中值定理證明方法總結(jié)詳解

（優(yōu)選）中值定理證明方法總結(jié)現(xiàn)在是1頁\一共有44頁\編輯于星期一一、羅爾(Rolle)定理機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理現(xiàn)在是2頁\一共有44頁\編輯于星期一一、羅爾(Rolle)定理滿足:(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(3)

f(a)=f(b)使證:故在[a,b]上取得最大值

M

和最小值m.若M=

m,則因此在(a,b)內(nèi)至少存在一點機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是3頁\一共有44頁\編輯于星期一若M>

m,則M和m

中至少有一個與端點值不等,不妨設(shè)則至少存在一點使注意:1)定理條件條件不全具備,結(jié)論不一定成立.例如,則由費馬引理得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是4頁\一共有44頁\編輯于星期一使2)定理條件只是充分的.本定理可推廣為在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且在(a,b)內(nèi)至少存在一點證明提示:

設(shè)證

F(x)在[a,b]上滿足羅爾定理.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是5頁\一共有44頁\編輯于星期一二、拉格朗日中值定理(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)滿足:(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點使思路:利用逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數(shù)作輔助函數(shù)顯然,在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且證:問題轉(zhuǎn)化為證由羅爾定理知至少存在一點即定理結(jié)論成立.拉氏目錄上頁下頁返回結(jié)束證畢現(xiàn)在是6頁\一共有44頁\編輯于星期一三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(3)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點使?jié)M足:要證柯西目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是7頁\一共有44頁\編輯于星期一證:

作輔助函數(shù)且使即由羅爾定理知,至少存在一點思考:

柯西定理的下述證法對嗎?兩個

不一定相同錯!機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束上面兩式相比即得結(jié)論.現(xiàn)在是8頁\一共有44頁\編輯于星期一羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理幾個中值定理的關(guān)系現(xiàn)在是9頁\一共有44頁\編輯于星期一證明中值定理的方法輔助函數(shù)法直觀分析逆向分析例如,證明拉格朗日定理:要構(gòu)造滿足羅爾定理條件的輔助函數(shù).方法1.

直觀分析由圖可知,設(shè)輔助函數(shù)(C

為任意常數(shù))現(xiàn)在是10頁\一共有44頁\編輯于星期一方法2.

逆向分析要證即證原函數(shù)法輔助函數(shù)現(xiàn)在是11頁\一共有44頁\編輯于星期一同樣,

柯西中值定理要證即證原函數(shù)法設(shè)現(xiàn)在是12頁\一共有44頁\編輯于星期一*中值定理的條件是充分的,但非必要.可適當(dāng)減弱.因此例如,設(shè)在內(nèi)可導(dǎo),且則至少存在一點使證:

設(shè)輔助函數(shù)顯然在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),由羅爾定理可知,存在一點使即現(xiàn)在是13頁\一共有44頁\編輯于星期一*中值定理的統(tǒng)一表達(dá)式設(shè)都在上連續(xù),且在內(nèi)可導(dǎo),證明至少存在一點使證:

按三階行列式展開法有現(xiàn)在是14頁\一共有44頁\編輯于星期一利用逆向思維設(shè)輔助函數(shù)顯然F(x)

在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且因此,由羅爾定理知至少存在一點使即現(xiàn)在是15頁\一共有44頁\編輯于星期一說明設(shè)都在上連續(xù),且在內(nèi)可導(dǎo),證明至少存在一點使若取即為羅爾定理;若取即為拉格朗日中值定理;若取即為柯西中值定理;(自己驗證)現(xiàn)在是16頁\一共有44頁\編輯于星期一中值定理的主要應(yīng)用與解題方法

中值定理原函數(shù)的性質(zhì)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)反映反映中值定理的主要應(yīng)用(1)利用中值定理求極限(2)研究函數(shù)或?qū)?shù)的性質(zhì)(3)證明恒等式(4)判定方程根的存在性和唯一性(5)證明有關(guān)中值問題的結(jié)論(6)證明不等式現(xiàn)在是17頁\一共有44頁\編輯于星期一解題方法:從結(jié)論入手,利用逆向分析法,選擇有關(guān)中值定理及適當(dāng)設(shè)輔助函數(shù).(1)證明含一個中值的等式或證根的存在

,常用羅爾定理,此時可用原函數(shù)法設(shè)輔助函數(shù).(2)若結(jié)論中涉及到含一個中值的兩個不同函數(shù),可考慮用柯西中值定理.注：（1）幾個中值定理中最重要、最常用的是:羅爾中值定理。（2）應(yīng)用中值定理的關(guān)鍵為：如何構(gòu)造合適的輔助函數(shù)？（難點、重點）現(xiàn)在是18頁\一共有44頁\編輯于星期一(3)若結(jié)論中含兩個或兩個以上中值

,必須多次使用中值定理.(4)若已知條件或結(jié)論中含高階導(dǎo)數(shù)

,多考慮用泰勒公式

,有時也可考慮對導(dǎo)數(shù)用中值定理

.(5)若結(jié)論為恒等式,先證變式導(dǎo)數(shù)為0,再利用特殊點定常數(shù).(6)若結(jié)論為不等式,要注意適當(dāng)放大或縮小的技巧.現(xiàn)在是19頁\一共有44頁\編輯于星期一構(gòu)造輔助函數(shù)的方法(1)不定積分求積分常數(shù)法.現(xiàn)在是20頁\一共有44頁\編輯于星期一現(xiàn)在是21頁\一共有44頁\編輯于星期一現(xiàn)在是22頁\一共有44頁\編輯于星期一現(xiàn)在是23頁\一共有44頁\編輯于星期一現(xiàn)在是24頁\一共有44頁\編輯于星期一現(xiàn)在是25頁\一共有44頁\編輯于星期一例1.

證明方程有且僅有一個小于1的正實根.證:1)存在性.則在[0,1]連續(xù),且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假設(shè)另有為端點的區(qū)間滿足羅爾定理條件,至少存在一點但矛盾,故假設(shè)不真!設(shè)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束5.2.例題選講現(xiàn)在是26頁\一共有44頁\編輯于星期一例2.求證存在使設(shè)可導(dǎo)，且在連續(xù)，證：因此至少存在顯然在上滿足羅爾定理條件,即設(shè)輔助函數(shù)使得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束

輔助函數(shù)如何想出來的？現(xiàn)在是27頁\一共有44頁\編輯于星期一例3.

設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo),且證明在證:

取點再取異于的點對在以為端點的區(qū)間上用拉氏中值定理得(界于與之間)令則對任意即在內(nèi)有界.內(nèi)有界.現(xiàn)在是28頁\一共有44頁\編輯于星期一例4.

設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在但當(dāng)時內(nèi)可導(dǎo),且求證對任意自然數(shù)n,必有使分析:

在結(jié)論中換為得積分因所以證:

設(shè)輔助函數(shù)顯然在上滿足羅爾定理條件,因此必有使即

不定積分求積分常數(shù)法!現(xiàn)在是29頁\一共有44頁\編輯于星期一例5.

設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo),且證明至少存在一點使分析:在結(jié)論中將換為得積分證:

設(shè)輔助函數(shù)因在上滿足羅爾定理條件,所以存在使因此在上滿足羅爾定理條件,故必存在使即有

不定積分求積分常數(shù)法!現(xiàn)在是30頁\一共有44頁\編輯于星期一例6.

設(shè)在上連續(xù),在證明存在內(nèi)可導(dǎo),且使證:

方法1.因為所證結(jié)論左邊為設(shè)輔助函數(shù)由于上滿足拉氏中值定理條件,且易推出所證結(jié)論成立.在現(xiàn)在是31頁\一共有44頁\編輯于星期一方法2.

令因此可考慮設(shè)輔助函數(shù)由于在上滿足羅爾定理條件,故存在使由此可推得故所證結(jié)論成立.常數(shù)變易法現(xiàn)在是32頁\一共有44頁\編輯于星期一*例7.

設(shè)在上連續(xù),在證明存在內(nèi)可導(dǎo),且使證:轉(zhuǎn)化為證設(shè)輔助函數(shù)由于它在滿足拉氏中值定理條件,即證因此存在使現(xiàn)在是33頁\一共有44頁\編輯于星期一再對轉(zhuǎn)化為證在上用拉氏中值定理,則存在使因此現(xiàn)在是34頁\一共有44頁\編輯于星期一*例8.

設(shè)在上連續(xù),在試證對任意給定的正數(shù)內(nèi)可導(dǎo),且存在證:轉(zhuǎn)化為證因即由連續(xù)函數(shù)定理可知,存在使使因此現(xiàn)在是35頁\一共有44頁\編輯于星期一對分別在上用拉氏中值定理,得即現(xiàn)在是36頁\一共有44頁\編輯于星期一例10.設(shè)至少存在一點使證:

結(jié)論可變形為設(shè)則在[0,1]上滿足柯西中值定理條件,因此在(0,1)內(nèi)至少存在一點

,使即證明機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是37頁\一共有44頁\編輯于星期一例11.

試證至少存在一點使證:

法1

用柯西中值定理.則f(x),F(x)在[1,e]上滿足柯西中值定理條件,令因此即分析:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是38頁\一共有44頁\編輯于星期一例11.

試證至少存在一點使法2令則f(x)在[1,e]上滿足羅爾中值定理條件,使因此存在機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是39頁\一共有44頁\編輯于星期一例12.

當(dāng)時,試證證:

設(shè)當(dāng)時,在上滿足拉氏中值定理條件,因此有解出,則時現(xiàn)在是40頁\一共有44頁\編輯于星期一又因及在單調(diào)遞增,于是

說明:

中值定理只告訴位于區(qū)間內(nèi)的中值存在,一般不能確定其值,此例也只給出一個最好的上下界.現(xiàn)在是41頁\一共有44頁\編輯于星期一構(gòu)造的輔助函數(shù)方法舉例.

迫切問題：上面例子中構(gòu)造的輔助函數(shù)如何想出來的？

作業(yè)：將上面例子中所構(gòu)造的輔助函數(shù)自己全部練習(xí)構(gòu)造一遍！現(xiàn)在是42頁\一共有44頁\編輯于