zhì)量力單值有勢(shì)時(shí)，若某一瞬時(shí)流體一部分沒有旋渦，則在該瞬時(shí)以前或以后的時(shí)間里，這部分流體亦不會(huì)產(chǎn)生旋渦；反之，一旦有旋渦的存在，則該部分流體中的旋渦亦不會(huì)自行消失，這就是拉格朗日定理。該定理是旋渦的不生不滅定理，它對(duì)于判斷流場(chǎng)是否有旋有著重要的意義。

這一定理是湯姆生定理的推論?，F(xiàn)證明如下：若某瞬時(shí)、某部分流體處處ω=0，則由斯托克斯定理，該部分流體內(nèi)封閉流體線L的速度環(huán)量根據(jù)湯姆生定理，在理想、正壓流體中，質(zhì)量力單值有勢(shì)時(shí)，沿給定流體線的速度環(huán)量在以前或以后的時(shí)間里，應(yīng)始終保持Γ=0。25第25頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)再利用斯托克斯定理，對(duì)于位于那部分流體中的任何曲面A，在運(yùn)動(dòng)過程中始終因?yàn)榍鍭的任意性(包括位置、大小與方位)，故欲使上式成立，必須在任何瞬時(shí)處處ω=0。反之，可以證明在上述條件下，一旦有旋渦的存在，則這部分流體中的旋渦亦不會(huì)消失。由此得證。根據(jù)拉格朗日定理，在理想、正壓流體中，質(zhì)量力單值有勢(shì)時(shí)，由靜止開始運(yùn)動(dòng)的流體，運(yùn)動(dòng)一定是無旋的；無窮遠(yuǎn)處均勻來流繞流物體的流場(chǎng)亦是無旋的。26第26頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)必須指出，若需考慮流體的粘性，或質(zhì)量力無勢(shì)時(shí)(如哥氏加速度形成的慣性力)或是斜壓流體(密度不僅與壓強(qiáng)有關(guān)，而且還與溫度、濕度或含鹽度等有關(guān)，如大氣或海水)，則旋渦就會(huì)產(chǎn)生、發(fā)展、擴(kuò)散、衰減與消失。此外，粘性流體往往作旋渦運(yùn)動(dòng)，同時(shí)在粘性流體中存在旋渦擴(kuò)散及耗能的特性，流場(chǎng)中旋渦將從渦強(qiáng)大的地方向渦強(qiáng)小的地方擴(kuò)散，直到各處渦強(qiáng)相等，并隨著時(shí)間的推移，各處渦量慢慢衰減為零。27第27頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)§6-4亥姆霍茲旋渦三定理

在同一瞬時(shí)，沿渦管長(zhǎng)度旋渦強(qiáng)度不變，這就是亥姆霍茲第一定理。該定理顯示了旋渦運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性。一、亥姆霍茲第一定理——渦強(qiáng)守恒定理現(xiàn)證明如下:在某瞬時(shí)，沿渦管表面取封閉周線，其中AB與是兩條幾乎重合的曲線(如圖)。先研究該封閉曲線的環(huán)量，其速度線積分的環(huán)繞方向如圖。顯然，因?yàn)?/p>

所以

28第28頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)根據(jù)斯托克斯定理，由于通過渦管表面的渦強(qiáng)為零，所以對(duì)于上述封閉周線ABB'A'A的速度環(huán)量亦等于零，即則

即

再利用斯托克斯定理，得即

式中A1、

A2分別為以曲線A'A、BB'為界的任意曲面。得證。顯然，亥姆霍茲第一定理對(duì)于微元渦管亦成立，為29第29頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)由此可見，亥姆霍茲第一定理形式上類似于不可壓縮流體沿流管的連續(xù)性方程，亦是一運(yùn)動(dòng)學(xué)定理。亥姆霍茲第一定理對(duì)理想流體或粘性流體、對(duì)正壓流體或斜壓流體、無論質(zhì)量力是否有勢(shì)都適用?！窀鶕?jù)亥姆霍茲第一定理，可得到以下結(jié)論:

(1)同一瞬時(shí)，對(duì)于同一微元渦管來說，截面積小的地方流體旋轉(zhuǎn)角速度大，反之亦然。

(2)渦管截面積不可能變?yōu)榱?，否則ω=∞，但這是不可能的。所以渦管不可能在流體內(nèi)部開始或終止，或者說不可能在流體內(nèi)部斷開。因此，渦管只可能為自我封閉的環(huán)形渦圈(圖1)，如吸煙者吐出的圓環(huán)形煙圈，水中旋渦，或者在邊界上(容器壁面或自由液面)開始與終止(圖2)，或伸展到無窮遠(yuǎn)處，如龍卷風(fēng)(圖3)。30第30頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)二、亥姆霍茲第二定理——渦管(線)保持性定理亥姆霍茲第二定理與第三定理均顯示了旋渦的動(dòng)力學(xué)特性。亥姆霍茲第二定理：理想、正壓流體中，若質(zhì)量力單值有勢(shì)，則渦管(線)在流體運(yùn)動(dòng)過程中一直保持為由相同流體質(zhì)點(diǎn)組成的渦管(線)而不破壞。31第31頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)證明如下:某瞬時(shí)t，在渦管表面上取一封閉的流體線L(如圖)，由于該曲線所包圍的面積無ω通過，即ωn=0，因而按斯托克斯定理，ΓL=0。在以后t'瞬時(shí)，由相同流體質(zhì)點(diǎn)組成的流體線變形運(yùn)動(dòng)到L'位置，據(jù)湯姆生定理ΓL'=ΓL=0。再利用斯托克斯定理，通過封閉流體線L'所圍的任意曲面的ωn=0，即沒有渦線通過。這就是說，在某一瞬時(shí)構(gòu)成渦管的流體質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中永遠(yuǎn)在渦管上，即渦管永遠(yuǎn)保持為渦管而不破壞。當(dāng)然，隨著時(shí)間的改變，渦管的形狀與位置是可能變化的。可以想像，由于渦線可看成是兩個(gè)渦管的交線，既然渦管存在保持性定理，那么渦線亦存在保持性定理。32第32頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)實(shí)際上，任何流體與由它構(gòu)成的流體面都具有保持性定理。渦線與渦管只不過是它們的特殊情況。歷史上較早的是由亥姆霍茲首先單獨(dú)證明了渦線與渦管的保持性定理(1858年)。三、亥姆霍茲第三定理——渦強(qiáng)保持性定理

理想、正壓流體中，若質(zhì)量力單值有勢(shì)，則在流體運(yùn)動(dòng)過程中渦管的渦強(qiáng)不隨時(shí)間改變?，F(xiàn)證明如下:如圖所示，設(shè)t瞬時(shí)通過渦管上以封閉曲線L為界的曲面A的渦強(qiáng)，由斯托克斯定理，經(jīng)過一段時(shí)間，在t'瞬時(shí)，由相同流體質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的流體線運(yùn)動(dòng)到L'位置。據(jù)湯姆生定理，在理想、正壓流體中，質(zhì)量力單值有勢(shì)的條件下，ΓL'=ΓL

。33第33頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)又據(jù)渦管保持性定理，L'仍保持在渦管表面。再次利用斯托克斯定理可得：在t'瞬時(shí)通過渦管上以封閉曲線L'為界的曲面A'的渦強(qiáng)。得證。

34第34頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)§6-5旋渦的誘導(dǎo)速度——畢奧—薩伐爾定律

渦量場(chǎng)與速度場(chǎng)有一定的關(guān)系。若已知速度場(chǎng)，只要通過微分運(yùn)算就容易求得渦量場(chǎng)；反之可以想像，若已知渦量場(chǎng)，可通過積分運(yùn)算來確定其誘導(dǎo)的速度場(chǎng)。根據(jù)給定的渦量場(chǎng)確定它們誘導(dǎo)的速度場(chǎng)具有重要的理論與實(shí)際意義。例如，三元機(jī)翼繞流中下洗流動(dòng)的計(jì)算及其對(duì)空氣動(dòng)力的影響，如何估計(jì)物體形狀對(duì)流動(dòng)的影響以及繞流物體旋渦阻力的計(jì)算等等，所有這些都與這一問題有著直接的聯(lián)系。對(duì)于不可壓縮流體，如何根據(jù)給定的渦量場(chǎng)確定其誘導(dǎo)速度，其計(jì)算公式的嚴(yán)格證明涉及較多的數(shù)學(xué)理論，在此不作介紹，有興趣的讀者可參看有關(guān)參考書，如文[7]。35第35頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)根據(jù)流場(chǎng)可與電磁場(chǎng)相比擬，詳細(xì)內(nèi)容見文[4]，由電動(dòng)力學(xué)中的畢奧——薩伐爾定律，磁場(chǎng)強(qiáng)度式中，I為導(dǎo)線中的電流；

為導(dǎo)線沿電流方向的微元矢量；

是導(dǎo)線中任一點(diǎn)至電磁場(chǎng)中某研究點(diǎn)的矢徑。的方向由右手定則確定，見圖（a），即圖中垂直進(jìn)紙面的方向。于是得到微小的渦束（渦線）之誘導(dǎo)速度（在流體力學(xué)中亦稱為畢奧—薩伐爾定律）。圖（a）圖（b）36第36頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)式中Γ為速度環(huán)量，又稱為線渦強(qiáng)度。Γ在積分號(hào)外面，這是根據(jù)亥姆霍茲第一定理與斯托克斯定理，在同一瞬時(shí)沿渦管長(zhǎng)度速度環(huán)量不變。為微小渦束(渦線)的微元矢量(按Γ的右手定則確定方向)，為微小渦束(渦線)與任一點(diǎn)至渦量場(chǎng)中某研究點(diǎn)的矢徑。的方向由右手定則確定，見圖

(b)，即圖中垂直進(jìn)紙面方向。根據(jù)前式，誘導(dǎo)速度的大小式中α為微元矢量到的夾角。計(jì)算中認(rèn)為微小渦束（渦線）以外的流場(chǎng)是無旋勢(shì)流，可利用勢(shì)流疊加原理(§7-3)。但是實(shí)際上，旋渦誘導(dǎo)速度的產(chǎn)生是由于旋渦通過流體的粘性對(duì)周圍流場(chǎng)起作用。37第37頁，共42頁，2023年，2月20日，星期一第六章流體的旋渦運(yùn)動(dòng)1.有限長(zhǎng)直線渦