流體力學(xué)相似原理與

流體力學(xué)相似原理與第1頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§5－1流動(dòng)相似

幾何相似運(yùn)動(dòng)相似動(dòng)力相似初始條件和邊界條件的相似第2頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

原型：流體實(shí)際流動(dòng)的實(shí)物。

模型：通常把原型（實(shí)物）按一定比例關(guān)系縮?。ɑ蚍糯螅┑拇砦?，稱(chēng)為模型。

模型試驗(yàn)：依據(jù)相似原理把流體流動(dòng)原型按一定比例縮小制成模型，模擬與實(shí)際情況相似的流體進(jìn)行觀(guān)測(cè)和分析研究，然后將模型試驗(yàn)的成果換算和應(yīng)用到原型中，分析判斷原型的情況。

關(guān)鍵問(wèn)題：模型流體和原型流體保持流動(dòng)相似。

流動(dòng)相似：兩個(gè)流動(dòng)的相應(yīng)點(diǎn)上的同名物理量（如速度、壓強(qiáng)、各種作用力等）具有各自的固定比例關(guān)系，則這兩個(gè)流動(dòng)就是相似的。模型和原型保證流動(dòng)相似，應(yīng)滿(mǎn)足：幾何相似運(yùn)動(dòng)相似動(dòng)力相似初始條件和邊界條件相似第3頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

一、幾何相似幾何相似是指原型與模型的外形相似，其各對(duì)應(yīng)角相等，而且對(duì)應(yīng)部分的線(xiàn)尺寸均成一定比例。

對(duì)應(yīng)角相等θp=θm以角標(biāo)p表示原型(prototype)，m表示模型(model)。線(xiàn)性尺寸成比例式中λl——長(zhǎng)度比尺；

lp——原型某一部位長(zhǎng)度；

lm——模型對(duì)應(yīng)部位的長(zhǎng)度。第4頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日面積比尺

由上式可知，幾何相似是通過(guò)長(zhǎng)度比尺λl來(lái)表示的。只要任一對(duì)應(yīng)長(zhǎng)度都維持固定的比尺關(guān)系λl，就保證了流動(dòng)的幾何相似。體積比尺第5頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日二、運(yùn)動(dòng)相似運(yùn)動(dòng)相似是指原型與模型兩個(gè)流動(dòng)的流速場(chǎng)和加速度場(chǎng)相似。要求兩個(gè)流場(chǎng)中所有對(duì)應(yīng)的速度和加速度的方向?qū)?yīng)一致，大小都維持固定的比例關(guān)系。速度比尺時(shí)間比尺則加速度比尺第6頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

由上可知，運(yùn)動(dòng)相似是通過(guò)長(zhǎng)度比尺λl和時(shí)間比尺λt來(lái)表示的。長(zhǎng)度比尺已由幾何相似定出。因此，運(yùn)動(dòng)相似就規(guī)定了時(shí)間比尺，只要對(duì)任一對(duì)應(yīng)點(diǎn)的流速和加速度都維持固定的比尺關(guān)系，也就是固定了長(zhǎng)度比尺λl和時(shí)間比尺λt，就保證了運(yùn)動(dòng)相似。由于各相應(yīng)點(diǎn)速度成比例，所以相應(yīng)斷面平均流速有同樣的速度比尺，即第7頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日三、動(dòng)力相似動(dòng)力相似是指原型與模型兩個(gè)流動(dòng)的力場(chǎng)幾何相似。要求兩個(gè)流場(chǎng)中所有對(duì)應(yīng)點(diǎn)的各種作用力的方向?qū)?yīng)一致，大小都維持固定比例關(guān)系。即式中Fp——原型某點(diǎn)上的作用力；Fm——模型對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的作用力。由牛頓第二定律：F=ma=ρVa則力的比尺為因?yàn)榈?頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日則即上式可寫(xiě)成上式說(shuō)明，兩個(gè)流動(dòng)動(dòng)力相似，它們的牛頓數(shù)相等；反之兩個(gè)流動(dòng)的牛頓數(shù)相等，則兩個(gè)流動(dòng)動(dòng)力相似。在相似原理中，兩個(gè)動(dòng)力相似流動(dòng)中的無(wú)量綱數(shù)，如牛頓數(shù)，稱(chēng)為相似準(zhǔn)數(shù)。動(dòng)力相似條件（相似準(zhǔn)數(shù)相等）稱(chēng)為相似準(zhǔn)則?！獰o(wú)量綱數(shù)在相似原理中稱(chēng)為牛頓數(shù)Ne∴第9頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

四、初始條件和邊界條件的相似

初始條件：適用于非恒定流。邊界條件：有幾何、運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力三個(gè)方面的因素。如固體邊界上的法線(xiàn)流速為零，自由液面上的壓強(qiáng)為大氣壓強(qiáng)等

。

五、流動(dòng)相似的含義

幾何相似是運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似的前提與依據(jù)；

動(dòng)力相似是決定兩個(gè)流體運(yùn)動(dòng)相似的主導(dǎo)因素；

運(yùn)動(dòng)相似是幾何相似和動(dòng)力相似的表現(xiàn)；凡流動(dòng)相似的流動(dòng)，必是幾何相似、運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似的流動(dòng)。

第10頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§5－2相似準(zhǔn)則雷諾準(zhǔn)則佛汝德準(zhǔn)則歐拉準(zhǔn)則第11頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§5－2相似準(zhǔn)則在模型實(shí)驗(yàn)中，只要使其中起主導(dǎo)作用外力滿(mǎn)足相似條件，就能夠基本上反映出流體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。一、雷諾準(zhǔn)則作用在流體上的力主要是粘性力。牛頓內(nèi)摩擦定律粘性力粘性力比尺由于作用力僅考慮粘性力，F(xiàn)=T，即于是第12頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日上式說(shuō)明，若作用在流體上的力主要是粘性力時(shí)，兩個(gè)流動(dòng)動(dòng)力相似，它們的雷諾數(shù)應(yīng)相等。反之，兩個(gè)流動(dòng)的雷諾數(shù)相等，則這兩個(gè)流動(dòng)一定是在粘性力作用下動(dòng)力相似?；?jiǎn)后或者——無(wú)量綱數(shù)即雷諾數(shù)第13頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日上式說(shuō)明，若作用在流體上主要是重力，兩個(gè)流動(dòng)動(dòng)力相似，它們的佛汝德數(shù)相等，反之，兩個(gè)流動(dòng)的佛汝德數(shù)相等，則這兩個(gè)流動(dòng)一定是在重力作用下動(dòng)力相似。二、佛汝德準(zhǔn)則作用在流體上的力主要是重力。即：重力G=mg=ρVg重力比尺由于作用力F中僅考慮重力G，因而F=G，即λf=λG于是化簡(jiǎn)得：或——無(wú)量綱量佛汝德數(shù)所以第14頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日上式說(shuō)明，若作用在流體上的力主要是壓力，兩個(gè)流動(dòng)動(dòng)力相似，則它們的歐拉數(shù)應(yīng)相等。反之，兩個(gè)流動(dòng)的歐拉數(shù)相等，則這兩個(gè)流動(dòng)一定是在壓力作用下動(dòng)力相似。三、歐拉準(zhǔn)則作用在流體上的力主要是壓力P。即：壓力P=pA由于作用力F中只考慮壓力P，因而F=P，即壓力比尺于是可得化簡(jiǎn)得則——無(wú)量綱數(shù)歐拉數(shù)所以第15頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§5－3模型試驗(yàn)?zāi)Ｐ吐傻倪x擇模型設(shè)計(jì)第16頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§5－3模型試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷脑O(shè)計(jì)，首先要解決模型與原型各種比尺的選擇問(wèn)題，即所謂模型律的問(wèn)題。一、模型律的選擇在進(jìn)行模型設(shè)計(jì)時(shí)，根據(jù)原型的物理量確定模型的量值，這就是模型律的選擇，模型律的選擇應(yīng)依據(jù)相似準(zhǔn)則來(lái)確定。現(xiàn)在僅考慮粘性力與重力同時(shí)滿(mǎn)足相似。由雷諾準(zhǔn)則則（1）由佛汝德準(zhǔn)則通常λg=1，則上式為（2）第17頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日要同時(shí)滿(mǎn)足雷諾準(zhǔn)則和佛汝德準(zhǔn)則兩個(gè)條件，式（1）和式（2）相等。即得：要實(shí)現(xiàn)兩流動(dòng)相似，一是模型的流速應(yīng)為原型流速的倍；二是必須按來(lái)選擇運(yùn)動(dòng)粘度的比值，但通常這后一條件難于實(shí)現(xiàn)。若模型與原型采用同一種介質(zhì)，即，根據(jù)粘性力和重力的相似，由式（1）和式（2），有如下的條件：顯然，要同時(shí)滿(mǎn)足以上兩個(gè)條件，則,即模型不能縮小，失去了模型實(shí)驗(yàn)的價(jià)值。從上述分析可見(jiàn)，一般情況下同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)或兩個(gè)以上作用力相似是難以實(shí)現(xiàn)的。第18頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

二、模型設(shè)計(jì)模型設(shè)計(jì)首先定出長(zhǎng)度比尺，再以選定的比尺縮?。ɑ蚍糯螅┰偷膸缀纬叨?，得出模型流動(dòng)的幾何邊界。通常，模型和原型采用同一種類(lèi)流體，則，然后按所選用的相似準(zhǔn)則確定相應(yīng)的速度比尺，再按下式計(jì)算出模型流的流量：按以上步驟，便可實(shí)現(xiàn)原型、模型流動(dòng)在相應(yīng)準(zhǔn)則控制下的流動(dòng)相似?；虻?9頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

例1：一橋墩長(zhǎng)lp=24m，墩寬bp=4.3m，水深hp=8.2m，河中水流平均流速vp=2.3m/s，兩橋臺(tái)的距離Bp=90m。取=50來(lái)設(shè)計(jì)水工模型試驗(yàn)，試求模型各幾何尺寸和模型中的平均流速和流量。水深由給定的=50

直接計(jì)算解：（1）模型的各幾何尺寸橋墩長(zhǎng)橋墩寬橋臺(tái)距離第20頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（2）模型平均流速與流量對(duì)一般水工建筑物的流動(dòng)，起主要作用的是重力，所以模型試驗(yàn)只需滿(mǎn)足佛汝德準(zhǔn)則。即所以在此λg=1，則，模型的流速為模型流量為因?yàn)榈?1頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日由于，例2：汽車(chē)高h(yuǎn)p=1.5m，最大行速為108km/h，擬在風(fēng)洞中測(cè)定其阻力。風(fēng)洞的最大風(fēng)速為45m/s，問(wèn)模型的最小高度為多少？若模型中測(cè)得阻力為1.50kN，試求原型汽車(chē)所受的阻力。解：（1）求模型的最小高度hm對(duì)于分析氣體阻力問(wèn)題，可按雷諾準(zhǔn)則計(jì)算。雷諾準(zhǔn)則為故第22頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日此處，，（2）求原型汽車(chē)所受的阻力由在推導(dǎo)牛頓數(shù)得到的力的比尺為故則第23頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日§5－4量綱分析

量綱和量綱和諧原理量綱分析法第24頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日一、量綱(dimension)和量綱和諧原理1、量綱

表示物理量的種類(lèi)，稱(chēng)為這個(gè)物理量的量綱（或稱(chēng)因次）。同一物理量，可以用不同的單位來(lái)度量，但只有唯一的量綱。在物理量的代表符號(hào)前面加“dim”表示量綱，例如速度v的量綱表示為dimv。量綱可分為基本量綱和導(dǎo)出量綱。

基本量綱必須具有獨(dú)立性，不能從其它基本量綱推導(dǎo)出來(lái)，而且可以用它來(lái)參與表示其它各物理量的量綱。在流體力學(xué)中常用長(zhǎng)度、時(shí)間、質(zhì)量（L、T、M）作為基本量綱。由基本量綱推導(dǎo)出來(lái)的量綱，稱(chēng)導(dǎo)出量綱。它可用三個(gè)基本量綱的指數(shù)乘積形式來(lái)表示。對(duì)于任何一個(gè)物理量x，其量綱可寫(xiě)作（1）第25頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日導(dǎo)出量綱速度dimv=LT-1加速度dima=LT-2密度dimρ=ML-3力dimF=MLT-2壓強(qiáng)dimp=ML-1T-2第26頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

物理量x的性質(zhì)可由量綱指數(shù)α，β，γ來(lái)反映。

●如α，β，γ有一個(gè)不為零，則x為有量綱量。

●如α，β，γ均為零，即dimx=L0T0M0=1,則稱(chēng)x為無(wú)量綱量，也稱(chēng)純數(shù)。

●基本量與導(dǎo)出量適當(dāng)組合可以組合成無(wú)量綱量。無(wú)量綱量有如下特點(diǎn)：①量綱表達(dá)式中的指數(shù)均為零；②沒(méi)有單位；③量值與所采用的單位制無(wú)關(guān)。

●由于基本量是彼此互相獨(dú)立的，故它們之間不能組成無(wú)量綱量。2、無(wú)量綱量量綱公式第27頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

問(wèn)題1：運(yùn)動(dòng)粘度的量綱是：A.L/T2；B.L/T3C.L2/T；D.L3/T。

問(wèn)題2：速度v，長(zhǎng)度l，重力加速度g的無(wú)量綱集合是：A.B.C.D.

問(wèn)題3：速度v,密度ρ,壓強(qiáng)p的無(wú)量綱集合是：

A.B.C.D.

(C)(D)(D)第28頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日3、量綱和諧

量綱和諧原理：一個(gè)完整正確的物理方程，不僅其等號(hào)兩邊的數(shù)值相等，而且其中各項(xiàng)的量綱也一定相同。由于物理方程的量綱具有一致性，可以用任意一項(xiàng)去除方程兩邊，使方程每一項(xiàng)變?yōu)闊o(wú)量綱量，這樣原方程就變?yōu)闊o(wú)量綱方程。例如，動(dòng)能方程

量綱分析法就是應(yīng)用量綱和量綱和諧來(lái)探求物理現(xiàn)象的函數(shù)關(guān)系，即建立物理方程的一種方法。可改寫(xiě)為又如，理想流體能量方程：也可改寫(xiě)成第29頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日量綱和諧原理的重要性：①一個(gè)方程在量綱上應(yīng)是和諧的，所以可用來(lái)檢驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)公式的正確性和完整性。

②量綱和諧原理可用來(lái)確定公式中物理量的指數(shù)。③可用來(lái)建立物理方程式的結(jié)構(gòu)形式。第30頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日式中k——無(wú)量綱數(shù)；

k1，k2，k3，…，kn——待定指數(shù)。設(shè)A、B、C為基本量綱，則各因素的量綱為

二、量綱分析法 1、瑞利法某一物理現(xiàn)象，各物理量間的函數(shù)關(guān)系為式中x1、x2、x3、…、xn和y為影響物理現(xiàn)象的因素。對(duì)上式進(jìn)行量綱分析，以找出諸因素之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式。上式可寫(xiě)成如下指數(shù)形式：(i=1,2,3,…,n)dimy=AaBbCc第31頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

上式為量綱和諧方程組，解這個(gè)方程組便得到指數(shù)k1，k2，k3，…，kn的數(shù)值，但因方程組中的方程數(shù)只有三個(gè)，當(dāng)待定指數(shù)kn中的指數(shù)個(gè)數(shù)n＞3時(shí)，則有（n－3）個(gè)指數(shù)需要用其它指數(shù)值的函數(shù)來(lái)表示。量綱表達(dá)式由量綱和諧原理可知，等號(hào)兩邊的基本量綱的指數(shù)必須一致，所以有

A：

B：

C：第32頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

例：根據(jù)觀(guān)察、實(shí)驗(yàn)和理論分析，認(rèn)為總流邊界單位面積上的平均切應(yīng)力τ0與流體密度ρ、動(dòng)力粘度μ、平均流速v、水力半徑R以及固體表面凸出的平均高度Δ有關(guān)。若令沿程阻力系數(shù)，可得。

各物理量的量綱

dimτ=ML-1T-2（dimF=MLT-2）dimρ=ML-3dimμ=ML-1T-1（μ的單位N﹒s/m2）

dimv=LT-1dimR=LdimΔ=L解：由已知條件有指數(shù)乘積式第33頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日將上述指數(shù)代入原指數(shù)乘積式，得量綱表達(dá)式量綱和諧方程組

M：1=k1+k2

L:–

1=–

3k1–k2+k3+k4+k5T:–2=–k2–k3以上方程組有五個(gè)未知數(shù)，三個(gè)方程。選定k3、k5為待定。聯(lián)立解上述方程組得

k2=2–k3k1=k3

–

1k4=-2+k3–k5第34頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日瑞利法適用于比較簡(jiǎn)單的物理問(wèn)題?！擀?ρν∴

又則可得若令并代入上式得第35頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

2、π定理其內(nèi)容為：若物理方程f(x1，x2，…，xn)=0，含有n個(gè)物理量，其中涉及到m個(gè)基本量綱，則這個(gè)物理方程可用（n–m）個(gè)無(wú)量綱的π項(xiàng)的關(guān)系式來(lái)表示，即F（π1，π2，…，πn-m）=0因?yàn)檫@些無(wú)量綱量用π表示，所以就把這個(gè)定理稱(chēng)為π定理。它首先由布金漢提出，也稱(chēng)布金漢定理。第36頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

現(xiàn)以實(shí)例來(lái)具體說(shuō)明π定理的推演過(guò)程。設(shè)影響圓球在液體中運(yùn)動(dòng)的阻力FD與液體的密度ρ和動(dòng)力粘度μ，圓球直徑d、相對(duì)速度v

等因素有關(guān)，則可得如下函數(shù)關(guān)系FD=f(ρ，v，d，μ)上式兩邊除以ρ，得上式左邊已無(wú)質(zhì)量的量綱M，由量綱和諧原理知，右邊也必須無(wú)質(zhì)量的量綱M。上式可寫(xiě)成

（dimFD=MLT-2,dimμ=ML-1T-1）注：左邊量綱：[L4T-2]第37頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日進(jìn)一步可使上式左邊無(wú)時(shí)間量綱T，兩邊除以v2

得則π1=f(π2)或F(π1，π2)=0上式說(shuō)明n=5個(gè)變量利用m=3個(gè)包含基本量綱量的乘除變換，消除m個(gè)基本量綱，便得n–m=2個(gè)無(wú)量綱的π項(xiàng)。由量綱和諧原理，上式右邊也無(wú)時(shí)間的量綱。則上式可寫(xiě)成同理，可使上式無(wú)長(zhǎng)度量綱

L，得上式中兩邊均為無(wú)量綱量，分別以π1和π2表示，即注：左邊的量綱：[L2]第38頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

應(yīng)用π定理的兩點(diǎn)說(shuō)明：（1）m個(gè)基本量綱是從n個(gè)物理量中選取m個(gè)基本物理量來(lái)代表的。一般取三個(gè)基本物理量，即m=3，要求這三個(gè)基本物理量不能組合成一個(gè)無(wú)量綱量。如用量綱公式表示基本物理量x1，x2，x3，則

三個(gè)基本物理量一般取幾何長(zhǎng)度、流速v、密度ρ含有M、T及L量綱。因此，x1，x2，x3不能組合成無(wú)量綱量的條件是量綱公式中指數(shù)行列式不等于零。即第39頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（2）π項(xiàng)的組合除了三個(gè)基本物理量以外，每次輪換取一個(gè)物理量，組合而成。即

式中ai、bi、ci——各π項(xiàng)的待定指數(shù)。這樣一共可寫(xiě)出（n–3）個(gè)π項(xiàng)，因?yàn)楦鳓许?xiàng)是無(wú)量綱量，dimπ=L0T0M0，因此，可由量綱和諧原理求出各π項(xiàng)的指數(shù)值?！?0頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

M：0=c1+1L：0=a1+b1–3c1–1T：0=–b1–1例1：以上例為例，求FD的表達(dá)式。解：函數(shù)關(guān)系或取d、v、ρ為基本物理量，它們不能組合成一個(gè)無(wú)量綱量。μ和FD為導(dǎo)出量，將它們分別與基本量進(jìn)行適當(dāng)組合。n=5,m=3,n–m=2,有二個(gè)π項(xiàng)。（1）（2）式（1）量綱表達(dá)式為比較兩邊的量綱，于是有第41頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日式中CD——阻力系數(shù)，CD=f3(Re)。A——圓球與速度方向垂直的迎流投影面面積，m2解得a2=–2，b2=–2，c2=–

1。則代入F（π1，π2）=0得或（）故上式說(shuō)明阻力等于某一系數(shù)乘ρv2d2，而該系數(shù)是Re的函數(shù)。通常（N）第42頁(yè)，共47頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例2：實(shí)驗(yàn)觀(guān)察與